高級中學(xué)各種函數(shù)圖像畫法與函數(shù)性質(zhì)

1、一次函數(shù)（一）函數(shù)1、確定函數(shù)定義域的方法：（ 1）關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；（ 2）關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零；（ 3）關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開放方數(shù)大于等于零；（ 4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零；（ 5）實(shí)際問題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。（二）一次函數(shù)1、一次函數(shù)的定義一般地，形如y kx b （ k ， b 是常數(shù)，且k 0 ）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，其中x 是自變量。當(dāng)b 0時(shí)，一次函數(shù)y kx,又叫做正比例函數(shù)。一次函數(shù)的解析式的形式是y kx b,要判斷一個(gè)函數(shù)是否是一次函數(shù)，就是判斷是否能化成以上形式當(dāng)b 0, k 0時(shí)

2、，y kx仍是一次函數(shù).當(dāng) b 0 ， k 0 時(shí)，它不是一次函數(shù)正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包括正比例函數(shù).2、正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx（k 是常數(shù)，注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx （k當(dāng) k>0 時(shí)， 直線 y=kx 經(jīng)過三、kw0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).不為零 ） k 不為零 x 指數(shù)為 1 b 取零一象限，從左向右上升，即隨 x 的增大 y 也增大； 當(dāng) k<0時(shí)， ?直線 y=kx 經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x 增大 y 反而減?。?）解析式：y=kx （k是常數(shù)，kw 0）（2） 必過點(diǎn)： （ 0， 0） 、 （ 1， k

3、）（3） 走向： k>0 時(shí)，圖像經(jīng)過一、三象限；k<0 時(shí)，?圖像經(jīng)過二、四象限（4） 增減性：k>0， y 隨 x 的增大而增大；k<0， y 隨 x 增大而減小（5） 傾斜度：|k| 越大，越接近y 軸； |k| 越小，越接近x 軸3、一次函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx+ b（k,b是常數(shù)，kw0）,那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，y=kx + b即y=kx,所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx+b （k 不為零）k不為零 x指數(shù)為1b取任意實(shí)數(shù)b一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過（0, b）和（-_, 0）兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為

4、直k線y=kx+b,它可以看作由直線 y=kx平移|b|個(gè)單位長度得到.（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0 時(shí)，向下平移）（1）解析式：y=kx+b（k、b是常數(shù)，k 0）b（2）必過點(diǎn)：（0, b）和（-9 , 0）k（3）走向：k>0 ,圖象經(jīng)過第一、三象限；k<0,圖象經(jīng)過第二、四象限b>0,圖象經(jīng)過第一、二象限；b<0,圖象經(jīng)過第三、四象限直線經(jīng)過第一、二、三象限直線經(jīng)過第一、三、四象限直線經(jīng)過第一、二、四象限直線經(jīng)過第二、三、四象限（4）增減性：k>0 , y隨x的增大而增大；k<0, y隨x增大而減?。?）傾斜度：|k|越大，圖象越接近

5、于 y軸；|k|越小，圖象越接近于 x軸.（6）圖像的平移：當(dāng)b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移 b個(gè)單位；當(dāng)b<0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移 b個(gè)單位.4、一次函數(shù)y=kx + b的圖象的畫法、.一般情況下：是先選取.即橫坐標(biāo)根據(jù)幾何知識：經(jīng)過兩點(diǎn)能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，再連成直線即可它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：（0, b）,或縱坐標(biāo)為0的點(diǎn).b>0b<0b=0k>0經(jīng)過二-、二、三象限經(jīng)過二-、三、四象限經(jīng)過二-、三象限圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大k<0經(jīng)過二-、二、四象

6、限經(jīng)過第二、三、四象限經(jīng)過第二、四象限圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小A'5、正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系一次函數(shù)y=kx + b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線 y=kx平移|b|個(gè)單位長度而 得到（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng) b<0時(shí)，向下平移）6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)及性質(zhì)正比例函數(shù)一次函數(shù)概念一般地，形如 y=kx（k是常數(shù)， kw0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其 中k叫做比例系數(shù)一>地，形如y=kx+b（k,b是常數(shù)，kw。），那 么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，是y=kx, 所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).自變量 范圍X為全體實(shí)數(shù)圖象一條直線必

7、過點(diǎn)(0, 0)、(1, k)一b(0, b)和(-b , 0) k走向k>0時(shí)，直線經(jīng)過一、三象限； k<0時(shí)，直線經(jīng)過二、四象限k>0, b>0,直線經(jīng)過第一、二、二象限k>0, b<0直線經(jīng)過A、三、四象限k<0, b>0直線經(jīng)過A、二、四象限k<0, b<0直線經(jīng)過第二、三、四象限增減性k>0, y隨x的增大而增大；（從左向右上升）k<0, y隨x的增大而減小。（從左1可右下降）傾斜度|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸圖像的 平移b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移 出個(gè)單位；b<0時(shí)，將

8、直線y=kx的圖象向卜平移 4個(gè)單位.6、直線ykixbi (ki0)與yk2xb2(k20)的位置關(guān)系(1)兩直線平行 k1k2且b1b2(2)兩直線相交 k1k2(3)兩直線重合 k1卜2且4b2(4)兩直線垂直k1k217、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：(1)根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；(2)將x、y的幾對值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù) 為未知數(shù)的方程；(3)解方程得出未知系數(shù)的值；(4)將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式8、一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0 (a, b為常數(shù)，a

9、w 0)的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為 0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看，相當(dāng) 于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.9、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0 (a, b為常數(shù)，aw0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大(小)于。時(shí)，求自變量的取值范圍.10、一次函數(shù)與二元一次方程組(1)以二元一次方程 ax+by=c的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y= - x '的b b圖象相同.(2)二元一次方程組a1x b1y %的解可以看作是兩個(gè)一次函數(shù)y=亙x

10、 土和 a2 x b2 yc2b1b1a2C2y= x 的圖象父點(diǎn).b2b2二次函數(shù)、二次函數(shù)概念:1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如 y2ax bx c （ a, b, c是吊數(shù)，a 0 ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似,.次項(xiàng)系數(shù)a 0 ,而b, c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).2.二次函數(shù)y ax2 bx c的結(jié)構(gòu)特征: 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量a, b, c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù),x的二次式，x的最高次數(shù)是2.、二次函數(shù)的基本形式D 一般式:2axbx頂點(diǎn)式:次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng).2axbx圖像定義域?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)值域單調(diào)區(qū)間xix x24ac b

11、24a2a2a2a2a2a遞減遞增4ac b24a4ac b24a2a遞減X2£ a-2b 4ac 0時(shí)，二次函數(shù)的圖像和線段MW21為.2一， ,一，.一一.一b 4ac 0時(shí)，二次函數(shù)的圖像和特別地，當(dāng)且僅當(dāng)b 0時(shí)，二次函數(shù)x軸有兩個(gè)交點(diǎn)Mi Xi ,0 , M2 X2,0 ,b .x軸有兩個(gè)重合的交點(diǎn) M ,0 . 2af x ax2 bx c a 0為偶函數(shù).1. 二次函數(shù)基本形式：y ax2的性質(zhì):a的絕對值越大，拋物線的開口越小。a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向上0, 0y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨 x的增大而減?。粁 0時(shí)，y有最小值0.

12、a 0問卜0, 0y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減?。粁 0時(shí)，y隨 x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值0.2. y ax2 c的性質(zhì):上加下減。a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向上0, cy軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨 x的增大而減??；x 0時(shí)，y有最小值c.a 0問卜0, cy軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減??；x 0時(shí)，y隨 x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值c.3. y a x h 2的性質(zhì):左加右減。a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向上h , 0X=hx h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y 隨x的增大而減??；x h時(shí)，y有最小值0.a 0問卜h ,

13、 0X=hx h時(shí)，y隨x的增大而減??；x h時(shí)，y 隨x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值0.24. y a x h k的性質(zhì):a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向上h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y 隨x的增大而減小；x h時(shí)，y有最小值k .a 0問卜h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而減?。粁 h時(shí)，y 隨x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值k .三、二次函數(shù)圖象的平移1 .平移步驟：方法一： 將拋物線解析式車t化成頂點(diǎn)式y(tǒng) a x h 2 k,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) h,k ; 保持拋物線y ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h, k處，具體平移方法如下：y=a&

14、gt;2a y=aX2+k向上(k>0)【或向飛k<0)】平移|k件單位向上(k>0)1或T(k<0)l平移|k|個(gè)單位向右(h>0)或左h<0)】 平移|k|個(gè)單位向右(h>0)【或右:h<0) 平移|k|個(gè)單位向上(k>0)【或下k<0) 平移|k|個(gè)單位向右(h>0)【或右:h<0)平移|k|個(gè)單位y=a(x-hi2y=a(x-h2+k2 .平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“ h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”.概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減方法二：y ax2 bx c沿y軸平移：向上(下)平移 m個(gè)單位，y ax

15、2 bx c變成22y ax bx c m (或 y ax bx c m)、y ax2 bx c沿軸平移：向左（右）平移m個(gè)單位，y ax2 bx c變成2y a(x m) b(xm) c (或 y a(x m)2 b(x m) c)四、二次函數(shù)yk 與 y ax2bx c的比較從解析式上看,ax2 bx c是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即b2a24ac4ab , 4ac b2一,k 2a 4a五、二次函數(shù)2 axbxc圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法:其開口方向、利用配方法將二次函數(shù)y2 axbx c化為頂點(diǎn)式y(tǒng) a（x h）2對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖選取

16、的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與 與x軸的交點(diǎn) x1 , 0 , 畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn):y軸的交點(diǎn)0,c、以及0, c關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)k ,確定.一般我們2h , c、x2, 0 （若與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)）開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).六、二次函數(shù)y2ax bxc的性質(zhì)1.當(dāng)a 0時(shí),拋物線開口向上，對稱軸為2b _ 一, b 4ac bx 一 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為一，2a2a 4a時(shí),2.當(dāng)a包時(shí)，y隨x的增大而減小；2ay有最小值"a。:4a0時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸為x 旦時(shí)，y隨x的增大而增大;2a當(dāng)x b時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x2a2bb 4

17、ac bx ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，2a2a 4ab2ay隨x的增大而減小；當(dāng)x -b時(shí),2a七、1.2y有最大值4ac b 4a二次函數(shù)解析式的表示方法2.3.一般式:頂點(diǎn)式:兩根式:2 axa(xa(xbx c ( a ,2h) k ( a ,xi)(x x2)(c為常數(shù)，k為常數(shù),a 0);a 0);0, xi , x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與 x軸有交點(diǎn)，即b2 4ac 0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1

18、.二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)y ax2 bx c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 a 0. 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上， a的值越大，開口越小，反之 a的值越小，開口越 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向下， a的值越小，開口越小，反之 a的值越大，開口越總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，|a 的大小決定開口的大小.2 . 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.在a 0的前提下，當(dāng)b 0時(shí)，_b_ 0,即拋物線的對稱軸在 y軸左側(cè)；2a當(dāng)b 0時(shí)， 2 0即拋物線的對稱軸就是 y軸；2a當(dāng)b 0時(shí)，_b_ 0即拋物線對稱軸在 y軸的右側(cè). 2a在a 0的前提下

19、，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線的對稱軸在 y軸右側(cè)；2a當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線的對稱軸就是 y軸；2a當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線對稱軸在 y軸的左側(cè).2aab的符號的判定：對稱軸x 包在y軸左邊則ab 0,在y軸的右側(cè)2a則ab 0,概括的說就是“左同右異”3.常數(shù)項(xiàng)c當(dāng)c當(dāng)c當(dāng)c0時(shí),0時(shí),0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與 拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.總之，只要a, b, c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定

20、的.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式， 通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的 解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：1 .已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2 .已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3 .已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4 .已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.九、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對稱22.y ax bx c關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y ax bx c ；2.一 一 .2y a

21、x h k關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y a x h k；2 .關(guān)于y軸對稱22.y ax bx c關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y ax bx c；2y a x h k關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是3 .關(guān)于原點(diǎn)對稱y ax. 一. .一 2y a x hk關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y a x h k . bx c關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是yax2 bx c；2y a x h k關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是4 .關(guān)于頂點(diǎn)對稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。）22b2y ax bx c關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的斛析式是y ax bx c ;2a5 .關(guān)于點(diǎn)m, n對稱2n k22y a

22、x h k關(guān)于點(diǎn) m, n對稱后，得至解析式是 y a x h 2m根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換， 拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化， 因此|a永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時(shí)， 可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則， 選擇合適 的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線） 的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向， 再確 定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式.十、二次函數(shù)與一元二次方程:1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）ax2 bx c當(dāng)函數(shù)值y 0時(shí)的特殊一兀二次方程axx1, x2是一兀一次方程 ax bx c 0 a bx c 0是二次

23、函數(shù)y 情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù):2b 4ac 0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)x2）,其中的0的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB x2 x1b2 4aca 當(dāng) 0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) 0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn).1'當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0；2'當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0 .2 .拋物線y ax2bx c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0 , c）;3 .二次函數(shù)常用解題方法總結(jié): 求二次函數(shù)的圖象與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)

24、式；根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y ax2 bx c中a, b, c的符號，或由二次函數(shù)中a,b, c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合;(4)二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或 已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)0拋物線與x軸有 兩個(gè)交點(diǎn)二次二項(xiàng)式的值可止、 可零、可負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)/、相等實(shí)根0拋物線與x軸只 有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0拋物線與x軸無 交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一兀二次方程無實(shí)數(shù)根.二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系從函數(shù)觀點(diǎn)來看,元二次不等式axf x ax bx c

25、a 0的圖像上，位于 x軸下萬的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合;bx c 0 a 0的解集就是二次函數(shù)xax2 bx c a0的圖像上，位于x軸上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合;元二次不等式ax2bx c 0 a 0的解集就是二次函數(shù)元二次不等式ax2bx c 0 a 0的解集就是二次函數(shù)2ax bx c a 0的圖像上，位于x軸上萬的點(diǎn)和與 x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合;2兀一次不等式ax bx c 0 a 0的解集就是二次函數(shù)2ax bx c a 0的圖像上，位于x軸下萬的點(diǎn)和與 x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合.元二次方程ax2 bx c 0 a 0的解就是二次函數(shù) f xax2 bx c a 0的圖像上，與x軸的交點(diǎn)的橫

26、坐標(biāo).反比例函數(shù)反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標(biāo)軸相交（Kw 0）。2、性質(zhì):1 .當(dāng)k>0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限，同一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划?dāng)k<0時(shí)，圖象分別位于二、四象限，同一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增2 .k>0時(shí)，函數(shù)在x<0上同為減函數(shù)、在x>0上同為減函數(shù)；k<0時(shí)，函數(shù)在 x<0 上為增函數(shù)、在x>0 上同為增函數(shù)。定義域?yàn)閤w0;值域?yàn)閥w0。3 .因?yàn)樵趛=k/x（k w0）中，x不能為0, y也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x 軸相交，也不可能與y 軸相交。4 .在一個(gè)

27、反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P, Q,過點(diǎn)P, Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1, S2則S1 = S2=|K|5 . 反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸 y=x y=-x （即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。6 .若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點(diǎn)（m n同號）， 那么 A B 兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱。7 .設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù) y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n要使它們有公共交 點(diǎn)，則nA2+4k m> （不小于）0。8 . 反比例函數(shù)y=k/x 的漸近線：x 軸與 y 軸。9 . 反比例函數(shù)關(guān)于正比

28、例函數(shù)y=x,y=-x 軸對稱 , 并且關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.10 .反比例上一點(diǎn)m向x、y分別做垂線，交于q、w,則夕!形mwqo（o為原 點(diǎn)）的面積為|k|11 .k 值相等的反比例函數(shù)重合，k 值不相等的反比例函數(shù)永不相交。12 .|k| 越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標(biāo)軸的距離越遠(yuǎn)。13 . 反比例函數(shù)圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點(diǎn)指數(shù)函數(shù)概念：一般地，函數(shù) y=aAx （a>0,且awl）叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量，函數(shù) 的定義域是R。注意：L指數(shù)函數(shù)對外形要求嚴(yán)格，前系數(shù)要為1,否則不能為指數(shù)函數(shù)。2.指數(shù)函數(shù)的定義僅是形式定義。指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),定義域：R住 （2）fS

29、 域（3）過點(diǎn)（?！浚?即門一（】時(shí).丁=17皮 （4）在R匕足增函數(shù)在H工靈減函數(shù)a互為倒數(shù)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于 y軸對稱,但這規(guī)律：1.當(dāng)兩個(gè)指數(shù)函數(shù)中的 兩個(gè)函數(shù)都不具有奇偶性-4 -3 -2 I 23 42. 當(dāng)a>1時(shí)，底數(shù)越大，圖像上升的越快，在 y軸的右側(cè)，圖像越靠近 y軸；當(dāng)0vav1時(shí)，底數(shù)越小，圖像下降的越快，在y軸的左側(cè)，圖像越靠近 y軸。在y軸右邊“底大圖高”；在y軸左邊“底大圖低”。Ox3. 四字口訣：“大增小減”。即：當(dāng)a>1時(shí)，圖像在R上是增函數(shù)；當(dāng)0vav1時(shí), 圖像在R上是減函數(shù)。4. 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。比較募式大小的方法：1 .當(dāng)?shù)讛?shù)

30、相同時(shí)，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；2 .當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時(shí)要注意 分類討論；3 .當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時(shí)，則需要引入中間量進(jìn)行比較；4 .對多個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，可用 0或1作為中間量進(jìn)行比較底數(shù)的平移：在指數(shù)上加上一個(gè)數(shù)，圖像會向左平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會向右平移。在f（X）后加上一個(gè)數(shù)，圖像會向上平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會向下平移。對數(shù)函數(shù)1 .對數(shù)函數(shù)的概念由于指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域（-8, +8）上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，我們把指數(shù)函數(shù) y=ax（a >0, awl）的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，并記為 y=log ax（a >0, awl）.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax的定義域?yàn)?/p>

31、（-00, +oo）,值域?yàn)椋? , +oo）,所以對數(shù)函數(shù)y=log aX的 定義域?yàn)椋?, +8），值域?yàn)椋?8, +oo）.2 .對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖像對稱于直線y=x.據(jù)此即可以畫 出對數(shù)函數(shù)的圖像，并推知它的性質(zhì).為了研究對數(shù)函數(shù) y=log ax（a >0, aw 1）的性質(zhì)，我們在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=log 2X, y=log 10X, y=log 10x,y=log 1 x,y=log 1 x 的草圖210y=log ax(a >0, a由草圖，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以歸納、分析出對數(shù)函數(shù)豐1)的圖像的特征和

32、性質(zhì).見下表.圖象a> 1av 1X=1K-o* x-i * y logax (0<a<l)OI片*性 質(zhì)(1)x >0(2)當(dāng) x=1 時(shí)，y=0(3)當(dāng) x>1 時(shí)，y>00<x<1 時(shí)，y<0(3)當(dāng) x>1 時(shí)，y<00<x<1 時(shí)，y>0(4)在(0 , +8 )上是增函數(shù)(4)在(0 , +8)上是減函數(shù)補(bǔ) 充性 質(zhì)設(shè) yi=log ax y 2=log bx 其中 a> 1, b> 1(或 0v av 1 0 < b< 1)當(dāng)x>1時(shí)“底大圖低”即若a>b則y1

33、>y2當(dāng)0<x< 1時(shí)“底大圖圖”即若a>b,則y1>y2比較對數(shù)大小的常用方法有:(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)彳T判斷.(2)若底數(shù)為同一字母，則按對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對底數(shù)進(jìn)行分類討論.若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用 換底公式化為同底再進(jìn)行比較. 若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助 1、0、-1等中間量進(jìn)行比較.3 .指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對比名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一式y(tǒng)=ax(a >0, aw 1)y=log ax(a >0, aw 1)定義域(-8 + +8 )(0 , +00)值域(0 , +00)(-巴 +OO)當(dāng)a> 1時(shí)，

34、當(dāng)a> 1時(shí)函的1( x 0)0(x 1)值ax 1( x 0)10g a x 0(x 1)變1(x 0)0(x 1)化當(dāng)0v av 1時(shí)，當(dāng)0v av 1時(shí)，情1(x 0)0(x 1)1%ax 1(x 0)10g a x 0(x 1)1(x 0)0(x 1)單調(diào)性當(dāng)a>1時(shí)，ax是增函數(shù)；當(dāng)a> 1時(shí)，log ax是增函數(shù)；當(dāng)0vav1時(shí)，ax是減函數(shù).當(dāng)0vav1時(shí)，log ax是減函數(shù).圖像y=ax的圖像與y=log ax的圖像關(guān)于直線y=x對稱.號函數(shù)幕函數(shù)的圖像與性質(zhì)哥函數(shù)y xn隨著n的不同，定義域、值域都會發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分n-1 1 一類記憶的萬法.熟練掌握 y x ,當(dāng)n 2, 1, 一，一，3的圖像和性質(zhì)，列表如下.2 3從中可以歸納出以下結(jié)論： 它們都過點(diǎn)1,1 ,除原點(diǎn)外，任何幕函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交，任何幕函數(shù)圖像都不過第四象限._1 1a -，一，1, 2,