第6章離散傅里葉級數(shù)、離散時間傅里葉變換與DFT

1、第第6章章 離散傅里葉級數(shù)、離散時間傅里葉變換與離散傅里葉級數(shù)、離散時間傅里葉變換與DFT 6.1 信號抽樣及抽樣定理信號抽樣及抽樣定理6.2 周期離散時間信號的離散傅里葉周期離散時間信號的離散傅里葉級數(shù)表示及系統(tǒng)響應(yīng)級數(shù)表示及系統(tǒng)響應(yīng) 6.3 非周期離散時間信號的離散時間非周期離散時間信號的離散時間傅里葉變換及系統(tǒng)響應(yīng)傅里葉變換及系統(tǒng)響應(yīng) 6.4 離散傅里葉變換離散傅里葉變換 6 .1 信號抽樣及抽樣定理信號抽樣及抽樣定理 在許多實際問題中，常常需要將連續(xù)時間信號變?yōu)殡x散時間信號，這就要對信號進(jìn)行抽樣（取樣或采樣）。 對信號的抽樣過程可概括為利用抽樣脈沖序列 從連續(xù)時間信號 中“抽取”一系列

2、離散樣值的過程，這樣得到的離散信號通常稱為抽樣信號抽樣信號或取樣信號取樣信號，用表示 ，如圖6.1-1所示。 抽樣后的信號 （6.1-1）式中，抽樣脈沖序列 也稱為開關(guān)函數(shù)開關(guān)函數(shù)。如其各脈沖間隔時間相同，均為 ，則稱為均勻抽樣均勻抽樣。 稱為抽樣（取樣）周期抽樣（取樣）周期， 稱為抽樣頻率抽樣頻率或抽樣率抽樣率， 稱為抽樣角頻率抽樣角頻率。)(ts)(tf)(tfs)()()(tstftfs)(tssTsTssTf1ssf2圖6.1-1 連續(xù)時間信號抽樣為離散時間信號 抽樣信號的頻譜抽樣信號的頻譜 (1)設(shè)抽樣脈沖序列 是周期沖激函數(shù)序列 ， ，抽樣沖激序列的頻譜函數(shù)為 抽樣后的信號為 抽樣

3、后的信號的頻譜則為 如果信號 的頻譜 為如圖6.1-2(a)所示，當(dāng)時，抽樣信號 的頻譜函數(shù) 如圖6.1-2(b)所示。 )(tsnsTnTtt)()(ssT2nsssTntFtsFss)()()()()()()()()(ttftstftfsTsnssTsnjFtFtfFjFs)(*)(21)(*)(21)(nssnssnjFTnjFT)(1)(*)(1)(tf)(jF)(tfs)(jFsms2抽樣信號的頻譜抽樣信號的頻譜 (a) (b) 圖6.1-2 抽樣信號 的頻譜 )(tfs抽樣信號的頻譜抽樣信號的頻譜(2)如果抽樣脈沖序列 是窄脈沖序列，即它是幅度為1，脈寬為的門序列，如圖6.1-3所

4、示。圖6.1-3 抽樣脈沖序列 是門函數(shù)序列 可寫為 窄脈沖序列的傅里葉變換為 )(ts)(ts)(tsssnsTTnTtgtpts2, )()()(nsssTnnSaTtpFjP)(22)()(抽樣信號的頻譜抽樣信號的頻譜 抽樣后信號 是 與開關(guān)信號 的乘積： 抽樣后信號 的頻譜函數(shù) 為： 如果信號 的頻譜 為如圖6.1-4(a)所示，當(dāng) 時，抽樣后信號 的頻譜函數(shù) 如圖6.1-4(b)所示。 )(tfs)(tf)(tpT)()()()()(tptftstftfTs)(tfs)(jFsnsssnssssnjFnSaTjFnSaTjF)(2)(*)(2)()(tf)(jFms2)(tfs)(j

5、Fs抽樣信號的頻譜抽樣信號的頻譜 (a) (b)圖6.1-4 信號的頻譜 由此可見，抽樣信號 的頻譜函數(shù) 由原信號的頻譜 的無限個頻移所組成，其頻移的角頻率為 。)(tfs)(jFs)(tf)(jFsn), 2, 1, 0(n 如果信號 的頻帶是有限的，這樣的信號稱為有限頻帶有限頻帶信號信號或簡稱帶限信號帶限信號。 如果信號 的頻帶是有限的，就是說，信號 的頻譜只在區(qū)間 為有限值，如果取樣角頻率 ，那么，由原信號 的頻譜 的無限個頻移所組成的頻譜函數(shù) 中各頻移的頻譜不會相互重疊。如果 ，那么各頻移的頻譜將相互重疊，頻譜重疊的這種現(xiàn)象稱為混疊現(xiàn)象混疊現(xiàn)象。 如果由原信號 的頻譜 的無限個頻移所組

6、成的頻譜函數(shù) 中各頻移的頻譜不相互重疊，則可利用低通濾波器，從 中得到 ，從而恢復(fù)原信號 。 為了從抽樣后的離散信號恢復(fù)原連續(xù)信號，其系統(tǒng)實現(xiàn)框圖如圖6.1-5所示。 圖6.1-5 從抽樣后的離散信號恢復(fù) 原連續(xù)信號的系統(tǒng)實現(xiàn)框圖)(tf)(tf)(tf)(tf)(tf)(tf),(mmms2)(jF)(jFsms2)(jF)(jFs)(jFs)(jF 從抽樣后的離散信號頻譜 中無失真地選出原連續(xù)信號的頻譜 ，可用一截止頻率 的理想低通濾波器。 若選理想低通濾波器的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為 且選 ，如圖6.1-6所示。 圖6.1-6 理想低通濾波器的傳輸函數(shù)頻譜 利用傅氏變換的對稱性，得理想低通濾波器的沖激

7、響應(yīng)為 若選 ，則 )(jFs)(jFcmccsTjH,0,)(cm)()(tSaTthccs2smc)21()(tSaths 由于抽樣后的信號抽樣后的信號通過理想低通濾波器后，輸出信號為 （6.1-2） 由此表明，連續(xù)信號 可以展開成正交抽樣函數(shù)（Sa函數(shù)）的無窮級數(shù)，該級數(shù)的系數(shù)等于抽樣值 。即，若在抽樣信號 的每個樣點處，畫一個峰值為 的Sa的函數(shù)波形，那么其合成波就是原信號 ，因此只要知道各抽樣值 ，就能唯一地確定出原信號。這也稱為采樣內(nèi)插，這一公式中 稱為內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)。nssnsnssnTtnTfnTttfnTttftf)()()()()()()(nssnsssnssssntSa

8、nTfnTtSanTftSanTtnTfthtftf2)()(2)(2*)()()(*)()()(tf)(snTf)(snTf)(snTf)(tf)(snTf)(snTtg抽樣定理抽樣定理 時域抽樣定理時域抽樣定理： 一個頻譜在區(qū)間 以外為零的有限頻帶信號 ，可唯一地由其在均勻間隔 上的樣點值 所確定。 由時域抽樣定理可知：為了能從抽樣信號 恢復(fù)原信號 必須滿足兩個條件： 信號 必須是限帶信號，其頻譜函數(shù)在 時為零； 抽樣頻率不能太低，必須 （或 ），或者說抽樣間隔不能太長，必須 。 通常把最低允許抽樣頻率 稱為奈奎斯特頻率奈奎斯特頻率，把最大允許抽樣間隔 稱為奈奎斯特間隔奈奎斯特間隔。),(

9、mm)(tfmssfTT21)(snTf)(tfs)(tf)(tfmms2msff2msfT21msff2mmsfT21頻域抽樣定理頻域抽樣定理 頻域抽樣定理頻域抽樣定理： 一個在時間區(qū)域 以外為零的有限時間信號 的頻譜函數(shù) ，可唯一地由其在均勻頻率間隔 上的樣點值 所確定。且有 （6.1-3）式中 。 ),(mmtt)(tf)(jFmsstff21)(sjnFnmmntSatnjFjF)()(smft21模擬信號數(shù)字化處理系統(tǒng)模擬信號數(shù)字化處理系統(tǒng) 模擬信號數(shù)字化處理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6.1-7所示的結(jié)構(gòu)，它由模數(shù)轉(zhuǎn)換、數(shù)字信號處理和數(shù)模轉(zhuǎn)換三部分組成。圖圖6.1-7 模擬信號數(shù)字化處理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模

10、擬信號數(shù)字化處理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（1）模數(shù)轉(zhuǎn)換：要對模擬信號實現(xiàn)數(shù)字化處理，首先要將模擬信號離散化。在實際中，讓模擬信號通過一個A/D轉(zhuǎn)換器就實現(xiàn)了信號數(shù)字化。A/D轉(zhuǎn)換器是一個具有取樣、量化和編碼功能的采樣保持電路。由于本書主要關(guān)心的是模擬信號轉(zhuǎn)化為離散信號的問題，所認(rèn)下面僅僅把A/D轉(zhuǎn)換器看作一個采樣器，采樣器可用一個開關(guān)表示。 模擬信號數(shù)字化處理系統(tǒng)模擬信號數(shù)字化處理系統(tǒng)（2）數(shù)字信號處理： 通過A/D轉(zhuǎn)換以后，模擬信號被轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號，數(shù)字信號處理由離散系統(tǒng)完成，包括傳輸、數(shù)字濾波等，輸入是離散信號，輸出也是離散信號。（3）數(shù)模轉(zhuǎn)換： 數(shù)字信號處理輸出的離散信號需要通過一個模擬恢復(fù)濾波器再轉(zhuǎn)換

11、成模擬信號。一般常應(yīng)用的模擬恢復(fù)濾波器有低通濾波器、零階保持電路和RC濾波器，通常稱為數(shù)模轉(zhuǎn)換器（常簡稱D/A）。 零階保持電路零階保持電路 一個零階保持電路方框圖如圖6.1-8所示。 圖圖6.1-8 零階保持電路零階保持電路 一個零階保持電路就是由取樣值再現(xiàn)為連續(xù)信號的一個粗糙的復(fù)制器，如果輸入為 的取樣信號 ，則其輸出為一個與相似的階梯信號，如圖6.1-9所示。 圖圖6.1-9 零階保持電路的輸出零階保持電路的輸出)(tf)(tfs tf零階保持電路零階保持電路 由零階保持電路方框圖，可得： 。零階保持電路的頻率特性 即 由 幅頻特性可以看出，零階保持電路具有低通特性，如圖6.1-10所示

12、。 圖圖6.1-10 零階保持電路零階保持電路 幅頻特性幅頻特性)()()(Ttututh2)(1)(TjTjejHjejH)2(2)2sin()cos1 (2sincos1)(TsaTTTTTTjTjH)(jH)(jH【例【例6.1-1】求對應(yīng)下列信號的奈奎斯特頻率?！壳髮?yīng)下列信號的奈奎斯特頻率。(1) (2) (3) 解：根據(jù)時域抽樣定理，(1) 因為 ，故 。(2) 由于 ，(3) 由于 , ； 若取3db截止角頻率 ，則 。)4000sin()2000cos(1)(tttxtttx)4000sin()(2)4000sin()(tttxms24000m8000s4000|04000|)

13、()4000sin()(1AFtttx80004000sm，2)4000sin()(tttx8000|08000|)20|1 ()()(21)(11BFFF16000s800032c10000s【例【例6.1-2】 已知已知 ，現(xiàn)用采樣頻率，現(xiàn)用采樣頻率對信號進(jìn)行采樣，試畫出采樣后信號的頻譜。為使采樣信號通對信號進(jìn)行采樣，試畫出采樣后信號的頻譜。為使采樣信號通過一個理想低通濾波器后的頻譜為過一個理想低通濾波器后的頻譜為 ，試求，試求理想低通濾波器的傳輸函數(shù)。理想低通濾波器的傳輸函數(shù)。解: 因 ，而 ， 信號的頻譜如圖6.1-11所示。 又因 采樣后信號的頻譜如圖6.1-12所示。 要求通過一個

14、理想低通濾波器后的信號頻譜為 ，故理想低通濾波器 。) 110(cos)(101)(2tttf30scFG|),(5)(1222)5()5(sin5) 110(cos)(101)(tttttf)(515)5sin(10gtt10|010|10|1)(51)(51(521)(1010ggF)30(15)(1)(nFnFTGss)(5)()(jFjHG10,010,3/1)( jH圖圖6.1-11 信號的頻譜信號的頻譜 圖圖6.1-12 采樣后信號的頻譜采樣后信號的頻譜 6.2 周期離散時間信號的離散傅里葉級數(shù)周期離散時間信號的離散傅里葉級數(shù)表示及系統(tǒng)響應(yīng)表示及系統(tǒng)響應(yīng) 6.2.1 周期序列的離散

15、傅里葉級數(shù)表示周期序列的離散傅里葉級數(shù)表示 6.2.2 線性移位不變離散時間系統(tǒng)線性移位不變離散時間系統(tǒng) 對周期序列的響應(yīng)對周期序列的響應(yīng)6.2.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù)表示周期序列的離散傅里葉級數(shù)表示 一個周期的離散時間信號滿足 （6.2-1）式中N是某一正整數(shù)，是 的周期。 我們來研究復(fù)指數(shù)序列 ，因為它是周期序列，其周期為N，基波頻率為 （6.2-2） 呈諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列集（6.2-3）也是周期序列，其中每個分量的頻率是 的整數(shù)倍。 NkxkxkxkNje)/2(N/20,.2, 1, 0,/2nekNkjnn0 值得注意的是，在一個周期為N的復(fù)指數(shù)序列中，只有N個復(fù)指數(shù)序列是獨

16、立的， 等N個是互不相同的。這是因為 。這與連續(xù)時間復(fù)指數(shù)函數(shù)集 中有無限多個互不相同的復(fù)指函數(shù)是不同的。 對于任一個基波周期為N的周期序列 可用N個成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列的加權(quán)和表示。即 （6.2-4）式中，求和限 表示求和僅需包括N項， 。 將周期序列表示成式（6.2-4）的形式就稱為離散傅里葉級數(shù)表達(dá)。而系數(shù) 則稱為離散傅里葉系數(shù)離散傅里葉系數(shù)。,.,110kkkkkkkrNnNnn3,. 2, 1, 0, =k ,0tjkekxNnNnNkjnnnneCkCkx/2 Nn1,.,2 , 1 , 0NnnC離散傅里葉系數(shù)的兩種求解方法離散傅里葉系數(shù)的兩種求解方法 1.解聯(lián)立方程法 如果已

17、知 在任一基波周期N內(nèi)的N個值（樣本），即 則由式（6.2-4）可得N個方程： 聯(lián)解這一組方程，就可得系數(shù) 。nCkx,1.,2,1 ,0NxxxxNnNnCCCCx110.0NNjNNnNjNjnneCeCCeCx/ )1(21/210)/2( 1 NNjNNNjNnNNnjneCeCCeCNx/)1(21/ )1(210/ )1(22. 1nCnC離散傅里葉系數(shù)的兩種求解方法離散傅里葉系數(shù)的兩種求解方法2.正交函數(shù)系數(shù)法 與連續(xù)傅里葉系數(shù)求和類似，利用復(fù)指數(shù)序列 周期序列的正交特性，可得： （6.2-5） 式（6.2-4）和（6.2-5）確定了周期離散時間信號 和其傅里葉系數(shù) 之間的關(guān)系，

18、可記為 （6.2-6） 傅里葉系數(shù) 也稱為 的頻譜系數(shù)?？梢院唵巫C明：（6.2-7） 由于 ，可以說 以2為周期，或者說它是以N為周期的離散頻率序列，這表明周期的離散時間函數(shù)對應(yīng)于頻域為周期的離散頻率函數(shù)。 且當(dāng) 為實序列時，對所有的n值，存在關(guān)系 。nCnNje)/2(kNjnNknekxNC)/2(1kxnCnCkxnCkxNnnCCNn/2nCkx*nnCC【例【例6.2-1】一個連續(xù)信號】一個連續(xù)信號 ，以采樣，以采樣頻率頻率 進(jìn)行采樣，采樣后的離散時間序列為進(jìn)行采樣，采樣后的離散時間序列為 ，試計，試計算的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)。算的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)。解： 以采樣頻率 對 進(jìn)行采樣后，

19、得 ， 因第一項的周期為10，因第二項的周期為4，最小公倍數(shù)為20，故 的周期為20。 將 展開為離散傅里葉級數(shù)，即 。故 的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)為 ， ， 。 )500cos()200cos()(tBtAtxHzfs1000kxHzfs1000)(tx)2cos()5cos(kBkAkxkxkxkjkjkjkjeBeBeAeAkx1520252021820222022222kx2182ACC2155BCC其它值, 0為nCn【例【例6.2-2】分析一個周期序列】分析一個周期序列 的離散傅里葉級數(shù)。的離散傅里葉級數(shù)。解： （1）當(dāng) 為一個整數(shù)時， 是一個周期為N的序列，將直接開展成復(fù)指數(shù)形式，得

20、 。故 ，一個周期內(nèi)有一對譜線出現(xiàn)在 處。（2）當(dāng) 為一個有理分?jǐn)?shù)時， 是一個基波周期為的序列，將 直接開展成復(fù)指數(shù)形式，得 。故 ，即一個周期內(nèi)有一對譜線出現(xiàn)在 處。（3）當(dāng) 為一個無理數(shù)時， 不是一個周期序列，不宜將展成離散傅里葉級數(shù)形式。 kkx0sin02N02N02Nkkx0sinkkx0sinkkx0sinkxjeekxkNjkNj2/ )/2()/2(,.13 , 12 , 1, 1,21,21NNNnjCjCnn1kxjeekxkNmjkNmj2/ )/2()/2(,2 ,2 ,21,21mNmNmNmnjCjCnnmkx【例【例6.2-3】已知】已知 , 式中式中N為整數(shù)，求

21、其頻譜。為整數(shù)，求其頻譜。解: 這個信號是周期的，其周期為N。將 直接開展成復(fù)指數(shù)形式，得 將相應(yīng)項歸并后，得 可得而在長度為N的周期內(nèi)，其余系數(shù)均為0。)2/4cos()/2cos(3)/2sin(1NkkNkNkxkx2/ 32/ 1)/2()/2()/2()/2(kNjkNjkNjkNjeejeekx2/ )2/4()2/4(NkjNkjeekNjkNjejejkx)/2()/2()2/12/3()2/12/3(1kNjjkNjjeeee)/2(22/)/2(22/)2/()2/(*11102/12/3,2/12/3, 1CjCjCC*2222/1, 2/1CjCjC【例【例6.2-4】

22、計算圖】計算圖6.2-1所示周期序列的頻譜。所示周期序列的頻譜。解： 從圖6.2-1中可見，這個序列是對 軸對稱的。因此，求和時選擇一個對稱區(qū)間比較方便。故 令 則： 圖圖6.2-1 一個周期序列一個周期序列 利用有限項幾何級數(shù)求和公式 ， 可得：0n11)/2(2/2/)/2(11NNnnNjkNNnnNjkkeNenxNC,1Nnm111120)/2()/2(20)(/2(11NmmNjkNNjkNmNmNjkkeeNeNC1011MmMmaaa)()(1)11(12/22/22/2/ )2/1(2/ )2/1(2)2/1(2)/2()/2()12)(/2()/2(111111NkjNkj

23、NkjNNkjNNkjNjNNjNjkNNjkNNjkkeeeeeeeNeeeNC,.2, 0,/ ) 12(,.2, 0,)/sin(/ )2/1(2sin(111NNkNNNNkNkNNkN6.2.2 線性移位不變離散時間系統(tǒng)對周期序列的響應(yīng)線性移位不變離散時間系統(tǒng)對周期序列的響應(yīng) 線性移位不變（LTI）離散時間系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)序列的響應(yīng)。與連續(xù)時間情況一樣，用復(fù)指數(shù)序列作為基本信號是因為它是線性移位不變離散時間系統(tǒng)的特征函數(shù)。即若在線性移位不變系統(tǒng)輸入 ，則輸出 （6.2-8） 令 （6.2-9） 可見，若 是一個復(fù)指數(shù)序列 ，則輸出 就是同樣的復(fù)指數(shù)序列 乘以常數(shù) 。 又稱為離散系統(tǒng)傳輸函

24、數(shù)，根據(jù) 的定義，也稱 為 的Z變換。 kzknnknnkzzHznhzznhkxkhky)(*nnznhzH)(kxkzky)(zH)(zHnnznhzH)()(zHkhkx 如果令 ，則系統(tǒng)輸出為（6.2-10）若 ，則 （6.2-11） 可見，系統(tǒng)的輸出是N個成諧波關(guān)系復(fù)指數(shù)序列的加權(quán)和，每一個復(fù)指數(shù)序列的系數(shù)是相應(yīng)的輸入序列的系數(shù) 乘以 。 當(dāng)輸入信號為 ， (6.2-12) 當(dāng)輸入正弦序列 時，這里 ，f是輸入信號頻率，T是取樣信號周期，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為 (6.2-13)kjnjezkxez,kjjkjeeHezHky)()(NeCkxkjNnn/2,0kjjNnneeHCky)(n

25、C)/2(nNkjeHkuAekxkj)()()()(kueeHAkueeAHkuezAHkyTjeHkjjkjjkj)sin(kuTkAkxf2sinkueHTkeHAkyjwTTj穩(wěn)態(tài) 可見，若當(dāng)離散系統(tǒng)的輸入是角頻率為 ，取樣周期為T的復(fù)指數(shù)序列（或正弦序列）時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也應(yīng)該是同頻率、同取樣周期的復(fù)指數(shù)序列（或正弦序列），它的模被乘上了在點 上計算的 的模，它的相位增加了該信號通過系統(tǒng)時產(chǎn)生的相移 。 當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時， 就稱為離散系統(tǒng)的頻率特性，這里 稱為系統(tǒng)在頻率為 時的頻率特性，或表達(dá)為 ，其中 稱為在頻率為 時的幅頻特性， 稱為在頻率為 時的相頻特性。jwTez jwTeHj

26、wTdeH)(jezjzHeH| )()(TjezjwTzHeH| )(T)()()(djdTjeHeH)()(jwTdeHHTjwTdeH)(T【例【例6.2-5】一個周期序列】一個周期序列 的周期為的周期為8，其離散傅里葉級數(shù)的，其離散傅里葉級數(shù)的系數(shù)系數(shù) ，該周期序列通過系統(tǒng)后輸出為，該周期序列通過系統(tǒng)后輸出為 ，且有，且有 。試求。試求 的離散傅里葉級數(shù)的系數(shù)及系統(tǒng)傳的離散傅里葉級數(shù)的系數(shù)及系統(tǒng)傳輸函數(shù)。輸函數(shù)。解：因周期序列 的周期為8， 的離散傅里葉級數(shù)的系數(shù)為 ， ，其離散傅里葉級數(shù)的系數(shù)為 ， 因 ，故 的離散傅里葉級數(shù)的系數(shù)為 ， 的離散傅里葉級數(shù)的系數(shù)為 。 根據(jù) ，可得系

27、統(tǒng)傳輸函數(shù)為： kx4nnCCky 12) 1(1kxkykkykx 1 kxnjneC82kjkekxkx 1 1) 1()4(824njneC4nnCC 1) 1(kxknjneC82 12) 1(1kxkyknjneC82NnnNjkNnjneeHCky)/2(/2)(8282)(njnjeeH【例【例6.2-6】試求以下系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅頻特性和相頻特性。】試求以下系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅頻特性和相頻特性。解： 根據(jù) 可求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：令 ，有 115 . 011)(zzzH)(zHTjTTjTeezHeHTjTjezTjTjsin5 . 0cos5 . 01sincos15 . 011)

28、()(jjeTTTeT2222)sin5 . 0()cos5 . 01 (sin)cos1 (jTjjTjAeeBee5 . 01,1)cos1 (2sin)cos1 (22TTTBTTTAcos25. 1)sin5 . 0()cos5 . 01 (22TTarctgTTarctgcos5 . 01sin5 . 0,cos1sin 又 可得幅頻特性為 相頻特性為分別如圖6.2-2(a)和(b)所示。 (a)幅頻幅頻 (b) 相頻相頻 圖圖6.2-2 由幅頻和相頻特性可見，它們都是以 周期重復(fù)變化的連續(xù)頻譜。 )()()(djdTjeHeHTTABHdcos25. 1)cos1 (2)(TTTT

29、TTdcos1sin3arctancos5 . 01sin5 . 0arctancos1sinarctan)(T2【例【例6.2-7】某一離散系統(tǒng)脈沖響應(yīng)】某一離散系統(tǒng)脈沖響應(yīng) ，當(dāng)輸，當(dāng)輸入入 ，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：先求出 根據(jù)無窮項幾何級數(shù)求和公式 ， 得到 故 設(shè) ，N為一個整數(shù)， 是一個周期為N的序列，將 直接開展成復(fù)指數(shù)形式，得故即一個周期內(nèi)有一對譜線出現(xiàn)在處。11,akuakhk)/2cos(Nkkx0)(kkkkkzazkhzH011mmrr111)(azzH)/2(/211| )()(/2NjezNjaezHeHNjN20kxkx2/ )()/2()/

30、2(kNjkNjeekx, 13 , 12 , 1, 1,21,21NNNnCCnn 求系統(tǒng)響應(yīng)得 若令 ，則 若 N=4， ， 則 ， 所以 kNjNjkNjNjeeHeeHky)/2(/2)/2(/2)(21)(21kNjNjkNjNjeaeeae)/2(/2)/2(/211211121jNjreae/211jNjreae/211)/2cos(2121)/2()/2(NkrrerekyNkjNkjjaaej11114/2aararctan,112)arctan/2cos(112aNkaky【例【例6.2-8】 一個一個LTI離散系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù) ，系，系統(tǒng)的輸入為幅度等于統(tǒng)

31、的輸入為幅度等于10V，頻率為，頻率為100Hz的正弦序列，設(shè)抽樣的正弦序列，設(shè)抽樣頻率為頻率為1200Hz，求其穩(wěn)態(tài)輸出。，求其穩(wěn)態(tài)輸出。解：因輸入信號幅度 ，輸入頻率 ， 抽樣頻率 ， 故 ，輸入信號表達(dá)為 。 根據(jù)系統(tǒng)函數(shù) ，可得： 將 代入求出 和 。 根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為故可得系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)輸出 。111( )0.41 0.2zH zzVA10Hzf100HzT1200/162fTT)122sin(10kukkx111( )0.41 0.2zH zz11)(2 . 01)(14 . 0)()(TjTjezTjeezHeHTj62fTT11)(2 . 01)(14 . 0)(TjTjT

32、jeeeH924. 0)(TjeH9 .21)(TjeHsinkueHTkeHAkyjwTTj穩(wěn)態(tài)9 .216sin24. 9kukky穩(wěn)態(tài)6.3 非周期離散時間信號的離散時間傅里葉非周期離散時間信號的離散時間傅里葉變換及系統(tǒng)響應(yīng)變換及系統(tǒng)響應(yīng) 6.3.1 非周期序列的離散時間非周期序列的離散時間傅里葉變換表達(dá)傅里葉變換表達(dá)6.3.2 線性移位不變離散時間系統(tǒng)線性移位不變離散時間系統(tǒng)對非周期序列的響應(yīng)對非周期序列的響應(yīng) 6.3.1 非周期序列的離散時間傅里葉變換表達(dá)非周期序列的離散時間傅里葉變換表達(dá) 對于一個非周期序列 ，可以看成是一個周期序列 ，其周期為N，令N 時，非周期序列和周期序列相同

33、。這樣，若在周期序列的離散傅里葉級數(shù)里令N ，則此級數(shù)的極限也就是非周期序列。 因周期序列 的離散傅里葉級數(shù)對為 ， 因 ，在區(qū)間（-N/2，N/2）內(nèi)，非周期序列 =周期序列 ，在極限的情況下，N ，上式可表達(dá)為（6.3-1）kxkxkx2/2/)/2(NNnkNjnneCkx2/2/)/2(1NNknNjknekxNCNk /2kxkxkkjnekxNC 我們定義 的包絡(luò) 為（6.3-2）稱為非周期序列 的離散時間傅里葉變換， 是周期為的連續(xù)頻率函數(shù)，也稱為非周期序列 的頻譜密度函數(shù)。 同樣，在極限的情況下， ， 。 故 （6.3-3） 顯然，如果 絕對可和，即 ，則離散時間傅里葉變換的收

34、斂條件為序列絕對可和。 nNC)(jeXkkjjekxeX)(kx)(jeX2kxdN200ndeeXkxkjj)(21kxkkx一個周期序列和一個非周期序列的關(guān)系一個周期序列和一個非周期序列的關(guān)系 一個非周期序列 可以看成是周期序列 中的一個周期，即： 。 若周期序列 ，非周期序列 ，即非周期序列 的離散時間傅里葉變換 是周期序列 的離散傅里葉系數(shù) 的包絡(luò)函數(shù)，周期序列 的離散傅里葉系數(shù) 是非周期序列 的離散時間傅里葉變換 的抽樣值。即（6.3-4）kxkx1, ,0NMkMkxkx周期序列其他nCkx)(jeXkxkx)(jeXkxnNCkxnCkx)(1jeXNNnjneXNC/2)(1

35、 表示周期序列的頻譜。此頻譜是離散的、周期的，其頻譜周期為N 。 表示非周期序列 的頻譜密度函數(shù)。此頻譜是連續(xù)、周期的、其頻譜周期為 。 當(dāng)然，一個周期內(nèi)周期序列 ，因 ， 的一個周期內(nèi)離散傅里葉頻譜也可表達(dá)為頻譜密度函數(shù)的形式： （6.3-5） nC)(jeXkx22/2/)/2(NNnkNjnkeCkx)/2(2)/2(NnjenNjkkx)/2(2)(2/2/NnCeXnNNnj【例【例6.3-1】求圖】求圖6.3-1(a)所示序列的頻譜。所示序列的頻譜。解： 從圖中可見，這個序列是對稱的非周期方波序列， ， 故該非周期方波序列的頻譜如圖6.3-1 (b)所示。 (a) (b) 圖6.3

36、-1 21N)2/sin()2/1(sin()(122NeeXnnjjnx)(jeX【例【例6.3-2】計算序列】計算序列 的頻譜密度函數(shù)，并簡述其的頻譜密度函數(shù)，并簡述其幅頻及相頻特性。幅頻及相頻特性。 解： 其中振幅頻譜為 相位頻譜為 振幅頻譜和相位頻譜如圖6.3-2 (a)和 (b)所示。kuakxk)(0| )(|)sin(cos1111)(jjjkkjkkkjkjeeXjaaeeaekuaeXcos211| )(|2aaeXjcos1sin)(aaarctg (a) (b) 圖圖6.3-2【例【例6.3-3】求周期序列】求周期序列 的頻譜，的頻譜， ，且，且為一個整數(shù)，并畫出周期序列

37、的頻譜及頻譜密度函數(shù)。為一個整數(shù)，并畫出周期序列的頻譜及頻譜密度函數(shù)。解： 因 是一個周期為N的序列，將其直接開展成復(fù)指數(shù)形式，得 ，故周期序列的頻譜 。即一個周期內(nèi)有一對譜線出現(xiàn)在 處。 周期序列的頻譜密度函數(shù)的形式可表達(dá)為 周期序列的頻譜及頻譜密度函數(shù)分別如圖6.3-3(a)和(b)所示。 kxkkx0cos02Nkkx0cos)(21cos000kjkjeekkx211C1)2()2()(00nneXnj(a) (b)圖圖6.3-3【例【例6.3-4】計算周期信號】計算周期信號 的頻譜密度函數(shù)的頻譜密度函數(shù).解： 根據(jù) ，可得 。其頻譜密度函數(shù)如圖6.3-4所示。圖圖6.3-4 周期序列

38、的頻譜密度函數(shù)周期序列的頻譜密度函數(shù) nnNkkxnnNkkxNCn1)/2(21)(NnNeXnj【例【例6.3-5】 試證明非周期的離散序列試證明非周期的離散序列 的時域求和。的時域求和。 ； 。 kx，時當(dāng)對于0| )(, 0jnmeXmx)1/()(jjeeX其頻譜為時，當(dāng)0| )(0jeXnjjjneXeeX)2(| )()1 ()(0其頻譜為解：令 則 將上式兩邊取傅里葉變換，得 顯然，當(dāng) 時， 雖然存在 ，不存在直流分量，故頻譜為 ； 當(dāng) 時， 存在直流分量， ，其頻譜密度函數(shù)存在無限個沖擊。故頻譜為)(, ),(jkmjeYkymxkyeXkx 11kxmxmxkykykmkm

39、)1 ( / )()(),()()(jjjjjjjeeXeYeXeYeeY0| )(0jeX)(jeY00)1 ( / )(jjeeX0| )(0jeX)(jeY0| )(jeYkjjjkeXeeX)2(| )()1/()(0【例【例6.3-6】 試求試求 的頻譜。的頻譜。解： 因 ， 則 故 。kmmku1)(jeXkkx1| )(0jeXnjneku)2()1 ( 16.3.2 線性移位不變離散時間系統(tǒng)對線性移位不變離散時間系統(tǒng)對非周期序列的響應(yīng)非周期序列的響應(yīng) 根據(jù)線性移位不變（LTI）離散時間系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)序列的響應(yīng)，當(dāng)系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為 時，當(dāng)輸入時，則系統(tǒng)輸出為 令 ， 為數(shù)字頻率

40、，可得系統(tǒng)輸出為 （6.3-6） 當(dāng)輸入信號為 ，可得系統(tǒng)輸出為 （6.3-7） khkjkezkxnnknnkznhzznhkxkhky*jez kjjkjeeHezHky)()(njjedeX)(21kjjjeeHdeXky)()(216.3.2 線性移位不變離散時間系統(tǒng)對線性移位不變離散時間系統(tǒng)對非周期序列的響應(yīng)非周期序列的響應(yīng) 當(dāng)輸入信號為 時，可得系統(tǒng)輸出為（6.3-8）式中令 ，則 稱為輸出 的頻譜。 deeXkxnjj)(21deeHeXkjjj)()(21)()()(jjjeHeXeY)(jeYky【例【例6.3-7】一個離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)】一個離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) ，求

41、，求該系統(tǒng)對任一輸入離散信號時的響應(yīng)。該系統(tǒng)對任一輸入離散信號時的響應(yīng)。解： 因 故 可見該系統(tǒng)輸出的頻譜對輸入的響應(yīng)的頻譜僅僅產(chǎn)生一個相移。 輸出 為 可見該系統(tǒng)輸出的時域響應(yīng)對于輸入信號僅僅產(chǎn)生一個時移。mkkh)(,jmjeXkxemkkhmjjjjjeeXeHeXeY)()()()(ky).(21)(mkxdeeXkymkjj【例【例6.3-8】已知某因果】已知某因果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的 ， (1) 求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)求系統(tǒng)的頻率響應(yīng) ；(2) 求輸入為求輸入為 時系統(tǒng)的響應(yīng)。時系統(tǒng)的響應(yīng)。解：(1) (2)根據(jù) ，我們分別考慮 兩種情況。 ) 1|(|akuakhk)(jeH) 1|(|

42、bkubkxk) 1(11)()(00bbebeebekxeXjkkjkkjkkkjj)1)(1 (1)()()(jjjjjbeaeeXeHeY) 1|(|11)()(00aaeaeeaekheHjnkjkkjkkkjj)1)(1 (1jjbeaebaba 和 ， 系統(tǒng)響應(yīng) ， 系統(tǒng)響應(yīng)ba )1)()1)()1)(1 (1)(jjjjjbebabaebaabeaeeYkubbabkuabaakykkba daedeajaeeYjjjj11)1 (1)(2) 1(kuakkyk6.4 離散傅里葉變換離散傅里葉變換6.4.1 DFT的定義的定義 6.4.2離散傅里葉變換的應(yīng)用離散傅里葉變換的應(yīng)用

43、 6.4.1 DFT的定義的定義 在我們實際生活中，經(jīng)常遇到的是有限長的非周期序列。由于非周期序列 的傅里葉變換是個連續(xù)的頻率函數(shù) ，不方便進(jìn)行數(shù)字處理。若把給定的有限長序列 ，作周期開拓得 ，則就是一個以N為周期的離散時間序列，其傅里葉系數(shù)為 。 是一個離散的、周期的頻譜，其周期為N。取 中的一個周期，記以 ，則得N點 序列 （6.4-1）為了計算方便，我們引入符號 （6.4-2） （6.4-3）稱為有限長序列的離散傅里葉變換, 簡稱為DFT。kx)(jeXNkkx0,kxNkkNjnnekxNC)/2(1nCnCnXnX1,.,1 , 0,1)(10)/2(NkekxNCnXNknNjkn

44、NjeW/21,.1 , 0,110NkWkxNnXNkkn 則序列 可表達(dá)為：（6.4-4） DFT變換對也可寫成矩陣形式，即 （6.4-5） （6.4-6） kx1,.,1 , 0,10NnWnXkxNnkn 1 1 0 1. 1 02)1(1)1(0)1(1110000NXXXWWWWWWWWWNxxxNNN 1 1 01 1 1 02)1(1)1(0)1(1110000NxxxWWWWWWWWWNNXXXNNN 從DFT的定義可以看到，對于一個周期序列的 ，取其中的一個周期作DFT可得到一個N點 序列，以 作周期開拓可得到周期序列 的 。對于一個有限長非周期序列的作一個周期開拓，取其中

45、的一個周期作DFT可得到一個N點序列，以 作離散傅里葉反變換可得一個N點的有限長非周期序列 。 離散傅里葉變換與離散傅里級數(shù)以及離散時間傅里葉變換之間有緊密聯(lián)系，離散傅里葉變換的很多性質(zhì)在離散傅里葉級數(shù)和離散時間傅里葉變換中都找到對應(yīng)的性質(zhì)。并且其性質(zhì)與連續(xù)傅里葉變換與傅里級數(shù)相似，詳見教材P175表6.4-1。kxnXnXkxnCkxnXnXkx【例【例6.4-1】 計算周期序列計算周期序列 的的DFT。解： N=4， ，得令 依次代入上式，可得即 1 , 1 , 1 , 1kxjeWj4/2)()()(1 4113210nnnNkknjjjWkxNnX3 , 2 , 1 , 0n0)11

46、(4130) 1111 (412011 41 1 1 1111 410jjXXjjXXnnX【例【例6.4-2】 計算周期序列計算周期序列 的的DFT。解： N=4， ，得 0 , 1 , 2 , 1kxjeWj)4/2(4 32 1 041 32 1 09630642032100000 xxxxWWWWWWWWWWWWWWWWXXXX2021012111111111111141jjjjjj6.4.2離散傅里葉變換的應(yīng)用離散傅里葉變換的應(yīng)用 1. DFT對稱性質(zhì)的應(yīng)用 (1) 用N點復(fù)序列DFT同時計算兩個N點實序列DFT 通常要求計算DFT的原始序列都為實序列，如果應(yīng)用DFT對稱性質(zhì)，可以只

47、用一次點序列的DFT計算，同時算出兩個點實序列的DFT系數(shù)，從而提高一倍計算效率。具體做法如下： 令 和 是兩個要求計算DFT系數(shù)的N點實序列，設(shè)它們的DFT系數(shù)分別為 和 。現(xiàn)在再按以下公式組成一個新序列 ， 為一個復(fù)序列，可以按公式 (5.4-2 )計算出它的DFT系數(shù) 。從 出發(fā)，通過簡單的運算推出要求計算的 和 。 kx1 kx2 nX1 nX2 21kjxkxky ky nY nY nX2 nX1 根據(jù)DFT 線性性質(zhì)有 按對稱性質(zhì)可得 從上面四個方程以 和 的實部和虛部為已知數(shù)， 和 的實部和虛部為未知數(shù)，可以解出 ： njXnXWkjxkxnYknNk211021 nXnXnNY

48、nXnXnNYnXnXnY212121ReIm-ImImReReReImIm nYnNX nX1 nX2 (6.4-7) (6.4-8) (6.4-9) (6.4-10) 這樣只需作一次復(fù)序列的DFT，通過公式( 6.4-7) (6.4-10) 的組合就可以得到兩個實序列的DFT系數(shù)了。 2)Re()Re(Re1nNYnYnX 2)Im()Im(Im1nNYnYnX 2)Im()Im(Re2nYnNYnX 2)Re()Re(Im2nYnNYnX(2)利用N點復(fù)序列的DFT計算2N點實序列的DFT 利用DFT的對稱性質(zhì)，也可以用N點復(fù)序列的DFT來計算2N點實序列的DFT。為此，令 是一個2N點

49、實序列，并把它分解為兩個N點實序例 和 ： (6.4-11)即 是 中偶數(shù)序列號的點組成的序列， 是 中奇數(shù)序號的點組成的序列。把 和 組成N點復(fù)數(shù)序列 ： 。 kx kx1 kx2 1,.,1 , 0,12,221Nkkxkxkxkx kx1 kx kx2 kx kx1 kx2 ky kjxkxky21 令令 的的DFT為為 。一旦。一旦 計算出以后，按上面的方法計算出以后，按上面的方法從公式從公式( 6.4-7) -(6.4-10)( 6.4-7) -(6.4-10)可以推出可以推出 和和 的的DFT DFT 和和 。這樣。這樣 的的DFT DFT 可以按下面公式計算：可以按下面公式計算：

50、 (6.4-13)(6.4-13)式中式中 , , 。 離散傅里葉變換在數(shù)字信號處理的理論和實踐中有著重要離散傅里葉變換在數(shù)字信號處理的理論和實踐中有著重要的意義，就實踐而言，面臨的是如何把它具體算出來的問題。的意義，就實踐而言，面臨的是如何把它具體算出來的問題。研究這類算法稱為快速傅里葉變換算法，簡稱研究這類算法稱為快速傅里葉變換算法，簡稱FFTFFT。 ky nY nY kx1 kx2 nX1 nX2 kx nX 1,.1 , 022110221011202NknXWnXWkxWWkxWkxnXnNnkNNknNNknkNNknkNeNjNW2eNjNW22. 利用DFT方法計算信號的頻譜

51、(1)若 是一個以N為周期的離散時間序列，其離散傅里葉級數(shù)系數(shù)為 。其中傅里葉系數(shù) 也稱為 的頻譜系數(shù)。 從DFT的定義可知，因 是以N為周期的離散頻率序列，取 中的一個周期，記以 。故對于一個周期序列的 ，取其中的一個周期作DFT可得到一個N點序列 ，可得 （6.4-14） 故周期序列的頻譜 是一個離散的、周期的頻譜，其周期為N。kx10)/2()/2(11NknNjkNknNjknekxNekxNCnCkxnCnCnXkxnX1,.1 , 0,NnnXCnnC(2)若 是一個有限長非周期的離散時間序列，對于非周期序列 的離散傅里葉變換，是把周期序列在周期的 極限情況下導(dǎo)出的。 因此，對于一

52、個有限長非周期序列 的作一個周期開拓，取其中的一個周期作DFT可得到一個N點序列 ，又因 ，則有 （6.4-15） 故非周期序列 的頻譜 是 的包絡(luò)，是一個連續(xù)、周期的的頻譜，其周期為 。 kxkxNkxnXnXCn1,.,1 , 0,/2NnnNXeXNnjkxjeXnNX2(3)對于一個周期模擬信號 ，其頻譜就是連續(xù)傅里葉級數(shù)系數(shù) ，是一個離散譜。在滿足取樣定義的條件下，可對 在 時采樣，得到一個周期序列，其中一個周期內(nèi) 。 這里 ， ， T、 分別代表時域和頻域的取樣間隔。取其中的一個周期作DFT可得到一個N點序列 ，則頻譜 （6.4-16）故周期模擬信號 的頻譜 是一個離散的非周期的的

53、頻譜。 tXnF tX nt kttXkX) 1,.,1 , 0(Nk20N0TnX1,.,1 , 0,)(0NnnXFknk一個周期 tXkF(4)對于一個非周期有限長度的模擬信號 ，其頻譜 是一個連續(xù)譜。在滿足取樣定義的條件下，可對 在 時采樣，得到一個非周期有限長度序列，其中一個周期內(nèi) 。 對于一個有限長非周期序列的 作一個周期開拓，取其中的一個周期作DFT可得到一個N點 序列，若用T、 分別代表時域和頻域的取樣間隔，若模擬信號的有限長度為L，則 。故有 （6.4-17） 故非周期模擬信號 的頻譜 是一個周期的 的包絡(luò)，是一個連續(xù)的非周期的頻譜。 tX)(jX tX kt kttXkX) 1,.,1 , 0(NkkX)(nXTNL 1,.,1 , 0,| )(NnnNXjXn一個周期 tX)(jXnNX3. 利用DFT 求離散系統(tǒng)響應(yīng)(1)若