計算方法的課后答案解析

1、計算方法習題答案第一章數(shù)值計算中的誤差1 .什么是計算方法？(狹義解釋)答：計算方法就是將所求的的數(shù)學問題簡化為一系列的算術運算和邏輯運算，以便在計算機上編程上機，求出問題的數(shù)值解，并對算法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差進行分析、計算。2 . 一個實際問題利用計算機解決所采取的五個步驟是什么？答：一個實際問題當利用計算機來解決時，應采取以下五個步驟：實際問題一建立數(shù)學模型一構造數(shù)值算法一編程上機一獲得近似結果3 54 .利用秦九韶算法計算多項式 P(x) x X5-所以，多項式P(x) x x x 4在x 3處的值P( 3)223。5.敘述誤差的種類及來源。答：誤差的種類及來源有如下四個方面： X(2

2、)觀測誤差：在建模和具體運算過程中所用的一些原始數(shù)據(jù)往往都是通過觀測、 4在x 3處的值，并編程獲得解。解：P(x) x5 0 x(1)模型誤差：數(shù)學模型是對實際問題進行抽象，忽略一些次要因素簡化得到的，它是原始問題的近似， 即使數(shù)學模型能求出準確解，也與實際問題的真解不同，我們把數(shù)學模型與實際問題之間存在的誤差稱為模型誤差。 x3 0 x2 x 4 ,從而10-101-4-3-39-2472-2191-38-2473-223實驗得來的，由于儀器的精密性，實驗手段的局限性，周圍環(huán)境的變化以及人們的工作態(tài)度 和能力等因素，而使數(shù)據(jù)必然帶有誤差，這種誤差稱為觀測誤差。（3）截斷誤差：理論上的精確值

3、往往要求用無限次的運算才能得到，而實際運算時只能用有限次運算的結果來近似，這樣引起的誤差稱為截斷誤差（或方法誤差）。（4）舍入誤差：在數(shù)值計算過程中還會用到一些無窮小數(shù)，而計算機受機器字長的限制，它所能表示的數(shù)據(jù)只能是一定的有限數(shù)位，需要把數(shù)據(jù)按四舍五入成一定位數(shù)的近似的有理數(shù)來代替。這樣引起的誤差稱為舍入誤差。6.掌握絕對誤差（限）和相對誤差（限）的定義公式。. * . . . 答：設x是某個量的精確值，x是其近似值，則稱差 e x x為近似值x的絕對誤差 = - - * （簡稱誤差）。若存在一個正數(shù) 使e x x ,稱這個數(shù) 為近似值x的絕對誤差限（簡稱誤差限或精度）。*,一、， *e x

4、 x把絕對誤差 e與精確值x之比e. 一稱為近似值 x的相對誤差，稱 x x . . , * ，一 , , -r為近似值x的相對誤差限er,由于真值x是未知的，所以常常用x*x x e er *來表示相對誤差，于是相對誤差可以從絕對誤差求出。x x7 .近似值的規(guī)格化表示形式如何？m答：一般地，對于一個精確值x，其近似值x的規(guī)格化形式為x0.xx2xp 10 ,其中X0,xi0,1,2, 9 （i 1,2, p）, p為正整數(shù)，m為整數(shù)。8 .有效數(shù)字的概念是什么？掌握有效數(shù)字與誤差的關系。答：若近似值x的（絕對）誤差限是它的某一位的半個單位，也就是說該近似值準確到這一位，且從該位起直到前面第

5、一個非零數(shù)字為止的所有數(shù)字都稱為有效數(shù)字。若近似值x的（絕對）誤差限為 e x x 2 10m n,則稱x為具有n位有效數(shù)字的有效數(shù)，或稱它精確到 10m n位，其中的每一位數(shù)字 xi,x2, xn都是x的有效數(shù)字。設精確值x的近似值x的規(guī)格化形式為x0.x1x2 xD 10 ,右x具有n位有p效數(shù)字，則其相對誤差限為er 101 n ；反之，若x的相對誤差限為 2x111 n e 10,則x至少有n位有效數(shù)字。2（x1 1）9.下列各數(shù)都是對真值進行四舍五入后獲得的近似值，試分別寫出它們的絕對誤差限，相對誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。 x10.024 (2) x250.4135(3)x3 57.5

6、0 (4)x4 60000(5)x5 8 10 ；解：（1） e(2) e(3) e(4) e(5) ex1*乂2x1x2*x3x3x4x4x5x50.0005; er0.00005; er0.005； er0.5 ； er0.5 ； erel0.0021 ；有三位有效數(shù)字。0.000121；有四位有效數(shù)字。0.000087;有四位有效數(shù)字。0.0000084；有五位有效數(shù)字。0.000000625；有六位有效數(shù)字。10.為了使J19的相對誤差0.1% ,問至少應取幾位有效數(shù)字?解：由V19的首位數(shù)是. ,、 . .4.設近似數(shù)x有n位有效數(shù)字，由定理 4.1可知，相對誤差, *、1_ _ 1

7、 n .一 er(x )相z 101 n 0.001,解得n 3.097,即取4位有效數(shù)字，近似數(shù)的相對誤差不超過0.1% 。2*11 .已知 y P(x) x x 1150, x100T,x_ _ *33，計算y100p()及 yP(33),3并求X和y的相對誤差?！?100100 2100解：y p( ) ()2 () 11505.555553332y P(33) (33)2 (33) 115028e(x) x x 0.333一 一 * _ _e(y) y y 22.44444er(y)e,0.80158712 .寫出誤差估計的一般公式(以二元函數(shù)z f (x, y)為例)。解:二元函數(shù)z

8、 f(x,y)的絕對誤差:fe(z) 一 |(x,y) xfe( * * x) |(x,y) ye( y)二元函數(shù)的相對誤差:er(z)e(-z)zfle(y)|(x,y)y z一|(x,y) er ( y) y13 .用電表測得一個電阻兩端的電壓和流過的電流范圍分別為V 220 2V ,I 10 0.1A,求這個電阻的阻值 R ,并估算其絕對誤差和相對誤差。解：e(V) 2, e(I)。- V R0.1,又 R ,I V1 Rr,TV -O所以: 12其上界。解:e(R)e(V)Ri(v,i)RV 1(V,I) e(V)er(R)誓 R*Xi21.99 10 2。*1.03 0.01, X2

9、0.45 0.01 ,220101000.10.42計算2Xiex2的近似值，并估計 e(y)及y (1.03)10.45e2e(y).*(Xi1x；、/-e ) (Xi2x2).*(Xi、, *、Xi )( XiXi )1 / X； x2、2(ee)(x1x1)( x1x1)15 .已測得某場地長為e(d) d解：由可得:e(s)1101 Z X22(eex2)2.06l 110m,寬d的值為10e 0.01,已知e(l)0.1m,ld,7試求面積sd,% 二sl 1(l,d) e(l)sI(l,d) d0.2 80 0.1 30. (s)幽 s3.4 10 3。ld的絕對誤差限和相對誤差限

10、。e(l) l le(d)0.2m, e(d)s I(l,d) e(l )s,1(l,d) d.*、(X2,X2)e(d)16 .掌握二元函數(shù)的加、減、乘、除和開方運算的絕對誤差和相對誤差估計公式。解：(1 )力口、減運算:由于 xx y / y 1, x y / x 1,1,0.2m0.1me y ,erxer x y| y/ x yx/ xyer xy x/ x y er x y/ x y y/ x y er y，從而有 | er xery ,e x| |x/ xy | er x| er y |(2)乘法運算:E中 xy由于 xxyy, x,所以 e xyyexey ,er xyer x|

11、exy|y|ex | x|e y I(3)除法運算:, x由于(一)y1 e(x)yx 以 e(-) yxe(y)， yxer(-) er(x) er(y)y(4)乘方及開方運算:n 1nx ex ,ernner x由于nxn 所以exn x17 .求方程x256x 1 0的兩個根,使它至少具有4位有效數(shù)字(78327.982)。解：xi56( 56)2 4 1 128 27.982 55.782x2x155.7820.01786319 .求方程x216x 1 0的較小正根,要求有 3位有效數(shù)字。解：x116( 16)2 4 1 12 18 7.937 15.937x2cx1115.9370.

12、062747所以較小正根為x20.062747 。1.n x420 .設 I n 0 x e dx,n 0,1,2,10。(1)證明：In e nIn1,n 0,1,2,104；(2)給出一個數(shù)值穩(wěn)定的算法，并證明算法的穩(wěn)定性。1(1)證明：1n0 xnexdx,1， 一(2 ) In 1 (e 1 n)n、一 * 一 , 設 enIn I n，則11 dn xn 1 x x de e nx e dx e n1nl00n 1a 1el 2.*.I n 1 I n 1I n 2eo當n無限大時，en越小，所以該算法穩(wěn)定。1 xn21 .用遞推算法計算積分I n ndx, n01 4x0,1,2,

13、10,并驗證算法的數(shù)值穩(wěn)定性。解：I n14xn01 4x1 dx (41xn1dx01 xn1dx)01 4x4n1II n 14設e0e2e10*I1I114e0177 e04,*I 10I 10fe。所以該算法是穩(wěn)定的。12_ 2422 .設計一個計算 f (x) x 3x16x36的最小計算量的算法。122436解：f (x) x 3x 16x244 c 1212x x x x x 3 x x161224x x23 .什么是數(shù)值穩(wěn)定的算法？數(shù)值計算應遵循的六條規(guī)則是什么?答：一個算法如果原始數(shù)據(jù)有誤差(擾動)，而計算過程中舍入誤差不增長或增長可以控制，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的。否則，稱此

14、算法是數(shù)值不穩(wěn)定的。數(shù)值計算應遵循的六條規(guī)則是：（ 1 ） 選用數(shù)值穩(wěn)定的算法（計算公式）；（2） 盡量避免兩個相近數(shù)相減；（3） 盡量避免用絕對值很大的數(shù)作乘數(shù)；（4） 盡量避免用絕對值很小的數(shù)作除數(shù)；（5） 防止大數(shù)“吃掉”（或“淹沒”）小數(shù)（即合理安排運算順序）（6） 簡化計算步驟，減少運算次數(shù)。第二章非線性方程的數(shù)值解法1 .敘述零點定理的內容。答：設函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)且f (a) f(b) 0,則存在x (a,b)使一 *f(x ) 0,即f(x)在區(qū)間(a,b)內存在實的零點，稱區(qū)間a,b為方程的有根區(qū)間。2 .方程求根的兩個步驟是什么？確定方程有根區(qū)間的方法有哪些

15、？答：第一步 確定方程f(x) 0的有根區(qū)間。第二步 近似根的精確化。確定方程有根區(qū)間的方法有兩種：作圖法和逐步搜索法。33 .利用作圖法確定方程f(x) x x 1 0的有根區(qū)間。3,f(x) x x 1解：由于f(0)1 0, f(2) 8 2 1 5 0,于是，在區(qū)間(0,2)內至少有一個根，取步長h 0.5向右進行根的搜索，即計算f(0.5), f(1,0), f (1.5)的值得到f(0.5) 0, f(1.0) 0, f (1.5) 0 ,從而，原方程的有根區(qū)間縮小為(1,1.5)4.利用逐步搜索法確定方程f(x)x3 3x2 4x 3 0的有根區(qū)間。解：由于f(0) 3 0, f

16、 ( 1)5 0,于是，方程在(1,0)內至少有一個實根， 所以,1 C從x 1,取步長h 0.5向右進行根的搜索，即計算 f ( 0.5)得到f( 0.5) 0,從8一、，一，, 1而，原方程的有根區(qū)間縮小為(1,萬)。5,確定方程x3 4x2 10 0的有根區(qū)間。32解：由于函數(shù) f(x) x 4x10的定義域為，用逐步搜索法：由于f(0)10 0, f (2) 14 0,于是，方程在(0,2)內至少有一個實根，所以，從x 0,取步長h 0.5向右進行根的搜索，即計算f (0.5), f (1.0), f (1.5)的值得到f(0.5) 0, f(1) 0, f (1.5) 0 ,從而原方

17、程的有根區(qū)間縮小為(1,1.5)6 .二分發(fā)的基本思想是什么?解：二分發(fā)的基本思想是將方程f (x) 0的有根區(qū)間逐步分半，通過判別f (x)在端點的符號以及零點定理來縮小有根區(qū)間，使在足夠小的區(qū)間內使方程f (x) 0有且僅有一個根，并滿足給定的精度要求為止。7 .以方程f (x) 0的有根區(qū)間為 a, b為例(f (a) 0, f (b) 0),簡述二分法的具體作法。a b 解：第一步：將有根區(qū)間 a,b分半，用區(qū)間a,b的中點將a,b分為兩個相等2區(qū)間，計算中點的函數(shù)值f(、b)。若f(a£b) 0,則x* 亙就是方程f(x) 0的a ba b根；否則，若f ()0,由于f(x

18、)在左半?yún)^(qū)間 a, 內不變號，所以方程的有根22a ba b a b區(qū)間變?yōu)?ab,b 。同理，若f(b) 0,則方程的有根區(qū)間變?yōu)閍,b ,從而將222新的有根區(qū)間記為a1，b1,且區(qū)間a1,b1的長度僅為區(qū)間a,b的一半，即b&bac2第二步：對壓縮了的有根區(qū)間a1,b1又可施行同樣的方法，即用中點旦1將區(qū)2間a1,b再分為兩半，然后通過根的搜索判定所求的根位于哪半個區(qū)間，從而又確定一個新的有根區(qū)間 a2,b2 ,該區(qū)間的長度是區(qū)間a1,b1的一半。如此反復可得出一系列有根區(qū)間且具有關系a,ba，biak,bk其中后一個區(qū)間長是前一個區(qū)間長的一半，因此區(qū)間ak,bk的長度bk時，區(qū)

19、間ak,bk的長度必趨于零，即這些區(qū)間最終收縮于一點* 一 * 、.一、x ,顯然x就是方程f(x) 0的根。8.以方程f(x) 0的有根區(qū)間為 a,b ,精度要求為，試寫出利用二分法求該方程的近似根所需二分次數(shù)k的計算公式。解：若事先給定的精度要求為一 一 一一 *0 ,則只需xxk,b a ln 2ln2此時xk就是滿足給定精度要求的近似值，k為二分法的次數(shù)。9.用二分法求下列方程在給定的有限區(qū)間及精度要求下的近似值及二分次數(shù)k (編程)(1) f(x) xex 2解：xk 0.852600、342.(2) f(x) x 3x 4x解：xk 1.49999232(3) f(x) x 4x

20、10解：xk 1.3647463.(4) f (x) x x 1解：xk 1.32470710 .若應用二分法求方程 e x多少次？0.5,1k 1231,1.5k 151,2k 101,1.5k 13xn 0在區(qū)間0,1上誤2JD 0.0001JD 0.00001JD 0.0005JD 0.000051 _-一八 工的近似值，應一分 25解：其近似根為0.437500,應分k 5次。11 .迭代法的基本思想是什么?解：迭代法是一種逐次逼近法，首先給定方程f(x) 0的一個粗糙的初始近似根 X0,然后用一個固定公式反復校正這個根的近似值使之逐步精確化，直到滿足預先給定的精度要求為止。12 .迭

21、代法的具體做法如何？解：(1)將萬程f (x) 0改寫成等價形式 x(x)，在卞H x的附近任取一個初始近似根xo。(2)構造近似根序列：將 xo代入(x)計算得到xi(xo), 一般xixo ,再把x1作為新的近似根代入(x)得到x2(xi),重復上述步驟即可。13 .迭代法的幾何意義是什么？ 即 lim xkx (k )。 一答：方程x x的求根問題在幾何上就是確定曲線y x與直線y x交點p的*橫坐標x 。設迭代初值為xo,曲線yx上以xo為橫坐標的點為 Po,xo為Po點的縱坐標，過Po點引平行于x軸的直線，并與直線y x相交于Po ,其橫坐標為xixo ,然后過點Po引平行線于y軸的

22、直線，并與曲線y x的交點記作Pi,重復上述過程可得 點列Pi,P2, , Pk,他們橫坐標依次由迭代公式xk ixk , k o,i 所確定。如果. * 點列Pi,P2, , Pk,，逐步逼近P ,則迭代過程收斂，否則迭代過程發(fā)散。14 .敘述迭代過程收斂定理的內容。解：假設迭代函數(shù)滿足下列兩個條件(I)對任意的x a,b有a (x) b；(2)存在正數(shù)L I,使對任意x a,b有 (x) L io*則(i)對任息初值xo a,b迭代過程xk i(xj均收斂于萬程x (x)的根x ,(2)誤差事后估計公式為*XXkXk1 Xk 。15 .試構造收斂的迭代公式求解下列方程:/ 、 cosx s

23、in x(1) x ；(2) X解：(1 )將方程Xcosx sin x4改寫為一 2sin(X ),從而得到迭代公式42sin(Xk)Xk 1k 0,1,2,。4ln(4 x),從而得到迭代公式(2)將方程x 4 2X改寫為xXk 1 ln(4 Xk) k 0,1,2,。16 .判斷迭代法解方程f (x) x ln(x 2) 0在0,2內的根時所用的迭代過程的收斂性。解：將方程x ln(x 2) 0改寫為x ln(x 2),從而得到迭代公式 .,1.Xk 1ln(Xk 2), k 0,1,2,。則(x) ln(x 2)為迭代函數(shù)。由(x)1,x 2由定理3.2可得該迭代法是收斂的。17 .用

24、迭代法計算s 4；6 #6弋6 4/6的近似值。19 .牛頓法的基本思想是什么？具體做法如何？解：基本思想：牛頓迭代法實質上是一種線性化的方法，其基本思想是將非線性方程f(x) 0逐步歸結為某種線性方程來求解的方法。具體做法：設已知方程f (x) 0有近似根Xk ,將f (x)在Xk作一階泰勒展開，于是方程f(x)0可近似地表示為f(Xk)f (Xk)(x Xk) 0是一個線性方程，設 f (Xk) 0,則x Xk £4,于是就有牛頓迭代公式 Xk iXk0,1,2,。f (Xk)f (Xk)20 .牛頓法的幾何意義是什么？解：牛頓迭代法實質上是用過點(Xk, f (Xk)的切線與X

25、軸交點的橫坐標 Xk 1來逐步逼近曲線yf (x)與X軸交點的橫坐標X，所以牛頓法又叫切線法。2*22 .試證：用牛頓法求萬程 (x 2) (x 3) 0在1,3內的根x2是線性收斂的。f(xk)_ . _證明：由牛頓迭代公式Xk 1 Xk,k 0,1,2,可得f (Xk)f(x)2x2 3x 6(x) x (-) ，顯然，(2) 0 ,所以該迭代過程是線性收斂的。f (x) 3x 423 .用牛頓法求方程 x3 a 0 ,導出求立方根 Va的迭代公式，并討論其收斂性。解：設f(x) X3 a 0,得牛頓迭代公式為 Xk 1Xk 迎wa ,k 0,1,，牛頓3xk_3_3_2x a2x 2a

26、。 l迭代函數(shù) (X) 2,(X) 3,(3'a) 0 1,所以該迭代公式收斂。3x3x26 .正割迭代法的基本思想是什么？具體做法如何？幾何意義是什么？解：基本思想：用過兩點(Xk, f (Xk) , (Xk 1, f (Xk 1)的直線的斜率這個差商來代替牛堆迭代公式中的倒數(shù)f (Xk)。具體做法：對方程f(x) 0經(jīng)過k次迭代后得到近似根Xk 1 , Xk ,從而取(f (Xk)f (Xk 1)t t、(Xk Xkf(Xkf(Xk)f(Xk 1)Xk 1),此公式為正割法迭代公式。f (Xk)k, 于 是 牛 頓迭代 公 式 變 為幾何意義：正割迭代法是用過兩點A(Xk, f (

27、xj) , B(Xk i, f (Xk i)的直線與x軸交點. . . . . * . 的橫坐標Xk 1來逐步逼近曲線 f(x)與X軸交點的橫坐標X ,因此正割迭代法又叫割線法。27 .簡述正割迭代法與牛頓迭代法的區(qū)別。解：牛頓迭代法在計算時只需要一個初值X0,在計算Xk 1只用到前一步的值 Xk,但要計算f (Xk)；而正割法在計算時需要兩個初值X0, Xi,在計算Xk 1時要用到前兩次的迭代值Xk 1 , Xk,但不用計算導數(shù)。30 .使迭代法加速的方法有哪些？并分別寫出它們的迭代公式。答：使迭代法加速的方法有艾特肯加速公式和斯蒂芬森方法：艾特肯加速公式：校正： 1再校正：210,1,2,

28、2 改進： 10,1,2,斯蒂芬森方法：迭代：0,1,2,加速:第三章線性方程組的數(shù)值解法1 線性方程組的數(shù)值解法有哪兩大類？并簡述他們的概念。答：線性方程組的數(shù)值解法有兩大類：（ 1 ）直接法：直接法就是在沒有舍入誤差的情況下，經(jīng)過有限步算術運算可求得方程組精確解的算法。（ 2 ）迭代法：迭代法就是用某種極限過程去逐步逼近線性方程組精確解的方法，即先給定一個初始解向量，然后按新的迭代公式逐步求出解的更準確值的方法。2 高斯消去法的基本思想是什么？答： 高斯消去法的基本思想是用逐次消去未知量的方法把原來方程組AX b 化為與其同解的三角形方程組，而求解三角形方程組就容易了。3 高斯主元素消去法

29、是在何種情況下提出來的？答：用高斯消去法解線性方程組AX b 的消元過程中，可能會出現(xiàn)以下兩種情況：第一是主元素全是0 的情形，致使消元過程無法進行下去；第二即使主元素不為0， 但其絕對值很小時作除數(shù)可能會導致其他元素數(shù)量級的嚴重增長和舍入誤差的傳播，使計算結果不可靠。所以對于一般矩陣來說，最好每一步選取系數(shù)矩陣中絕對值大的元素作為主元素。4 用高斯順序消去法，完全主元素消去法和列主元素消去法解下列方程組，并寫出高斯順序消去法的程序。2x1 x22x3 53x1x2 4x3 71 ) 5x1 x2 x3 82)x1 2x2 2x31 。x1 3x2 4x342x1 3x2 2x30解：(1)將

30、方程組的增廣矩陣進行初等變化，并利用高斯順序消去法得:X15 -1 10 -7-8-9X21-3-4-40 -7-10-13X3255-1185-11851-1818212507890879-4 -41-3 -4-402340324利用完全主元素消去法得:5 -11 -31-1812 1X1X3X2-5利用列主元素消去法得:5 -1-1-1X1X21-3-4 -41 -3-410X3(2)將方程組的增廣矩陣進行初等變化,并利用高斯順序消去法得:-1-1 42 -2-1-1-1X1-2-2X25 -1 18X3-3 -2利用完全主元素消去法得:-1-1 42 -2-1-2-1-1-1-1-1-3

31、 -2-2-3-1-1-1X2X1利用列主元素消去法得:-1 4-1-1X1-12 -2-1-2-2X2X3-3 -2-2U11u12u13-418-16-6-20l 21l 31l 32U 220U 23U 33-248X15123X114-418-16X28 ;(2) 252X218 。-62-20X37315X3205.用矩陣的三角分解法解下列方程組，并掌握三角分解法的編程思路。解：（1）對系數(shù)矩陣A作如下的三角分解:(1)1038根據(jù)矩陣的乘法可得:1 u112U11u12u12U13U13l 21 u114 l212,l21 u12u2218u22I21 U13U2316U2332；

32、l 31U11l 313,l 31 u12l 32u22l32，l 31u13 l32u231 U3320u3376 。于是有-110-32LU ,則原方程組可表示為-1-76X1y110-32-76X2X3。解方程組Ly by2-1y3248X15解方程組Uxy ,即010-32X22 ，得X00-76X3102o29119021955根據(jù)矩陣的乘法可得：2 ）對系數(shù)矩陣A 作如下的三角分解：1 u111l 21 u11l 21 u13l 31 u12于是有l(wèi) 32u11l 21u23u22u11u12u13-5-5 11410726 用追趕法解下列方程組。l 21l 31-4l 32u12

33、l 21u 23l32- 24u125，-4- 24x1x2x3Ux用追趕法解下列方程組。-1x11418u 220u12u22u 23 。u33u133u133；l 31 u11l 31 u13LU ，則原方程組可表示為20u221l 31l32 u23u335則原方程組可表示為O解方程組Lyu3324。y1y2123x114101-4x210 ，得 x200-24x372331-5y3即O-1x11418 ，得20-11)0-1x2-1解： （ 1 ）由-1-1x32）-1x2-1x4LU 得：-2-3x3-3x4于是有從而Ly-12,4-1-1-1-1-131,21,231,于是有-1L

34、U得:-12,y1-1-2-1X1X2X3X4-1-3-1y2y3V4解得-352,21,Ux163,251535543164341620003從而Ly7.設X1,X2,解：X 1Xi8 .已知X解：X1-11516 1X2max Xi2Xi2X2-216V2y3x1X2X3X4,Xn-3351683435V41423574解得35973435Rn,掌握常用向量范數(shù)的定義式Xnmax X1 , X2,2xnXi,Xn1Xi2)2 ;（又叫最大范數(shù)）1,1 P、PXi )P。1,3,0 TX1X2maX Xi,Xi22X2PXi1)P計算X1，X2, XXnmax X1, X2,2xn1 (2

35、3P)P 。Xi,Xn3;85383435。Ux y 為x 1, X風風。9.設A (aj)nn Rn n,掌握常用矩陣范數(shù)的定義式|A1,|A ,|A|2,|AFn|x|maxaij ；j iA2max(ATA)n 1Af(a。2)2 °i.j 12 -11。.已知 a 30 ,計算 |a|1，|A ,|Al2,11 Alf °30n解：1Ali max aij 5； i 1n|x|maxaij 3；j 1|A|2) max(ATA)71 2J10 ；n 1|A|f(aj2)2i,j 112 .解線性方程組的迭代法有哪三種方法?答：(1)雅可比迭代法(Jacobi )(2

36、 )高斯賽德爾迭代法(G-S )(3)超松弛迭代法(SOR)5x1 2x2 x31213 .設有方程組x1 4x2 2x3 202x1 3x2 10x33(1)寫出用Jacobi迭代法解此方程組迭代公式的分量形式和矩陣形式。(2) Jacobi迭代法是否收斂？為什么？解：該方程組可化為：(k x11)x10.4x2 0.2x3 2.4x20.25x1 0.5x3 5 ，從而得到Jacobi 迭代法的公式：x30.2x10.3x2 0.30.4x(2k)0.2x3(k)x2(k 1)0.25x1(k) 0.5x3(k)x3(k1)0.2x1(k) 0.3x(2k)2.45 ，其矩陣形式為： 0.

37、3X(k1)D 1(U L)X(k) D 1b，500其中： D 0 4 0 ， U0 0 100210 0 2， L000000-1 00 ， b2-3 0122035212 ）用 Jacobi 迭代法解此方程組是收斂的。因為系數(shù)矩陣-1 4 2 是嚴格對角2 -3 10Jacobi 迭代法收斂。20x1 2x2 3x32414 設有方程組x1 8x2 x3 122x1 3x2 15x330（ 1 ）寫出用G-S 迭代法解此方程組迭代公式的分量形式。2 ） G-S 迭代法是否收斂？為什么？x10.1x2 0.15x3 1.2解：該方程組可化為：x2 0.125x1 0.125x3 1.5，從

38、而得到G-S 迭代法的公式：x30.133x1 0.2x2 2x1(k1)0.1x2(k)0.15x3(k) 1.2x2(k 1)0.125x1(k 1)0.125x3(k) 1.5，(k 1) x3(k 1)(k 1)0.133x10.2x22202 32 ）用 G-S 迭代法解此方程組是收斂的。因為系數(shù)矩陣A 181 是嚴格對角占2 -3 15優(yōu)陣，所以G-S 迭代法收斂。x115 .設有方程組x18x20 x20 x379x389xi X2x37怎樣改變方程的順序使Jacobi迭代法和G-S迭代法均收斂。解：將方程組變化成格對角占優(yōu)矩陣，所以16 .設方程組a11x1a12x19x1x1

39、Jacobia12x2a22x2x2x38x20x10 x2迭代法和”(a11 b2-1-1x37 ,此時系數(shù)矩陣9x38G-S迭代法均收斂。a220),迭代公式為(k 1,2,)。求證：由上述迭代公式產生的向量序列證明：由題設知:a11a12迭代矩陣B-1-10為嚴a22代法收斂的充要條件(B)a21a12a11a221。a21a22a110a22a12a21a21a22(k) x1(b1a11(b2 a22a12x2k 1)(k a21x11)x(k)收斂的充要條件是a12a11a211 ,可得，上述迭代公式產生的向量序列18 .簡述迭代法的基本定理的內容。答：設有方程組X BX f ,對

40、于任意初始解向量X(k 1) BX(k)f收斂的充要條件是(B) 1。a21a12a11a22a12一,所以:0a12a21一士1 ,所以由迭a11a22x(k)收斂的充要條件X(0)及任意f ,迭代公式19 .設A為非奇異矩陣，則 A的條件數(shù)的計算公式如何？掌握常用條件數(shù)的計算公式。解：Cond(A) |A |A 1|20 .已知A2-10-13-1,求 1Alp ， Cond(A)P (P 1,2,)和 0-12(A)的值limCond(An)。解：11Ali 5;由(A AT) 1,4,16。所以 |A24;II Al 5。因為：A5118 4 8111一一一一-，所以 Cond(A)1

41、 5,Cond(A)2 16,Cond(A) 5。424115848(A) 1,2,4(A) 4。11121 .設 An1 ( n 為正整數(shù))，計算 An , Cond(An) , lim Cond (An) (n )。1 1 n11 n n解：An, Cond (An)4n , lim Cond (An)(n )。n - n22 .分析方程組1.0001.0001.001 X11.000 X22.001的性態(tài)，并求其精確解；當右端項擾動2.000為(2.000,2.000)T時，求其精確解，并計算解的相對誤差。解：由Cond (A)20001,所以該方程組為病態(tài)方程組。其精確解為(1,1)二

42、當右端項擾動為(2.000,2.000)T時，其精確解為(2,0)T，解的相對誤差為er(X) A Ae (b) 20000 (b)。第四章 插值法1 .簡述插值法方法的概念。答：設函數(shù)y f (x)在區(qū)間a, b上有定義，且已知在點a x0x1xn b上的函數(shù)值yo，yi,yn,如存在一個簡單函數(shù) P(x)使P(xl y. (i 0,1,n)成立，則稱P(x)為f(x)的插值函數(shù)，點 xo, xi, , xn稱為插值節(jié)點，區(qū)間a,b稱為插值區(qū)間，滿 足的條件P(xi) yi (i 0,1, ,n)稱為插值條件，求插值函數(shù)P(x)的方法稱為插值方法。(簡稱插值法)。2 .求一個次數(shù)不高于 3的

43、多項式P(x)使之滿足插值條件：P(1) 2,P(2) 4,P(3) 12, P (2) 3.23解：設P(x)ao ax a?xa3x ,則根據(jù)條件得：a06a115a29aoaia2 a3ao 2a1 4a2 8a34,解得:ao 3ai 9a227a312ai 4 a2 12a33a3223所以：P(x) 6 15x 9x 2x3.已知數(shù)據(jù)表xi-112f(xi)-3o4求f (x)的2次插值多項式 P(x)。 2解：設P(x) ao ax a?x ,則根據(jù)條件得:aoa 0 a1 a23ao a a2 0,保ao 2a1 4a247 3所以：P(x)x3 24.已知數(shù)據(jù)表a1a2xio

44、235f (xi)1-3-42(1) 寫出f(x)的3次拉格朗日插值多項式L3(x)；(2) 寫出f (x)的3次牛頓插值多項式 N3(x)。解：(1) L3(x) yolo(x) yl1(x) y2"x) y3b(x),其中(x x1)(x x2)(x x3)lo (x)(xox)(xox2)(xo x3);l1(x)(x xo)(x x2)(x x3)(x xo)(x1x2)(x1 x3)5.12(X)(x Xo)(X Xi)(X X3)(x Xo)(X Xi)(X X2)；l 3( X)(X2 Xo)(X2 Xi)(X2X3)(X3 Xo)(X3 Xi)(X3 X2)1 32 2所以：L3(x) -x -x 5322X15(2)N3(x)f(0) f 0,2 (x 0)f 0,2,3 (x 0)(x 2)f0,2,3,5(x 0)(x 2)(x 3)111 31 2221 2x x(x 2) x(x 2)(x 3) x