高中數(shù)學(xué)思想方法專題--解析版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學(xué)思想方法及解題策略 數(shù)學(xué)能力就是數(shù)學(xué)的思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是策略性知識(shí)，發(fā)展學(xué)生智力最經(jīng)濟(jì)、有效的方法就是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用策略性知識(shí)的能力“少考一點(diǎn)算，多考一點(diǎn)想”，實(shí)質(zhì)是加重對(duì)“數(shù)學(xué)思想方法”的考查近幾年高考卷中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有：（1）數(shù)形結(jié)合。（2）分類討論思想。（3）方程思想。（4）函數(shù)建模思想（5）化歸思想一、函數(shù)與方程思想1函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主線?？梢哉f無處不函數(shù)，高考函數(shù)比重每年都較大著名數(shù)學(xué)家克萊因說過：一般受教育者在數(shù)學(xué)課上應(yīng)該學(xué)會(huì)的重要事情就是用變量和函數(shù)來思考。函數(shù)思想是一個(gè)重要的基本數(shù)學(xué)思想，其重要性不僅表現(xiàn)為五個(gè)基本初等函數(shù)的研究占據(jù)了

2、高中數(shù)學(xué)的中心地位，而且還表現(xiàn)為：方程或不等式可作為有關(guān)函數(shù)的零點(diǎn)、單調(diào)性、正負(fù)區(qū)間或極值來處理數(shù)列作為特殊的函數(shù)，一直處于高考的熱點(diǎn)上作為函數(shù)概念的基礎(chǔ)集合與映射，已在高考中作為數(shù)學(xué)基本語言、數(shù)學(xué)基本工具而大量出現(xiàn)其他數(shù)學(xué)問題，特別是體現(xiàn)參數(shù)討論或運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)的問題，常可用函數(shù)思想來分析或用函數(shù)方法來解決函數(shù)在高考中的重要地位：試題以函數(shù)為主線，不僅題量較多，而且高難題常與函數(shù)直接聯(lián)系函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：借助于有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有

3、關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的2高考中的方程問題包括方程的求解與方程觀的應(yīng)用分成逐漸提高的4個(gè)層次：第一層次：解方程第二層次：帶參變數(shù)的方程的討論第三層次：轉(zhuǎn)化為方程的討論第四層次：構(gòu)造方程求解問題例1：一等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100，前100項(xiàng)的和為10，求該數(shù)列前110項(xiàng)的和.（）分析：本例常規(guī)解法有二：一是依列出關(guān)于、的方程組，求出、，再代入公式求二是利用，,成等差數(shù)列，求出新數(shù)列的公差，然后求新數(shù)列前11項(xiàng)的和若注意到等差數(shù)列中，可知是的一次函數(shù)，于是可用一次函數(shù)的圖象直線求解解：由條件=100，=10仍是等差數(shù)列，,三點(diǎn)共線，于是有，即，解得例2：已知關(guān)于方程總有解，則實(shí)數(shù)的取

4、值范圍是 （）分析：設(shè)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程令,則問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與橫坐標(biāo)軸在上有交點(diǎn)的問題，可用根的分布解決，要注意有兩種情況若將原方程化為：（分離系數(shù)法）顯然又有，故例3：已知，設(shè)，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對(duì)于一切大于1的正整數(shù)，不等式恒成立（）分析：本例無法求和，常規(guī)數(shù)列方法不起作用，需用非常規(guī)手段注意要使不等式恒成立，只需不等式：恒成立問題轉(zhuǎn)化為求，這又是一個(gè)非常規(guī)問題注意，可猜測(cè),怎樣證明這個(gè)結(jié)論？可聯(lián)想用函數(shù)單調(diào)性證明是增函數(shù)，這樣把問題轉(zhuǎn)化為解不等式，得到注：在有關(guān)不等式問題中，要區(qū)分以下命題：恒成立；恒成立；有解；有解.對(duì)于“恒成立”的不等式，一般地，解決的途徑為：分離

5、系數(shù)求最值例4：我國(guó)是水資源比較貧乏的國(guó)家之一，各地采用價(jià)格調(diào)控等手段來達(dá)到節(jié)約用水的目的某市用水收費(fèi)的方法是：水費(fèi)基本費(fèi)超額費(fèi)損耗費(fèi)。若每月用水量不超過最低限量時(shí)，只付基本費(fèi)8元和每戶每月的定額損耗費(fèi)元；若用水量超過時(shí)，除了付同上的基本費(fèi)和損耗費(fèi)外，超過部分每立方米付元的超額費(fèi)已知每戶每月的定額損耗費(fèi)不超過5元，該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費(fèi)用如下表所示：月份用水量（）水費(fèi)（元）1992151932233根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，求（，）分析：設(shè)每月用水量為，支付費(fèi)用為元，則：由題意知：， 由表知第2、3月份的費(fèi)用均大于13元，故用水量、均大于最低限量，將分別代入(2)式得再分析1月份的用水

6、量是否超過最低限量若，將代入(2)式與(3)矛盾，即1月份的付款方式應(yīng)選(1)式則，故，例5：已知，求證：分析： 從方程觀點(diǎn)來看，以、為根的二次方程應(yīng)有判別式等于零，對(duì)照已知條件，恰好是判別式的形式證明：已知條件表明，以、為根的二次方程有判別式等于零，故得兩根相等，從而有例6：設(shè)且，拋物線被軸截得的弦長(zhǎng)為，證明：分析：（1）由于弦長(zhǎng)是與，有關(guān)的變量，若能建立的表達(dá)式，那么結(jié)論相當(dāng)于確定函數(shù)的值域（2）為確定函數(shù)的值域，需完成三件事：求出變量的解析式；確定解析式中的自變量及其取值范圍；由以上兩項(xiàng)推出求證式證明：在中，且，.故方程必有兩個(gè)不等實(shí)根、，則顯然是的二次函數(shù)，由且可得，再由二次函數(shù)的單調(diào)

7、性知，當(dāng)時(shí)是單調(diào)遞減的。，即但，故二、數(shù)形結(jié)合思想華羅庚先生指出：數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙和諧地結(jié)合起來，并充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題得到解決數(shù)形結(jié)合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，高中階段用得較多的是“以形助數(shù)” 1進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個(gè)途徑：建立坐標(biāo)系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解；轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型來求解；構(gòu)造幾何模型來求解2數(shù)形結(jié)合的主要渠道有：絕對(duì)值、二次根式所蘊(yùn)含的距離問題；解析幾何中定比分點(diǎn)

8、、斜率、曲線與方程、區(qū)域與不等式；函數(shù)與其圖象間的幾何變換；向量的幾何意義；三角函數(shù)中單位圓中的三角函數(shù)線及正、余弦函數(shù)的圖象變換；復(fù)數(shù)的幾何意義；立體幾何模型其中以、為背景來實(shí)現(xiàn)其對(duì)應(yīng)關(guān)系的轉(zhuǎn)化最為普遍，是中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想方法的最重要的部分3數(shù)形結(jié)合思想常聯(lián)想的數(shù)學(xué)模型：聯(lián)想一元一次函數(shù)圖像；聯(lián)想一元二次函數(shù)圖像；聯(lián)想定比分點(diǎn)公式；聯(lián)想斜率公式；聯(lián)想兩點(diǎn)間的距離公式；聯(lián)想點(diǎn)到直線的距離公式；聯(lián)想直線的夾角公式4數(shù)形結(jié)合思想?？梢詷?gòu)造的幾何模型：構(gòu)造單位圓解題；構(gòu)造橢圓解題；構(gòu)造雙曲線解題；構(gòu)造拋物線解題；構(gòu)造三角形解題；構(gòu)造物理知識(shí)模型5高考中，用數(shù)形結(jié)合思想的題常有下面幾種類型：利用圖

9、形求值；利用圖形求解的個(gè)數(shù)；利用圖形求參數(shù)的范圍；利用圖形解不等式；利用圖形求最值；利用方程、點(diǎn)的坐標(biāo)研究圖形的關(guān)系、形狀等；利用函數(shù)式研究圖像的性質(zhì)等等難點(diǎn)在于學(xué)生參與數(shù)與形的體驗(yàn)水平轉(zhuǎn)化是目的，作圖是基礎(chǔ)，識(shí)圖是關(guān)鍵例7：已知，則的最小值是 （）分析：如果將看成是兩點(diǎn)間的距離，那么我們頭腦中立即構(gòu)造了一個(gè)幾何模型：點(diǎn)到直線的距離即為滿足題設(shè)條件的最小值易知例8：（2000年全國(guó)）函數(shù)，其中解不等式；證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的分析：可以用常規(guī)解題思路進(jìn)行，也可以運(yùn)用圖像法解不等式常規(guī)解題思路是用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，但若用導(dǎo)數(shù)證明將十分簡(jiǎn)單，當(dāng)時(shí)，又，,故在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)例9：函

10、數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)有，且圖像過點(diǎn)，則的值為（ ）（） 分析：由條件知是函數(shù)的對(duì)稱軸，即而，只有，且，圖像過點(diǎn)得，選（）例10：當(dāng)曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）（） 分析：作出圖像，由圖像知：，又，選（）例11：已知變量，滿足，求：的最大值；（21）的最小值；（）的取值范圍（）分析：準(zhǔn)確理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，作出滿足條件的區(qū)域本題： 是利用直線在軸上的截距作轉(zhuǎn)化 是利用兩點(diǎn)間的距離作轉(zhuǎn)化是利用過兩點(diǎn)的直線的斜率作轉(zhuǎn)化例12：如果實(shí)數(shù)、滿足：，求的最大值和最小值分析：本題若用代數(shù)方法求解將十分困難，但若聯(lián)系圖形來解則可化難為易由條件，得，因此，可視為圓上的動(dòng)點(diǎn)，可視為圓上的動(dòng)點(diǎn)，而是、

11、兩點(diǎn)間距離的平方，于是，過兩圓圓心、作直線分別與兩圓相交，則：；.三、化歸與轉(zhuǎn)化思想數(shù)學(xué)思想中的一條重要原則是不斷地變更問題，使所要解決的問題由難變易或變?yōu)橐呀?jīng)解決過的問題，或者把某一數(shù)學(xué)分支中的問題變?yōu)榱硗庖粋€(gè)數(shù)學(xué)分支中的問題，以利于問題的解決化歸轉(zhuǎn)化原問題 已經(jīng)能解決的或比較容易解決的問題解答 解答 對(duì)應(yīng)回去化歸是一種運(yùn)動(dòng)，只有在不斷的運(yùn)動(dòng)中，矛盾才能解決“解題過程就是不斷變更題目的過程”化歸要求我們換一個(gè)角度觀察，換一種方式思考，換一種語言敘述，用另一種觀點(diǎn)處理問題化歸思想包括了我們所研究過的許多數(shù)學(xué)思想和方法用化歸方法解題時(shí)要求學(xué)生的思維一定要有靈活性，多樣性，多聯(lián)想，多開放總的指導(dǎo)思

12、想是：化難為易；化生為熟；化繁為簡(jiǎn)化歸與轉(zhuǎn)化思想的主要解題途徑：未知問題轉(zhuǎn)化成已知函數(shù)與方程、不等式間的轉(zhuǎn)化空間與平面的轉(zhuǎn)化數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化一般與特殊的轉(zhuǎn)化等與不等的轉(zhuǎn)化高次與低次的轉(zhuǎn)化整體與局部的相互轉(zhuǎn)化正與反的轉(zhuǎn)化常見的轉(zhuǎn)化方法有：直接轉(zhuǎn)化法換元法數(shù)形結(jié)合法參數(shù)法構(gòu)造法坐標(biāo)法：（立體幾何與解析幾何）類比法特殊化方法一般化方法等價(jià)問題法加強(qiáng)命題法補(bǔ)集法以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割例13：若實(shí)數(shù)滿足：，則的最大值是（ ） 分析：二元函數(shù)的最值問題一般有兩種思路：一是把二元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題二是利用基本不等式或幾何意義求解法一：設(shè)，則，代入條件中得由方程有解知法二：即令，

13、則，法三：設(shè)，即由圓心到直線的距離等于半徑得或例14： 已知，則（ ） 分析：把看作函數(shù)取值時(shí)的值，注意到在上、均是減函數(shù)，從而在上也是減函數(shù)，又， 故應(yīng)選（）例15：求函數(shù)的最大值和最小值分析：本例是一個(gè)典型的用換元法解的題目，通過換元將三角問題轉(zhuǎn)化為較熟悉的一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題這里需要特別注意的是：換元后新變?cè)脑试S取值范圍；正確討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系（；）例16：已知：，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析：由轉(zhuǎn)化出；由轉(zhuǎn)化出是的必要不充分條件例17：若、是不同的兩個(gè)銳角且滿足（），試證明：.分析：、是方程的兩個(gè)解，則.注意，考慮到點(diǎn)、既在直線上，又在單位圓上，此問

14、題可化歸為代數(shù)問題求解由方程組消去（不妨設(shè)）得，由韋達(dá)定理，得，利用三角變換可證例18：如圖，在正方體中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn) 證明：；求與所成角；證明：面面；設(shè)，求三棱錐的體積例19：設(shè)，定義，求證對(duì)一切正整數(shù)，有分析：本例容易想到用數(shù)學(xué)歸納法證明顯然，但若僅假設(shè),則很難由遞推公式推出這是因?yàn)檫@里的出現(xiàn)在分母上，為得到，即得到，即要求,將原命題化歸為更強(qiáng)的命題：即證明對(duì)一切正整數(shù)，有證明：當(dāng)時(shí)，由,知,又，,即時(shí)命題成立假設(shè)時(shí)命題成立，即,那么，當(dāng)時(shí)，,又,即當(dāng)時(shí)命題成立據(jù)、可知對(duì)一切正整數(shù)，原命題成立四、分類與討論思想當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問題比較復(fù)雜時(shí)，可以將其分割成若干個(gè)小問題或分解為一系列的步驟，

15、通過局部的解決來實(shí)現(xiàn)整體的完成，這就是分類與討論的基本想法分類的好處至少有兩條：其一：把大問題分為小問題時(shí)，常能達(dá)到簡(jiǎn)單化的目的其二：分類標(biāo)準(zhǔn)本身等于增加了一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)高考中考生的主要問題：分類不合理或討論不全面而造成大量失分（一）引起分類討論的因素分析1由概念的定義引起的分類討論有些概念是分類定義的，在解決問題時(shí)，必然引起分類討論有些概念在定義時(shí)，明確了范圍，也將引起分類討論例20：解不等式分析：由對(duì)數(shù)定義知，不等式等價(jià)于，顯然要去絕對(duì)值符號(hào)，需對(duì)分區(qū)域進(jìn)行討論（這是由絕對(duì)值的定義引起的分類討論，討論時(shí)需根據(jù)絕對(duì)值的零點(diǎn)分區(qū)域討論的方法進(jìn)行）（答案：）例21：（06年四川高考

16、第12題）從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被3整除的概率為（ ）（B） 分析：從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被3整除，可先求出能被3整除的數(shù)所有的三位數(shù)有648個(gè)，將10個(gè)數(shù)字分成三組，即被3除余1的有，被3除余2的有，被3整除的有若要求的3位數(shù)被3整除，則可以分類討論：若三個(gè)數(shù)字均取自第一組，或均取自第二組，此時(shí)共有個(gè)；若三個(gè)數(shù)字均取自第三組，則要考慮取出的數(shù)字中有無數(shù)字0，此時(shí)共有個(gè)；若三組各取一個(gè)數(shù)字，第三組中不取0，共有個(gè)；若三組各取一個(gè)數(shù)字，第三組中取0，共有個(gè)這樣被3整除的數(shù)共有228個(gè)，不能被3整除的數(shù)

17、有420個(gè)，所以概率為選（）2由性質(zhì)、定理及公式引起的分類討論某些數(shù)學(xué)性質(zhì)、公式或定理在不同的條件下有不同的結(jié)論，或者需在一定的限制條件下才成立，在解決這類問題時(shí)可能引起分類討論例22：（06年四川高考第20題）已知數(shù)列，其中，（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為（）求；（）設(shè)，（其中為的導(dǎo)函數(shù)），計(jì)算分析：（）由題意易知，是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，（），下面求，涉及到等比數(shù)列的求和公式，必須對(duì)公比進(jìn)行分類討論3由參數(shù)的變化引起的分類討論某些含有參數(shù)（常數(shù)）的問題，由于參數(shù)的取值范圍不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或者由于對(duì)不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的推算方法，這時(shí)需要分類討論例23：已知函數(shù)，其

18、中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)討論的單調(diào)性；求函數(shù)在區(qū)間上的最大值分析：本例首先應(yīng)想到對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，注意的取值對(duì)函數(shù)的影響。答案：時(shí)，在為增，在為減；時(shí)，在為增，在、為減。4其他在變形過程中往往需要一些條件限制，進(jìn)而引起分類討論由幾何圖形的不確定性引起的分類討論例24：求與橢圓有公共焦點(diǎn)且過點(diǎn)的圓錐曲線的方程分析：本題由于圓錐曲線以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，它可能是橢圓，也可能是雙曲線，因此需分兩種類型分別求解利用待定系數(shù)法可求得橢圓為，雙曲線為（二）怎樣合理分類分類應(yīng)遵循下列原則：若全域?yàn)?，分類成子集，必須滿足：；即：不重不漏討論題是高考數(shù)學(xué)常見的題型之一，對(duì)問題進(jìn)行討論的步驟是：確定討論的對(duì)象對(duì)所討論的對(duì)象進(jìn)行合理分類（分類應(yīng)做到不重不漏）逐類討論歸納總結(jié)需要討論的問題有以下幾種類型：題中的變量需要討論題中含有參數(shù)，需對(duì)參數(shù)的變化范圍進(jìn)行討論題中的條件是分類給出的解題過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類分述有關(guān)幾何