第九章多元函數微分法及其應用

1、第九章多元函數微分法及其應用一、基本要求及重點、難點1. 基本要求(1) 理解二元函數的概念，了解多元函數的概念。(2) 了解二元函數的極限、連續(xù)性概念，有界閉域上連續(xù)函數的性質。(3) 理解偏導數和全微分的概念，熟練掌握偏導數的計算，了解全微分存在的必要條件 和充分條件。(4) 了解方向導數與梯度的概念及其計算方法。(5) 掌握復合函數一階偏導數的求法，會求復合函數的二階偏導數。(6) 會求隱函數(包括由方程組確定的隱函數)的偏導數(主要是一階)。(7) 了解曲線的切線和法平面及曲而的切平面與法線、并會求出它們的方程。(8) 理解多元函數極值和條件極值的概念，會求二元函數的極值。了解求條件極

2、值的拉 格朗日乘數法，會求解一些較簡單的最大值和最小值的應用問題。2. 重點及難點(1) 重點：多元函數概念，偏導數與全微分槪念，偏導數訃算，微分在幾何上的應用，多元函數的極值的計算。(2) 難點：二重極限的圧義與計算，多元函數連續(xù)；偏導數存在與可微之間的關系；復合函數的高階偏導數；方向導數、偏導數、梯度之間的關系。二內容概述多元函數微分學是一元函數微分學的推廣，因此兩者之間有許多相似之處，但是要特別 注意它們之間的一些本質差別。1. 多元函數的極限和連續(xù)(1) 基本概念1) 點集和區(qū)域。2) 多元函數的泄義、迫義域。3) 二元函數的極限、連續(xù)。(2) 基本定理1) 多元初等函數在其定義域內是

3、連續(xù)的。2) 多元連續(xù)函數在有界閉區(qū)域上一泄有最大值M、最小值m：且必取到最大值 M和最小值m之間的任何值。2. 多元函數微分法(1)基本概念高等數學學習指導偏導數、全微分、髙階偏導數的疋義。(2)計算方法偏導數：z = f(x.y)在(XoJO)處對X的偏導數空OX,就是一元函數2)3)Z = f(x.兒)在X = XD處的導數：對歹的偏導數竺x、全微分：Z = f(x.y)的全微分dz = -dx + -dyx y(同理九復合函數求導法則：畫出函數到自變量的路經，然后利用鏈式迭加法則：即同 條路經的偏導數相乘，不同路經的偏導數相加，求出所要的偏導數。A 設 Z = /("*),

4、H = (P(t).v = (t)9 則全導數車= + -Oat u at v atB. 設 Z = /(w,v)，H = 0(XJ)* = 0(XJ)I l Izz uz vzz uz v貝 Ih =+， =+Oxu xv xy yv y4)隱函數求導法則：A.設函數y = f(x)由隱函數F(XJ) = 0確左，則空=一空 dx FyB.設函數z = f(xyy)由隱函數F(XJZ) = 0確定,dxFZdz _ FydyF二F(X y Z) = OC.設函數y = f(z = gM由隱函數方程組確建，從G(XJZ) = O求出導數ff(gfW.E+F(x) +Fg(X) = O'

5、 Gx+Gy fx) + G:S'(x) = 0(3) 多元函數連續(xù).可導.可微的關系22(4)基本定理第九草*元函數微分法及其應用1) 可微的必要條件：如果函數z = (xy)在點(Xj)處可微分，則函數在點 (Xj)處偏導數必泄存在，且全微分為dz = -x + -y.OX 勿2) 可微的充分條件：如果函數z = (xj)的偏導數在點(Xj)處連續(xù)，x ,則函數在該點必可微，且dz = -dx + -d.OX 莎3. 多元函數微分學的應用(1)方向導數和梯度1) 方向導數A. 宦義：Iim 燉+ 4Hg), Q = J(AX)2 +(亦QTUPB. 計算方法：=cos + -cos

6、/71 xy2) 梯度A. 定義：gradf(y) = 7 + jOX oy>B. 函數在一點的梯度grad /( y)是一個向呈:，它的方向是函數在這點的方向導數取得最大值的方向，它的模等于方向導數的最大值。3) 方向導數和偏導數的區(qū)別和聯系A. 都是多元函數的變化率，方向導數是沿任意指立方向的變化率而偏導數是 沿坐標軸方向(兩個方向)的變化率：B. 方向導數是偏導數概念的推廣，偏導數并不是某一方向的方向導數。(2)在幾何上的應用空間曲線Mo(XoJ(PZO)為曲線上一點<X = x(t) y = y(ttTZ = Z(r)1、切線方程：罕兒=曠兒/7你)yt0)Z-(Z0)2、

7、法平而方程：x'(5)(X-XU)+ ”(5)0-兒)+ z'(g)(z-Zo) = O*F(x,y,z) = OG(x,y,z) = 01、切線方程：- Jyf = Z-ZO1yJ(M°) ZXl(Mt)2、法平而方程：(X-XO)+ yx,(M0Xy-y0) +zx,(M0Xz-Z0) = 0空間曲而Mo (XO, y), ZO)為曲而上一點z=f(,y)1、切平方面方程Z-ZO = A(o,o)(-) + y(,y0Xy-y0)2、法線方程x=2zZr(XoJo) Jy(Xoyo)TF(XJZ) = O1、切平而方程FX(M(J)(X-Xo) + Fy(MOXy

8、-坯)+ 具(MlOXZ-ZO) = O2、法線方程= W zzFx(M0) Fy(Mo) F=(M極值問題1)無條件極值A. 極值的必要條件：若函數/(XJ)在點E(XO,兒)處達到極值，且偏導數都存在,則Zr(XO,兒)= 0, v(,) = 0B. 極值的充分條件：設函數f(x,y)在點R(x°,兒)的某個鄰域U(PQ)內有連續(xù)的二階偏導數,且fx(xo,yo) = O, fy(xo,yo) = 0,記-M = Zrx(XoJo), $ = q.(XoJo), C = fyy(x0,y0),則AC-BI >0AC-B2<0AC-BI =0A > 0(7,C &

9、gt; O),(xo,yo)為極小值A < 0(6,C < 0),(x° J)為極大值/(oo)不是極值無法判斷2)條件極值及苴求法:A. 左義：函數f(x.y)在條件(x,y) = 0下的極值，稱為條件極值。B. 計算方法：拉格朗日乘數法：將該問題化為求函數Z(,y,2) = /(Xj) +兄傾Xj)的無條件極值，因此從fx(x,y) + x(x,y) = 0 vU,) + vU,) =。中求出的(0,y0)»就是函數f(,y)在約束條件 0(x,y) = O(x,y) = O下的可能的極值點。最值問題1)設函數/(XJ)在開區(qū)間D內連續(xù)，(XOjo)是D內唯

10、一的極值點，如果該點是極大(小)點，則該點是最大(小)點，/(x0,J0)為最大(小)值。2)設函數/(x,y)在有界閉區(qū)域Q上連續(xù)，則必取到最大值和最小值，將邊界上的最值和D內的可能極值點進行比較，則最大的為最大值，最小的為最小值。 在實際應用中，只有一個最值，而在討論的范囤內所求的函數只有唯一的一個可能極值 點，則該點就是所求的最值點三、典型例題分析1. 多元函數的定義域.極限和連續(xù)1、求定義域和一元函數的立義域的求法相同，都是化為解不等式，注意求出的左義域是平而區(qū)域。JX _)，+ arc S in 丄例1：求函數Z =.一定義域In(I-X2-y2)解：由平方根內的函數不小于零，分母不

11、為零，對數函數的左義域為正，由反正弦函數的左 義域X - y2 O l-x2 - y2 > O'l-x2 - y2 1-1-1,O從而D = (x, y) -x y x,0 < x2 + y2 <,x 02. 復合函數問題在求復合函數的問題時，可適當引入中間變量。例2：求下列復合函數問題(1) 設=求 /(1,-)Jr +y-X 1(2) 設/(x + y,lnx) = (l + -) 一 ,求f(x,y)y InX解：(1)由 /(M川)=J"' r ,令 U = IV = Lf 則 /(1,上)= "、"WXX Xe +y&#

12、39;(2)令U =x + y,v = IllX » 則X = R ,y = u-R ,從而：/(w,v) = (1 + 一)! =,所以/ (x,y)=w-ev evlnev (w-ev)evv* (X-R)Ry3第九草*元函數微分法及其應用2多元函數微分法Y例 5：設 U = ()r,求ux,u,u. Oy解：y 可,My=Z(V(-4) = -, MX= ( Ing)y y yJry X例 6：設 Z = In tanXy ,求 zx9zxy9z”解：ZX = !(tan(罰)；=SCC (V) y = 2ycsc(2xy),n(Xy)tan(x>*)ZXX = 一4才(

13、csc(2jty) cot(2x) ):ZXV = 2csc(2xy)-4xycscQ)cot(2xy):ZM = -Ax2(CSCj cot(2)(由 Xj位置的對稱性)。例7：求Z = (1 + x)OJ的全微分ZX = i + Xyyl (1 + X)X =才(1 + xy)yl由 InZ = yn( + xy),兩邊對y 求導 Z = (1 + XyyPn(I + Xy) + + »所以：dz = )'(1 + Xyy IdX + (1 + )j ln(l + Xy) + dyl + x例 8：設 “=/(XjZ) = WXFW2 Z =2 sin兒求色,Cl8x y

14、解:竺=聖+更竺x x z x3= 2x+>E +2z討知W (2XSiny) = 2xW(l + 2zsiny)QydydZ ,=2尹 gf w +2z* .(2 COSy) = 2ex y (y + x2zcosy)高等數學學習指導 例9： z = x2(2xX), /具有二階連續(xù)偏導數，求ZpZyX解：zx=2 + 2x2- z =x2,-= 2xi,X3. 隱函數、參數方程的偏導數隱函數求導有公式法和直接法。直接法就是將方程或方程組兩邊對某一變量求導，此時 其它變量是該變量的函數，注意使用多元復合函數的求導法則。例 10：設xy + z = ex+=,求竺，x yAn Ar.1

15、z FY y-Xy-Z z FX解：令Fg,z)w + -則訂-亍討Tr奈一亍蘇R例11：設F(-,-) = O,其中F具有連續(xù)的一階偏導數，證明%+ y-= ZO Z Zx y證明：寫=叫,巧=E£'屋 W$)+/(-*)=土(-珥-肉)從而竺一冬専，所x FZXFX + yF y FZ xF+yF,x y4. 多元函數微分學的應用1、方向導數和梯度例12：求函數U = XyyZ+ xz在點P(1,2,3)處沿P點的向徑方向的方向導數。HX (P) = 5解：在點P(l,2,3)處 <v(P) = 4, I pI= l2 +22 +32 = ¼ ,故向徑O”

16、 的方向余弦 UAp) = 3COSa = 1¼為< cos0 = 2/14 ,cos / = 3/J4W向徑喬的方向導數為卑=5丄+ 4丄+ 3丄=墾6114141414例13：求數量場f(x.yz) = x2 + y2+xz在點M(H)丄)的梯度、沿/ = 2-2,1的方向導 數和M處最大的方向導數。22第九草*元函數微分法及其應用A(M) = 3 解:由人(M) = O,得：gradf(M) = 3i + ki/(M) = I COSa = 2/33s-0+1r由/方向的方向余弦cos0 = -23,得方向導數:cos = 1/3M處最大的方向導數即為M點處梯度的模：ma

17、x- = m(M) = T例14：函數M = -,其中r = Jx2 +y1 +z2 ,設沿方向/ = cos,coscos的方向導 r數工=0,則/與7的關系如何？5 on112xX丄7 43 6“ y u Z解：一 =一一八=一一.=-，由對稱性一=一円，一 =-r去 r2昇 jF+b+z? 3莎 r3 &Z r3 Xy1C1 Z- ?= COSa COSyy cos/ = (XCOSa+ ycos0 +zcosy) = ( ) 1 rr7rrQH一由已知 =0得r =0,從而尸垂直I2. 多元函數微分學在幾何上的應用x = 4例15：在曲線½ = r53±求一

18、點(Xo,兒,z°),使該點的切線垂直于平面x + y + z = , = t22并求切線和法平而方程。解：點(x,y0,z0)處的切線的方向向量為T = (xt9yt,zf) = (tr,t),平而x + y + z = 1的法向量為亓= 1,1,1,32由已知Tlln,故T = = p 從而Z = I,(心兒,z°) = (1/4,1/3,1/2),1 1 1X歹一一 Z所以切線方程為一= 一' = 一1 1 1法平而方程為 l(x-*) + l(y-*) + l(z-*) = 0,即 + y + z = o 例16：求曲而工+y2+z2 = 1上平行于平而x-

19、y + 2z = 0的切平而方程。從而圍成的立體體積為V = -abc.平而方程為- + L + L = 9故此問題化為求bc在約 6a DC2 1 1束條件二+ ； +丄=1下的條件極值問題，a b 3c2 1 1 則拉格朗日函數為La. b. Cy A） = abc - 2（- + - + ）,求QbC的偏導數，并使之為零，a b 3cL 2 Cbe += OCT Cac + -= O則 Zr,解得唯一駐點 = 6=3, c = 1,3所以所求平面方程為非專幷"四、自測題A及解答一. 選擇題1極限Iim沁L=（）汙X（A）不存在 （B） O(C) 1(D) X設函數 /(Xj)

20、= arcsin則人(2 J)=(4.曲而XZ2 -XyZ一4 = 0上點(1, 0,2）處切平而方程為（2.(A) -(B) -(C) -(D)-44223. 設 (x - azy-bz) = O 貝 a- + b-=()OX y(A) a(B) b(C) 1(D) -1(A) 2x y 2z 6 = 0 (B) 2x-y + 2z + 2 = 0(C) 2x-y-2z + 2 = 0 (D) 2x 尹 + 2z 6 = O第九草*元函數微分法及其應用5.函數w = 2-z2點(2,71)處方向導數的最大值為()(A) 2z6(B) 4(C) 2(D) 6二、填空題1. 函數Z = Cv,y

21、)在點(x,j')處偏導數fx (x, >,X f (x, y)存在，是函數/(x, Iy)在點(Xj)處可微的條件。2. 設 /(X + ”工)= 2-JA 則/Cy)=3設函數"0'則夕z,4. 設 Z = RyXt),且/(M)可導，則 x + y=Xx 勿5. 設z = Q sin(x + 2y),則冬在點(0,夕)的值等于一，x46. 設H = f(x.xyXyZ).f(u.v.W)有一階連續(xù)偏導數，則仝=。x2Z7. 設Z = XIn(Q),則 TL=。xy& 函數"=ln(x2 +y2 +z2)在點 f(l,2 ,-2)處的梯度

22、gradu =三、計算題L 已知Z = Ay ,求在x = l,y = t = 0.1,y = -0.1處的全增量和全微分。2. f (x - y,xy) = X2 + y2,求 Z = /(x, y)的全微分。3. 設z = f(-) + ys(-)t其中f, g是可微函數，求竺,冬。Xyx y4. 設 Z = ysin xy + X2xy5. x-az = f(y-bz.),求 dz。四. 應用題x = t-sint1. 求曲線T = I_cosr，在點(y-l,l,2r2)處的切線與法平而方程。Z =4sin-22. 求函數U = XyZ點(5,1,2)沿從點(5,1,2)到點(9,4,

23、14)的方向的方向導數。3. 求函數 f(x,y) =-X- y)(a 0)的極值。五、證明題設“ =Sin X + F(Sin y -SUl x), 證明cosy+ cosx = COSXCOSy xy自測題A參考答案一. 選擇題(B) . (A). (C). (D). (A)二、填空題1. 必要32.解:x + y = U y=v=>UX =1 + V z« ZZ 1 V 2flJ /(w,v) =HUV1 + v= T77所以心七宀3. 解:鐵 2殲, = 2 ' lnxa.z r V' COZ r CULz OZ OZC4. 解：- = yf- j、 =

24、 Xfyf所以 + y = 2ZOoxXCyox,5. 解：ZX = -e"x Sin(X + 2y) + e'v COS(X + 2y) t zj(廚=一1丁6. = 1÷,j + /?CX7. 解：Z =丄，Z = oy y高等數學學習指導7222歹X，+才 +Z，2z三.計算題1.解：z = (x + x)O + Af)-罰，Z = (I + 0.1)(1-0.1)-Il = -0.01dz = ydx + Xdy dz = (0.1) +1 (-0.1) = Oo2.解：*"，/(,v) = (x-y)2 +2Xy = Ir +2v,所以/(Xj)

25、 = X'+2y W = V所以：dz = ZXdX+ Zydy = 2xdx + Idy Q3.ZtZJ z r V rr . z C X .解：忘=八杉7'礦Q嚴4.z °2z1 .=)廠 COS(Xy) + 2x t = 2y cos(y) 礦 Sin 卩xxy解：令F(Xyy.Z) = f(y-bz) + az-x, 尸、 1 x6z齊F= a-bfi y FZ a-bfIf,所以："冷-曲四、應用題I.解：，由題意可知心彳，由XF = I-COSr yr =SinrZt = 2cos(Z2)Xr = 1yr = 1 所以 E = 1 丄 V5 7r

26、 =近法平而：l(x + l-2) + l(y-l) + (z-2) = 0, Rp： x + y + z-4-r2 = 0。2.解：7 = 9-5,4-14一2 = 4,3,12, 42 +32 +122 = 13,COSa = ±,COS7 = A COS/ = ,因為= 2!LCOSaAOS Aos71313131 x勿z= 2×±÷1O×A + 5x = 2!<5.L2)13131313第九草*元函數微分法及其應用33.=> (0,0),(3,3),(,0),(0,)為駐點,fx =ay-2xy-y2 =O fy=ax-x2

27、- 2xy = 0A = fxx = 一2M = fxy = - 2x - 2” C = fyy = -2x駐點ABCAC-BI極值(0, 0)OaO-a2 <0否(3g3)2一 a3丄32一 a3-a2 >03是(Go)O-a-2a-a2 <0否(0,)2a-aO-a2 <0否在點(3,3),當>O時A<O9/極大=開；片 V °時力 °，九小=五、證明題證明：t =CoSX+ 耳(-COSX)My =耳COSy ,.uu故一COS y + COS X = COS XCOS &莎五、自測題B及解答一、選擇題L Iim 上=()2

28、 卩+ 1-1(A)不存在(B) 3(C) 6(D) 2. 函數Z = !一的所有間斷點是()SinXSiny(A) X = y = 2t(B) X =尹=”兀,( =1,2,3,)(C) X = y = m.(Tn = 0,±l,±2, )(D) X = IlTry = m.(JI = (±l,±2,，2 = 0,±l,±2,)3. 函數z = f(,y)在點(°,兒)處的偏導數 (，兒),厶(，兒)存在，是函數/(, y)在點(x(),兒)處連續(xù)的()條件(A)充分非必要(B)必要非充分(C) 充分必要(D)非充分且非必

29、要4. 已知函數"= (f,x,y),x = 0(s,f),0(s,/)均有一階連續(xù)偏導數，則?=()Ct(A)fr+fx<pt+fyt(B)fxt+fyr(C)f + ft(D)ft+ft+ft5. 設函數Z = (,j在(Xojo)處取得極小值，則函數y) = fy)在幾處()(A)取得最小值(B)取得極大值(C)取得極小值(D)取得最大值二、填空題1. 函數Z = In(X In尹)的泄義域為。3?2. 設z(x. y)由方程2xz, 一 2x)7. + h(xyz) = O所確立的函數，則一=。x3. 設 Z = Xsinv,則 dz =04. 設/(x,y) = x

30、+ (y-l)arcsin£,則 f；(XA) =。Ql5. 設 Z = e'x Sin y + y2 則-T-F 在點(O,的值為.OXOy6. xy面上的曲線3+y2=i6繞著y軸旋轉一周的曲面在點(1, 1, 2)處的法線方程為O7. 已知曲而Z = 4-，一于上的點M處的切平而平行于已知平而2x-3y-z + 5 = 0,則M點的坐標是。& 函數Z = x2y在點(1, 2)沿點(2, 1)到(1, 2)方向上的方向導數為。三、計算題1. 設 Z = (X+ 2y)"2v,求Ox y12z2. z = - f(y) + y( + j)» /

31、,卩具有二階連續(xù)偏導數，求一 。Xxy3. 設U = /(x,>,z) = xyz',英中 Z = z(x,>')由方程X3 + y3 + z3 -XyZ = O 確泄，求/；(-!Al)O4. Ii = (, y, z),z = g(,刃,y = (x) = ()'求淫。ax5. 已知y = erv+,而t由y2 +t2 -X2 = 1確左的x, y的函數，求©。dx四、應用題1. 求橢球而3x2+2+z2 =16上點(-1-2,3)處的切平而與My而的夾角的余弦。2. 設函數 f(x,y,z) = axy 2 +byz2 +czx2,若/(x,

32、y,z)在點(1,1,-1)處沿Z 軸正方向有最大增長率18 ,求a、b、c的值。3. 求函數 f (y) = xyyj -x -y2 在區(qū)域 D = (x,y)x2 +y2 ,x 0,y 上的最大 值。五、證明題6h 6U6H6”設u = F(x,y)可微，而X = J COS.y = rshy,求證(一)2 +()'=(一)2 +(一)drr xy自測題B參考答案一、選擇題(B). (D). (D). (A). (C)二、填空題1. 解：Z) = (x,y)lx>O,y >lu(x,y)lx v0,0 vy vl。&F2z-2,yz + -2. 解： 令F(x,

33、y,Z) = 2xz-2xyz + h(x)z), 則二=一丄=一YdxF'2x-2>÷l第九草*元函數微分法及其應用3.4.5.6.7.8.1.2.3.22解：dz = ZXdX + ZVd) = Sin y 疋"7 6r-I-XSln-V - cosy Inx Qy解：,LJ)=l + (y-l) r-J J"-1I “"-S 2石77 yAi解：ZX=-VSiny t Zxy =Y-XCOS八 ZJ(Ojn=O解：旋轉曲而為 3(2 +z2) + y2 =16 ,令 F(XyZ) = 3(/ +z2) + y2 -16 ,Fx=6x,

34、Fy =2y.Fz =6z,在點(1 1, 2)處亓=6 1,2 1,6 2 = 23丄6,故法 線方程為! = Z! = zo3 16解：z = 4 牙2 _ F => 亓=-2x,-2y,-l): 2牙_3y _z + 5 = 0 => 亓2 = 2,_3廠1由_ 2x _ _ 2y _ _ 1Z = 4-X2 -y13 3=> (Xj,z) = (-1, ,)解：/ =l-2,2-l) = -LlCOSa =-y=,cos7 =12HX Il n2 =>2-3-1fz - zCI4I1 3=COS CtF COS B = COS Ct 2XV + COS P x = 4 4= 1 =-p= o 6IdXdy，2241 計算題 解：InZ = (x + 2y) In(X + 2y),1 ro = In(X + 2y) + 1, = (x÷ 2y)+2v (1 + ln(x + 2y):Z xx丄竺=2(In(X + 2y) + l), = 2(x + 2y)x+2y (1 + In(X + 2y) Q Z xx解：$=-亠/+丄/Q+