以問題為中心引領(lǐng)教學(xué)以思維為核心促進(jìn)發(fā)展

1、以問題為中心引領(lǐng)教學(xué)，以思維為核心促進(jìn)開展孫居國(guó)【專題名稱】高中數(shù)學(xué)教與學(xué)【專 題 號(hào)】G312【復(fù)印期號(hào)】2021年04期【原文出處】?中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考?(西安)2021年11上期第5256頁【作者簡(jiǎn)介】孫居國(guó)，江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)?！娟P(guān) 鍵 詞】EEUU    一、研究目的    數(shù)學(xué)教學(xué)過程是一系列數(shù)學(xué)問題的提出并解決的活動(dòng)過程，問題貫穿著課堂的始終，它們是組織教學(xué)的聚焦點(diǎn)和動(dòng)力源，是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的方向標(biāo)和里程碑，是維持課堂活力的加油站和接力棒，也是學(xué)生開展的催化劑和啟動(dòng)器。課堂教學(xué)過程是不斷發(fā)現(xiàn)問題、

2、探究問題、解決問題并提出新問題的過程，在這一過程中，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到充分的開展。    基于問題對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程及學(xué)生的數(shù)學(xué)思維開展有著重要的意義，我們提出“以問題為中心引領(lǐng)教學(xué)，以思維為核心促進(jìn)開展的根本觀點(diǎn)。    通過研究，能夠挖掘目前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中存在的一些問題，進(jìn)一步提高課堂效率，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維開展，形成有南京師范大學(xué)附屬中學(xué)特色的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)行為。    通過研究，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律、特點(diǎn)有進(jìn)一步的了解和認(rèn)識(shí)，結(jié)合學(xué)生的特點(diǎn)，使他們形成主動(dòng)提出問題、勇

3、于探索問題、獨(dú)立思考問題、理性分析問題、科學(xué)解決問題的研究意識(shí)和能力。    通過研究，促進(jìn)每一位教師學(xué)習(xí)和研究的意識(shí)，自覺學(xué)習(xí)教育教學(xué)的理論知識(shí)，關(guān)心課程與課堂教學(xué)的開展與改革動(dòng)向，形成研究的文化和氣氛，投身課堂教學(xué)改革的行列。    二、背景分析    1.歷史背景    南京師范大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)教研組是一個(gè)具有優(yōu)良傳統(tǒng)的教研組，一直處于中國(guó)中學(xué)教育教學(xué)改革的前列，在根底教育的理論總結(jié)和實(shí)踐探索方面做出了杰出的奉獻(xiàn)，形成了教師不做教

4、書匠而要做教育家的優(yōu)良傳統(tǒng)。秉承“尊重教學(xué)規(guī)律，關(guān)注學(xué)生開展的教育理想，在建設(shè)教師隊(duì)伍、提升課堂效率、提高教學(xué)質(zhì)量、研究教育教學(xué)等方面有著較大的影響和驕人的成績(jī)，為學(xué)校的課題研究打下了良好的根底。    2.現(xiàn)實(shí)背景    (1)新課程改革給學(xué)校的課題研究帶來了良好的機(jī)遇，給教師提供了豐富的學(xué)習(xí)時(shí)機(jī)和良好的開展平臺(tái)，同時(shí)，也帶來了許多的思考與困惑，促使教師加強(qiáng)學(xué)習(xí)和研究，以適應(yīng)新的開展的需要。    (2)目前由于評(píng)價(jià)模式比擬單一，課堂教學(xué)受應(yīng)試教育、升學(xué)的影響，更多地關(guān)注學(xué)

5、生的考試成績(jī)、應(yīng)試技巧等，無視了學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律和心理壓力，加重了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，違背了教育教學(xué)的科學(xué)規(guī)律，往往使得廣闊學(xué)生失去了自信和對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，對(duì)學(xué)生的開展產(chǎn)生了不利的影響。    (3)前不久江蘇省教育廳提出?關(guān)于進(jìn)一步標(biāo)準(zhǔn)中小學(xué)辦學(xué)行為深入實(shí)施素質(zhì)教育的意見?的五項(xiàng)規(guī)定，其中要求嚴(yán)格控制學(xué)生在校集中教學(xué)活動(dòng)的時(shí)間，嚴(yán)格執(zhí)行國(guó)家課程方案，切實(shí)減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，深入實(shí)施素質(zhì)教育，對(duì)課堂效率提出了更高的要求。    (4)隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)等方面的開展，學(xué)生的開展呈現(xiàn)出多元化開展的趨勢(shì)，越來越多的學(xué)生選擇到國(guó)外去

6、開展。為了適應(yīng)國(guó)外對(duì)人才選拔的要求，高校自主招生的方案逐步擴(kuò)大，對(duì)學(xué)生的考查越來越注重能力、潛能及特長(zhǎng)和個(gè)性。    3.現(xiàn)狀分析    目前教學(xué)反映出以下一些特點(diǎn)：    (1)在一節(jié)課的教學(xué)過程中，教師往往能注意到以問題開始，注重從具體數(shù)學(xué)問題出發(fā)組織學(xué)習(xí)和教學(xué)，有一個(gè)問題引出的情境、實(shí)驗(yàn)或懸念。    (2)問題給出后，教師的啟發(fā)或引導(dǎo)往往過多過細(xì)，給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間過少，學(xué)生思維的空間不大，忽略了啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生去動(dòng)手、動(dòng)腦，并在

7、數(shù)學(xué)問題解決的過程中發(fā)現(xiàn)、產(chǎn)生新的問題。    (3)教師的設(shè)計(jì)更注重于知識(shí)層面，只是為了得到一個(gè)確定的結(jié)論，而忽略了探究問題的過程，不能促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)靈活的知識(shí)根底，不能有效開展學(xué)生解決問題的能力，無視了學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐意識(shí)的培養(yǎng)。    (4)在整個(gè)課堂當(dāng)中，歸納猜測(cè)少，演繹論證多，從問題提出到得出結(jié)論的時(shí)間短，而從得出結(jié)論到穩(wěn)固應(yīng)用的時(shí)間長(zhǎng)。    由此可見，問題的意識(shí)并沒有充分地形成，問題的價(jià)值沒有得到充分的開發(fā)，學(xué)生的思維不能有效的、充分的開展。 

8、60;  三、研究過程    1.加強(qiáng)理論學(xué)習(xí)    (1)為了了解當(dāng)前數(shù)學(xué)教育教學(xué)的前沿情況和理論研究現(xiàn)狀，筆者所在學(xué)校屢次請(qǐng)專家到學(xué)校作專題報(bào)告，使教師對(duì)當(dāng)前的課程及課堂教學(xué)的理論研究有了一些了解。其中，有以下一些講座：    李克正“數(shù)學(xué)在金融方面的應(yīng)用；    馬明“教材對(duì)教學(xué)的制約作用；    涂榮豹“數(shù)學(xué)中的元認(rèn)知“教與學(xué)的對(duì)應(yīng)；   

9、 章建躍“新課程背景下的十個(gè)論題；    葛軍“數(shù)學(xué)的解題策略；    李善良“教師的專業(yè)開展；    邱學(xué)華“嘗試法教學(xué)；    單壿等“數(shù)學(xué)思維和解題方法。    (2)為了了解當(dāng)前課堂教學(xué)情況，筆者所在學(xué)校積極組織教師參觀學(xué)習(xí)，積極參加全國(guó)及省市組織的各項(xiàng)教研活動(dòng)，廣闊教師對(duì)目前的課堂教學(xué)情況有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。    (3)加強(qiáng)教師對(duì)當(dāng)前教育

10、教學(xué)理論的學(xué)習(xí)，認(rèn)真學(xué)習(xí)專著和最新的教育論文，并收集相關(guān)資料，個(gè)體學(xué)習(xí)和集中學(xué)習(xí)相結(jié)合，并及時(shí)整理反思，形成自己的觀點(diǎn)。    2.加強(qiáng)實(shí)踐探索    (1)為了做到理論與實(shí)踐相結(jié)合，筆者所在學(xué)校組織了豐富多彩的特色教研活動(dòng)：    研討學(xué)習(xí)新課程：?對(duì)稱與群?邢偉、?信息平安與密碼?周杰；    現(xiàn)代技術(shù)培訓(xùn)“幾何畫板與圖形計(jì)算器的使用陶維林；    講座：附中數(shù)學(xué)組優(yōu)良傳統(tǒng)陶維林、仇炳生、沈建

11、國(guó)；    組內(nèi)賽課活動(dòng)，每年一度的青年教師賽課活動(dòng)；    接待外地學(xué)校的來訪美國(guó)、新加坡，臺(tái)灣、浙江等國(guó)外和國(guó)內(nèi)的學(xué)校；    研討IB課程對(duì)高中數(shù)學(xué)課程的影響；    研究性教與學(xué)專題研究；    研課活動(dòng)常態(tài)化；    錄像分析教案反思；    對(duì)教師進(jìn)行與新課程有關(guān)的調(diào)查研究；  

12、0; (11)每年一度的教育教學(xué)論文評(píng)比。    (2)為了更好地促進(jìn)學(xué)生的全面主動(dòng)開展，筆者所在學(xué)校開展了各式各樣的學(xué)生活動(dòng)，進(jìn)一步拓寬學(xué)生的學(xué)習(xí)渠道，促進(jìn)學(xué)生的思維開展，主要有以下學(xué)生活動(dòng)：    數(shù)學(xué)根本功大賽；    數(shù)學(xué)史知識(shí)競(jìng)賽；    數(shù)學(xué)文化周活動(dòng)；    每月一題專欄；    學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)和社團(tuán)活動(dòng)；  &

13、#160; 境外數(shù)學(xué)競(jìng)賽EUCLID競(jìng)賽、FEMAT競(jìng)賽、無境數(shù)學(xué)競(jìng)賽；    全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽；    參觀大學(xué)，體會(huì)專業(yè)文化機(jī)構(gòu)的氣氛；    數(shù)學(xué)講座；    學(xué)生數(shù)學(xué)論題的研究與論文撰寫；    (11)開展豐富多彩的校本課程：中學(xué)數(shù)學(xué)思維方法選講、幾何畫板、圖形計(jì)算器、數(shù)學(xué)史等選修課。    3.加強(qiáng)調(diào)查研究  

14、60; 為了了解學(xué)生的真實(shí)學(xué)習(xí)情況，了解教師的課堂教學(xué)情況，更好地設(shè)計(jì)教學(xué)過程，提高教學(xué)效率，促進(jìn)學(xué)生的開展，學(xué)校進(jìn)行了形式多樣的調(diào)查統(tǒng)計(jì)。    (1)教師的聽課評(píng)價(jià)調(diào)查；    (2)學(xué)生的課前知識(shí)準(zhǔn)備的調(diào)查；    (3)高中數(shù)學(xué)課堂情況調(diào)查；    (4)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)活動(dòng)情況的調(diào)查；    (5)對(duì)圖形計(jì)算器改善課堂教學(xué)的調(diào)查；    

15、(6)高中學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀調(diào)查。    四、研究結(jié)論    1.以學(xué)生的思維水平為起點(diǎn)，有效地開發(fā)和選擇問題    (1)目標(biāo)明確，內(nèi)容充實(shí)    案例1等比數(shù)列的求和。    問題：從前，一個(gè)窮人到富人那里去借錢，原以為富人不愿意，哪知富人一口容許了下來，但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元，第二天借給窮人2萬元，以后每天所借的錢數(shù)都比上一天多一萬；但借錢第一天，窮人還1分

16、錢，第二天還2分錢，以后每天所還的錢數(shù)都是上一天的兩倍，30天后互不相欠。窮人聽后覺得挺劃算，但怕上當(dāng)受騙，所以很為難。請(qǐng)?jiān)谧耐瑢W(xué)思考一下，幫窮人出個(gè)主意。    問題設(shè)計(jì)的目的是為了讓學(xué)生得出一個(gè)等差或等比數(shù)列求和的形式。而學(xué)生要抽象出這些模型需要花費(fèi)大量的時(shí)間，注意力往往集中在實(shí)際問題的數(shù)學(xué)化，與本節(jié)課的主要內(nèi)容沒有本質(zhì)的聯(lián)系，偏離了本節(jié)課數(shù)列求和的教學(xué)重點(diǎn)，干擾了學(xué)生的思維。筆者認(rèn)為完全可以按照以下問題的形式展開教學(xué)：前面我們研究了等差數(shù)列的求和問題，那我們今天來研究等比數(shù)列怎么求和。這樣直截了當(dāng)，學(xué)生的注意力就集中到本節(jié)課的重點(diǎn)上來。 

17、;   (2)難易適度，啟發(fā)得當(dāng)    案例2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。    問題：初中我們學(xué)習(xí)過二次函數(shù)，知道它的圖象是拋物線，我們討論過拋物線的哪些性質(zhì)？    現(xiàn)在我們手里都有一個(gè)橢圓模型，你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)橢圓有什么性質(zhì)嗎？    誰能告訴我們橢圓是什么對(duì)稱圖形？    幾何圖形的對(duì)稱性有哪幾種類型？    我們?cè)趺醋C明橢圓的對(duì)稱

18、性？    我們能不能從橢圓的方程入手來研究橢圓的幾何性質(zhì)呢？    拋物線可以向某個(gè)方向無限延伸，那么橢圓是否有這個(gè)特點(diǎn)呢？那么橢圓的范圍受到了怎樣的限制呢？        從問題到問題來看，問題過細(xì)，針對(duì)性太強(qiáng)。應(yīng)留給學(xué)生足夠的時(shí)間來思考，從幾何方法不好入手，只能從代數(shù)方法來討論。必須要知道方程，從而通過方程解決問題。    (3)力求開放，層次清楚   

19、0;案例3“直線的方程單元復(fù)習(xí)。    問題：直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，請(qǐng)同學(xué)們自己再加另一個(gè)條件，求直線l的方程。    以下選擇了局部學(xué)生的答復(fù)：    k=2；    與直線y=-x垂直；    與y=7x+2平行；    原點(diǎn)到該直線的距離為1；    與相切；    在

20、x軸與y軸上的截距相等；        與兩坐標(biāo)軸圍成的面積是3。    降低思維的起點(diǎn)，是創(chuàng)設(shè)思維活動(dòng)的根底。由于各類學(xué)生的差異性和個(gè)性特征不同，為了讓不同的學(xué)生都有思考的空間，所以教學(xué)的設(shè)計(jì)要能促使每一位學(xué)生都有思維活動(dòng)的根底，以拓寬問題的出口，展示思維的過程和風(fēng)格。    (4)靈活變更，有效遷移    案例4面面垂直的判定。    問題：如圖1，PA

21、平面ABC，問在這個(gè)圖形中，有哪些面互相垂直。    這個(gè)問題有較大的可變更性，可以根據(jù)學(xué)生的情況，做出相應(yīng)的簡(jiǎn)化或深入，例如可以做如下的調(diào)整：        圖1    寫出一對(duì)互相垂直的平面；    寫出所有互相垂直的平面；    如果添加條件CAAB，那么有多少種面面垂直關(guān)系？    如果添加條件BCAB，那么有

22、多少種面面垂直關(guān)系？    在這個(gè)圖形中，至多有多少種面面垂直關(guān)系？其他的為什么不垂直？    綜上所述，問題的開發(fā)和選擇來自教師和學(xué)生兩個(gè)方面，尤其是學(xué)生生成的問題，更能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和創(chuàng)造性，促進(jìn)思維的深入和開展。    2.以學(xué)生的思維過程為線索，合理地組織和呈現(xiàn)問題    從當(dāng)前研究的課堂行為分析和整理，筆者認(rèn)為以問題為中心引領(lǐng)教學(xué)的課堂模式有以下幾種根本模式：    (1)分步串聯(lián)

23、，層層遞進(jìn)    問題以串聯(lián)的形式出現(xiàn)，聯(lián)系緊密，依次展開，層層遞進(jìn)，通過問題串的逐步解決，完成教學(xué)任務(wù)圖2。        圖2    案例5函數(shù)單調(diào)性。    本節(jié)課設(shè)置了如下幾個(gè)問題：    問題1：函數(shù)是描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，如果了解了函數(shù)的變化規(guī)律，那么也就掌握了相應(yīng)事物的變化規(guī)律。在事物變化過程中，保持不變的特征就是這個(gè)事物的性質(zhì)。觀察

24、圖3中各個(gè)函數(shù)的圖象，你能說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律？        圖3    問題2：根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于自變量x的每一個(gè)確定的值，變量y有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)。那么，當(dāng)一個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間上是單調(diào)遞增或遞減的時(shí)候，相應(yīng)的，自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化規(guī)律是怎樣的？        問題4：歸納函數(shù)單調(diào)性的定義。    (2)分類并聯(lián)，類比聯(lián)

25、想    問題以并聯(lián)的形式出現(xiàn)，相對(duì)獨(dú)立，根據(jù)學(xué)生的生成情況因勢(shì)利導(dǎo)，并列展開，逐個(gè)解決，完成教學(xué)任務(wù)圖4。        圖4    案例6同角三角函數(shù)的關(guān)系。        問題2：下面請(qǐng)大家來探索同一個(gè)角的六個(gè)三角函數(shù)之間有哪些關(guān)系式。    問題3：這么多關(guān)系式，我們?cè)趺磥碚J(rèn)識(shí)它們呢？能不能給它們歸歸類？你有什

26、么發(fā)現(xiàn)？    學(xué)生歸類，可以分成倒數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系可能還有其他關(guān)系。    (3)分解探究，演繹證明    問題以交叉的形式出現(xiàn)，當(dāng)要解決一個(gè)問題時(shí)，不容易得出結(jié)論，需要從不同側(cè)面、不同角度解決幾個(gè)問題，然后在解決幾個(gè)問題的根底上經(jīng)過推理論證完成任務(wù)圖5。        圖5    案例7三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式。   &

27、#160;問題1：求390°的正弦、余弦值。    問題2：你能找出和30°角的正弦值相等，但終邊不同的角嗎？    問題3：兩個(gè)角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，你能得出什么結(jié)論？?jī)蓚€(gè)角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱呢？    問題2是問題1的開展，事實(shí)上可以看成是“假設(shè)兩個(gè)角的終邊相同，那么它們的正弦值相同的逆命題，即“假設(shè)兩個(gè)角的正弦值相同，那么兩個(gè)角的終邊相同。但這里是以問題的形式提出的，這樣設(shè)計(jì)一方面很自然，因?yàn)槲覀冊(cè)谘芯繂栴}的時(shí)候常常會(huì)研究它的逆命題、否命題、等價(jià)命題

28、等，問題的設(shè)置處在學(xué)生的最近開展區(qū)；另一方面，實(shí)際上教會(huì)了學(xué)生一種自己研究問題的方法。    (4)整合分析，歸納概括    當(dāng)一個(gè)問題比擬抽象或涉及范圍較大時(shí)，不能直接得出結(jié)論。需要從不同的既相對(duì)又獨(dú)立的幾個(gè)問題分別研究，從中分析差異，找出共性，歸納類比，從而抽象概括出本質(zhì)特征圖6。        圖6    案例8指數(shù)函數(shù)。    情境1：某種細(xì)胞分裂時(shí)

29、，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)，一個(gè)這樣的細(xì)胞分裂n次后，能分裂成多少個(gè)細(xì)胞？    情境2：某種商品的價(jià)格從今年起每年降低10%，設(shè)原來的價(jià)格為1，那么，x年后的價(jià)格y是多少？    問題1：從以上情境中你能抽象出哪些函數(shù)關(guān)系式，請(qǐng)寫出這些函數(shù)解析式，并利用圖形計(jì)算器作出它們的圖象。    問題2：你能再舉出類似的函數(shù)嗎？并利用圖形計(jì)算器作出它們的圖象。    問題3：觀察上述函數(shù)的解析式及它們的圖象，你能歸納出這

30、些函數(shù)的性質(zhì)嗎？    從上述幾個(gè)問題中，發(fā)現(xiàn)其形式及本質(zhì)上的區(qū)別及統(tǒng)一，從而得出指數(shù)函數(shù)的概念及性質(zhì)。    3.以學(xué)生的思維開展為核心，科學(xué)地分析和解決問題    (1)創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)創(chuàng)造性思維    案例9三角函數(shù)起始課。    問題：假設(shè)摩天輪所做的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖7，不妨設(shè)該摩天輪的半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)O距地面的高度為個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)P為輪上的一點(diǎn)，起始位置在最低點(diǎn)處，摩天輪每2

31、分鐘轉(zhuǎn)一圈。請(qǐng)考察在這個(gè)運(yùn)動(dòng)中，有哪些相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系？請(qǐng)寫出其中的一些函數(shù)關(guān)系。        圖7    設(shè)計(jì)此問題的目的，首先，加深學(xué)生對(duì)原先學(xué)習(xí)的函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，從函數(shù)的觀點(diǎn)來看待問題，拓展思維，形成相應(yīng)的函數(shù)模型；其次，面對(duì)新的情境和問題，讓學(xué)生充分調(diào)動(dòng)自己的已有知識(shí)，經(jīng)歷直觀感受、觀察發(fā)現(xiàn)、空間想象、歸納類比、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程，使其得到充分的表達(dá)和應(yīng)用；再次，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)過程經(jīng)歷由模糊到清晰，從片斷到整體，從不和諧到和諧，

32、從不平衡到平衡，從零碎到系統(tǒng)，從無到有，形成理性思考的習(xí)慣。思維能力得以較充分的開展，從中提出一系列的新問題，開闊學(xué)生的思路，營(yíng)造獨(dú)立的探究活動(dòng)空間，串聯(lián)本章節(jié)的主要知識(shí)點(diǎn)，使知識(shí)來源自然，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。    (2)提供多樣選擇，培養(yǎng)發(fā)散思維    案例10解三角形。    問題：在一般三角形ABC中，a、b、c,A、B、C之間有何數(shù)量關(guān)系？    在問題提出后，留給學(xué)生足夠的思考時(shí)間。學(xué)生經(jīng)過思考討論給出以下四種解決途徑：    途徑1：通過大量一般三角形邊角值的測(cè)量，分析所得數(shù)據(jù)，歸納出邊角的一般關(guān)系此種研究方法表達(dá)了由特殊到一般的歸納式數(shù)學(xué)研究思想。    途徑2：將一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)行研究此種研究方法表達(dá)了數(shù)學(xué)中將未知化為、復(fù)雜化為簡(jiǎn)單的化歸思想。    途徑3：局部學(xué)生聯(lián)想到任意角的三角函數(shù)的定義方式，建立直角坐標(biāo)系研究其邊角關(guān)系表達(dá)了將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題