第八章向量代數(shù)與空間解析幾何教案(同濟大學版高數(shù))

1、第八章向量代數(shù)與空間解析幾何第一節(jié)向量及其線性運算教學目的：將學生的思維由平面引導到空間，使學生明確學習空間解析幾何的 意義和目的。使學生對（自由）向量有初步了解，為后繼內(nèi)容的學習打下基礎。 教學重點：1.空間直角坐標系的概念2 .空間兩點間的距離公式3 .向量的概念4 .向量的運算教學難點：1.空間思想的建立5 .向量平行與垂直的關系教學內(nèi)容：一、向量的概念1 .向量：既有大小，又有方向的量。在數(shù)學上用有向線段來表示向量，其長度表示向 量的大小，其方向表示向量的方向。在數(shù)學上只研究與起點無關的自由向量（以后簡稱向 量）。2 .量的表示方法有：a、i、F、OM等等。3 .向量相等a b：如果兩

2、個向量大小相等，方向相同，則說（即經(jīng)過平移后能完全重合的向量）4 .量的模：向量的大小，記為 a模為1的向量叫單位向量、模為零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5 .量平行ab：兩個非零向量如果它們的方向相同或相反。零向量與如何向量都平行。6 .負向量：大小相等但方向相反的向量，記為 a 二、向量的線性運算1 .加減法a b c：加法運算規(guī)律：平行四邊形法則（有時也稱三角形法則），其滿足的運算規(guī)律有交換率和結(jié)合率見圖7a14 / 242. a b c 即a ( b) c3.向量與數(shù)的乘法a :設是一個數(shù)，向量a與 的乘積 a規(guī)定為(1) 0 時，a與 a 同向，| a| |a|(2) 0

3、時，a 0(3) 0 時，a與 a 反向，| a| | |a|其滿足的運算規(guī)律有：結(jié)合率、分配率。設 a0表示與非零向量a同方向的單位向量，那么定理1：設向量aw0,那么，向量b平行于a的充分必要條件是： 存在唯一的實數(shù) 入，使b= a例1：在平行四邊形ABCD中，設AB a , AD b ,試用a和b表示向量MA、MB、MC和MD ,這里M是平行四邊形對角線的交點。（見圖75）圖74一一 一1解：a b AC 2AM ,于是 MA -(a b)1由于MC MA, 于是MC 1(a b)一一一一 _1又由于 a b BD 2MD,于是MD -(b a)1 .由于MB MD, 于是MB (b a

4、)21.將數(shù)軸（一維）三、空間直角坐標系 、平面直角坐標系（二維）進一步推廣建立空間直角坐標系（三維）如圖71,其符合右手規(guī)則。即以右手握住Z軸，當右手的四個手指從正向 x軸以一角度2轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是 z軸的正向。2.間直角坐標系共有 八個卦限，各軸名稱分別為：x軸、y軸、z軸，坐標面分別為xoy面、yoz面、zox面。坐標面以及卦限的劃分如圖72所示。圖7-1右手規(guī)則演示圖7一2空間直角坐標系圖圖73空間兩點m1M 2的距離圖3.空間點M (X,y,Z)的坐標表示方法。通過坐標把空間的點與一個有序數(shù)組一一對應起來。注意：特殊點的表示a)在原點、坐標軸、坐標面上的點；b)關于坐

5、標軸、坐標面、原點對稱點的表示法。4.空間兩點間的距離。若M i(xi,yi,zi)、M 2(X2,y2,Z2)為空間任意兩點，則M1M2的距離(見圖73),利用直角三角形勾股定理為：d2 1MlM22M1N 2 NM2 222 12M1p |pN |NM2而M1Px2x1PN| |y2y1NM2 z2z1所以d M1M27(x2 x1)2 2 y1)2 & 乙)2特殊地：若兩點分別為M(x,y,z), o(0,0,0)d oM Jx2 y2 z2例1：求證以M(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形。證明：M1M 2(4 7)2 (3

6、1)2 (1 2)2 14222_2_M 2M 3(5 7)2 (2 1)2 (3 2)26M3M1 2 (5 4)2(2 3)2 (3 1)26由于|M 2M 3 M3M1 ,原結(jié)論成立。例2：設P在x軸上，它到"(0, J2,3)的距離為到點P2(0,1, 1)的距離的兩倍，求點 P的 坐標。解：因為P在x軸上，設P點坐標為(x,0,0)pp1&_721 _3 jx2 11 pp2&1"i7 衣2PP| 2PF2|Jx2 11 2 x2 2x 1所求點為：(1,0,0) , ( 1,0,0)四、利用坐標系作向量的線性運算1 .向量在坐標系上的分向量與向量

7、的坐標通過坐標法，使平面上或空間的點與有序數(shù)組之間建立了一一對應關系，同樣地，為了溝通數(shù)與向量的研究，需要建立向量與有序數(shù)之間的對 應關系。設a = M1M2是以M 1( x1, y1, z1)為起點、M 2 (x2, y2, z2)為終點的向量，i、j、k分別表示圖7 5沿x, y, z軸正向的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標系的基本單位向量，由圖 7 5,并應 用向量的加法規(guī)則知：M1M2 (x2 x)i + (y2 y)j+(Z2 z1)k或a = ax i + ayj + azk上式稱為向量a按基本單位向量的分解式。有序數(shù)組ax、ay、az與向量a 一一對應，向量a在三條坐標軸上的投影 a

8、x、ay、az就叫做向量a的坐標，并記為a = ax, ay, az。上式叫做向量a的坐標表示式。于是，起點為M 1(小，丫1,乙)終點為M2(x2, y2,z2)的向量可以表示為MlM2X2 ”,丫2 mz 4特別地，點M(x,y,z)對于原點O的向徑OM x,y,z注意：向量在坐標軸上的分向量與向量在坐標軸上的投影有本質(zhì)區(qū)別。向量a在坐標軸上的投影是三個數(shù)ax、ay、az,向量a在坐標軸上的分向量是三個向量axi、 ayj、 azk.2 .向量運算的坐標表示設 aax,ay,az, bbx，by,bz即 aaxiayjazk, bbxibyjbzk則(1)加法： a b (a* bx)i

9、(ay by)j 缸 bz)k 減法：ab(axbx)i (ay by)j abz)k 乘數(shù)： a ( ax)i ( ay)j ( az)k 或abaxbx，ay by,az bza b ax bx,ay by, az bza ax, ay, az 平行：若aw。時，向量ba相當于b a,即bx,by,bzax,ay,az也相當于向量的對應坐標成比例即壇 當 b£ax ay az五、向量的模、方向角、投影設a ax,ay,az,可以用它與三個坐標軸的夾角、(均大于等于0,小于等于 )來表示它的方向，稱、 為非零向量a的方向角，見圖7 6,其余弦表示形式cos、cos、cos稱為方向余

10、弦。2ax22ayazaxM1M2cosacos由性質(zhì)1知ayM1M2cosacos ,當 aazM1M2cosacos2.方向余弦222.axayaz。時，有cosaxaxcosayaycosazaz 任意向量的方向余弦有性質(zhì):cos2cos2 cos21與非零向量a同方向的單位向量為:a1一 一ax,ay,azcos ,cos ,cos 例：已知兩點Mi(2,2,d2)aaM2(1,3,0),計算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以及與MiM 2同向的單位向量。解：M1M 2 =1-2 , 3-2, 0- 42 =-1 ,1,-72M1M2211cos 一 , cos 一 , cos222

11、3， ， 334設a0為與M1M 2同向的單位向量，由于a0 cos , cos , cos 即得1 122,2,2 3.向量在軸上的投影(1)軸上有向線段的值：設有一軸u, AB是軸u上的有向線段，如果數(shù)滿足AB ,且當AB與軸u同向時 是正的，當 AB與軸u反向時 是負的，那么數(shù) 叫做軸u上有向線段 AB的值，記做AB,即 AB。設e是與u軸同方向的單位向量，則AB e(2)設A、B、C是u軸上任意三點，不論三點的相互位置如何，總有AC AB BC(3)兩向量夾角的概念：設有兩個非零向量a和b,任取空間一點 O,作OA a ,OB b,規(guī)定不超過 的 AOB稱為向量a和b的夾角，記為(a,

12、b)'(4)空間一點A在軸u上的投影：通過點A作軸u的垂直平面，該平面與軸u的交點A 叫做點A在軸u上的投影。(5)向量AB在軸u上的投影：設已知向量 AB的起點A和終點B在軸u上的投影分別為點A和B ,那么軸u上的有向線段的值 AB叫做向量AB在軸u上的投影，記做Pr juABo2.投影定理性質(zhì)1:向量在軸u上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦：Pr ju AB AB cos性質(zhì)2:兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量在該軸上的投影的和，即Prju(a a?) Prja Prja2性質(zhì)3:向量與數(shù)的乘法在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘法。即Prju( a) Prja小

13、結(jié)：本節(jié)講述了空間解析幾何的重要性以及向量代數(shù)的初步知識，引導學生對向量(自由向量)有清楚的理解，并會進行相應的加減、乘數(shù)、求單位向量等向量運算，空間直角坐標系(軸、面、卦限)，空間兩點間距離公式。 本節(jié)介紹了向量在軸上的投影與投影定理、 向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標(注意分向量與向量的坐標的區(qū)別)、向量的模與方向余弦的坐標表示式等概念。作業(yè)：第二節(jié)數(shù)量積向量積教學目的：讓學生搞清楚數(shù)量積與向量積的概念及其應用，掌握向量平行、垂 直等重要的結(jié)論，為空間曲面等相關知識打好基礎。教學重點：1.數(shù)量積、向量積的概念及其等價的表示形式2. 向量平行、垂直的應用教學難點：1.活學活用數(shù)量積、向量積

14、的各種形式3. 向量平行與垂直的相應結(jié)論教學內(nèi)容：一、數(shù)量積：a) 定義：a b a|b cos ,式中 為向量a與b的夾角。b)物理上：物體在常力F作用下沿直線位移 s,力F所作的功為W F|s cos其中為F與s的夾角。2c)性質(zhì)：I . a a an .兩個非零向量a與b垂直a b的充分必要條件為：a b 0n. a b b aw. (a b) c a c b cV. ( a) c (a c)為數(shù)d)幾個等價公式：i.坐標表示式：設 a ax,ay,az , b bx,by,bz則a b axbx ayby azbzn.投影表示式：a b a Pr jab bPrjbaa bin.兩向量

15、夾角可以由 cos 廠門式求解a|be) 例子：已知三點 M(1,1,1)、A(2,2,1)和 B(2,1,2),求 AMB提示：先求出向量 MA及MA ,應用上求夾角的公式。二、向量積:a) 概念：設向量c是由向量a與b按下列方式定義:c的模ca b sin ,式中為向量a與b的夾角。c的方向垂直與a與b的平面，指向按右手規(guī)則從 a轉(zhuǎn)向bo注意：數(shù)量積得到的是一個數(shù)值，而向量積得到的是向量。b)公式：c a bf)性質(zhì)：I . a an.兩個非零向量a與b平行a / b的充分必要條件為：a b 0N . (a b)c)v . ( a) c幾個等價公式:c) (a c)為數(shù)I .坐標表布式：設

16、b bx，by,bz則d)a b(aybzazby)i(azbxn .行列式表布式:例子：已知三角形ax aybx byABC的頂點分別為:axbz)j (axby aybx)kaz bzA(1,2,3)、B(3,4,5)和 C(2,4,7),求三角形ABC的面積。S ABC1 I 解：根據(jù)向量積的定義,AB AC sin2由于AB =2,2,2,AC =1,2,4因此AB ACS ABC4i6j 2kAC1 . 42 ( 6)222214小結(jié)： 向量的數(shù)量積（結(jié)果是一個數(shù)量）向量的向量積（結(jié)果是一個向量）（注意共線、共面的條件） 作業(yè)：(1)n M1M2 M1M3i j k3 46 14i

17、9j k第三節(jié)平面及其方程教學目的：介紹最簡單也是非常常用的一種曲面一一平面，平面是本書非常重 要的一節(jié)，本節(jié)讓學生了解平面的各種表示方法，學生在學習時領 會各種特殊位置平面的表示方法，會求出各種位置上的平面，了解 平面與其法向量之間的關系。教學重點：1.平面方程的求法2.兩平面的夾角教學難點：平面的幾種表示及其應用教學內(nèi)容：一、平面的點法式方程1 .平面的法線向量定義：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法線向量。平面內(nèi)的任一向量均與該平面的法線向量垂直。2 .平面的點法式方程已知平面上的一點 M 0(x0, y0, z0)和它的一個法線向量n A,B,C,對平面上的任一點M (x, y, z)

18、,有向量 M 0M n,即n M0M 0代入坐標式有A(x xo) B(y y°) C(z z°) 0此即平面的點法式方程例1:求過三點M1 (2, - 1, 4)、M2 (1, 3, 2)和 M3 (0, 2, 3)的平面方程。解：先找出這平面的法向量 n ,2 3115 / 24由點法式方程得平面方程為14(x 2) 9( y 1) (z 4) 0即：14x 9yz 15 0二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程來表示。平面的一般方程為：Ax By Cz D 0幾個平面圖形特點:1） D = 0:通過原點的平面。2） A=0:法線向量垂直于X軸，表示一個平行于

19、X軸的平面。同理：B=0或C = 0：分別表示一個平行于 y軸或z軸的平面。3） A=B = 0：方程為Cz D 0 ,法線向量0,0, C,方程表不'一個平行于 xoy面的平面。同理：AXD 0和BYD0分別表示平行于yoz面和 xoz面 的平面。4）反之：任何的三元一次方程，例如:5x 6y 7z 110都表示一個平面，該平面的法向量為n 5,6, 7例2：設平面過原點及點（6, 3,2）,且與平面4x y 2z8垂直，求此平面方程。解：設平面為Ax By Cz D 0,由平面過原點知D 0由平面過點（6, 3, 2）知6A 3B 2C 0,n 4, 1,2 4A B 2C 0 A

20、 B所求平面方程為2x 2y 3z 0三.兩平面的夾角定義：兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角。設平面 1 : Ax By C1zD10,2 : A2xB2y C2z D20. A216 / 24B A1, B1,C1 ,n2 慶2上2右2按照兩向量夾角余弦公式有:cos| A1A2B1B2C1C2 |2 c 2A 22 c 2B1 C1, A2B2 C2三、幾個常用的結(jié)論設平面1和平面2的法向量依次為1Ai,Bi,Ci和 n2 A2,B2。1)兩平面垂直:A1A2B1 B2 C1C20（法向量垂直）2)兩平面平行:CA2B2C2（法向量平行）3)平面外一點到平面的距離公式：設平面外的一點

21、 P0 （x0, y0, z0）,平面的方程為Ax By Cz D 0,則點到平面的距離為,Ax。 By。 CZo D d 、A B2 C2例3：研究以下各組里兩平面的位置關系:x 2y z1 0,y 3z 1 0解:2x y2x y(1) cos0,0,4x 2y4x 2y0 2 11(1)222兩平面相交，夾角n12, 1,1, n2兩平面平行兩平面平行但不重合。2z2z3|(1)2121 arccos. 604,2, 2M (1,1,0)M (1,1,0)(3)兩平面平行M (1,1,0)1 M (1,1,0)所以兩平面重合小結(jié):平面的方程三種常用表示法：點法式方程，一般方程，截距式方程

22、。兩平面的夾角以及點到平面的距離公式。作業(yè):第四節(jié)空間直線及其方程教學目的：介紹空間曲線中最常用的直線，與平面同為本章的重點教學重點：1.直線方程2.直線與平面的綜合題教學難點：1.直線的幾種表達式2.直線與平面的綜合題教學內(nèi)容：一、空間直線的一般方程空間直線可以看成是兩個平面的交線。故其一般方程為：Aix By Ciz Di 0A2X B2 y C2Z D20二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程平行于一條已知直線的非零向量叫做這條直線的方向向量。已知直線上的一點 Mo（xo, yo，zo）和它的一方向向量s m,n, p,設直線上任一點為M （x, y, z）,那么M0M與s平行，由平行的坐標

23、表示式有：x Xoy yo z Zom n p此即空間直線的對稱式方程（或稱為點向式方程）。（寫時參照書上注釋）如設x xoy yo z Zo tm n p就可將對稱式方程變成參數(shù)方程（t為參數(shù)）x xo mty yo ntz Zo pt三種形式可以互換，按具體要求寫相應的方程。例1 :用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線x y zc 1，c2x y 3z 4 o19 / 24解：在直線上任取一點 （Xo, yo, zo）,取Xoyo羨26 °。解得yoO,zo2,即直線上點坐標（i,0,2)因所求直線與兩平面的法向量都垂直取nin2 4, i, 3對稱式方程為:y0z2參數(shù)方程:i 34

24、tt2 3t直線過點A（2, 3,4）,且和y軸垂直相交，求其方程 解：因為直線和y軸垂直相交，所以交點為B（0, 3, 0）s BA 2,o,4,所求直線方程：x2 y2 o兩直線的夾角兩直線的方向向量的夾角（通常指銳角）叫做兩直線的夾角。設兩直線Li和L2的方向向量依次為 Simi, n，Pi和 S2 mzQQ,兩直線的夾角可以按兩向量夾角公式來計算cos2=",miniPimim2%n2Pi P2222m2n2P2兩直線L1和L2垂直:mi m2 ni n2Pi P2 o （充分必要條件）兩直線L1和L2平行:miniPim2n2P2（充分必要條件）例3：求過點（3,2,5）且

25、與兩平面x 4z3和2x y 5z 1的交線平行的直線方程解：設所求直線的方向向量為m,n, p,根據(jù)題意知直線的方向向量與兩個平面的法向量都垂直，所以可以取 snin2 4, 3, i所求直線的方程31 / 24三、直線與平面的夾角當直線與平面不垂直時,直線與它在平面上的投影直線的夾角(0二）稱為直線2與平面的夾角，當直線與平面垂直時，規(guī)定直線與平面的夾角為設直線L的方向向量為s m,n, p,平面的法線向量為n A,B,C,直線與平面的夾角為，那么Am Bn Cpsin !：A 222222ABC m n pABC直線與平面垂直：s/n 相當于 一一一（充分必要條件）m n p直線與平面平

26、行：s n相當于Am Bn Cp 0（充分必要條件）平面束方程：x y z 1 0 一過平面直線的平面束萬程為x y z 1 0（Aix Biy Ciz Di）（A?x B2y C2Z D2） 0四、雜例：例1:求與兩平面x 4z=3和2x y5z= 1的交線平行且過點 （3, 2, 5）的直線方程。解：由于直線的方向向量與兩平面的交線的方向向量平行，故直線的方向向量s 一定與兩平面的法線向量垂直，所以i j ks 104（4i 3j k）215因此，所求直線的方程為x 3 y 2 z 5431例2:求過點（2, 1, 3）且與直線 幺 U 三垂直相交的直線方程321解：先作一平面過點 （2,

27、 1, 3）且垂直于已知直線（即以已知直線的方向向量為平面的法線向量），這平面的方程為3（x 2） 2（ y 1） （z 3） 0再求已知直線與這平面的交點。將已知直線改成參數(shù)方程形式為x= -1+31y=1+2tz=-t,一、一 一 3.一、,2 13 3并代入上面的平面方程中去，求得t=°,從而求得交點為（2,13,-）77 77以此交點為起點、已知點為終點可以構成向量s即為所求直線的方向向量s 2 7,16-2, 1,4故所求直線方程為x 2 y 1 z 3F 4x y z 1 0例3:求直線在平面xx y z 1 0y z 0上的投影直線的方程解：應用平面束的方法xyz10一

28、設過直線的平面束萬程為xyz10(x y z 1) (x y z 1) 0即(1 )x (1 )y ( 1 )z 1 0這平面與已知平面 x y z 0垂直的條件是(1) 1 (1)1(1) 1 0解之得1代入平面束方程中得投影平面方程為y z 1 = 0所以投影直線為y z 1 0x y z 0小結(jié)：本節(jié)介紹了空間直線的一般方程，空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程，兩直線的夾 角(注意兩直線的位置關系)，直線與平面的夾角(注意直線與平面的位置關系)作業(yè)：第五節(jié)曲面及其方程教學目的：介紹各種常用的曲面，為下學期學習重積分、線面積分打下基礎。 學生應該會寫出常用的曲面方程，并對已知曲面方程能知道所表

29、示 曲面的形狀。教學重點：1.球面的方程2. 旋轉(zhuǎn)曲面的方程教學難點：旋轉(zhuǎn)曲面教學內(nèi)容：一、曲面方程的概念1 .實例：水桶的表面、臺燈的罩子面等，曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡。2 .曲面方程的定義：如果曲面S與三元方程F(x,y,z) 0(1)有下述關系：(1) 曲面S上任一點的坐標都滿足方程(1)(2) 不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程(1)那么，方程(1)就叫做曲面S的方程，而曲面 S就叫做方程(1)的圖形。(3) 種常見曲面(1)球面例1:建立球心在 M 0(x0, y0, z0)、半徑為R的球面的方程。解：設M0(X0,y0,Z0)是球面上的任一點，那么M0MR即：(x

30、X0)2 (y y。)2 (z Z0)2R或：(x X0)2 (y y0)2 (z Z0)2 R2特別地：如果球心在原點，那么球面方程為(討論旋轉(zhuǎn)曲面)x2 y2 z2 R2(2)線段的垂直平分面(平面方程)例2：設有點A(1,2,3)和B(2, 1,4),求線段AB的垂直平分面的方程。解：由題意知道，所求平面為與A和B等距離的點的軌跡，設 M(x, y,z)是所求平面上的任一點，由于| MA| |MB | ,那么;22222-2x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z 4化簡得所求方程2x 6y 2z 7 0研究空間曲面有兩個基本問題：(1)已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程。(2)已知坐

31、標間的關系式，研究曲面形狀。旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，旋轉(zhuǎn)曲線和定直線依次叫旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸。二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程設在yoz坐標面上有一已知曲線 C,它的方程為 f (y, z) = 0把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個以 z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面，設 M1(Q y1,z1)為曲線C 上的任一點，那么有f (yi, zi) = 0(2)當曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)時，點 Mi也繞z軸旋轉(zhuǎn)到另一點 M (x,y,z),這時z= zi保持不變， 且點M到z軸的距離 d &卜i將zi = z, yiM'x2 y2代入(2)式，就有螺旋曲面的方程為

32、f ( x2 y2,z) 0旋轉(zhuǎn)曲面圖繞哪個軸旋轉(zhuǎn)，該變量不變，另外的變量將缺的變量補上改成正負二者的完 全平方根的形式。常用旋轉(zhuǎn)曲面：錐面(直線繞直線旋轉(zhuǎn)，兩直線的夾角(0。< <90。)，方程為：22/22、z a (x y ) 其中a cot三、柱面1 .定義：平 行于定直線并沿曲線定曲線 C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面。定曲線C:準線動直線L:母線2 .特征：x, v, Z三個變量中若缺其中之一（例如y）則表示母線平行于 y軸的柱面。3:幾個常用的柱面：22_ 2_.，一，一b）圓枉面：x y R （母線平行于z軸）2c）拋物枉面：y 2x （母線平行于z軸） 四、二次曲

33、面1、定義：三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面2、截痕法用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加 以綜合，從而了解曲面的全貌，這種方法叫做截痕法。3、幾種特殊的二次曲面1 .橢球面方程為2 22土匕二 12, 221a b c使用截痕法，先求出它與三個坐標面的交線:2222x2 N 1,4 4 1, a ob a。22y z 1.221,這些交線都是橢圓。b cx 0這曲面與平行于坐標面的平面的交線：橢球面與平面z Z1的交線為橢圓2x-2a （工 22（c 4）cz Z12y 121 .b-（C2 z2）（ |z1 I c），同理與平面 xcx1和yy1的交線也是橢圓。橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化?？芍湫螤钊缬疑蠄D所示。拋物面例：橢圓