定積分的概念

1、定積分的 概念吳樹恒吳樹恒引入曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積變速運(yùn)動(dòng)的路程變速運(yùn)動(dòng)的路程01111( )( )3limlimnniixniiSfxfn 011( )( )limlimnniixniiSfxfnba 01115( )( )3limlimnniitniisvtvn 011( )( )limlimnniitniisvtvnba 011( )( )limlimnniixniibaSfxfAn 在前面我們通過在前面我們通過分割分割、近似代替近似代替、求和求和、取極限取極限四個(gè)步四個(gè)步驟解決了曲邊梯形的面積和變速運(yùn)動(dòng)的路程問題，得到驟解決了曲邊梯形的面積和變速運(yùn)動(dòng)的路程問題，得到了兩個(gè)式子：

2、了兩個(gè)式子：01x01t axbatb 新課講授新課講授定積分的概念定積分的概念如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點(diǎn)：上連續(xù)，用分點(diǎn)：121oiinaxxxxxxb將區(qū)間將區(qū)間a,b等分成等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間 上任取上任取一點(diǎn)一點(diǎn) ，作和式：，作和式：1,iixx(1,2, )iin11( )( )nniiiibafxfn 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)常數(shù)叫做叫做函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b的的定積分定積分，記作，記作 ，即：，即：n ( )baf x dx1( )( )limnbian

3、ibaf x dxfn簡單來講，定積分就是通過分割，近似代替，求和，取極簡單來講，定積分就是通過分割，近似代替，求和，取極限后得到的限后得到的常數(shù)常數(shù)。更簡單說，。更簡單說，定積分就是一個(gè)常數(shù)定積分就是一個(gè)常數(shù)。思考思考：什么是定積：什么是定積分？求定積分時(shí)應(yīng)分？求定積分時(shí)應(yīng)注意些什么？定積注意些什么？定積分的值跟哪些因素分的值跟哪些因素有關(guān)？有關(guān)？注：注： badxxf)( badttf)( baduuf)(1( )lim( )ninibaf x dxfnba即（1）所給函數(shù)一定要是連續(xù)函數(shù)）所給函數(shù)一定要是連續(xù)函數(shù)定積分的相關(guān)名稱：定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號(hào)，叫做積分號(hào)， f(x) 叫

4、做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達(dá)式，叫做被積表達(dá)式， x 叫做積分變量，叫做積分變量， a 叫做積分下限，叫做積分下限， b 叫做積分上限，叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。叫做積分區(qū)間。定積分的定義定積分的定義：1( )lim( )ninibaf x dxfnba即動(dòng)動(dòng)手動(dòng)動(dòng)手請同學(xué)們動(dòng)手試試將求曲邊梯形面積和變速運(yùn)動(dòng)的路程請同學(xué)們動(dòng)手試試將求曲邊梯形面積和變速運(yùn)動(dòng)的路程中的兩個(gè)式子表示成定積分。中的兩個(gè)式子表示成定積分。112001( )3Sf x dxx dx曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積變速運(yùn)動(dòng)中的路程變速運(yùn)動(dòng)中的路程112005( )(2)3sv t dtt

5、dt由由x=0,x=1,y=0與與f(x)=x2圍成的曲邊梯形的面積。圍成的曲邊梯形的面積。汽車以汽車以v(t)=-t2+2在在0t1時(shí)刻內(nèi)行程的路程。時(shí)刻內(nèi)行程的路程。動(dòng)動(dòng)腦動(dòng)動(dòng)腦iB、與、與f(x)有關(guān)，與區(qū)間有關(guān)，與區(qū)間a,b以及以及 的取法無法的取法無法iC、與、與f(x)以及以及 的取法有關(guān)，與區(qū)間的取法有關(guān)，與區(qū)間a,b無關(guān)無關(guān)iD、與、與f(x)、積分區(qū)間、積分區(qū)間a,b和和 的取法有關(guān)的取法有關(guān)A、與、與f(x)和積分區(qū)間和積分區(qū)間a,b有關(guān)，與有關(guān)，與 的取法無關(guān)的取法無關(guān)i定積分定積分 的大?。ǖ拇笮。?）( )baf x dxA思考思考閱讀課本閱讀課本46頁，學(xué)習(xí)定積分的

6、幾何意義。試用一句簡單頁，學(xué)習(xí)定積分的幾何意義。試用一句簡單的語言描述定積分的幾何意義。的語言描述定積分的幾何意義。定積分的幾何意義定積分的幾何意義 從幾何上看，如果在區(qū)間從幾何上看，如果在區(qū)間a,b上函數(shù)連續(xù)且恒有上函數(shù)連續(xù)且恒有f(x) 0時(shí)時(shí), , 定定積分積分 表示由曲線表示由曲線y f(x)、直線直線x a、x b與與x軸軸所圍成的曲邊梯形的面積所圍成的曲邊梯形的面積. . ( )baf x dxOx yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 練一練練一練說說下列兩個(gè)式子的幾何意義。說說下列兩個(gè)式子的幾何意義。221x dx30(1)xdx（1）（2）（

7、3）102dxOx y1( )yf x2( )yfx探究探究ababOx y1( )yf x根據(jù)定積分的幾何意義根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部如何用定積分表示圖中陰影部分的面積分的面積?11()baSfx dx1212( )( )bbaaS S Sf xdxf xdx 2( )yfx22( )baSf x dx1212( )( )bbaaS S Sf xdxf xdx 舉例說明舉例說明例、利用定積分的定義，計(jì)算例、利用定積分的定義，計(jì)算 的值。的值。10 xdx解：令解：令 ( )f xx（1）分割）分割（2）近似代替）近似代替（3）求和）求和取取 ，則，則iin1( )(

8、)iiiiSSfxnn n 111( )( )nnniiiiSfxnn n 2221111 (1)11(12)222nin ninnnnn將區(qū)間將區(qū)間0,1分割成分割成n個(gè)小區(qū)間，記第個(gè)小區(qū)間，記第i i個(gè)小區(qū)間為個(gè)小區(qū)間為 ，則每個(gè)小區(qū)間的長度為，則每個(gè)小區(qū)間的長度為 。1, iinn(1,2, )in1xn （4）取極限）取極限10111limlim()222nnnxdxSn01yxxy舉例說明舉例說明例、利用定積分的定義，計(jì)算例、利用定積分的定義，計(jì)算 的值。的值。10 xdx01yxxy解：由定積分的幾何意義可知，所求定積分即為由解：由定積分的幾何意義可知，所求定積分即為由x=0,x=

9、1,y=0與與f(x)=x所圍成的三角形的面積。所圍成的三角形的面積。所以所以 1(1 0) 12S 1012xdx變式變式1：利用定積分的定義，計(jì)算：利用定積分的定義，計(jì)算 的值。的值。20 xdx變式變式2：利用定積分的定義，計(jì)算：利用定積分的定義，計(jì)算 的值。的值。 102dx小結(jié)小結(jié)1、定積分的概念：、定積分的概念：1( )lim( )ninibaf x dxfnba2、定積分的幾何意義：、定積分的幾何意義： 從幾何上看，如果在區(qū)間從幾何上看，如果在區(qū)間a,b上函數(shù)連續(xù)且恒有上函數(shù)連續(xù)且恒有f(x) 0時(shí)時(shí), , 定定積分積分 表示由曲線表示由曲線y f(x)、直線直線x a、x b與

10、與x軸軸所圍成的所圍成的曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積. . ( )baf x dx作業(yè)作業(yè)P50 5T舉例說明舉例說明例、利用定積分的定義，計(jì)算例、利用定積分的定義，計(jì)算 的值。的值。130 x dx解：令解：令 3( )f xx（1）分割）分割（2）近似代替）近似代替（3）求和）求和取取 ，則，則iin31( )( )iiiiSSfxnnn 3111( )( )nnniiiiSfxnnn 322244111 111(1)(1)44niin nnnn將區(qū)間將區(qū)間0,1分割成分割成n個(gè)小區(qū)間，記第個(gè)小區(qū)間，記第i i個(gè)小區(qū)間為個(gè)小區(qū)間為 ，則每個(gè)小區(qū)間的長度為，則每個(gè)小區(qū)間的長度為 。1, iinn(1,2, )in1xn （4）取極限）取極限1320111limlim(1)44nnnx dxSn230 x dx問問：（1）變