第0章學(xué)準(zhǔn)備矢量分析與場(chǎng)論

1、授課主要內(nèi)容教學(xué)方法與說(shuō)明引 言一、電動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象電動(dòng)力學(xué)研究電磁場(chǎng)的基本屬性 ，運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其與帶電物質(zhì)之 間的相互作用。電磁場(chǎng)是物質(zhì)世界的重要組成部分，是我們每天都要接觸到的， 無(wú)論是照明，通訊及生活的方方面面，都離不開(kāi)電磁場(chǎng)。電磁場(chǎng)對(duì)生 產(chǎn)科研的重要性自不必說(shuō)。二、電動(dòng)力學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史任何一門(mén)學(xué)科都是人類(lèi)生產(chǎn)斗爭(zhēng)，科學(xué)實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，電動(dòng)力學(xué)也是如此。最初,人們研究靜電，靜磁,電流等現(xiàn)象，得到一些實(shí)驗(yàn)定律，例如庫(kù) 侖定律（1785年，法國(guó)物理學(xué)家?guī)靵觯厞W一薩伐爾定律。但并未 認(rèn)識(shí)電現(xiàn)象與磁現(xiàn)象之間的內(nèi)在聯(lián)系。1820年7月21日，丹麥物 理學(xué)家?jiàn)W斯特（關(guān)于磁針上電流碰撞的實(shí)驗(yàn)）發(fā)現(xiàn)電流

2、的磁效應(yīng)。 據(jù)此，人們知道了“電”能生“磁”。1821年，英國(guó)物理學(xué)家法拉第開(kāi)始考慮“磁”能否生“電”。歷經(jīng)十年艱辛探索，法拉第終于 在1831年8月26日，發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)現(xiàn)象，1851年建立了電磁感應(yīng) 定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。法拉第還提出“場(chǎng)”的思想（電荷和電荷之間 的作用不是超距作用，而是借助于電場(chǎng)），為建立電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)理 論提供了物理依據(jù)。以后人們才把電現(xiàn)象和磁現(xiàn)象統(tǒng)一起來(lái)討論。 英國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家麥克斯韋總結(jié)了 1785年以來(lái)的電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)和相 關(guān)規(guī)律，在法拉第提出的場(chǎng)的物理觀念基礎(chǔ)上， 于1862年提出“位 移電流”的新概念，終于在 1864年，把電磁學(xué)規(guī)律統(tǒng)一起來(lái)，總 結(jié)為麥克斯韋方程組。原始

3、形式包括 20個(gè)變量，20個(gè)方程，其中 包括已經(jīng)不再作為電磁場(chǎng)基本方程的公式，比如庫(kù)侖定律、歐姆定律、安培定律、畢奧一薩伐爾定律，位移電流、電流連續(xù)性方程等。 在理論上預(yù)言了電磁波的存在。1888年，德國(guó)物理學(xué)家赫茲用實(shí)驗(yàn) 中實(shí)現(xiàn)了電磁波，證明了麥克斯韋理論的正確性，并于1890年把麥克斯韋方程組的原來(lái)形式，改造成為現(xiàn)在的通用形式。電磁波的發(fā)現(xiàn)和現(xiàn)代無(wú)線電技術(shù)的發(fā)展豐富了電磁場(chǎng)理論。但 是，人們對(duì)電磁場(chǎng)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)卻仍然包含著很大錯(cuò)誤，即把電磁場(chǎng) 理解為某種“絕對(duì)靜止”地充滿(mǎn)整個(gè)空間的，類(lèi)似于彈性介質(zhì)的“以 太”的運(yùn)動(dòng)形態(tài)。但在對(duì)運(yùn)動(dòng)介質(zhì)中電磁現(xiàn)象的進(jìn)一步研究中，表 明了這種理論存在的根本困難。

4、1905年愛(ài)因斯坦提出真空中光速不 變?cè)砗酮M義相對(duì)性原理，建立了 “狹義相對(duì)論”，建立了新的時(shí)空 觀（時(shí)空是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的屬性），否定了牛頓時(shí)代的時(shí)空觀（時(shí)空是 獨(dú)立于物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的客體，空間框框，時(shí)間之流，然后再把物質(zhì)放入 其中），使電動(dòng)力學(xué)在新的時(shí)空理論基礎(chǔ)上，發(fā)展成為完整的、適 用于任何慣性參照系的理論。狹義相對(duì)論是現(xiàn)在物理學(xué)發(fā)展的重要 理論基礎(chǔ)之一，對(duì)物理學(xué)的發(fā)展具有深遠(yuǎn)的影響。1915年，愛(ài)因斯 坦提出了“廣義相對(duì)論”，認(rèn)為時(shí)空是彎曲的（分布決定幾何，幾 何決定運(yùn)動(dòng)）。20世紀(jì)30年代以后,隨著量子力學(xué)的建立，又發(fā)展了“量子電動(dòng) 力學(xué)”（費(fèi)曼），成為研究微觀世界電磁現(xiàn)象的有力工具。近些年來(lái)

5、 的進(jìn)一步研究，又發(fā)現(xiàn)了電磁相互作用與弱相互作用在本質(zhì)上是統(tǒng) 一的，建立了弱電統(tǒng)一理論，并得到了實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證?，F(xiàn)在人們正在 為四大相互作用的統(tǒng)一而努力著。 超弦理論是其中最有可能的候選 者之一。三、電動(dòng)力學(xué)課程的基本內(nèi)容1.電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律2與時(shí)間無(wú)關(guān)的電磁問(wèn)題，靜電，靜磁（相對(duì)于觀察者來(lái)說(shuō)，靜 止不動(dòng)）。3.電磁波的傳播和輻射（與時(shí)間有關(guān)，我們研究的只是這兩個(gè)方面）。4.狹義相對(duì)論的基礎(chǔ)。四、學(xué)習(xí)電動(dòng)力學(xué)的目的電動(dòng)力學(xué)是普通物理“電磁學(xué)”的后續(xù)課 ，電磁學(xué)著重于電磁場(chǎng) 的基本性質(zhì)和基本概念，而電動(dòng)力學(xué)在電磁學(xué)的基礎(chǔ)上更深入討論電 磁場(chǎng)的本質(zhì)。比起電磁學(xué)來(lái)，理論性更強(qiáng)，使用更多的數(shù)學(xué)工具。學(xué)習(xí)

6、本課程,首先要掌握電磁場(chǎng)的基本規(guī)律和加深對(duì)電磁場(chǎng)物質(zhì) 性的理解。其次，要掌握本課程的基本思想方法和相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法， 并能用這些方法解決實(shí)際問(wèn)題。最后，通過(guò)相對(duì)論的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步加 深對(duì)時(shí)空本質(zhì)的認(rèn)識(shí)及其它物理規(guī)律本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。學(xué)生通過(guò)本門(mén)課程 的學(xué)習(xí)，提高分析處理問(wèn)題的水平和增強(qiáng)理論思維能力。五、知識(shí)前提1. 普通物理（主要是電磁學(xué)），初等微積分，矢量代數(shù) 一應(yīng)很熟 悉2. 矢量分析，場(chǎng)論基礎(chǔ)一作為本課程的第O章3. 數(shù)理方法（程），特殊函數(shù)一提到時(shí)應(yīng)該能理解六、參考書(shū)目羅春榮電動(dòng)力學(xué)西安交通大學(xué)出版社 2000 （第三版）尹真電動(dòng)力學(xué)科學(xué)出版社2005 （第二版）汪德新電動(dòng)力學(xué)科學(xué)出版社2005

7、其它說(shuō)明1.課前預(yù)習(xí),課后復(fù)習(xí)2. 課中認(rèn)真聽(tīng)講，及時(shí)溝通，記筆記（三方面的信息都要記，板 書(shū)，語(yǔ)言，動(dòng)作）3. 利用好輔導(dǎo)答疑時(shí)間，及時(shí)完成作業(yè)4. 本課程沒(méi)有期末總復(fù)習(xí)，不圈定考核重點(diǎn)第O章數(shù)學(xué)準(zhǔn)備第一節(jié)矢量分析與場(chǎng)論基礎(chǔ)在電動(dòng)力學(xué)中應(yīng)用較多的數(shù)學(xué)知識(shí)是矢量分析與場(chǎng)論基礎(chǔ)。因而,我們首先對(duì)這兩方面的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)歸納主要是為了應(yīng)用而不追求數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格.一、矢量代數(shù)1. 兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘、叉乘VV右 a (a1,a2,a3)b (b1,b2,b3)則V，b的點(diǎn)乘(也稱(chēng)標(biāo)量積)V VVVVVVVa ba1b1a2b2a3b3( a bb aa b COS)a1 a2 a3b1b2b3V，b的叉

8、乘(也稱(chēng)矢量積)ea2b3 a3b2) e2(a3b1 a1b3) e3(a1b2 a2b1)a b的大小 a b Sin ,為a, b的夾角方向：既垂直于a,又垂直于b,與a,b滿(mǎn)足右手螺旋關(guān)系叉乘的不可交換性a b b a2. 三個(gè)矢量的混合積V (V b) G& b)1 C2& b)2 C3(V b)3= c1(a2b3a3b2) C2(a3b1 a1b3) C3(a1b2 a2b1)幾何解釋?zhuān)阂詀,b,c為棱的平行六面體的體積性質(zhì)：(1)輪換不變性，在點(diǎn)乘號(hào)，叉乘號(hào)位置不變的情況下，把矢量按順序輪換，其混合積不變V (V (V)VVV VVV b (C a) C (a

9、b)(2)若只把兩個(gè)矢量對(duì)調(diào)V (V (V),混合積反號(hào)。V(VIV) bV VVVV(a C)C (b a)(3)若矢量位置不變只交換點(diǎn)乘號(hào)叉乘號(hào),混合積不變一但必須先做叉乘(用括號(hào)保證這個(gè)順序V(bC)。(VIv) V3.三個(gè)矢量的叉乘(VVb)Ve1C1a2b3a3b2Ve2C2a3b1aib3Ve3C3a1 b2a? bf1 C2(a1b2 a2b1)a1(C2b2 C3b3) b1(c2a2 C3a3) 印(晌 C2b2 c3b3) a1(c b) b1(C a)V V2 a2(c b)c3(a3b1 a1b3)b1 (CIaI c2a2 c3a3)同理b2(V V)V V3 a3(

10、c b)V V b3(c a)故 V(VlV)V Vf (VV)V (V V)IV而(VV)V (V V)b (V IV)V二者都是：把括號(hào)外的矢量與離它較遠(yuǎn)的矢量點(diǎn)乘， 再乘以另一矢量所得的項(xiàng)取正號(hào)，把括號(hào)外的矢量與離它較近的矢量點(diǎn)乘，再乘以另一矢量所得的項(xiàng)取負(fù)號(hào)。兩者取和。(遠(yuǎn)正近負(fù)，再取和”)、場(chǎng)的概念 在許多科學(xué)技術(shù)問(wèn)題中，常常要考慮某種物理量（如溫度、密度、電 勢(shì)、力、速度）在空間的分布和變化規(guī)律。這是需要引入場(chǎng)的概念。 如果在全部空間或部分空間里的每一點(diǎn).，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè) 確定的值，就說(shuō)在這空間里確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。1. 數(shù)學(xué)上，場(chǎng)是空間時(shí)間的函數(shù)時(shí)間坐標(biāo)t空間坐標(biāo)X

11、（x, y,z） ix Vy kz， v, ,k構(gòu)成右手系。標(biāo)量場(chǎng)空間的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)標(biāo)量矢量場(chǎng)空間的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)矢量張量場(chǎng)空間的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)張量2物理上，描述某一物理客體，具有一定分布規(guī)律的物理量3.記號(hào)標(biāo)量場(chǎng)(X)矢量場(chǎng)V V V F F(X)張量場(chǎng)T T(4場(chǎng)中的物理量在各點(diǎn)處的對(duì)應(yīng)值隨時(shí)間變化的，這個(gè)場(chǎng)稱(chēng)為穩(wěn)定場(chǎng)；否則稱(chēng)為不穩(wěn)定場(chǎng)。三、場(chǎng)分析及其微分特征量（矢量微分）整體上來(lái)看分析場(chǎng)的奇異性，斂散性局域上來(lái)看 函數(shù)某點(diǎn)附近的性質(zhì)，微分特征量。1梯度在標(biāo)量場(chǎng)中，標(biāo)量的分布情況，可以將借助等值面或等值線來(lái)進(jìn) 行了解。但是這只能大致地了解到標(biāo)量在場(chǎng)中總的分布情況，是一種整體性的了解

12、。 而研究標(biāo)量場(chǎng)的另一個(gè)重要方面，就是還要對(duì)它作局部性的了解，即還要考察標(biāo)量在場(chǎng)中各個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)沿每個(gè)方向的 變化情況。為此，弓I入方向?qū)?shù)，梯度的概念。方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)給出了函數(shù)(V)在給定點(diǎn)處沿某個(gè)方向的變化率問(wèn)題。然 而從場(chǎng)中的給定點(diǎn)出發(fā)，有無(wú)窮多個(gè)方向，函數(shù)沿哪個(gè)方向的變化率 最大呢？最大變化率為多少呢？帶著這些問(wèn)題，我們來(lái)看方向?qū)?shù)。函數(shù)(V)在M點(diǎn)i方向上的方向?qū)?shù)為(場(chǎng)的空間坐標(biāo)為 V V(I)d &) dx(I), y(l), z(I)dl dlXyZXl y l ZlV V Xl方向上的單位矢量0 i 一 ly k Z。X cos，y cosl lllVVV-eQ e

13、z。XyZ這樣上式可以表示為ddl從該式可以看出梯度是方向?qū)?shù)的一種,方向?yàn)闃?biāo)量函數(shù)儀)上 CoS在Ml點(diǎn)I方向上的方向余弦。其余三個(gè)數(shù) 一，一，一也lXyZ可視為某一矢量的坐標(biāo)(VM V e。XyZ(2) 梯度在直角坐標(biāo)系下，定義梯度(gradient): grad升最快的方向，大小為其改變率數(shù)值。梯度的性質(zhì)(1) 梯度與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)，只取決于場(chǎng)的分布;(2) 方向?qū)?shù)是梯度在該方向上的投影；(3) 梯度的方向?yàn)橹赶?V)增加最快的方向2. 散度：(1) 通量通量的定義，設(shè)有矢量場(chǎng)IV，沿某一有向曲面S的某一側(cè)面的曲面積分V V F dSS叫做矢量場(chǎng)F向積分所沿一側(cè)穿過(guò)曲面S的通量說(shuō)明：

14、1.積分號(hào)無(wú)論幾重積分都用單重記號(hào)，看變量而定幾重積分；2. 通量可以疊加；3. 若為閉合面，?F dS，一般約定以球面的外法線方向?yàn)镾正方向，穿出曲面為正，穿入曲面為負(fù)，相切為零。根據(jù)通量的正負(fù)可以得知S內(nèi)有產(chǎn)生通量的正源（源）或負(fù)源（匯、壑、閭）。但僅此還不能了解源在 S內(nèi)的分布情況以及源的 強(qiáng)弱程度等問(wèn)題。為了描述上述問(wèn)題，我們引入散度的概念。 散度V V、VVQFdS散度（diVergence）的定義 diVff lim - 旋度 （1）環(huán)量的定義：設(shè)有矢量場(chǎng)岸，則沿場(chǎng)中某一閉合的有向曲線I的 曲線積分VS 0 VS散度表示在場(chǎng)中一點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率，又稱(chēng)為通量體密度。 也就是在該

15、點(diǎn)處對(duì)一個(gè)單位體積來(lái)說(shuō)所穿過(guò)的通量，稱(chēng)之為該點(diǎn)處源 的強(qiáng)度（散發(fā)通量或吸收通量的能力）。其符號(hào)的正負(fù)表示在該點(diǎn)處 有散發(fā)通量之正源或有吸收通量之負(fù)源，其絕對(duì)值IdiVVI就相應(yīng)的表示在該點(diǎn)處散發(fā)通量或吸收通量的強(qiáng)度。對(duì)于流體來(lái)說(shuō)，散度表示穩(wěn) 定流動(dòng)的不可壓縮流體在源點(diǎn)處的 源頭強(qiáng)度，（單位時(shí)間單位體積內(nèi) 所產(chǎn)生的流體質(zhì)量）。散度的性質(zhì)（1）與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)，取決于場(chǎng)的分布。V（2）在直角坐標(biāo)系下有diVfV V?F dl稱(chēng)為此矢量場(chǎng)按積分所取方向沿曲線I的環(huán)量。我們已知磁場(chǎng)中有V V?H dl I由上式可以知道，磁場(chǎng) H的環(huán)量，I為通過(guò)磁場(chǎng)中以I為邊界的一塊 面積S的總的電流強(qiáng)度。顯然，僅此

16、還不能了解磁場(chǎng)中任一點(diǎn)M處通向任一方向V的電流密度（即在點(diǎn)M處沿V的方向，通過(guò)與V垂直 的單位面積的電流強(qiáng)度）。為了研究這一類(lèi)問(wèn)題，我們引入環(huán)量面密 度的概念。（2）環(huán)量面密度。設(shè)M為矢量場(chǎng)IV中的一點(diǎn)，在M點(diǎn)處取定一個(gè)方向V ,再過(guò)M任作 一微小曲面 S ,以IV為其在M點(diǎn)處的法矢，對(duì)此曲面，我們同時(shí)又 以S表其面積，其周界I之正向取作與V構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。則矢 量場(chǎng)沿I之正向的環(huán)量與面積S之比，當(dāng)曲面S在保持M點(diǎn)于其上的條件下，沿著自身縮向M點(diǎn)時(shí)，若一的極限存在，則稱(chēng)其為S矢量場(chǎng)F在點(diǎn)M處沿方向V的環(huán)量面密度（就是環(huán)量對(duì)面積的變化作 己u-S mM HS?mMHSd例如，在磁場(chǎng)強(qiáng)度H所構(gòu)成

17、的磁場(chǎng)中的一點(diǎn) M處，沿方向V的環(huán)量mMHSdVHZSmMdI （電流密度） dS又如在流速場(chǎng)V中的一點(diǎn)M處，沿方向V的環(huán)量面密度為mM HSHSn即為在點(diǎn)M處與V成右手螺旋方向的環(huán)流對(duì)面積的變化率，稱(chēng)為環(huán)流密度（或環(huán)流強(qiáng)度）。單位時(shí)間單位面積流走的電荷電量從上面我們可以看出，環(huán)量面密度是一個(gè)和方向有關(guān)的概念，正 如標(biāo)量場(chǎng)中的方向?qū)?shù)與方向有關(guān)一樣。 然而在標(biāo)量場(chǎng)中，梯度矢量， 在給定點(diǎn)處，它的方向表出了最大方向?qū)?shù)的方向，其模即為最大方向?qū)?shù)的數(shù)值， 而且它在任意方向的投影，就給出該方向上的方 向?qū)?shù)。這種情況，給我們一種啟示，能否找到這樣一種矢量，它與 環(huán)量面密度的關(guān)系，正如梯度與方向?qū)?shù)

18、之間的關(guān)系一樣。這個(gè)矢量 我們稱(chēng)之為旋度.下面，我們給出旋度的定義，（3）旋度若在矢量場(chǎng)F中的一點(diǎn)M處存在這樣的一個(gè)矢量R,矢量場(chǎng)F 在點(diǎn)M處沿其方向的環(huán)量面密度為最大，這個(gè)最大的數(shù)值，正好就 是IRI ,則稱(chēng)矢量R為矢量場(chǎng)F在點(diǎn)M處的旋度（rotation, curl）,記作V 陽(yáng) rotF ,即V VrotF R簡(jiǎn)言之，旋度矢量在數(shù)值和方向上標(biāo)出了最大的環(huán)量面密度。（4）旋度的性質(zhì)（1）旋度與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)，只取決于場(chǎng)的分布;（2）旋度矢量在任一方向上的投影，就等于該方向上的環(huán)量面密度,V即有rotnFV VV V?IFdIn n rotF Iim -lS 0 S 、V例子1:在磁場(chǎng)H中

19、，旋度rotH是在給定處，它的方向乃是最大電流 密度的方向，其模即為最大電流密度的數(shù)值，而且它在任一方向上的 投影，就給出該方向上的電流密度。在電學(xué)上稱(chēng) rotH7為電流密度矢例子2:在流速場(chǎng)V中，旋度rov是在給定處，它的方向是最大環(huán)流密而且它在任一方向上的投度的方向，其模即為最大環(huán)流密度的數(shù)值, 影，就給出該方向上的環(huán)流密度。(3) 在直角坐標(biāo)系中V rotf例題：V V1XyZ(ZX)ey設(shè)一剛體繞過(guò)原點(diǎn)0的某個(gè)軸I轉(zhuǎn)動(dòng)，V2 j3V，則剛體上的每一點(diǎn)處都具有線速度一個(gè)線速度場(chǎng)。由運(yùn)動(dòng)學(xué)知道，矢徑為V其角速度為V，從而構(gòu)成XV yV Zk的點(diǎn)M的線速度為V VVV(2Z 3y)i ( 3

20、X z)j1y 2X)k ,求線速度IV的旋度。解：由速度場(chǎng)的雅可比(JaCOb)矩陣DVV2 2jV2 3k2v這說(shuō)明，在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度場(chǎng)中，任一點(diǎn)M的旋度，除去一個(gè)常數(shù)因子外：恰恰等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度(旋度因此得名)。 注，對(duì)于一個(gè)矢量f (x, y, Z) IfX fy kfz ,雅可比矩陣可以表示為fxXfx yfxZVfyDfyfyfyXyZfzfzfzXyZ其中對(duì)角元fxX-y，-之和為dIvf，其余八個(gè)正好是旋度的公式 y Z中所需要的。按照逆S順序排列，每?jī)蓚€(gè)作為一組求和，其中后面的 偏導(dǎo)數(shù)前面加負(fù)號(hào)，并且按照V，V,k的順序排列 四、幾個(gè)重要定理1.牛頓一萊布尼茲定理VVb

21、V（b）（a）dla（由方向?qū)?shù)的公式ddlVo，得 dV VVdl ,從V到b取積分得到VVb(b)(a)adVdl)2 奧斯特羅格拉得斯基公式（或稱(chēng)高斯（GauSS） 公式，奧高公式）：?f dSf dVSV閉曲面S為V的表面，ds等于ds乘以外法線方向單位矢量。（在矢量場(chǎng)中任取體積V ,包圍這個(gè)體積的閉合面為S ,用垂直于坐標(biāo)軸的三組平行面把體積 V分割成許多無(wú)限小的六面體（分割足夠、V細(xì)，可以看成六面體），由散度的定義divfV VV ? FdS f Iimq 可知,VS 0 VS通過(guò)每個(gè)六面體表面的通量是VfdV，在 S 所圍VS一種是內(nèi)部的面，它們但是對(duì)于這兩六面體，此面的的體積V

22、中，小六面體的表面可以分成兩種: 每個(gè)同時(shí)是相鄰兩個(gè)小六面體的表面， 法線方向應(yīng)當(dāng)是相反的，所以此面的通量對(duì)一個(gè)六面體來(lái)說(shuō)是正的對(duì) 另一個(gè)就是負(fù)的，因而在求和時(shí)，所有內(nèi)部的面上通量都互相抵消，另一種是外部的面，它們是面S的一部分，而且只是六面體的一個(gè)表 面，所以求和時(shí)只剩下這部分通量的和，由此可見(jiàn)，上式的右邊就是 通過(guò)面S的通量即?F ds ,最后得到V VV?f dSf dV ）SV3. 斯托克斯（StOkeS）公式：V VVV? f dlf dSLS閉曲線L為S的邊界。S方向與L成右手螺旋關(guān)系。（在矢量場(chǎng)X中，任取一個(gè)非閉合面S ,它的圓周界長(zhǎng)度為I ,把S任意分割為無(wú)數(shù)多的面積元dSi，

23、ds的邊界為Ii，繞行的方向與I的繞行V VV V ? F dl 方向相同，根據(jù)旋度的定義式 nenrotFIim- l ，S MSVVVVVV對(duì)于每個(gè)面積元矢量 A的線積分為?F dlendSrotF（rotF ）eedS，-liV VVV將此結(jié)果求和？Fdl （rotF ）endSs（rotF）VndS ,沿小面積元的邊界取線積分時(shí)，內(nèi)部沿每?jī)蓚€(gè)面積元的邊線都計(jì)算了兩次，而且積分的方向相反，在求和時(shí)這兩部分互相抵消，結(jié)果只剩下外邊與I重 合部分的積分值，因而得到蜒VdVFV dV ,于是最后得到i liIV VVV V?F dlF VdSFdS）enLSS4. 標(biāo)量場(chǎng)本質(zhì)上可以由該場(chǎng)的梯度

24、確定，矢量場(chǎng)本質(zhì)上由該場(chǎng)的散度、旋度確定。五、微分算符（nabla，HamiItOn ,代爾）1.的性質(zhì)（1） 算符性（約定被作用量放在算符的右側(cè)）（2）矢量性（3）階微分性（4） 直角坐標(biāo)系下，一 ex ey ezXyZ2二次微商(1)（ ）0X證明:eye<y Z Z y=O逆定理：反之，在單連通區(qū)域，如果某一矢量f的旋度為零0),則矢量f可表示為某個(gè)標(biāo)量的梯度，稱(chēng)為矢量場(chǎng)f的標(biāo)量勢(shì)。補(bǔ)：?jiǎn)芜B通區(qū)域的判定辦法：對(duì)于區(qū)域內(nèi)任意選取閉合回路，都能使 之在區(qū)域內(nèi)連續(xù)收縮，若能收縮為區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)，則該區(qū)域?yàn)閱芜B通區(qū)域(1)無(wú)孔的三維空間一單連通(2)三維空間抽出Z軸一非單連通(3)三維空間挖

25、出一個(gè)球 一單連通(4)三維空間挖出一個(gè)球殼 一非連通，球內(nèi)球外均為單連通，整體為非連通區(qū)域。(5) (2)中去掉包含Z軸的半個(gè)空間一單連通(6)除去包含閉合電路為邊界所張成的面后的空間 一單連通(2):V fXfZ fy y Zfx y ZfZXfyZXfXy0記憶：VVff0O證明A 0 )，則矢量A可表為逆定理：如果某一矢量A的散度為零(另一矢量的旋度f(wàn)稱(chēng)為矢量場(chǎng)A的矢量勢(shì)(3)2 2 2(2 2 2 )XyZ2 V 2 v2J2f2fV2fy V2fz Vf 亍2 y22 ex2ZXyeyz Zez(4)(V f)V2 V(f) 2f證明：由VZ V (aVVVVVVVb) (V b)

26、a (G a)bV(VV b)(V V)Ib故ffff 2f3.乘積場(chǎng)的微商，算子具有矢量性和微分性) (18)VVV(f) f () f(.19)VVV(f)ff(.20) VVVVVV(fg)g (f)f(g)(.21)V VVVVVVVV(fg) (g )f f( g)(f)gg(f)(.22)VVVV VVVVVV(f g)f(g) (f )g CJ(f)(g)f(.23)只要把看成具有矢量運(yùn)算和微分運(yùn)算雙重性質(zhì)的量，從這兩種 運(yùn)算的特點(diǎn)考慮，即可得到上面這些式子。(.18)作為一個(gè)矢量，與標(biāo)量 相乘，結(jié)果應(yīng)是矢量，由于 又是微分算子，因而它對(duì)的乘積的作用()應(yīng)得。(1.19)作為微分

27、算子，既要作用到 上，又要作用到f上，再 考慮到 的矢量性質(zhì)，必須把點(diǎn)乘放在正確的位置上，不能有V() 而應(yīng)得f( f)兩項(xiàng)。（1.20）與上式道理相同，作為微分算子既要作用到上，又要 作用在f上，但叉乘號(hào)必須放到正確位置上，因而得VVff。（.21） V V根據(jù) 的微分性質(zhì)，應(yīng)分別作用到f， g上，可 形式上寫(xiě)為（VV） f V g g V g而且 還有矢量性 質(zhì)，可通過(guò)矢量混合積的性質(zhì)改寫(xiě)，使其分別直接作用到 f和g上。 由ViVVVVV有 f v V f v g V g第二項(xiàng)g V g不能寫(xiě)成（g f） g，因g要作用在g上?？紤]到gV fV ggV gV ffg VfW g故得（V f

28、&)V(V f)V f (V)(.22)V (fg)fV Vgf V（微分性）由V VV GVVIg a g bV aIg V因而由矢量性得VVVVVVgggVffggf fg ff g f gf（f孑）v g v，因f只作用在f上同理，gfV gfV g gg fg f g fV g最后得V (f(V)(<gg )fVgf( V)g (f)g g( V)(.23)V fg gfVgg g fg g（由微分性）而由(Vgb)g G(C g)bIg V,(G b)a得a IgVg aG bVIgV a b G故fVg g fgffg fVVVVg g f g、 f(括號(hào)里面的量一個(gè)

29、一定在括號(hào)外，有一個(gè)一定在括號(hào)里面。其 腳標(biāo)的量一定在括號(hào)內(nèi)，不是腳標(biāo)的量一定在括號(hào)外。f表示對(duì)V作 用，因此V一定在括號(hào)里面，因此有 f V ,然后根據(jù)三個(gè)矢量叉 乘進(jìn)行運(yùn)算分析即可。)同理 g v g g 孑 VVdfZV于是 (VB) V ( g) (V )g g ( V) (g )v六、特別提醒以上應(yīng)用 的微分運(yùn)算要嚴(yán)格按照要求，規(guī)范書(shū)寫(xiě)。作業(yè)：書(shū)后習(xí)題1、 2、 3、 4、 5、 6第二節(jié)-函數(shù)簡(jiǎn)介本節(jié)是為了格林函數(shù)做基礎(chǔ)的，可視具體學(xué)時(shí)適當(dāng)刪減。一、電荷密度的 函數(shù)表示1、數(shù)學(xué)上的函數(shù)定義質(zhì)點(diǎn)X 0處的函數(shù)定義為:V(X)0(v)dVV1積分區(qū)域V為包含X 0點(diǎn)的任意區(qū)域?？梢?jiàn)，在

30、X 0點(diǎn),(X)必為無(wú)窮大，否則不可能使包圍X 0點(diǎn)的小區(qū)域內(nèi)的積分為1。性質(zhì)(1)選擇性Vf(V)(V)dVf (0)， f (X)為原點(diǎn)V 0附近的連續(xù)函數(shù)。V為包含V 0在內(nèi)的任意區(qū)域。(2)偶函數(shù) (x)( x) (ax) (X) a更一般的函數(shù)應(yīng)定義在V附近：(V V) 0 當(dāng)V V時(shí)(V X)dV 1 當(dāng) V V 時(shí)V性質(zhì)選擇性f(X) (V V )dV f (V)f (V)為X點(diǎn)附近的連V續(xù)函數(shù)，V為包含V點(diǎn)在內(nèi)的任意區(qū)域。2、電荷密度：通常電荷密度是與空間位置有關(guān)的有限連續(xù)函數(shù)。如果不是有限 連續(xù)的，例如點(diǎn)電荷(點(diǎn)電荷是體積很小 ，電荷密度很大的帶電小球 的極限)，或分布在一表

31、面上或一曲線上的電荷，可用函數(shù)表示，因此我們可以用來(lái)表示 一個(gè)點(diǎn)電荷的電荷密度為(Xr) q (V V) 一組點(diǎn)電荷的電荷密度為(Xr)qi (V Xi)i 一個(gè)在原點(diǎn)處的電偶極子的電何密度為VVVVq的中心為坐標(biāo)原(X) (P ) (X)(V)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，以電偶極子Vl 一2V弓yvX點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)電荷 q分別處于X v 0 ,該體系的電荷密度為(r)q4 R2(rR)(r)r2drsin d d4；R2(r R)r2dr q(X)q (X 2)q (X2)q(V)q-(X) X -(V)y(X) zXyZV q(V)(V)(X)其中.)在曲I線坐標(biāo)系中用函數(shù)表示電荷密度。例如，在球坐標(biāo)

32、系中均與分布在半徑為R的球殼上的電荷為q ,則電荷密度為V4在柱坐標(biāo)系中均勻分布于半徑為 b的圓柱面上每單位長(zhǎng)度的電荷為，則電荷密度為(r)2 b (rb)(r)rdrd dz d2 b(r b)rdr、一個(gè)有用的公式V)，(其中 r.'(X X)2 (y y)2 (Z z)2由此得由庫(kù)侖定律:4 0這個(gè)式子在V 0處是沒(méi)有意義的，那么這個(gè)式子代表什么。原來(lái)一V V1V個(gè)封閉面的面積分r3 dS ( 1) dS是有意義的。右方等于4rr(如果積分面所包含的體積包含原點(diǎn))；或等于零，(如果積分面所包 含的體積不包含原點(diǎn))。將上式改寫(xiě)為1 2 1( )dV ( )dV rr如果體積包括原點(diǎn)

33、，右方等于 4 ;如果體積不包含原點(diǎn)，右方等于 零。因此可以用1V V(-)dV4 (X x)dVr由于其中所選的體積任意 則有V V4 (X X)這個(gè)式子的意義僅是原來(lái)的1 V(-)dS 4或O (視面所包含的體積是否包含原點(diǎn))r這個(gè)式子是有實(shí)際用途的。IV證明：21r34 (V V)(此種證明并不嚴(yán)謹(jǐn))rr V在r O即X V處，r3 O ,但在r O處其值是無(wú)窮大的，即它是r一個(gè) 函數(shù)。取以r O點(diǎn)為中心，半徑r O的小球面，由高斯定理，v2V及球面元矢量dS r2sin d d & ,有VV V-TdVdS 4rS r由關(guān)于函數(shù)的定義，有4(V V )dV 4 (當(dāng) V 在 V

34、 內(nèi))，V由于所選體積任意,因此r2 1ZV VP- 4 (x X )。rr嚴(yán)謹(jǐn)證明：在球坐標(biāo)系中，21丄r2 (1) 0, r 0。r r rr r在r O點(diǎn)，-奇異，上式不成立。因此2I是這樣一個(gè)函數(shù)，它rr在r O處的值為零，只有在r O點(diǎn)上可能不為零。我們采用極限的方法來(lái)求此積分2 1 dV Iim21 I dVra 022 2(r a )2Iim d2 r1 dr a 00 r rr ( 22)2(r a ) 2 23a rIim d dra 0 2 2、2(r a )作積分變數(shù)變換r a ,可見(jiàn)上式極限存在I 2d 32 dV 12 0543 Io 4r ( 2 1)2( 2 1)

35、'其中利用tan代換，積分區(qū)間為0。2因此證明了 214(VV)。r三、函數(shù)一些其他性質(zhì)引入函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (X)，f (x) (X x0)dx df(x)dx f (x0)這個(gè)式子和 (X)0定義了 (X)。函數(shù)顯然滿(mǎn)足了 (X)( X)由此得(X)( x)函數(shù)與函數(shù)，滿(mǎn)足下面的式子f(x) (X x) f(x) (X X)X (x)0(x)(X XS)(其中 XS為(X)的根),S(XS)此外又有(ax)(x)a,(x2 a2) (X a) (X a) 2 aH (x2)(X)f(x)而積分的結(jié)果上面式子的證明，只消討論雙方乘上一任意函數(shù)第三節(jié)張量代數(shù)與張量分析一、二階張量標(biāo)量場(chǎng)，可以

36、用一個(gè)數(shù)描述，30V3矢量場(chǎng)FFeV ,可以用三個(gè)數(shù)描述，31i 1二階張量可以寫(xiě)為T(mén)Tijee ( i, j 1,2,3 ) , 32ij從上面公式可以看出，張量是具有九個(gè)分量的物理量。張量T 的九個(gè)分量寫(xiě)為T(mén)IT12T13T21T22T 23T31 T32 T33當(dāng)這九個(gè)分量在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)下按照Tij aikajJk 1變化時(shí)，由它們組 成的物理量就稱(chēng)為張量。若Tij Tji，稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)張量，對(duì)稱(chēng)張量只有六 個(gè)獨(dú)立分量。若Tij Tji稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)張量，反對(duì)稱(chēng)張量只有三個(gè)獨(dú)立分 量。1.并矢兩個(gè)矢量A和B并列放在一起，它們之間不做任何運(yùn)算，稱(chēng)為并 矢。A和B的并矢記為AB。它是二階張量的一個(gè)特例，它有九個(gè)分 量若直角坐標(biāo)系的單位基矢為V, ,則并矢AB可以寫(xiě)為VVV VVVV VAB A B1 e e A B2 2 A1B3