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文檔簡介
1、第十章第十章 正弦穩(wěn)態(tài)分析正弦穩(wěn)態(tài)分析 從本章開始,我們研究線性動態(tài)電路在正弦從本章開始,我們研究線性動態(tài)電路在正弦電源激勵下的響應。電源激勵下的響應。線性時不變動態(tài)電路在角頻線性時不變動態(tài)電路在角頻率為率為的正弦電壓源和電流源激勵下,隨著時間的的正弦電壓源和電流源激勵下,隨著時間的增長,當暫態(tài)響應消失,只剩下正弦穩(wěn)態(tài)響應,增長,當暫態(tài)響應消失,只剩下正弦穩(wěn)態(tài)響應,電路中全部電壓電流都是角頻率為電路中全部電壓電流都是角頻率為的正弦波時,的正弦波時,稱電路處于正弦穩(wěn)態(tài)稱電路處于正弦穩(wěn)態(tài)。滿足這類條件的動態(tài)電路。滿足這類條件的動態(tài)電路通常稱為正弦電流電路或正弦穩(wěn)態(tài)電路。通常稱為正弦電流電路或正弦穩(wěn)
2、態(tài)電路。 正弦穩(wěn)態(tài)分析的重要性在于:正弦穩(wěn)態(tài)分析的重要性在于: 1. 很多實際電路都工作于正弦穩(wěn)態(tài)。例如電很多實際電路都工作于正弦穩(wěn)態(tài)。例如電力系統(tǒng)的大多數(shù)電路。力系統(tǒng)的大多數(shù)電路。 2. 用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)十分有效。用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)十分有效。 3. 已知線性動態(tài)電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應,可以已知線性動態(tài)電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應,可以得到任意波形信號激勵下的響應。得到任意波形信號激勵下的響應。101 正弦電壓和電流正弦電壓和電流一、正弦電壓電流一、正弦電壓電流 ) 110)cos()(im(tIti(a) 初相初相 0的情況的情況 (b) 初相初相 =0的情況的情況 (c) 初相初相 0的情況的情況
3、 (b) 初相初相 =0的情況的情況 (c) 初相初相 00的情況的情況 (b) (b) 初相初相 =0=0的情況的情況 (c) (c) 初相初相 00時,表明時,表明i1(t)超前于電流超前于電流i2(t),超前的角,超前的角度為度為 ,超前的時間為,超前的時間為 /。當。當 = 1 - 20時,表明時,表明i1(t)滯滯后于電流后于電流i2(t),滯后的角度為,滯后的角度為| |,滯后的時間為,滯后的時間為| |/。圖。圖(a)表示電流表示電流i1(t)超前于電流超前于電流i2(t)的情況,圖的情況,圖(b)表示電流表示電流i1(t)滯滯后于電流后于電流i2(t)的情況。的情況。 同頻率正
4、弦電壓電流的相位差有幾種特殊的情況。同頻率正弦電壓電流的相位差有幾種特殊的情況。 1. 同相同相:如果相位差如果相位差 = 1- 2=0,稱電流稱電流i1(t)與電流與電流i2(t)同同相,如圖相,如圖(a)所示;所示; 2. 正交正交:如果相位差如果相位差 = 1- 2=/2,稱電流,稱電流i1(t)與電流與電流i2(t)正交,如圖正交,如圖(b)所示,圖中電流所示,圖中電流i1(t)超前電流超前電流i2(t)一個一個 /2 或或90; 3. 反相反相:如果相位差如果相位差 = 1- 2=,稱電流,稱電流i1(t)與電流與電流i2(t)反相,如圖反相,如圖(c)所示。所示。 圖圖10-4(a
5、) (a) 同相同相(b) (b) 正交正交(c) (c) 反相反相例例10-2 已知正弦電壓已知正弦電壓u(t)和電流和電流i1(t),i2(t)的瞬時值表達式的瞬時值表達式 為為 A )60cos(10)(A )45cos(5)(V )180cos(311)(21ttittittu 試求電壓試求電壓u(t)與電流與電流i1(t)和和i2(t)的相位差。的相位差。135)45() 180( 電壓電壓 u(t)與電流與電流i2(t)的相位差為的相位差為 24060)180( 習慣上將相位差的范圍控制在習慣上將相位差的范圍控制在 -180到到+180之間,之間,我們不說電壓我們不說電壓u(t)與
6、電流與電流i2(t)的相位差為的相位差為-240 ,而說電壓,而說電壓u(t)與電流與電流i2(t)的相位差為的相位差為(360 -240 )=120 。 解:電壓解:電壓u(t)與電流與電流i1(t)的相位差為的相位差為 A )60cos(10)(A )45cos(5)(V )180cos(311)(21ttittittu三、正弦電壓電流的相量表示三、正弦電壓電流的相量表示)cos()(mtUtu 利用它的振幅利用它的振幅Um和初相和初相來構成一個復數(shù),復數(shù)的模來構成一個復數(shù),復數(shù)的模表示電壓的振幅,其幅角表示電壓的初相,即表示電壓的振幅,其幅角表示電壓的初相,即 mjmmeUUU 分析正弦
7、穩(wěn)態(tài)的有效方法是相量法,分析正弦穩(wěn)態(tài)的有效方法是相量法,相量法的基礎是相量法的基礎是用一個稱為相量的向量或復數(shù)來表示正弦電壓和電流用一個稱為相量的向量或復數(shù)來表示正弦電壓和電流。假。假設正弦電壓為設正弦電壓為 它在復數(shù)平面上可以用一個有向線段來表示,如圖所它在復數(shù)平面上可以用一個有向線段來表示,如圖所示。這種用來表示正弦電壓和電流的復數(shù),稱為相量。示。這種用來表示正弦電壓和電流的復數(shù),稱為相量。 圖圖10-5mjmmeUUU 設想電壓相量以角速度設想電壓相量以角速度沿反時針方向旋轉,它在沿反時針方向旋轉,它在實軸投影為實軸投影為Umcos( t+),在虛軸上投影在虛軸上投影為為Umsin( t
8、+),它們都是時間它們都是時間的正弦函數(shù),的正弦函數(shù),如圖所示。如圖所示。 圖圖10-6 旋轉相量及其在實軸和虛軸上的投影旋轉相量及其在實軸和虛軸上的投影 將電壓相量將電壓相量eUUjmm 與旋轉因子與旋轉因子ej t=cos t+jsin t 相乘可以得到以下數(shù)學表達式相乘可以得到以下數(shù)學表達式)sin(j)cos( eemm)j(mtjmtUtUUUt 上式表明正弦電壓與電壓相量之間的關系為上式表明正弦電壓與電壓相量之間的關系為 ) sin( eIm) cos(eRemtjmmtjmtUUtUU 由此可得由此可得 )eRe() cos()( jmmtUtUtu 由上述可見,由上述可見,一個
9、隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓和電一個隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓和電流,可以用一個稱為相量的復數(shù)來表示流,可以用一個稱為相量的復數(shù)來表示。已知正弦電壓電。已知正弦電壓電流的瞬時值表達式,可以得到相應的電壓電流相量。反過流的瞬時值表達式,可以得到相應的電壓電流相量。反過來,已知電壓電流相量,也能夠寫出正弦電壓電流的瞬時來,已知電壓電流相量,也能夠寫出正弦電壓電流的瞬時值表達式。即值表達式。即 immimummum) cos()() cos()(IItItiUUtUtu例例10-3 已知正弦電流已知正弦電流i1(t)=5cos(314t+60 )A, i2(t)=-10sin(314t+60 )A。
10、寫出這兩個正弦電流的電流相量,畫出相量圖,并寫出這兩個正弦電流的電流相量,畫出相量圖,并 求出求出i(t)=i1(t)+i2(t)。AReAee5ReA)60 314cos(5)(314jm1314j60j1tteItti 得到表示正弦電流得到表示正弦電流i1(t)=5cos(314t+60 )A的相量為的相量為 A605Ae560jm1I解:根據(jù)以下關系解:根據(jù)以下關系 正弦電流與其電流相量的關系可以簡單表示為正弦電流與其電流相量的關系可以簡單表示為 A605Ae5A)60314cos(5)(60j1m1Itti 與此相似,對于正弦電流與此相似,對于正弦電流i2(t)=-10sin(314t
11、+60 )A可以可以得到以下結果得到以下結果 三角公式三角公式 sinx=cos(x-90 )A15010A)18030314cos(10 A)9060314cos(10 A)60314sin(10)(m22Itttti 注意:今后在用相量法分析電路時,應該將各正弦電壓注意:今后在用相量法分析電路時,應該將各正弦電壓電流的瞬時表達式全部用余弦函數(shù)電流的瞬時表達式全部用余弦函數(shù)(正弦函數(shù)正弦函數(shù))表示。表示。 將各電流相量將各電流相量 和和 畫在一畫在一個復數(shù)平面上,就得到相量圖個復數(shù)平面上,就得到相量圖,從相量圖上容易看出各正,從相量圖上容易看出各正弦電壓電流的相位關系。弦電壓電流的相位關系。
12、A6051mIA15010m2I圖圖 10-7 相量圖的另外一個好處是可以用向量和復數(shù)的運算法相量圖的另外一個好處是可以用向量和復數(shù)的運算法則求得幾個同頻率正弦電壓或電流之和。則求得幾個同頻率正弦電壓或電流之和。 例如用向量運算的平行四邊形作圖法則可以得到電流例如用向量運算的平行四邊形作圖法則可以得到電流相量,從而知道電流相量,從而知道電流i(t)=Imcos(314t+)的振幅大約為的振幅大約為12A,初相大約為初相大約為124。作圖法的優(yōu)點是簡單直觀,但不精確。作圖法的優(yōu)點是簡單直觀,但不精確。圖圖 10-7A4 .1238 .11 )33. 9 j16. 6( ) 5 j66. 8()3
13、3. 4 j5 . 2( 15010605m2m1mIII 采用復數(shù)運算可以得到更精確的結果采用復數(shù)運算可以得到更精確的結果A)4 .123314cos(8 .11)314cos()()()(m21ttItititi圖圖 10-7四、正弦電壓、電流的有效值四、正弦電壓、電流的有效值TtRtiRTIW 0 22d)( 現(xiàn)在將直流電流現(xiàn)在將直流電流I和正弦電流和正弦電流i(t)通過電阻通過電阻R時的能量作時的能量作一比較,由此導出正弦電壓電流的有效值,它是一個十分一比較,由此導出正弦電壓電流的有效值,它是一個十分有用的量。有用的量。 直流電流直流電流I和正弦電流和正弦電流i(t)=Imcos( t
14、+)通過同一電阻通過同一電阻R,令它們在時間令它們在時間T內(nèi)獲得的能量相等內(nèi)獲得的能量相等 由此解得由此解得 )410()d(1 0 2TttiTI 用此式計算出正弦電流用此式計算出正弦電流i(t)=Imcos( t+)的方均根值,的方均根值,稱為稱為正弦電流的有效值正弦電流的有效值。具體計算如下。具體計算如下 )510(707. 02 )d2t(2cos1 211 )dt(cos1 )d(1mm 0 2m 0 22m 0 2IItITtITttiTITTTxx2cos1cos22 與此相似,正弦電壓與此相似,正弦電壓u(t)=Umcos( t+)的有效值為的有效值為 )610(707. 02
15、 )d(1mm 0 2UUttuTUT 計算結果表明,振幅為計算結果表明,振幅為Im的正弦電流與數(shù)值為的正弦電流與數(shù)值為I=0.707Im 的直流電流,在一個周期內(nèi),對電阻的直流電流,在一個周期內(nèi),對電阻R提供相同提供相同的能量。也就是說正弦電壓電流的有效值為振幅值的的能量。也就是說正弦電壓電流的有效值為振幅值的0.707倍,或者說正弦電壓電流的振幅是其有效值的倍,或者說正弦電壓電流的振幅是其有效值的 倍。倍。 2 有效值的概念在電力工程上非常有用,常用的交流電有效值的概念在電力工程上非常有用,常用的交流電壓表和電流表都是用有效值來進行刻度的,當我們用交流壓表和電流表都是用有效值來進行刻度的,
16、當我們用交流電壓表或普通萬用表測量正弦電壓的讀數(shù)為電壓表或普通萬用表測量正弦電壓的讀數(shù)為220V時,是指時,是指該電壓的有效值為該電壓的有效值為220V,其振幅值為,其振幅值為 V311V2202iiuu)cos(2)()cos(2)(IItItiUUtUtu 由于正弦電壓電流的振幅值與有效值間存在由于正弦電壓電流的振幅值與有效值間存在 的關系,的關系,今后除了使用前面介紹的振幅相量今后除了使用前面介紹的振幅相量 和和外,更多使用的是有效值相量外,更多使用的是有效值相量 和和 。正弦。正弦時間函數(shù)與有效值相量之間的關系如下:時間函數(shù)與有效值相量之間的關系如下: 2ummUUimmIIuUUiII 有效值的概念也適用于任何周期性電壓和電流。例如有效值的概念也適用于任何周期性電壓和電流。例如對于圖對于圖10-8(a)所示三角波形,將瞬時值表達式所示三角波形,將瞬時值表達式 tTAtg)( 代入式代入式(104)中中 3)(311 d1 )d(10322 0 2 0 2AtTATttTATttgTGTTT 計算結果表明該三角波形的有效值是振幅值是的計算結果表明該三角波形的有效值是振幅值是的 倍,或者說其振幅值是有效值的倍,或者說其振幅值是有效
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