現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)

1、現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)1.4 1.4 由傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達(dá)式由傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達(dá)式 根據(jù)前面介紹的微分方程與狀態(tài)空根據(jù)前面介紹的微分方程與狀態(tài)空間表達(dá)式之間的變換關(guān)系，若已知傳遞間表達(dá)式之間的變換關(guān)系，若已知傳遞函數(shù)，可首先把傳遞函數(shù)變成微分方程，函數(shù)，可首先把傳遞函數(shù)變成微分方程，然后由微分方程與狀態(tài)空間表達(dá)式的變?nèi)缓笥晌⒎址匠膛c狀態(tài)空間表達(dá)式的變換關(guān)系。求出狀態(tài)空間表達(dá)式。換關(guān)系。求出狀態(tài)空間表達(dá)式。一、傳遞函數(shù)中沒有零點(diǎn)時(shí)的變換一、傳遞函數(shù)中沒有零點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)為：nnnnasasasbsG111)(系統(tǒng)的微分方程為：buyayayaynnnn1)1(1)(則根據(jù)上節(jié)公式，可直接寫

2、出狀態(tài)空間表達(dá)式。即：1.4.1 與微分方程形式直接對(duì)應(yīng)的變換法與微分方程形式直接對(duì)應(yīng)的變換法001 , 00 , 10001011CBAbaaann傳遞函數(shù)也可分解成下圖所示的結(jié)構(gòu)。 選狀態(tài)變量為： )1()1(21111nnnybzxybzxybzx對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： 00 , 100 , 10001011baaannCBA 其中A陣和B陣為規(guī)范形式，這是能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)。它的模擬電路圖如下圖所示： 能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)的模擬圖 二、傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)時(shí)的變換二、傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)為：微分方程為：則根據(jù)上節(jié)公式，可直接寫出能控標(biāo)準(zhǔn)形。即：nnnnnnnnasasasbsbsbsb

3、sG1111110)(ububububyayayaynnnnnnnn1) 1(1)(01) 1(1)( 從傳遞函數(shù)的角度分析，這實(shí)際上是一種分子與分母直接分離分解法。設(shè)中間變量，可得：100 , 10001011BAaaann , 00110110bbabbabbabnnnnDC)()()()()()(sZsYsUsZsUsY式中 nnnnasasassUsZ1111)()(nnnnbsbsbsbsZsY1110)()( 分解式第一部分是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)決定的。當(dāng)選分解式第一部分是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)決定的。當(dāng)選中間變量中間變量z z及及z z的各階導(dǎo)數(shù)為一組變量時(shí)的各階導(dǎo)數(shù)為一組變量時(shí), ,得到的得到的狀態(tài)方程

4、是能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)。即式中的狀態(tài)方程是能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)。即式中的A A和和B B陣。陣。顯然這是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相對(duì)應(yīng)的一種規(guī)范形實(shí)現(xiàn)。顯然這是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相對(duì)應(yīng)的一種規(guī)范形實(shí)現(xiàn)。 分解式第二部分表示狀態(tài)變量與輸出的關(guān)系，輸出y等于各狀態(tài)變量與輸入的線性組合，即式中的C和D陣。若傳遞函數(shù)等效為：nnnnnnnnasasasbsbsbsbbsG111112110)(式中), 2 , 1(),(0nibabbiii011 , bbbbnnDC此時(shí)，式中的C陣和D陣可直接寫成： 由此畫出的系統(tǒng)計(jì)算機(jī)模擬圖如圖所示。 能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)模擬圖例例: 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 6512)(22sssssG試按能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)

5、寫出狀態(tài)空間表達(dá)式。解：由公式寫出能控標(biāo)準(zhǔn)形為：10 , 56101012BAaa 1 , 350001022bbabbabDC65531)(2ssssG5610A10B 3521bbC1D若將傳遞函數(shù)化成嚴(yán)格真有理分式，則 按簡化公式可得： ， mnasasasbsbsbsbsGnnnnmmmm )(1111110), 1 , 0( mibi00001bbbbmmC 一般情況下，系統(tǒng)輸出的階次高于輸入的階次，則 b0=0, 傳遞函數(shù)為嚴(yán)格真有理分式形式，即，式中 是任意常系數(shù)。同樣按以上方法C陣可以寫成此時(shí)，輸出僅是狀態(tài)變量的線性組合，與輸入無直接關(guān)系。)4)(2)(1(12)(sssssG

6、試按能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)寫出狀態(tài)空間表達(dá)式。 解：將傳遞函數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)形式 322131023814712)(asasasbsbsssssG按上式寫出能控標(biāo)準(zhǔn)為：例：例：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)100 , 7148100010100010123BAaaa021001bbC1.4.3 1.4.3 由傳遞函數(shù)部分分式法求狀態(tài)空間表達(dá)式由傳遞函數(shù)部分分式法求狀態(tài)空間表達(dá)式 本節(jié)主要介紹如何由傳遞函數(shù)的本節(jié)主要介紹如何由傳遞函數(shù)的分解分解構(gòu)造狀態(tài)構(gòu)造狀態(tài)空間表達(dá)式的方法。這種方法稱為部分分式法。空間表達(dá)式的方法。這種方法稱為部分分式法。下面根據(jù)傳遞函數(shù)極點(diǎn)的兩種不同情況分別加以下面根據(jù)傳遞函數(shù)極點(diǎn)的兩種不同情況分

7、別加以討論。討論。 1.傳遞函數(shù)無重極點(diǎn)的情況：其中：1011111( )G( )( )mmmmnnnnb sb sbsbY ssU ssa sasa1212nncccssslim( )()iiiscG s s()nm)(1)()(1)()(1)(2211sUssXsUssXsUssXnn)()()()()()()()()(222111sUsXssXsUsXssXsUsXssXnnnuxxuxxuxxnnn2221111212( )( )( )( )( )( )nncccY sG s U sU sU sU ssss1122( )( )( )nnc x sc xsc xs1122nnyc xc

8、xc x1110101nnnxxuxx 11nnxyccx對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形各狀態(tài)積分器是并聯(lián)的。這種方法又稱并聯(lián)分解各狀態(tài)積分器是并聯(lián)的。這種方法又稱并聯(lián)分解。 注意：若對(duì)于注意：若對(duì)于m=n時(shí)的一般真有理分式。需要將時(shí)的一般真有理分式。需要將T-FT-F化為嚴(yán)格真有理分式的形式后再進(jìn)行變換?；癁閲?yán)格真有理分式的形式后再進(jìn)行變換。 即：即：( )( )( )Y sG sdU s11nnxyccdux例：已知例：已知 ，求，求S-ES-E。6512)(G22sssss1)3)(2(5316553)(G2sssssss12123ccss解：解： 先化為真有理式先化為真有理式uxxxx113

9、0022121uxxy2141 c1 = 1， c2 = 4111121111( )G( )( )()()nnnkkkY ssU sssssss2.2.傳遞函數(shù)有重極點(diǎn)時(shí)傳遞函數(shù)有重極點(diǎn)時(shí) 設(shè)設(shè)n階系統(tǒng)只有一個(gè)獨(dú)立的階系統(tǒng)只有一個(gè)獨(dú)立的n重極點(diǎn)重極點(diǎn)s1.則則G(s)由由部分分式法展開為：部分分式法展開為：111111lim ( )() (1, )(1)!iniissdkG s ssinids1111lim( )()nsskG s ss1121lim( )()nssdkG s ssds1213121lim( )()2nssdkG s ssds1121111( )( )()1( )( )()1(

10、 )( )()nnnX sU sssXsU sssXsU sss12123111( )( )()1( )( )()1( )( )nX sXsssXsXsssXsU sssuxsxxxsxxxsxxxsxnnnnn11113212211111112211000010000011000nnsxxsxxuxxs 約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形nnxkxkxkty1212111)(nnxxxkkk2111211111121111( )( )( )( )( )( )()()()nnnY sG s U skkku su sU sssssss3.3.對(duì)于即有單根，又有重根的情況對(duì)于即有單根，又有重根的情況： 2324

11、1716G( )71612ssssss32)2()3)(2(16174)(G3122112sksksksssss例：例：解：解： k11 = 2， k12 = 3， k3 = 1 可根據(jù)以上兩種情況將可根據(jù)以上兩種情況將G(G(s s) )展開成部分分式，然后對(duì)展開成部分分式，然后對(duì)每一項(xiàng)分別選取合適的狀態(tài)變量，最后將兩部分合起每一項(xiàng)分別選取合適的狀態(tài)變量，最后將兩部分合起來寫出狀態(tài)空間表達(dá)式。來寫出狀態(tài)空間表達(dá)式。 uxxxxxx110300020012321321321132xxxy 若已知閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，如何由結(jié)構(gòu)圖直接若已知閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，如何由結(jié)構(gòu)圖直接建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式？

12、建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式？ 例：已知某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：例：已知某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：試建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。試建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。1.5 1.5 由結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式：由結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式：Y(s)U(s)s + zs + pks( s + a ) 利用結(jié)構(gòu)圖的分解設(shè)置狀態(tài)變量,實(shí)質(zhì)上就是將開環(huán)結(jié)構(gòu)中的每個(gè)環(huán)節(jié)，分解成一階環(huán)節(jié)的形式，這樣 n階系統(tǒng)的n個(gè)狀態(tài)變量就可以從n個(gè)一階環(huán)節(jié)中直接選取?；经h(huán)節(jié)的狀態(tài)變量圖：基本環(huán)節(jié)的狀態(tài)變量圖： 狀態(tài)變量圖：將結(jié)構(gòu)圖中每個(gè)積分器（或一階環(huán)節(jié)）的輸出選為狀態(tài)變量，來描述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中各狀態(tài)變量關(guān)系的圖。它可以直接用作狀態(tài)模擬。一、基本環(huán)節(jié)結(jié)

13、構(gòu)圖分解一、基本環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)圖分解1 1、一階環(huán)節(jié)、一階環(huán)節(jié) ( )1( )Y sszzpU sspspY(s)U(s)s + zs + p yudtpY(s)U(s)1s + p2、二階環(huán)節(jié)、二階環(huán)節(jié) U(s)Y(s) n2s 2+2ns + n2U(s)Y(s) n2 s (s + 2n )1)U(s)Y(s)1s 2+2ns + n22)(21)()()()()(22zssssXsYsUsXsGnnU(s)Y(s)s+zs 2+2ns + n23)根據(jù)分子分母分離法： 221111222222( )122nnnnssb sbG sssss U(s)Y(s)s 2+2 1 1s + 12 s

14、2+2ns + n24)例：已知某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：例：已知某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：試建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。試建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。Y(s)U(s)s + zs + pks( s + a ) 解：解：（1 1）首先將結(jié)構(gòu)圖中每個(gè)方框分解為單）首先將結(jié)構(gòu)圖中每個(gè)方框分解為單環(huán)節(jié)的組合。即僅由慣性環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的簡單形環(huán)節(jié)的組合。即僅由慣性環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的簡單形式組合：式組合：（2 2）將每一個(gè)基本環(huán)節(jié)的輸出設(shè)為狀態(tài)變量）將每一個(gè)基本環(huán)節(jié)的輸出設(shè)為狀態(tài)變量Y(s)U(s)z ps + pks1s + ax1x2x3（3 3）寫狀態(tài)空間表達(dá)式。）寫狀態(tài)空間表達(dá)式。12231311( )( )( )( )( )( )( )( )( )X sXssakXsXsU sX sszpXsU sX sspY(s)U(s)z ps + pks1s + ax1x2x3upzkxxxpzpkkaxxx00001321321321001xxxy2022-3-745123( )111353( )331131y ssu sssssss 3121s 13s13s+uyx1x2x32022-3