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文檔簡(jiǎn)介
1、等腰直角三角形中的全等問(wèn)題在證明三角形全等時(shí),我們常常遇到圖形中有等腰直角三角形,由于等腰直角三角形有一組直角邊相等, 恰恰可以為我們證明三角形全等提供必要的條件,現(xiàn)舉幾例說(shuō)明。2、已知:在等腰直角 ABC中, / BAC=90 , AB=AC,過(guò)點(diǎn)A作直線FG,過(guò)點(diǎn)B做BD,F(xiàn)G于D,過(guò)點(diǎn)C 做 CE,F(xiàn)G 于 E,求證:DE=BD-CE分析:題中有幾個(gè)直角,往往可以得到許多角互余,所以有一些角相等,題中有AB=AC ,我們可以得到 AB與AC所在的三角形( ABD與ACAE)全等,則 BD=AE,AD=CE,結(jié)論及可證明。證明(略)結(jié)論:一組直角邊相等,思路1:可以觀察兩邊是否在一個(gè)三角形
2、中,若在,即這個(gè)三角形是等腰三角形思路2:若不在一個(gè)三角形中,往往可得到其所在的兩個(gè)三角形有一組對(duì)應(yīng)邊相等,為證三角形全等奠定條件。練習(xí):3、在等腰直角 ABC中, Z BAC=90 , AB=AC,BD平分/ ABC,過(guò)點(diǎn)C做BD的垂線CE,垂足為E,求證:CE=1/2 BD提示:可通過(guò)角平分線構(gòu)建全等形,即延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于F,則4BEF與4BEC全等,所以 CF=2CE,只需證明CF=BD即可,即證明 ABD與4ACF全等。4、在等腰直角 ABC中, / BAC=90 , AB=AC,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),AF,BD于G,過(guò)點(diǎn)C做CE / AB, 交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,求證:EF=D
3、F提示:要證明結(jié)論成立,需證明 EF與DF所在的兩個(gè)三角形 CFD與/ CFE全等即可。關(guān)鍵差一組邊或一組角相等,有題中條件,很容易可證明ABD與 CAE全等,可為證明 CFD與 CFE全等提供幫助。65、如圖, ACD和AEB都是等腰直角三角形,/(1) EC=BD(2)EC BD1 S四邊形EBCD =EC *BD(4)Saade=Sabc2EAB= / CAD=90 ,求證:B C6、已知:在等腰直角 ABC中,/ BAC=90 , AB=AC,E 為AC上一點(diǎn),CD,BE于D,連接AD,若AD=2 , CD=3 ,求BD的長(zhǎng)。BC提示:由于等腰直角三角形的特征,把 CA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
4、90。,即可與BA重合,所以,可把 DA同樣處理,使之旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) E處,則4 CAD與 BAE全等,即可得到結(jié)論。在等腰直角 ABC中,/ ACB=90 , D是AC中點(diǎn),/ ADF= / CDB ,連接CF交BD于E,求證:BDXCF.ABC中,/ ABC=90 , D為AC的中點(diǎn),過(guò) D點(diǎn)作 DEL7. (2011秋?斫口區(qū)期中)如圖,在等腰直角DF,交AB于E,交BC于F.求證:(1)DE=DF(2) /DEF=45 .J8 (2014秋?武漢校級(jí)月考)如圖, BD是等腰直角 ABC的腰AC上的中線,AELBD交BD、BC于E、F, 求證:(1) / ABD= / CAF;(2) Z AD
5、B= / CDF.9. (2011秋?嘉陵區(qū)期末)如圖,在 RtAABC中,/ BAC=90 是AC的中點(diǎn),AC=2AB .(1)求證: EABA EDC.(2)判斷 EBC的形狀.(有些角用數(shù)字表示更醒目),等腰直角三角板 ADE如圖放置,點(diǎn) D恰10 . (2008秋?自貢期末)在等腰直角 ABC中,/ C=90 , AC=BC , D是AB上任一點(diǎn),AE CD于E,BFXCD交CD延長(zhǎng)線于 F, CH AB于H ,交 AE于G .求證:(1) BD=CG ; (2) DF=GE .11 .如圖,銳角 ABC分別以A、B為直角頂點(diǎn),向 ABC外作等腰直角三角形 ACE和等腰直角三角形 BC
6、F , 再分別過(guò)點(diǎn)E、F作邊AB所在直線的垂線,垂足為 M, N.求證:EM+FN=AB .12.如圖1,已知A (0, 2)、B (-1, 0)兩點(diǎn),以B為直角頂點(diǎn)在第二象限作等腰RtAABC.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)如圖2,直線 CB交y軸于E,在直線 CB上取一點(diǎn) D,連接 AD ,若AD=AC ,求證:BE=DE .如圖, CAB, CDE都是等腰直角三角形,13如圖,在等腰直角 ABC中,/ C=90 , AD平分/ BAC交BC于D , DELAB于E.(1)求證: ACDA AED;(2)若AB=6 ,求 DEB的周長(zhǎng).M是DB中點(diǎn),求證:CM AE.如圖,4ACE為等腰直角三
7、角形, Z ACE=90 , B為AE上一點(diǎn), ABC經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)到達(dá) EDC的位置,AC=%8 cm, (1) Z DEC=(2)求四邊形 CBED的面積;(3)連結(jié) BD,若AB=1cm,求線段 BD的長(zhǎng).已知 ABC和 DEC都是等腰直角三角形, C為它們的公共直角頂點(diǎn),連接AD、BE, F為線段AD的中點(diǎn),連接CF(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上時(shí),BE與CF的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是(不用證明);(2)如圖2,把 DEC 然成立?若成立,請(qǐng)證明;(3)如圖3,把 DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角(0 a 90 ),其他條件不變,問(wèn)(1)中的關(guān)系是否仍 若不成立,請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的正確的結(jié)論并加以證明;,
8、BE、CD 交于點(diǎn) M,若/ DCF=30,求CM /BM 的值.繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45OAEDGBB如圖擺放,o圖3其中/ ACB= / DCE=90圖:ABC 和 DECB D C圖1兩塊等腰直角三角板 點(diǎn),G是BD的中點(diǎn).(1)如圖1,若點(diǎn)D、和位置關(guān)系為E分別在AC、,F是DE的中點(diǎn),H是AE的中BC的延長(zhǎng)線上,通過(guò)觀察和測(cè)量,猜想 FH和FG的數(shù)量關(guān)系為(2)如圖2,若將三角板 DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 ACE在一條直線上時(shí),其余條件均不變,則(1)中的猜想是否還成立,若成立,請(qǐng)證明,不成立請(qǐng)說(shuō)明理由;3, (1)中的猜想還成立嗎?直接寫(xiě)出(3)如圖3,將圖1中的 DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角,得到圖 結(jié)論,不用證明.DHCHH卻如圖(1), ABC為等腰直角三角形,/ ACB=90 ,E是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) E與A, C不重合),以.連接 BE, AD, BE延長(zhǎng)線交 AD于點(diǎn)P.猜CE為邊在 ABC外作等腰直角三角形 ECD , / ECD=90 想線段BE, AD之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.(1)獨(dú)立思考:請(qǐng)直接寫(xiě)出線段 BE,
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