等腰三角形的證明習(xí)題集與答案解析

1、等腰三角形一、選擇題1 .如圖，邊長為4的等邊4ABC中，DE為中位線，則四邊形 BCED的面積為（）（A） 2V3（B） 3邪（C） 4看（D） 6-3A. 15cm二、填空題B. 16cm C. 17cmD. 16cm 或 17cm2 .如圖，/ABC和NCDE均為等腰直角三角形， 點(diǎn)B,C,D在一條直線上，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn),卜列結(jié)論： tan Z AEC= 匹;S/abc+S/cde三Sace ;（3）BM ± DM;BM=DM.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)CD是（）（A） 1 個(gè)（B） 2 個(gè)（C） 3 個(gè)（D） 4 個(gè)3 .如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是5cm和6cm ,那么此三角形的

2、周長是圖（四）1 .邊長為6cm的等邊三角形中，其一邊上高的長度為 .2 .等腰三角形的周長為14,其一邊長為4,那么，它的底邊為.3 .在等腰Rt 4ABC中，/ C=90°, AC=1,過點(diǎn)C作直線l/AB , F是l上的一點(diǎn)，且AB=AF, 則點(diǎn)F到直線BC的距離為.4 .已知等邊 ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AB,BC上，把 BDE沿直線DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn) B "處，DB ' ,EB /分別交邊 AC于點(diǎn)F , G,若/ ADF=80 o,則/ EGC的度數(shù)為5 .如圖6,在 ABC中，AB=AC , / BAC的角平分線交 BC邊于點(diǎn)D, AB=5 ,

3、BC=6 , WJ AD=B6 .如圖（四）所示，在 ABC 中，AB=AC , / B=50 ° ,貝U4=7 .如圖，已知 ABC是等邊三角形，點(diǎn) B、C、D、E在同一直線上，且 CG=CD, DF= DE , 則/ E=度.三、解答題1.如圖（1） , 4ABC與4EFD 為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=9 ,ZBAC= / DEF=90 0,固定ABC,將4DEF繞點(diǎn) A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) DF邊與AB邊重合時(shí)， 旋轉(zhuǎn)中止.現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè) DE , DF（或它們的延長線）分別交BC（或 它的延長線）于G, H點(diǎn)，如圖（2）（1）問：始終

4、與4AGC相似的三角形有及；（2）設(shè)CG=x , BH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)圖 （2）的情形說明理由）（3）問：當(dāng)x為何值時(shí)，4AGH是等腰三角形.題1圖題1圖（2）2、如圖 AB=AC, CD±AB 于 D, BEAC 于 E, BE 與 CD相交于點(diǎn) O.(1封證 AD=AE;(2)連接OA, BC,試判斷直線 OA, BC的關(guān)系并說明理由.ZCAD=ZCBD=15 ,E為AD延長線上的一C3 .如圖，已知點(diǎn) D為等腰直角ABC內(nèi)一點(diǎn), 點(diǎn)，且 CE = CA.(1)求證：DE平分/BDC;(2)若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM,求證：ME=BD .4 .如圖，在等

5、腰三角形 ABC中，/ ABC=90 ° ,D為AC邊上中點(diǎn)，過 D點(diǎn)作DE XDF,交AB 于 E ,交 BC 于 F ,若 AE=4 , FC=3，求 EF 長.5 .數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目._ 在等邊三角形 ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D 在CB的延長線上，且 ED=EC，如圖.試確 定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由.小敏與同桌小聰討論后， 進(jìn)行 上&D BcL了如下解答：(1)特殊情況滁索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1,確定線段AE與白DB大小關(guān)系.請你直接寫出結(jié)論：AE _DB(2)特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE DB

6、 (填 多"，2 ”或=").理由如下:如圖2,過點(diǎn)E作EF / BC,交AC于點(diǎn)F,（請你完成以下解答過程）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題.若4ABC的邊長在等邊三角形 ABC中，點(diǎn)E在直線 AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC為 1, AE=2,求CD的長（請你直接寫出結(jié)果）.等腰三角形答案、選擇題、填空題、解答題BDD1、3資2、4 或 63、4、805、46、807、 151.1 （2011廣東東莞，21, 9分）【答案】解：（1） HAB,AC GCHB AB y= X, HGA。81圖2又= BC= & +92 =9亞0< x< 972 0一LV

7、關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 y= （0< x< 9V2%x1,（3）當(dāng)/GAH=45°是等腰三角形.的底角時(shí)，如圖BC 9 -可知 x =CG = =V2 。22當(dāng)Z GAH=45 °是等腰三角形.的頂角時(shí)，如圖2,在 HGA和 AGC中. /AGH= / CGA, /GAH=/C=450, /.A HGAA AGCo,. AG=AH ,x=CG =AC =9，當(dāng)x =9五或x=9時(shí)，AAGH是等腰三角形。2【考點(diǎn)】 三角形外角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理, 幾何問題列函數(shù)關(guān)系式，等腰三角形的判定?！痉治觥浚?）在4AGC和 HAB中， ,/ AGC= /

8、B+ / BAG= / B+90°/ GAC=135°/ GAC, / BAH= / BAC+ / EAF / EAC=90 0+450 / GAC ,/ AGC= / BAH 。一0又. / ACG=/HBA=45 , AAGCA HAB o在AAGC和4HGA中, / CAG= / EAF / CAF=45 ° / CAF , /H=180°- /ACH /CAH=180°135°/CAF=45°/CAF,/CAG=/H。又. / AGC=/HGA, . AGCs HGA。(2)利用 AGCAHAB得對應(yīng)邊的比即可得。(

9、3)考慮/GAH是等腰三角形.底角和頂角兩種情況分別求解即可。2、(2011山東德州19,8分)(1)證明：在 4ACD與ABE中，./A=/A, /ADC=/AEB=90 AB=AC,，AACDAABE .(2)互相垂直在 Rt AADO與4AEO中，. OA=OA, AD=AE ,，AADOAAEO./DAO=/EAO.即 OA是/BAC 的平分線.又. AB=AC, . . OA± BC.3、 （2011山東日照，23, 10分）證明：（1）在等腰直角 ABC中， ZCAD=ZCBD=15°, /. Z BAD= Z ABD=45°-15°=30&

10、#176;, . . BD=AD , . . ABDCAADC, / DCA=Z DCB=45°.由 / BDM= / ABD+ / BAD=30°+30 °=60°, / EDC= / DAC+ / DCA=15°+45°=60°, . / BDM= / EDC , .DE 平分/BDC;（2）如圖，連接 MC, . DC=DM,且/MDC=60° ,，MDC是等邊三角形，即 CM=CD.又 Z EMC=180 - ZDMC=180°-60 =120° ,ZADC=180°- Z M

11、DC=180-60 =120° , / EMC=Z ADC.X / CE=CA, . ./DAC=/CEM=15 , .ADCQEMC,4、(2011湖北鄂州，18, 7分)【解題思路】 連結(jié)BD,證 BEDCFD和 AEDBFD , 得BF=4 , BE=3 ,再運(yùn)用勾股定理求得 EF= JbE2 +BF2 =5【答案】連結(jié) BD ,證 BED CFD和 AED BFD ,求得 EF=5【點(diǎn)評】此題考查了直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，三角形全等的判定和性質(zhì)和勾股定理。只要抓住等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定，解決起來并不困難。5、(2011?紹興)考點(diǎn)：全等三角形判定與

12、性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理； 等邊三角形判定與性質(zhì)。專題：計(jì)算題；證明題；分類討論。分析：(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出/D=/DEB=30 °,推出 DB=BE=AE 即可得到答案；(2)作EF / BC,證出等邊三角形 AEF ,再證DBEEFC即可得到答案；(3)分為兩種情況：一是如上圖在AB邊上，在CB的延長線上，求出 CD=3,二是在BC上求出CD=1,即可得到答案.解答：解：(1)故答案為:=.(2)故答案為：=.證明：在等邊 4ABC 中，ZABC= ZACB= / BAC=60 °, AB=BC=AC ,. EF / BC , Z AEF= ZAFE=60 = / BAC , AE=AF=EF ,，ABAE=AC AF ,即 BE=CF ,. / ABC= ZEDB+ / BED=6