第6章離散傅里葉級(jí)數(shù)、離散時(shí)間傅里葉變換與DFT

1、第第6章章 離散傅里葉級(jí)數(shù)、離散時(shí)間傅里葉變換與離散傅里葉級(jí)數(shù)、離散時(shí)間傅里葉變換與DFT 6.1 信號(hào)抽樣及抽樣定理信號(hào)抽樣及抽樣定理6.2 周期離散時(shí)間信號(hào)的離散傅里葉周期離散時(shí)間信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示及系統(tǒng)響應(yīng)級(jí)數(shù)表示及系統(tǒng)響應(yīng) 6.3 非周期離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間非周期離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換及系統(tǒng)響應(yīng)傅里葉變換及系統(tǒng)響應(yīng) 6.4 離散傅里葉變換離散傅里葉變換 6 .1 信號(hào)抽樣及抽樣定理信號(hào)抽樣及抽樣定理 在許多實(shí)際問(wèn)題中，常常需要將連續(xù)時(shí)間信號(hào)變?yōu)殡x散時(shí)間信號(hào)，這就要對(duì)信號(hào)進(jìn)行抽樣（取樣或采樣）。 對(duì)信號(hào)的抽樣過(guò)程可概括為利用抽樣脈沖序列 從連續(xù)時(shí)間信號(hào) 中“抽取”一系列

2、離散樣值的過(guò)程，這樣得到的離散信號(hào)通常稱(chēng)為抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)或取樣信號(hào)取樣信號(hào)，用表示 ，如圖6.1-1所示。 抽樣后的信號(hào) （6.1-1）式中，抽樣脈沖序列 也稱(chēng)為開(kāi)關(guān)函數(shù)開(kāi)關(guān)函數(shù)。如其各脈沖間隔時(shí)間相同，均為 ，則稱(chēng)為均勻抽樣均勻抽樣。 稱(chēng)為抽樣（取樣）周期抽樣（取樣）周期， 稱(chēng)為抽樣頻率抽樣頻率或抽樣率抽樣率， 稱(chēng)為抽樣角頻率抽樣角頻率。)(ts)(tf)(tfs)()()(tstftfs)(tssTsTssTf1ssf2圖6.1-1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)抽樣為離散時(shí)間信號(hào) 抽樣信號(hào)的頻譜抽樣信號(hào)的頻譜 (1)設(shè)抽樣脈沖序列 是周期沖激函數(shù)序列 ， ，抽樣沖激序列的頻譜函數(shù)為 抽樣后的信號(hào)為 抽樣

3、后的信號(hào)的頻譜則為 如果信號(hào) 的頻譜 為如圖6.1-2(a)所示，當(dāng)時(shí)，抽樣信號(hào) 的頻譜函數(shù) 如圖6.1-2(b)所示。 )(tsnsTnTtt)()(ssT2nsssTntFtsFss)()()()()()()()()(ttftstftfsTsnssTsnjFtFtfFjFs)(*)(21)(*)(21)(nssnssnjFTnjFT)(1)(*)(1)(tf)(jF)(tfs)(jFsms2抽樣信號(hào)的頻譜抽樣信號(hào)的頻譜 (a) (b) 圖6.1-2 抽樣信號(hào) 的頻譜 )(tfs抽樣信號(hào)的頻譜抽樣信號(hào)的頻譜(2)如果抽樣脈沖序列 是窄脈沖序列，即它是幅度為1，脈寬為的門(mén)序列，如圖6.1-3所

4、示。圖6.1-3 抽樣脈沖序列 是門(mén)函數(shù)序列 可寫(xiě)為 窄脈沖序列的傅里葉變換為 )(ts)(ts)(tsssnsTTnTtgtpts2, )()()(nsssTnnSaTtpFjP)(22)()(抽樣信號(hào)的頻譜抽樣信號(hào)的頻譜 抽樣后信號(hào) 是 與開(kāi)關(guān)信號(hào) 的乘積： 抽樣后信號(hào) 的頻譜函數(shù) 為： 如果信號(hào) 的頻譜 為如圖6.1-4(a)所示，當(dāng) 時(shí)，抽樣后信號(hào) 的頻譜函數(shù) 如圖6.1-4(b)所示。 )(tfs)(tf)(tpT)()()()()(tptftstftfTs)(tfs)(jFsnsssnssssnjFnSaTjFnSaTjF)(2)(*)(2)()(tf)(jFms2)(tfs)(j

5、Fs抽樣信號(hào)的頻譜抽樣信號(hào)的頻譜 (a) (b)圖6.1-4 信號(hào)的頻譜 由此可見(jiàn)，抽樣信號(hào) 的頻譜函數(shù) 由原信號(hào)的頻譜 的無(wú)限個(gè)頻移所組成，其頻移的角頻率為 。)(tfs)(jFs)(tf)(jFsn), 2, 1, 0(n 如果信號(hào) 的頻帶是有限的，這樣的信號(hào)稱(chēng)為有限頻帶有限頻帶信號(hào)信號(hào)或簡(jiǎn)稱(chēng)帶限信號(hào)帶限信號(hào)。 如果信號(hào) 的頻帶是有限的，就是說(shuō)，信號(hào) 的頻譜只在區(qū)間 為有限值，如果取樣角頻率 ，那么，由原信號(hào) 的頻譜 的無(wú)限個(gè)頻移所組成的頻譜函數(shù) 中各頻移的頻譜不會(huì)相互重疊。如果 ，那么各頻移的頻譜將相互重疊，頻譜重疊的這種現(xiàn)象稱(chēng)為混疊現(xiàn)象混疊現(xiàn)象。 如果由原信號(hào) 的頻譜 的無(wú)限個(gè)頻移所組

6、成的頻譜函數(shù) 中各頻移的頻譜不相互重疊，則可利用低通濾波器，從 中得到 ，從而恢復(fù)原信號(hào) 。 為了從抽樣后的離散信號(hào)恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)，其系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)框圖如圖6.1-5所示。 圖6.1-5 從抽樣后的離散信號(hào)恢復(fù) 原連續(xù)信號(hào)的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)框圖)(tf)(tf)(tf)(tf)(tf)(tf),(mmms2)(jF)(jFsms2)(jF)(jFs)(jFs)(jF 從抽樣后的離散信號(hào)頻譜 中無(wú)失真地選出原連續(xù)信號(hào)的頻譜 ，可用一截止頻率 的理想低通濾波器。 若選理想低通濾波器的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為 且選 ，如圖6.1-6所示。 圖6.1-6 理想低通濾波器的傳輸函數(shù)頻譜 利用傅氏變換的對(duì)稱(chēng)性，得理想低通濾波器的沖激

7、響應(yīng)為 若選 ，則 )(jFs)(jFcmccsTjH,0,)(cm)()(tSaTthccs2smc)21()(tSaths 由于抽樣后的信號(hào)抽樣后的信號(hào)通過(guò)理想低通濾波器后，輸出信號(hào)為 （6.1-2） 由此表明，連續(xù)信號(hào) 可以展開(kāi)成正交抽樣函數(shù)（Sa函數(shù)）的無(wú)窮級(jí)數(shù)，該級(jí)數(shù)的系數(shù)等于抽樣值 。即，若在抽樣信號(hào) 的每個(gè)樣點(diǎn)處，畫(huà)一個(gè)峰值為 的Sa的函數(shù)波形，那么其合成波就是原信號(hào) ，因此只要知道各抽樣值 ，就能唯一地確定出原信號(hào)。這也稱(chēng)為采樣內(nèi)插，這一公式中 稱(chēng)為內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)。nssnsnssnTtnTfnTttfnTttftf)()()()()()()(nssnsssnssssntSa

8、nTfnTtSanTftSanTtnTfthtftf2)()(2)(2*)()()(*)()()(tf)(snTf)(snTf)(snTf)(tf)(snTf)(snTtg抽樣定理抽樣定理 時(shí)域抽樣定理時(shí)域抽樣定理： 一個(gè)頻譜在區(qū)間 以外為零的有限頻帶信號(hào) ，可唯一地由其在均勻間隔 上的樣點(diǎn)值 所確定。 由時(shí)域抽樣定理可知：為了能從抽樣信號(hào) 恢復(fù)原信號(hào) 必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件： 信號(hào) 必須是限帶信號(hào)，其頻譜函數(shù)在 時(shí)為零； 抽樣頻率不能太低，必須 （或 ），或者說(shuō)抽樣間隔不能太長(zhǎng)，必須 。 通常把最低允許抽樣頻率 稱(chēng)為奈奎斯特頻率奈奎斯特頻率，把最大允許抽樣間隔 稱(chēng)為奈奎斯特間隔奈奎斯特間隔。),(

9、mm)(tfmssfTT21)(snTf)(tfs)(tf)(tfmms2msff2msfT21msff2mmsfT21頻域抽樣定理頻域抽樣定理 頻域抽樣定理頻域抽樣定理： 一個(gè)在時(shí)間區(qū)域 以外為零的有限時(shí)間信號(hào) 的頻譜函數(shù) ，可唯一地由其在均勻頻率間隔 上的樣點(diǎn)值 所確定。且有 （6.1-3）式中 。 ),(mmtt)(tf)(jFmsstff21)(sjnFnmmntSatnjFjF)()(smft21模擬信號(hào)數(shù)字化處理系統(tǒng)模擬信號(hào)數(shù)字化處理系統(tǒng) 模擬信號(hào)數(shù)字化處理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6.1-7所示的結(jié)構(gòu)，它由模數(shù)轉(zhuǎn)換、數(shù)字信號(hào)處理和數(shù)模轉(zhuǎn)換三部分組成。圖圖6.1-7 模擬信號(hào)數(shù)字化處理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模

10、擬信號(hào)數(shù)字化處理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（1）模數(shù)轉(zhuǎn)換：要對(duì)模擬信號(hào)實(shí)現(xiàn)數(shù)字化處理，首先要將模擬信號(hào)離散化。在實(shí)際中，讓模擬信號(hào)通過(guò)一個(gè)A/D轉(zhuǎn)換器就實(shí)現(xiàn)了信號(hào)數(shù)字化。A/D轉(zhuǎn)換器是一個(gè)具有取樣、量化和編碼功能的采樣保持電路。由于本書(shū)主要關(guān)心的是模擬信號(hào)轉(zhuǎn)化為離散信號(hào)的問(wèn)題，所認(rèn)下面僅僅把A/D轉(zhuǎn)換器看作一個(gè)采樣器，采樣器可用一個(gè)開(kāi)關(guān)表示。 模擬信號(hào)數(shù)字化處理系統(tǒng)模擬信號(hào)數(shù)字化處理系統(tǒng)（2）數(shù)字信號(hào)處理： 通過(guò)A/D轉(zhuǎn)換以后，模擬信號(hào)被轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，數(shù)字信號(hào)處理由離散系統(tǒng)完成，包括傳輸、數(shù)字濾波等，輸入是離散信號(hào)，輸出也是離散信號(hào)。（3）數(shù)模轉(zhuǎn)換： 數(shù)字信號(hào)處理輸出的離散信號(hào)需要通過(guò)一個(gè)模擬恢復(fù)濾波器再轉(zhuǎn)換

11、成模擬信號(hào)。一般常應(yīng)用的模擬恢復(fù)濾波器有低通濾波器、零階保持電路和RC濾波器，通常稱(chēng)為數(shù)模轉(zhuǎn)換器（常簡(jiǎn)稱(chēng)D/A）。 零階保持電路零階保持電路 一個(gè)零階保持電路方框圖如圖6.1-8所示。 圖圖6.1-8 零階保持電路零階保持電路 一個(gè)零階保持電路就是由取樣值再現(xiàn)為連續(xù)信號(hào)的一個(gè)粗糙的復(fù)制器，如果輸入為 的取樣信號(hào) ，則其輸出為一個(gè)與相似的階梯信號(hào)，如圖6.1-9所示。 圖圖6.1-9 零階保持電路的輸出零階保持電路的輸出)(tf)(tfs tf零階保持電路零階保持電路 由零階保持電路方框圖，可得： 。零階保持電路的頻率特性 即 由 幅頻特性可以看出，零階保持電路具有低通特性，如圖6.1-10所示

12、。 圖圖6.1-10 零階保持電路零階保持電路 幅頻特性幅頻特性)()()(Ttututh2)(1)(TjTjejHjejH)2(2)2sin()cos1 (2sincos1)(TsaTTTTTTjTjH)(jH)(jH【例【例6.1-1】求對(duì)應(yīng)下列信號(hào)的奈奎斯特頻率?！壳髮?duì)應(yīng)下列信號(hào)的奈奎斯特頻率。(1) (2) (3) 解：根據(jù)時(shí)域抽樣定理，(1) 因?yàn)?，故 。(2) 由于 ，(3) 由于 , ； 若取3db截止角頻率 ，則 。)4000sin()2000cos(1)(tttxtttx)4000sin()(2)4000sin()(tttxms24000m8000s4000|04000|)

13、()4000sin()(1AFtttx80004000sm，2)4000sin()(tttx8000|08000|)20|1 ()()(21)(11BFFF16000s800032c10000s【例【例6.1-2】 已知已知 ，現(xiàn)用采樣頻率，現(xiàn)用采樣頻率對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，試畫(huà)出采樣后信號(hào)的頻譜。為使采樣信號(hào)通對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，試畫(huà)出采樣后信號(hào)的頻譜。為使采樣信號(hào)通過(guò)一個(gè)理想低通濾波器后的頻譜為過(guò)一個(gè)理想低通濾波器后的頻譜為 ，試求，試求理想低通濾波器的傳輸函數(shù)。理想低通濾波器的傳輸函數(shù)。解: 因 ，而 ， 信號(hào)的頻譜如圖6.1-11所示。 又因 采樣后信號(hào)的頻譜如圖6.1-12所示。 要求通過(guò)一個(gè)

14、理想低通濾波器后的信號(hào)頻譜為 ，故理想低通濾波器 。) 110(cos)(101)(2tttf30scFG|),(5)(1222)5()5(sin5) 110(cos)(101)(tttttf)(515)5sin(10gtt10|010|10|1)(51)(51(521)(1010ggF)30(15)(1)(nFnFTGss)(5)()(jFjHG10,010,3/1)( jH圖圖6.1-11 信號(hào)的頻譜信號(hào)的頻譜 圖圖6.1-12 采樣后信號(hào)的頻譜采樣后信號(hào)的頻譜 6.2 周期離散時(shí)間信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)周期離散時(shí)間信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示及系統(tǒng)響應(yīng)表示及系統(tǒng)響應(yīng) 6.2.1 周期序列的離散

15、傅里葉級(jí)數(shù)表示周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示 6.2.2 線(xiàn)性移位不變離散時(shí)間系統(tǒng)線(xiàn)性移位不變離散時(shí)間系統(tǒng) 對(duì)周期序列的響應(yīng)對(duì)周期序列的響應(yīng)6.2.1 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示 一個(gè)周期的離散時(shí)間信號(hào)滿(mǎn)足 （6.2-1）式中N是某一正整數(shù)，是 的周期。 我們來(lái)研究復(fù)指數(shù)序列 ，因?yàn)樗侵芷谛蛄?，其周期為N，基波頻率為 （6.2-2） 呈諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列集（6.2-3）也是周期序列，其中每個(gè)分量的頻率是 的整數(shù)倍。 NkxkxkxkNje)/2(N/20,.2, 1, 0,/2nekNkjnn0 值得注意的是，在一個(gè)周期為N的復(fù)指數(shù)序列中，只有N個(gè)復(fù)指數(shù)序列是獨(dú)

16、立的， 等N個(gè)是互不相同的。這是因?yàn)?。這與連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)函數(shù)集 中有無(wú)限多個(gè)互不相同的復(fù)指函數(shù)是不同的。 對(duì)于任一個(gè)基波周期為N的周期序列 可用N個(gè)成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列的加權(quán)和表示。即 （6.2-4）式中，求和限 表示求和僅需包括N項(xiàng)， 。 將周期序列表示成式（6.2-4）的形式就稱(chēng)為離散傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)。而系數(shù) 則稱(chēng)為離散傅里葉系數(shù)離散傅里葉系數(shù)。,.,110kkkkkkkrNnNnn3,. 2, 1, 0, =k ,0tjkekxNnNnNkjnnnneCkCkx/2 Nn1,.,2 , 1 , 0NnnC離散傅里葉系數(shù)的兩種求解方法離散傅里葉系數(shù)的兩種求解方法 1.解聯(lián)立方程法 如果已

17、知 在任一基波周期N內(nèi)的N個(gè)值（樣本），即 則由式（6.2-4）可得N個(gè)方程： 聯(lián)解這一組方程，就可得系數(shù) 。nCkx,1.,2,1 ,0NxxxxNnNnCCCCx110.0NNjNNnNjNjnneCeCCeCx/ )1(21/210)/2( 1 NNjNNNjNnNNnjneCeCCeCNx/)1(21/ )1(210/ )1(22. 1nCnC離散傅里葉系數(shù)的兩種求解方法離散傅里葉系數(shù)的兩種求解方法2.正交函數(shù)系數(shù)法 與連續(xù)傅里葉系數(shù)求和類(lèi)似，利用復(fù)指數(shù)序列 周期序列的正交特性，可得： （6.2-5） 式（6.2-4）和（6.2-5）確定了周期離散時(shí)間信號(hào) 和其傅里葉系數(shù) 之間的關(guān)系，

18、可記為 （6.2-6） 傅里葉系數(shù) 也稱(chēng)為 的頻譜系數(shù)?？梢院?jiǎn)單證明：（6.2-7） 由于 ，可以說(shuō) 以2為周期，或者說(shuō)它是以N為周期的離散頻率序列，這表明周期的離散時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)于頻域?yàn)橹芷诘碾x散頻率函數(shù)。 且當(dāng) 為實(shí)序列時(shí)，對(duì)所有的n值，存在關(guān)系 。nCnNje)/2(kNjnNknekxNC)/2(1kxnCnCkxnCkxNnnCCNn/2nCkx*nnCC【例【例6.2-1】一個(gè)連續(xù)信號(hào)】一個(gè)連續(xù)信號(hào) ，以采樣，以采樣頻率頻率 進(jìn)行采樣，采樣后的離散時(shí)間序列為進(jìn)行采樣，采樣后的離散時(shí)間序列為 ，試計(jì)，試計(jì)算的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。算的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。解： 以采樣頻率 對(duì) 進(jìn)行采樣后，

19、得 ， 因第一項(xiàng)的周期為10，因第二項(xiàng)的周期為4，最小公倍數(shù)為20，故 的周期為20。 將 展開(kāi)為離散傅里葉級(jí)數(shù)，即 。故 的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)為 ， ， 。 )500cos()200cos()(tBtAtxHzfs1000kxHzfs1000)(tx)2cos()5cos(kBkAkxkxkxkjkjkjkjeBeBeAeAkx1520252021820222022222kx2182ACC2155BCC其它值, 0為nCn【例【例6.2-2】分析一個(gè)周期序列】分析一個(gè)周期序列 的離散傅里葉級(jí)數(shù)。的離散傅里葉級(jí)數(shù)。解： （1）當(dāng) 為一個(gè)整數(shù)時(shí)， 是一個(gè)周期為N的序列，將直接開(kāi)展成復(fù)指數(shù)形式，得

20、 。故 ，一個(gè)周期內(nèi)有一對(duì)譜線(xiàn)出現(xiàn)在 處。（2）當(dāng) 為一個(gè)有理分?jǐn)?shù)時(shí)， 是一個(gè)基波周期為的序列，將 直接開(kāi)展成復(fù)指數(shù)形式，得 。故 ，即一個(gè)周期內(nèi)有一對(duì)譜線(xiàn)出現(xiàn)在 處。（3）當(dāng) 為一個(gè)無(wú)理數(shù)時(shí)， 不是一個(gè)周期序列，不宜將展成離散傅里葉級(jí)數(shù)形式。 kkx0sin02N02N02Nkkx0sinkkx0sinkkx0sinkxjeekxkNjkNj2/ )/2()/2(,.13 , 12 , 1, 1,21,21NNNnjCjCnn1kxjeekxkNmjkNmj2/ )/2()/2(,2 ,2 ,21,21mNmNmNmnjCjCnnmkx【例【例6.2-3】已知】已知 , 式中式中N為整數(shù)，求

21、其頻譜。為整數(shù)，求其頻譜。解: 這個(gè)信號(hào)是周期的，其周期為N。將 直接開(kāi)展成復(fù)指數(shù)形式，得 將相應(yīng)項(xiàng)歸并后，得 可得而在長(zhǎng)度為N的周期內(nèi)，其余系數(shù)均為0。)2/4cos()/2cos(3)/2sin(1NkkNkNkxkx2/ 32/ 1)/2()/2()/2()/2(kNjkNjkNjkNjeejeekx2/ )2/4()2/4(NkjNkjeekNjkNjejejkx)/2()/2()2/12/3()2/12/3(1kNjjkNjjeeee)/2(22/)/2(22/)2/()2/(*11102/12/3,2/12/3, 1CjCjCC*2222/1, 2/1CjCjC【例【例6.2-4】

22、計(jì)算圖】計(jì)算圖6.2-1所示周期序列的頻譜。所示周期序列的頻譜。解： 從圖6.2-1中可見(jiàn)，這個(gè)序列是對(duì) 軸對(duì)稱(chēng)的。因此，求和時(shí)選擇一個(gè)對(duì)稱(chēng)區(qū)間比較方便。故 令 則： 圖圖6.2-1 一個(gè)周期序列一個(gè)周期序列 利用有限項(xiàng)幾何級(jí)數(shù)求和公式 ， 可得：0n11)/2(2/2/)/2(11NNnnNjkNNnnNjkkeNenxNC,1Nnm111120)/2()/2(20)(/2(11NmmNjkNNjkNmNmNjkkeeNeNC1011MmMmaaa)()(1)11(12/22/22/2/ )2/1(2/ )2/1(2)2/1(2)/2()/2()12)(/2()/2(111111NkjNkj

23、NkjNNkjNNkjNjNNjNjkNNjkNNjkkeeeeeeeNeeeNC,.2, 0,/ ) 12(,.2, 0,)/sin(/ )2/1(2sin(111NNkNNNNkNkNNkN6.2.2 線(xiàn)性移位不變離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)周期序列的響應(yīng)線(xiàn)性移位不變離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)周期序列的響應(yīng) 線(xiàn)性移位不變（LTI）離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)序列的響應(yīng)。與連續(xù)時(shí)間情況一樣，用復(fù)指數(shù)序列作為基本信號(hào)是因?yàn)樗蔷€(xiàn)性移位不變離散時(shí)間系統(tǒng)的特征函數(shù)。即若在線(xiàn)性移位不變系統(tǒng)輸入 ，則輸出 （6.2-8） 令 （6.2-9） 可見(jiàn)，若 是一個(gè)復(fù)指數(shù)序列 ，則輸出 就是同樣的復(fù)指數(shù)序列 乘以常數(shù) 。 又稱(chēng)為離散系統(tǒng)傳輸函

24、數(shù)，根據(jù) 的定義，也稱(chēng) 為 的Z變換。 kzknnknnkzzHznhzznhkxkhky)(*nnznhzH)(kxkzky)(zH)(zHnnznhzH)()(zHkhkx 如果令 ，則系統(tǒng)輸出為（6.2-10）若 ，則 （6.2-11） 可見(jiàn)，系統(tǒng)的輸出是N個(gè)成諧波關(guān)系復(fù)指數(shù)序列的加權(quán)和，每一個(gè)復(fù)指數(shù)序列的系數(shù)是相應(yīng)的輸入序列的系數(shù) 乘以 。 當(dāng)輸入信號(hào)為 ， (6.2-12) 當(dāng)輸入正弦序列 時(shí)，這里 ，f是輸入信號(hào)頻率，T是取樣信號(hào)周期，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為 (6.2-13)kjnjezkxez,kjjkjeeHezHky)()(NeCkxkjNnn/2,0kjjNnneeHCky)(n

25、C)/2(nNkjeHkuAekxkj)()()()(kueeHAkueeAHkuezAHkyTjeHkjjkjjkj)sin(kuTkAkxf2sinkueHTkeHAkyjwTTj穩(wěn)態(tài) 可見(jiàn)，若當(dāng)離散系統(tǒng)的輸入是角頻率為 ，取樣周期為T(mén)的復(fù)指數(shù)序列（或正弦序列）時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也應(yīng)該是同頻率、同取樣周期的復(fù)指數(shù)序列（或正弦序列），它的模被乘上了在點(diǎn) 上計(jì)算的 的模，它的相位增加了該信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)產(chǎn)生的相移 。 當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)， 就稱(chēng)為離散系統(tǒng)的頻率特性，這里 稱(chēng)為系統(tǒng)在頻率為 時(shí)的頻率特性，或表達(dá)為 ，其中 稱(chēng)為在頻率為 時(shí)的幅頻特性， 稱(chēng)為在頻率為 時(shí)的相頻特性。jwTez jwTeHj

26、wTdeH)(jezjzHeH| )()(TjezjwTzHeH| )(T)()()(djdTjeHeH)()(jwTdeHHTjwTdeH)(T【例【例6.2-5】一個(gè)周期序列】一個(gè)周期序列 的周期為的周期為8，其離散傅里葉級(jí)數(shù)的，其離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)系數(shù) ，該周期序列通過(guò)系統(tǒng)后輸出為，該周期序列通過(guò)系統(tǒng)后輸出為 ，且有，且有 。試求。試求 的離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)及系統(tǒng)傳的離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)及系統(tǒng)傳輸函數(shù)。輸函數(shù)。解：因周期序列 的周期為8， 的離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為 ， ，其離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為 ， 因 ，故 的離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為 ， 的離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為 。 根據(jù) ，可得系

27、統(tǒng)傳輸函數(shù)為： kx4nnCCky 12) 1(1kxkykkykx 1 kxnjneC82kjkekxkx 1 1) 1()4(824njneC4nnCC 1) 1(kxknjneC82 12) 1(1kxkyknjneC82NnnNjkNnjneeHCky)/2(/2)(8282)(njnjeeH【例【例6.2-6】試求以下系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅頻特性和相頻特性。】試求以下系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅頻特性和相頻特性。解： 根據(jù) 可求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：令 ，有 115 . 011)(zzzH)(zHTjTTjTeezHeHTjTjezTjTjsin5 . 0cos5 . 01sincos15 . 011)

28、()(jjeTTTeT2222)sin5 . 0()cos5 . 01 (sin)cos1 (jTjjTjAeeBee5 . 01,1)cos1 (2sin)cos1 (22TTTBTTTAcos25. 1)sin5 . 0()cos5 . 01 (22TTarctgTTarctgcos5 . 01sin5 . 0,cos1sin 又 可得幅頻特性為 相頻特性為分別如圖6.2-2(a)和(b)所示。 (a)幅頻幅頻 (b) 相頻相頻 圖圖6.2-2 由幅頻和相頻特性可見(jiàn)，它們都是以 周期重復(fù)變化的連續(xù)頻譜。 )()()(djdTjeHeHTTABHdcos25. 1)cos1 (2)(TTTT

29、TTdcos1sin3arctancos5 . 01sin5 . 0arctancos1sinarctan)(T2【例【例6.2-7】某一離散系統(tǒng)脈沖響應(yīng)】某一離散系統(tǒng)脈沖響應(yīng) ，當(dāng)輸，當(dāng)輸入入 ，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：先求出 根據(jù)無(wú)窮項(xiàng)幾何級(jí)數(shù)求和公式 ， 得到 故 設(shè) ，N為一個(gè)整數(shù)， 是一個(gè)周期為N的序列，將 直接開(kāi)展成復(fù)指數(shù)形式，得故即一個(gè)周期內(nèi)有一對(duì)譜線(xiàn)出現(xiàn)在處。11,akuakhk)/2cos(Nkkx0)(kkkkkzazkhzH011mmrr111)(azzH)/2(/211| )()(/2NjezNjaezHeHNjN20kxkx2/ )()/2()/

30、2(kNjkNjeekx, 13 , 12 , 1, 1,21,21NNNnCCnn 求系統(tǒng)響應(yīng)得 若令 ，則 若 N=4， ， 則 ， 所以 kNjNjkNjNjeeHeeHky)/2(/2)/2(/2)(21)(21kNjNjkNjNjeaeeae)/2(/2)/2(/211211121jNjreae/211jNjreae/211)/2cos(2121)/2()/2(NkrrerekyNkjNkjjaaej11114/2aararctan,112)arctan/2cos(112aNkaky【例【例6.2-8】 一個(gè)一個(gè)LTI離散系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù) ，系，系統(tǒng)的輸入為幅度等于統(tǒng)

31、的輸入為幅度等于10V，頻率為，頻率為100Hz的正弦序列，設(shè)抽樣的正弦序列，設(shè)抽樣頻率為頻率為1200Hz，求其穩(wěn)態(tài)輸出。，求其穩(wěn)態(tài)輸出。解：因輸入信號(hào)幅度 ，輸入頻率 ， 抽樣頻率 ， 故 ，輸入信號(hào)表達(dá)為 。 根據(jù)系統(tǒng)函數(shù) ，可得： 將 代入求出 和 。 根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為故可得系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)輸出 。111( )0.41 0.2zH zzVA10Hzf100HzT1200/162fTT)122sin(10kukkx111( )0.41 0.2zH zz11)(2 . 01)(14 . 0)()(TjTjezTjeezHeHTj62fTT11)(2 . 01)(14 . 0)(TjTjT

32、jeeeH924. 0)(TjeH9 .21)(TjeHsinkueHTkeHAkyjwTTj穩(wěn)態(tài)9 .216sin24. 9kukky穩(wěn)態(tài)6.3 非周期離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉非周期離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換及系統(tǒng)響應(yīng)變換及系統(tǒng)響應(yīng) 6.3.1 非周期序列的離散時(shí)間非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換表達(dá)傅里葉變換表達(dá)6.3.2 線(xiàn)性移位不變離散時(shí)間系統(tǒng)線(xiàn)性移位不變離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)非周期序列的響應(yīng)對(duì)非周期序列的響應(yīng) 6.3.1 非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換表達(dá)非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換表達(dá) 對(duì)于一個(gè)非周期序列 ，可以看成是一個(gè)周期序列 ，其周期為N，令N 時(shí)，非周期序列和周期序列相同

33、。這樣，若在周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)里令N ，則此級(jí)數(shù)的極限也就是非周期序列。 因周期序列 的離散傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)為 ， 因 ，在區(qū)間（-N/2，N/2）內(nèi)，非周期序列 =周期序列 ，在極限的情況下，N ，上式可表達(dá)為（6.3-1）kxkxkx2/2/)/2(NNnkNjnneCkx2/2/)/2(1NNknNjknekxNCNk /2kxkxkkjnekxNC 我們定義 的包絡(luò) 為（6.3-2）稱(chēng)為非周期序列 的離散時(shí)間傅里葉變換， 是周期為的連續(xù)頻率函數(shù)，也稱(chēng)為非周期序列 的頻譜密度函數(shù)。 同樣，在極限的情況下， ， 。 故 （6.3-3） 顯然，如果 絕對(duì)可和，即 ，則離散時(shí)間傅里葉變換的收

34、斂條件為序列絕對(duì)可和。 nNC)(jeXkkjjekxeX)(kx)(jeX2kxdN200ndeeXkxkjj)(21kxkkx一個(gè)周期序列和一個(gè)非周期序列的關(guān)系一個(gè)周期序列和一個(gè)非周期序列的關(guān)系 一個(gè)非周期序列 可以看成是周期序列 中的一個(gè)周期，即： 。 若周期序列 ，非周期序列 ，即非周期序列 的離散時(shí)間傅里葉變換 是周期序列 的離散傅里葉系數(shù) 的包絡(luò)函數(shù)，周期序列 的離散傅里葉系數(shù) 是非周期序列 的離散時(shí)間傅里葉變換 的抽樣值。即（6.3-4）kxkx1, ,0NMkMkxkx周期序列其他nCkx)(jeXkxkx)(jeXkxnNCkxnCkx)(1jeXNNnjneXNC/2)(1

35、 表示周期序列的頻譜。此頻譜是離散的、周期的，其頻譜周期為N 。 表示非周期序列 的頻譜密度函數(shù)。此頻譜是連續(xù)、周期的、其頻譜周期為 。 當(dāng)然，一個(gè)周期內(nèi)周期序列 ，因 ， 的一個(gè)周期內(nèi)離散傅里葉頻譜也可表達(dá)為頻譜密度函數(shù)的形式： （6.3-5） nC)(jeXkx22/2/)/2(NNnkNjnkeCkx)/2(2)/2(NnjenNjkkx)/2(2)(2/2/NnCeXnNNnj【例【例6.3-1】求圖】求圖6.3-1(a)所示序列的頻譜。所示序列的頻譜。解： 從圖中可見(jiàn)，這個(gè)序列是對(duì)稱(chēng)的非周期方波序列， ， 故該非周期方波序列的頻譜如圖6.3-1 (b)所示。 (a) (b) 圖6.3

36、-1 21N)2/sin()2/1(sin()(122NeeXnnjjnx)(jeX【例【例6.3-2】計(jì)算序列】計(jì)算序列 的頻譜密度函數(shù)，并簡(jiǎn)述其的頻譜密度函數(shù)，并簡(jiǎn)述其幅頻及相頻特性。幅頻及相頻特性。 解： 其中振幅頻譜為 相位頻譜為 振幅頻譜和相位頻譜如圖6.3-2 (a)和 (b)所示。kuakxk)(0| )(|)sin(cos1111)(jjjkkjkkkjkjeeXjaaeeaekuaeXcos211| )(|2aaeXjcos1sin)(aaarctg (a) (b) 圖圖6.3-2【例【例6.3-3】求周期序列】求周期序列 的頻譜，的頻譜， ，且，且為一個(gè)整數(shù)，并畫(huà)出周期序列

37、的頻譜及頻譜密度函數(shù)。為一個(gè)整數(shù)，并畫(huà)出周期序列的頻譜及頻譜密度函數(shù)。解： 因 是一個(gè)周期為N的序列，將其直接開(kāi)展成復(fù)指數(shù)形式，得 ，故周期序列的頻譜 。即一個(gè)周期內(nèi)有一對(duì)譜線(xiàn)出現(xiàn)在 處。 周期序列的頻譜密度函數(shù)的形式可表達(dá)為 周期序列的頻譜及頻譜密度函數(shù)分別如圖6.3-3(a)和(b)所示。 kxkkx0cos02Nkkx0cos)(21cos000kjkjeekkx211C1)2()2()(00nneXnj(a) (b)圖圖6.3-3【例【例6.3-4】計(jì)算周期信號(hào)】計(jì)算周期信號(hào) 的頻譜密度函數(shù)的頻譜密度函數(shù).解： 根據(jù) ，可得 。其頻譜密度函數(shù)如圖6.3-4所示。圖圖6.3-4 周期序列

38、的頻譜密度函數(shù)周期序列的頻譜密度函數(shù) nnNkkxnnNkkxNCn1)/2(21)(NnNeXnj【例【例6.3-5】 試證明非周期的離散序列試證明非周期的離散序列 的時(shí)域求和。的時(shí)域求和。 ； 。 kx，時(shí)當(dāng)對(duì)于0| )(, 0jnmeXmx)1/()(jjeeX其頻譜為時(shí)，當(dāng)0| )(0jeXnjjjneXeeX)2(| )()1 ()(0其頻譜為解：令 則 將上式兩邊取傅里葉變換，得 顯然，當(dāng) 時(shí)， 雖然存在 ，不存在直流分量，故頻譜為 ； 當(dāng) 時(shí)， 存在直流分量， ，其頻譜密度函數(shù)存在無(wú)限個(gè)沖擊。故頻譜為)(, ),(jkmjeYkymxkyeXkx 11kxmxmxkykykmkm

39、)1 ( / )()(),()()(jjjjjjjeeXeYeXeYeeY0| )(0jeX)(jeY00)1 ( / )(jjeeX0| )(0jeX)(jeY0| )(jeYkjjjkeXeeX)2(| )()1/()(0【例【例6.3-6】 試求試求 的頻譜。的頻譜。解： 因 ， 則 故 。kmmku1)(jeXkkx1| )(0jeXnjneku)2()1 ( 16.3.2 線(xiàn)性移位不變離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)線(xiàn)性移位不變離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)非周期序列的響應(yīng)非周期序列的響應(yīng) 根據(jù)線(xiàn)性移位不變（LTI）離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)序列的響應(yīng)，當(dāng)系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為 時(shí)，當(dāng)輸入時(shí)，則系統(tǒng)輸出為 令 ， 為數(shù)字頻率

40、，可得系統(tǒng)輸出為 （6.3-6） 當(dāng)輸入信號(hào)為 ，可得系統(tǒng)輸出為 （6.3-7） khkjkezkxnnknnkznhzznhkxkhky*jez kjjkjeeHezHky)()(njjedeX)(21kjjjeeHdeXky)()(216.3.2 線(xiàn)性移位不變離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)線(xiàn)性移位不變離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)非周期序列的響應(yīng)非周期序列的響應(yīng) 當(dāng)輸入信號(hào)為 時(shí)，可得系統(tǒng)輸出為（6.3-8）式中令 ，則 稱(chēng)為輸出 的頻譜。 deeXkxnjj)(21deeHeXkjjj)()(21)()()(jjjeHeXeY)(jeYky【例【例6.3-7】一個(gè)離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)】一個(gè)離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) ，求

41、，求該系統(tǒng)對(duì)任一輸入離散信號(hào)時(shí)的響應(yīng)。該系統(tǒng)對(duì)任一輸入離散信號(hào)時(shí)的響應(yīng)。解： 因 故 可見(jiàn)該系統(tǒng)輸出的頻譜對(duì)輸入的響應(yīng)的頻譜僅僅產(chǎn)生一個(gè)相移。 輸出 為 可見(jiàn)該系統(tǒng)輸出的時(shí)域響應(yīng)對(duì)于輸入信號(hào)僅僅產(chǎn)生一個(gè)時(shí)移。mkkh)(,jmjeXkxemkkhmjjjjjeeXeHeXeY)()()()(ky).(21)(mkxdeeXkymkjj【例【例6.3-8】已知某因果】已知某因果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的 ， (1) 求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)求系統(tǒng)的頻率響應(yīng) ；(2) 求輸入為求輸入為 時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)。時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)。解：(1) (2)根據(jù) ，我們分別考慮 兩種情況。 ) 1|(|akuakhk)(jeH) 1|(|

42、bkubkxk) 1(11)()(00bbebeebekxeXjkkjkkjkkkjj)1)(1 (1)()()(jjjjjbeaeeXeHeY) 1|(|11)()(00aaeaeeaekheHjnkjkkjkkkjj)1)(1 (1jjbeaebaba 和 ， 系統(tǒng)響應(yīng) ， 系統(tǒng)響應(yīng)ba )1)()1)()1)(1 (1)(jjjjjbebabaebaabeaeeYkubbabkuabaakykkba daedeajaeeYjjjj11)1 (1)(2) 1(kuakkyk6.4 離散傅里葉變換離散傅里葉變換6.4.1 DFT的定義的定義 6.4.2離散傅里葉變換的應(yīng)用離散傅里葉變換的應(yīng)用

43、 6.4.1 DFT的定義的定義 在我們實(shí)際生活中，經(jīng)常遇到的是有限長(zhǎng)的非周期序列。由于非周期序列 的傅里葉變換是個(gè)連續(xù)的頻率函數(shù) ，不方便進(jìn)行數(shù)字處理。若把給定的有限長(zhǎng)序列 ，作周期開(kāi)拓得 ，則就是一個(gè)以N為周期的離散時(shí)間序列，其傅里葉系數(shù)為 。 是一個(gè)離散的、周期的頻譜，其周期為N。取 中的一個(gè)周期，記以 ，則得N點(diǎn) 序列 （6.4-1）為了計(jì)算方便，我們引入符號(hào) （6.4-2） （6.4-3）稱(chēng)為有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換, 簡(jiǎn)稱(chēng)為DFT。kx)(jeXNkkx0,kxNkkNjnnekxNC)/2(1nCnCnXnX1,.,1 , 0,1)(10)/2(NkekxNCnXNknNjkn

44、NjeW/21,.1 , 0,110NkWkxNnXNkkn 則序列 可表達(dá)為：（6.4-4） DFT變換對(duì)也可寫(xiě)成矩陣形式，即 （6.4-5） （6.4-6） kx1,.,1 , 0,10NnWnXkxNnkn 1 1 0 1. 1 02)1(1)1(0)1(1110000NXXXWWWWWWWWWNxxxNNN 1 1 01 1 1 02)1(1)1(0)1(1110000NxxxWWWWWWWWWNNXXXNNN 從DFT的定義可以看到，對(duì)于一個(gè)周期序列的 ，取其中的一個(gè)周期作DFT可得到一個(gè)N點(diǎn) 序列，以 作周期開(kāi)拓可得到周期序列 的 。對(duì)于一個(gè)有限長(zhǎng)非周期序列的作一個(gè)周期開(kāi)拓，取其中

45、的一個(gè)周期作DFT可得到一個(gè)N點(diǎn)序列，以 作離散傅里葉反變換可得一個(gè)N點(diǎn)的有限長(zhǎng)非周期序列 。 離散傅里葉變換與離散傅里級(jí)數(shù)以及離散時(shí)間傅里葉變換之間有緊密聯(lián)系，離散傅里葉變換的很多性質(zhì)在離散傅里葉級(jí)數(shù)和離散時(shí)間傅里葉變換中都找到對(duì)應(yīng)的性質(zhì)。并且其性質(zhì)與連續(xù)傅里葉變換與傅里級(jí)數(shù)相似，詳見(jiàn)教材P175表6.4-1。kxnXnXkxnCkxnXnXkx【例【例6.4-1】 計(jì)算周期序列計(jì)算周期序列 的的DFT。解： N=4， ，得令 依次代入上式，可得即 1 , 1 , 1 , 1kxjeWj4/2)()()(1 4113210nnnNkknjjjWkxNnX3 , 2 , 1 , 0n0)11

46、(4130) 1111 (412011 41 1 1 1111 410jjXXjjXXnnX【例【例6.4-2】 計(jì)算周期序列計(jì)算周期序列 的的DFT。解： N=4， ，得 0 , 1 , 2 , 1kxjeWj)4/2(4 32 1 041 32 1 09630642032100000 xxxxWWWWWWWWWWWWWWWWXXXX2021012111111111111141jjjjjj6.4.2離散傅里葉變換的應(yīng)用離散傅里葉變換的應(yīng)用 1. DFT對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的應(yīng)用 (1) 用N點(diǎn)復(fù)序列DFT同時(shí)計(jì)算兩個(gè)N點(diǎn)實(shí)序列DFT 通常要求計(jì)算DFT的原始序列都為實(shí)序列，如果應(yīng)用DFT對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，可以只

47、用一次點(diǎn)序列的DFT計(jì)算，同時(shí)算出兩個(gè)點(diǎn)實(shí)序列的DFT系數(shù)，從而提高一倍計(jì)算效率。具體做法如下： 令 和 是兩個(gè)要求計(jì)算DFT系數(shù)的N點(diǎn)實(shí)序列，設(shè)它們的DFT系數(shù)分別為 和 。現(xiàn)在再按以下公式組成一個(gè)新序列 ， 為一個(gè)復(fù)序列，可以按公式 (5.4-2 )計(jì)算出它的DFT系數(shù) 。從 出發(fā)，通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算推出要求計(jì)算的 和 。 kx1 kx2 nX1 nX2 21kjxkxky ky nY nY nX2 nX1 根據(jù)DFT 線(xiàn)性性質(zhì)有 按對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可得 從上面四個(gè)方程以 和 的實(shí)部和虛部為已知數(shù)， 和 的實(shí)部和虛部為未知數(shù)，可以解出 ： njXnXWkjxkxnYknNk211021 nXnXnNY

48、nXnXnNYnXnXnY212121ReIm-ImImReReReImIm nYnNX nX1 nX2 (6.4-7) (6.4-8) (6.4-9) (6.4-10) 這樣只需作一次復(fù)序列的DFT，通過(guò)公式( 6.4-7) (6.4-10) 的組合就可以得到兩個(gè)實(shí)序列的DFT系數(shù)了。 2)Re()Re(Re1nNYnYnX 2)Im()Im(Im1nNYnYnX 2)Im()Im(Re2nYnNYnX 2)Re()Re(Im2nYnNYnX(2)利用N點(diǎn)復(fù)序列的DFT計(jì)算2N點(diǎn)實(shí)序列的DFT 利用DFT的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，也可以用N點(diǎn)復(fù)序列的DFT來(lái)計(jì)算2N點(diǎn)實(shí)序列的DFT。為此，令 是一個(gè)2N點(diǎn)

49、實(shí)序列，并把它分解為兩個(gè)N點(diǎn)實(shí)序例 和 ： (6.4-11)即 是 中偶數(shù)序列號(hào)的點(diǎn)組成的序列， 是 中奇數(shù)序號(hào)的點(diǎn)組成的序列。把 和 組成N點(diǎn)復(fù)數(shù)序列 ： 。 kx kx1 kx2 1,.,1 , 0,12,221Nkkxkxkxkx kx1 kx kx2 kx kx1 kx2 ky kjxkxky21 令令 的的DFT為為 。一旦。一旦 計(jì)算出以后，按上面的方法計(jì)算出以后，按上面的方法從公式從公式( 6.4-7) -(6.4-10)( 6.4-7) -(6.4-10)可以推出可以推出 和和 的的DFT DFT 和和 。這樣。這樣 的的DFT DFT 可以按下面公式計(jì)算：可以按下面公式計(jì)算：

50、 (6.4-13)(6.4-13)式中式中 , , 。 離散傅里葉變換在數(shù)字信號(hào)處理的理論和實(shí)踐中有著重要離散傅里葉變換在數(shù)字信號(hào)處理的理論和實(shí)踐中有著重要的意義，就實(shí)踐而言，面臨的是如何把它具體算出來(lái)的問(wèn)題。的意義，就實(shí)踐而言，面臨的是如何把它具體算出來(lái)的問(wèn)題。研究這類(lèi)算法稱(chēng)為快速傅里葉變換算法，簡(jiǎn)稱(chēng)研究這類(lèi)算法稱(chēng)為快速傅里葉變換算法，簡(jiǎn)稱(chēng)FFTFFT。 ky nY nY kx1 kx2 nX1 nX2 kx nX 1,.1 , 022110221011202NknXWnXWkxWWkxWkxnXnNnkNNknNNknkNNknkNeNjNW2eNjNW22. 利用DFT方法計(jì)算信號(hào)的頻譜

51、(1)若 是一個(gè)以N為周期的離散時(shí)間序列，其離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)為 。其中傅里葉系數(shù) 也稱(chēng)為 的頻譜系數(shù)。 從DFT的定義可知，因 是以N為周期的離散頻率序列，取 中的一個(gè)周期，記以 。故對(duì)于一個(gè)周期序列的 ，取其中的一個(gè)周期作DFT可得到一個(gè)N點(diǎn)序列 ，可得 （6.4-14） 故周期序列的頻譜 是一個(gè)離散的、周期的頻譜，其周期為N。kx10)/2()/2(11NknNjkNknNjknekxNekxNCnCkxnCnCnXkxnX1,.1 , 0,NnnXCnnC(2)若 是一個(gè)有限長(zhǎng)非周期的離散時(shí)間序列，對(duì)于非周期序列 的離散傅里葉變換，是把周期序列在周期的 極限情況下導(dǎo)出的。 因此，對(duì)于一

52、個(gè)有限長(zhǎng)非周期序列 的作一個(gè)周期開(kāi)拓，取其中的一個(gè)周期作DFT可得到一個(gè)N點(diǎn)序列 ，又因 ，則有 （6.4-15） 故非周期序列 的頻譜 是 的包絡(luò)，是一個(gè)連續(xù)、周期的的頻譜，其周期為 。 kxkxNkxnXnXCn1,.,1 , 0,/2NnnNXeXNnjkxjeXnNX2(3)對(duì)于一個(gè)周期模擬信號(hào) ，其頻譜就是連續(xù)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) ，是一個(gè)離散譜。在滿(mǎn)足取樣定義的條件下，可對(duì) 在 時(shí)采樣，得到一個(gè)周期序列，其中一個(gè)周期內(nèi) 。 這里 ， ， T、 分別代表時(shí)域和頻域的取樣間隔。取其中的一個(gè)周期作DFT可得到一個(gè)N點(diǎn)序列 ，則頻譜 （6.4-16）故周期模擬信號(hào) 的頻譜 是一個(gè)離散的非周期的的

53、頻譜。 tXnF tX nt kttXkX) 1,.,1 , 0(Nk20N0TnX1,.,1 , 0,)(0NnnXFknk一個(gè)周期 tXkF(4)對(duì)于一個(gè)非周期有限長(zhǎng)度的模擬信號(hào) ，其頻譜 是一個(gè)連續(xù)譜。在滿(mǎn)足取樣定義的條件下，可對(duì) 在 時(shí)采樣，得到一個(gè)非周期有限長(zhǎng)度序列，其中一個(gè)周期內(nèi) 。 對(duì)于一個(gè)有限長(zhǎng)非周期序列的 作一個(gè)周期開(kāi)拓，取其中的一個(gè)周期作DFT可得到一個(gè)N點(diǎn) 序列，若用T、 分別代表時(shí)域和頻域的取樣間隔，若模擬信號(hào)的有限長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則 。故有 （6.4-17） 故非周期模擬信號(hào) 的頻譜 是一個(gè)周期的 的包絡(luò)，是一個(gè)連續(xù)的非周期的頻譜。 tX)(jX tX kt kttXkX) 1,.,1 , 0(NkkX)(nXTNL 1,.,1 , 0,| )(NnnNXjXn一個(gè)周期 tX)(jXnNX3. 利用DFT 求離散系統(tǒng)響應(yīng)(1)若