黑體輻射規(guī)律的研究

1、黑體輻射規(guī)律的研究湖南大學(xué) XX院系 XX 專業(yè) XX年級姓名 學(xué)號問題 黑體輻射的規(guī)律在任何溫度下對任意波長的電磁波只吸收不反射的物體稱為絕對黑體，簡稱黑體。根據(jù)實驗得出兩個實驗規(guī)律。黑體的總輻射本領(lǐng)(能力)為E(T) = T4，這就是斯特潘-玻爾茲曼定律，其中， = 5.67×10-8W/(m2·K4)，稱為斯特潘常數(shù)。黑體的單色輻射本領(lǐng)(能力)的峰值波長與溫度的關(guān)系為Tm = b，這就是維恩位移定律，其中，b = 2.897×10-3m·K，b稱為維恩常數(shù)。根據(jù)普朗克提出的黑體輻射公式，計算斯特潘常數(shù)和維恩常數(shù)。以溫度為參數(shù)，單色輻射本領(lǐng)與波長的曲

2、線有什么特點，峰值與波長的關(guān)系曲線有什么特點？數(shù)學(xué)模型黑體的單色輻射本領(lǐng)是在單位時間內(nèi)從物體表面單位面積上所發(fā)射的波長在到 + d范圍內(nèi)的輻射能量dE(,T)與波長間隔d之比， (14.1.1)M(,T)表示在單位時間內(nèi)從物體表面單位面積發(fā)射的波長在附近單位波長間隔內(nèi)的輻射本領(lǐng)，是波長和溫度的函數(shù)，其單位是W/m3。普朗克提出的黑體單色輻射本領(lǐng)的公式為， (14.1.2)其中，k為玻爾茲曼常數(shù)，h為普朗克常數(shù)，c為真空中的光速。對波長從0到無窮大積分就得總輻射本領(lǐng)，即：黑體單位面積輻射能量的功率， (14.1.3)設(shè) ， (14.1.4)(14.1.2)式可化為， (14.1.5)由(14.1

3、.4)式得，所以(14.1.3)式可化為， (14.1.6)其中，為常數(shù)，I為積分。 (14.1.7)手工計算積分I比較麻煩，其步驟如下，設(shè)y = nx，可得。由此可得CI = 5.6688×10-8。 (14.1.8)這就是斯特潘常數(shù)。當(dāng)波長趨于零時，單色輻射本領(lǐng)趨于零；當(dāng)波長趨于無窮大時，單色輻射本領(lǐng)也趨于零。因此單色輻射本領(lǐng)隨波長的變化有極值。令dM (x,T)/dx = 0，可得方程：x = 5(1 - e-x)， (14.1.9)一般用迭代算法計算上式之值，除了零解之外，可得xm的值為4.965，由(14.1.4)式可得維恩常數(shù)= 0.0029。 (14.1.10)這就是維

4、恩常數(shù)。理論值與實驗值符號得很好。算法用MATLAB的符號積分計算積分可直接計算I的值，從而計算斯特潘常數(shù)。設(shè)， (14.1.5*)用MATLAB的符號導(dǎo)數(shù)先求y的導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)數(shù)的零解而得xm之值，從而計算維恩常數(shù)。取溫度為參數(shù)向量，取波長為自變量向量，形成溫度和波長矩陣，根據(jù)普朗克黑體輻射公式可直接計算單色輻射本領(lǐng)，畫出以波長為自變量的曲線族。每條曲線的峰值坐標(biāo)可用最大值指令獲得，至于峰值曲線則根據(jù)維恩定律計算。程序Plank1.m如下。%溫度不同的普朗克黑體單色輻射能力與波長的曲線clear %清除變量k=1.38054e-23; %玻爾茲曼常數(shù)h=6.626e-34; %普朗克常數(shù)c=2.

5、997925e8; %光速sigma=5.6688e-008; %斯特潘常數(shù)b=0.0029; %維恩常數(shù)t=1400:100:2000; %熱力學(xué)溫度向量n=length(t); %向量長度lambda=0:0.01:5*1e-6; %波長向量lambda(1)=eps; %給零加一小量使分母不為零T,L=meshgrid(t,lambda); %波長和溫度矩陣M=2*pi*h*c2./(exp(h*c./(k*T.*L)-1)./L.5;%單色輻射能力figure %創(chuàng)建圖形窗口plot(lambda*1e6,M) %畫曲線hl=legend(repmat('itTrm='

6、,n,1),num2str(t'),repmat('K',n,1);%標(biāo)記圖例fs=16; %字體大小set(hl,'fontsize',fs) %設(shè)置圖例大小grid on %加網(wǎng)格title('普朗克黑體單色輻射能力與波長的關(guān)系','fontsize',fs)%標(biāo)題xlabel('波長itlambdarm/mum','fontsize',fs)%橫坐標(biāo)yl='單色輻射能力itMrm(itlambdarm,itTrm)/(Wcdotm-3)'%縱坐標(biāo)字符串ylabel(yl

7、,'fontsize',fs) %縱坐標(biāo)txt='itbrm=' num2str(b) 'mcdotK' %維恩常數(shù)文本txt=txt ',itsigmarm=' num2str(sigma) 'W/(m2cdotK4)'%斯特潘常數(shù)文本text(0,max(M(:)/10,txt,'fontsize',fs) %顯示常數(shù)hold on %保持圖像mx,ix=max(M); %找最大值和下標(biāo)stem(lambda(ix)*1e6,mx,'-','filled') %畫

8、直桿圖text(lambda(ix)*1e6,mx,num2str(lambda(ix)'*1e6),'fontsize',fs)%顯示峰值波長t=1300:2020; %較密的溫度向量lambda=b./t; %波長向量m=2*pi*h*c2./(exp(h*c./(k*t.*lambda)-1)./lambda.5;%單色輻射能力向量plot(lambda*1e6,m) %畫峰值曲線圖示(1)取溫度為參數(shù)，黑體的單色輻射本領(lǐng)與波長的關(guān)系如P圖所示。不論溫度是多少，單色輻射本領(lǐng)隨波長的增加先增加再減小，峰值波長與溫度的關(guān)系遵守維恩位移律：峰值波長與溫度成反比。溫度升高

9、時，峰值波長變短，峰變高。(2)曲線下的面積表示總輻射本領(lǐng)，溫度越高，曲線下的面積越大，總輻射本領(lǐng)越強(qiáng)。P圖 程序Plank2.m如下。%普朗克黑體單色輻射斯特潘常數(shù)和維恩常數(shù)求法clear %清除變量k=1.38054e-23; %玻爾茲曼常數(shù)h=6.626e-34; %普朗克常數(shù)c=2.997925e8; %光速syms x %定義符號變量y=x3/(exp(x)-1); %被積函數(shù)i=int(y,0,inf) %求積分sigma=eval(2*pi*k4/h3/c2*i) %求斯特潘常數(shù)y=x5/(exp(x)-1); %普朗克約化公式d=diff(y) %求符號導(dǎo)數(shù)s=solve(d) %求符號零解e=eval(s) %求零解的數(shù)值b=h*c/e/k %求維恩常數(shù)結(jié)果i =1/15*pi4sigma = 5.6688e-008d =5*x4/(exp(x)-1)-x5/(