高等數(shù)學(xué)第2章微積分-極限與連續(xù)

1、整理課件1第第2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)整理課件2一、數(shù)列概念一、數(shù)列概念數(shù)列數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)的可看作自變量為正整數(shù)的函數(shù)函數(shù)(下標函數(shù)下標函數(shù))( )nyuf n 數(shù)列的極限數(shù)列的極限2.特性特性:1)有界性有界性:2)單調(diào)性單調(diào)性:1.定義定義:按正整數(shù)編號依次排列的一列數(shù)按正整數(shù)編號依次排列的一列數(shù)12,nu uu稱為稱為無窮數(shù)列無窮數(shù)列,簡稱簡稱數(shù)列數(shù)列,記為記為un.其中的每個數(shù)其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的稱為數(shù)列的項項, un稱為稱為通項通項(一般項一般項).nuM 12nuuu 稱此數(shù)列單調(diào)增加稱此數(shù)列單調(diào)增加 12nuuu 稱此數(shù)列單調(diào)減少稱此數(shù)列單調(diào)減少 整理課件3“割之

2、彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1. .早期極限思想的體現(xiàn)早期極限思想的體現(xiàn)放映放映1二、數(shù)列極限概念二、數(shù)列極限概念當自變量當自變量n趨于無窮大時，數(shù)列趨于無窮大時，數(shù)列yf (n)的變化趨勢的變化趨勢?yn(1)劉徽的割圓術(shù)劉徽的割圓術(shù):極限：研究函數(shù)在自變量的某個變化過程中，函數(shù)極限：研究函數(shù)在自變量的某個變化過程中，函數(shù)值無限趨近于某個常數(shù)的性質(zhì)。值無限趨近于某個常數(shù)的性質(zhì)。 對于數(shù)列：對于數(shù)列：整理課件4R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS整理課件5(2) 莊子的

3、截丈問題莊子的截丈問題:1;221;21.2n第一天剩余第一天剩余u1第二天剩余第二天剩余u2第第n天剩余天剩余un12n0 但但0n 時時, un“一尺之棰,日取其半,.”61111248161)011812n21102nn 當時，當時，312423452)012132431nn11nnn 當當時時，3)1111 0-11間擺動間擺動與與在在時，時，當當1111nn14 limnnnuaua n 或或4) 3 6 12 24 2. .直觀定義：直觀定義： 數(shù)列數(shù)列un, 若當若當n無限增大時無限增大時, un無限趨無限趨近于常數(shù)近于常數(shù)a, 則稱數(shù)列則稱數(shù)列un以以a為極限為極限, 或稱或稱

4、un收斂收斂于于a, 記：記：12nnu 1nnnu 11nnu 132nnu 13 2nn ，發(fā)散發(fā)散無限增大無限增大例例, 否則稱否則稱 un發(fā)散發(fā)散.7.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn播放播放對于較簡單的數(shù)列的極限對于較簡單的數(shù)列的極限, 可通過觀察法求得，例可通過觀察法求得，例:11151( 1)limlim(2)limln( 1)limlim(1)nnnnnnnnnennnnn 02011lim1nnn 0數(shù)列數(shù)列極限極限的的嚴格嚴格定義定義？整理課件81( 1),11.nnnun 當無限增大時無限接近于當無限增大時無限接近于問題問題: “無限接近無限

5、接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它它.1nu nnn11)1(1 ,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n11,100nu 有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n11,10000nu 有有,100001給定給定,10000時時只只要要 n11,1000nu 有有, 0 給給定定,)1(時時只只要要 Nn1.nu 有成立有成立整理課件93.“.“ N”定義：定義：例例1. 1)1(lim1 nnnn證證明明證證1)1(1 nnnn1 , 01nu 要要1,n 只只要要,1 N取取1( 1)1nnn 有有1( 1)lim1.nnnn

6、 故故, lim0,dnnnuaNnNua limnnnuaua n 或或設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列un, 若對任意若對任意 , 總總 則稱則稱a是是數(shù)列數(shù)列un的極限，或稱的極限，或稱un收斂于收斂于a，記作，記作:0 存在正整數(shù)存在正整數(shù)N, 使得當使得當nN時，恒有時，恒有nua 成立成立, 否則稱數(shù)列否則稱數(shù)列un發(fā)散。發(fā)散。則當則當nN時時,10注注:3. .N一般與任意給定的正數(shù)一般與任意給定的正數(shù) 有關(guān)有關(guān), , 越小，越小，N 越大。越大。例例2(),lim.nnnuC CuC 設(shè)設(shè)為為常常數(shù)數(shù)證證明明證證nuC CC , 成成立立,0 任任給給0 lim.nnuC 故故說明說明:常數(shù)列

7、的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).nua 1. . 具有二重性具有二重性: 任意性和不變性。在取任意性和不變性。在取 時時, 對其大對其大小不加限制，正由于這種小不加限制，正由于這種任意任意性，才能用性，才能用 刻劃刻劃un與與a任意接近。而在根據(jù)任意接近。而在根據(jù) 找找 N 時它是時它是不變不變的的.2. . 刻劃刻劃un與與a接近的程度接近的程度, N刻劃數(shù)列作為動點運動到什刻劃數(shù)列作為動點運動到什么時刻可使么時刻可使un與與a接近程度小于給定的接近程度小于給定的 .若把數(shù)列看成函若把數(shù)列看成函數(shù)數(shù), 則則 、N分別用來刻劃因變量及自變量的變化過程分別用來刻劃因變量及自變量的變化

8、過程.4. N是不唯一的，用定義證明數(shù)列極限時是不唯一的，用定義證明數(shù)列極限時, 關(guān)鍵是對任意關(guān)鍵是對任意 給定的給定的 0, 由由 來來尋找尋找N, 但不必要求最小的但不必要求最小的N.nua 對于一切正整數(shù)對于一切正整數(shù)n，例例31lim0.2nn 證明證明證證102n1,2n , 00nu 要要21log,n 只只要要21logN 取取102n 有有1lim0.2nn 故故12n 即即1,n (不妨設(shè)不妨設(shè)N時時,102n12n 0nu 要要例例3可用可用放大手法放大手法:1,n 只只要要1 N 取取注注:1)“放大放大”是為方便解不等式。注意不能是為方便解不等式。注意不能“放過頭放過頭

9、”, 上上例例若將若將 放大為放大為1，則，則1不可能小于任意給定的正數(shù)。不可能小于任意給定的正數(shù)。12n2)“放大放大”后找到的后找到的N通常比不放大解得通常比不放大解得(若易解若易解)的要大的要大整理課件12x1u2u1Nu 3u 2 a aa2Nu 三、數(shù)列極限的幾何意義三、數(shù)列極限的幾何意義lim0nnuaN ，則則： ， 正正整整數(shù)數(shù) ，使得數(shù)列從使得數(shù)列從(,)aaa 的的 鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，第第N+1項起，以后所有項項起，以后所有項uN 1, uN2 ,都落在都落在至多只有至多只有N項落在該項落在該鄰域之外。鄰域之外。lim0,dnnnuaNnN ua naua 整理課件13定理定理

10、 每個收斂的數(shù)列只有一個極限每個收斂的數(shù)列只有一個極限. .證證lim,lim,nnnnuaub 設(shè)設(shè)又又由定義由定義,120,NN 、使得、使得1;nnNua 當當時時恒恒有有2;nnNub 當當時時恒恒有有 ,max21NNN 取取時時有有則則當當Nn ()()nnabubuannubua.2 .時時才才能能成成立立上上式式僅僅當當ba 故收斂數(shù)列極限唯一故收斂數(shù)列極限唯一.四、數(shù)列極限的性質(zhì)四、數(shù)列極限的性質(zhì)limnab或或:即即: a=b14證證lim,nnua 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取,1,nNnNua 則則使使得得當當時時恒恒有有11.naua即有即有1max,1 ,1,NMu

11、uaa記記 .nu故有界故有界注意：注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論( (逆否命題逆否命題) ) 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .定理定理 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .lim,nnua 設(shè)設(shè)lim0,dnnnuaNnN ua naua 取取1，則，則nN時時un有界有界則對一切正整數(shù)則對一切正整數(shù)n, 皆有皆有nuM 2.有界性有界性整理課件15數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想極限思想,精確定義精確定義, 幾何意義幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :唯一性、有界性唯一性、有界性.整理課件1

12、6思考題思考題：1.試判斷下列論斷是否正確試判斷下列論斷是否正確1)若若n越大越大, |un-a|越接近于零越接近于零, 則有則有 limnnua 3)若對若對 存在正整數(shù)存在正整數(shù)N, 當當nN時時, 數(shù)列數(shù)列un中中有無窮多項滿足不等式有無窮多項滿足不等式 , 則有則有 , 0nua limnnua 2)若若 , 則則n越大，越大， 越接近于零越接近于零 nua limnnua 反例：反例：1( 1)n n越大越大, 越接近于零越接近于零, 但但1lim0nn 反例：反例：limnCC 反例：反例：210ku或：或：1( 1)lim0nnn 210ku 而而( 1) ,nnu 但但 不存在

13、不存在lim( 1)nn -1整理課件174)若對若對 數(shù)列數(shù)列un中除了有限項外都滿足不中除了有限項外都滿足不等式等式 , 則有則有 , 0nua limnnua 3.從幾何直觀層次思考：若數(shù)列為單調(diào)增加從幾何直觀層次思考：若數(shù)列為單調(diào)增加(減少減少)且有上界且有上界(下界下界)的數(shù)列，此數(shù)列的斂散性如何？的數(shù)列，此數(shù)列的斂散性如何？ 定義：從數(shù)列定義：從數(shù)列un中用任意一種方式選取無窮多項并按原中用任意一種方式選取無窮多項并按原來的相對次序排列，所得數(shù)列稱為數(shù)列來的相對次序排列，所得數(shù)列稱為數(shù)列un的一個子列。的一個子列。2.若數(shù)列若數(shù)列un收斂，它的子列將會出現(xiàn)什么情況？收斂，它的子列將

14、會出現(xiàn)什么情況？收斂于上收斂于上(下下)確界確界最小最小(大大)的上的上(下下)界界.收斂于同一個常數(shù)收斂于同一個常數(shù).整理課件18作業(yè)：P33：2-3 (3)(4)思考思考 2-4一、一、x 時函數(shù)時函數(shù)f (x)的極限的極限2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限例例f (x) 無限增大時，無限增大時， f (x)01xx,當,當1.直觀定義：直觀定義： lim()()xfxAfxAx 或或函數(shù)函數(shù)f (x), 若當若當 無限增大時無限增大時, f (x)無無限趨近于常數(shù)限趨近于常數(shù)A, 則稱則稱f (x)當當x趨于無窮大時以趨于無窮大時以A為為極限極限, 記：記：x數(shù)列極限：自變量取自然數(shù)離散地趨于

15、正無窮大數(shù)列極限：自變量取自然數(shù)離散地趨于正無窮大;一般的函數(shù)極限：自變量連續(xù)取值一般的函數(shù)極限：自變量連續(xù)取值, 因而可能趨于因而可能趨于正無窮、負無窮，或從左、右兩側(cè)趨于某一定點正無窮、負無窮，或從左、右兩側(cè)趨于某一定點.2.“ X”定義定義(P32):0, 0,X ,( )xX f xA lim ( )xf xA d0, ,N ,nnN ua limdnnualim( )0,0,( )xf xAXxXf xA x0時時:x X, xx0時時:xX 或或x X 或或x X整理課件221|,x 即即例例1 證明證明22lim11xxx 211x 21,x X 時時,例例2 證明證明sinli

16、m0 xxx 1,x , 0sin0 xx 要要1,x 只要只要證證二、二、xx0時時，函數(shù)函數(shù)f (x)的極限的極限 例例:f(x)x+2, x2時時, f (x)24( )2xf xx x2時時, f (x)44, x2時時, f (x) x+21.直觀定義：直觀定義： 00lim()()xxfxAfxA xx 或或函數(shù)函數(shù)f (x)在點在點x0的某的某空心鄰域空心鄰域內(nèi)有定義內(nèi)有定義,若當若當x無限接近于無限接近于x0(但不等于但不等于x0)時時, f (x)無限趨近無限趨近于常數(shù)于常數(shù)A, 則稱則稱f (x)當當x趨于趨于x0時以時以A為極限為極限, 記：記：2.“ d d ”定義定義

17、(P33):0,0, d d 0|xx0|, | f (x)A|0，由由| f (x)A| 找到找到0|xx0| d d中的中的d d.3)f (x)在在x0的極限研究的極限研究f (x)在在x0附近的變化趨勢附近的變化趨勢,與與x0點的定義無關(guān)，故有關(guān)問題討論均假定點的定義無關(guān)，故有關(guān)問題討論均假定xx0 .2|24| |2|xxx 例例3 證明證明224lim42xxx , 02442xx 要要證證只要只要0 |0 |x2| 2| , 0時時, 00 xx 要要只要只要 ,取取d d0 xx 有有證證00 xxxx 00 xxx 0 x 00,xxx 則當則當0|0|x x0| | d d

18、時時, ,00limxxxx Ox0 x 0min, x？0?x 3.幾何意義幾何意義: :任意給定正數(shù)任意給定正數(shù) ,無論它多小無論它多小, 總總存在存在x0的去心鄰的去心鄰域域0|x-xo| d d,使使得得y=f(x)在該去在該去 心鄰域內(nèi)的圖心鄰域內(nèi)的圖 形介于兩條平形介于兩條平 行線行線y=A- 和和y=A+ 之間之間. (局部有界性局部有界性)0,0, d d 0|xx0| d d, |f (x)A| 整理課件270,0, d d 0|xx0| d d, | f (x)A| 0 xx0 d d , | f (x)A| 0lim( )xxf xAd0lim( )xxf xA 0,0,

19、 d d d0 x0 x d d , | f (x)A| 0lim( )xxf xA 0,0, d d d或或 x0 x x0+ d d或或 x0 d d x x0右極限右極限左極限左極限4.單側(cè)極限單側(cè)極限000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xAf xf xA 整理課件28106( )00010 xxf xxxxx ，例例考考察察，當當?shù)牡臉O極限限是是否否存存在在？，xy0110lim( )xf x 0lim( )xf x不存在。不存在。0lim( )xf x 解：解：0lim(1)xx1, 0lim1xx1,整理課件292sin,0(),012,1.xxfxxxx 例

20、例7試討論當試討論當x0及及x1時，函數(shù)時，函數(shù)f(x)的極限的極限是否存在。是否存在。前述七種形式的極限：前述七種形式的極限：其本質(zhì)都是研究在自變量的某個變化過程中其本質(zhì)都是研究在自變量的某個變化過程中, 函數(shù)函數(shù)值的變化趨勢值的變化趨勢: f(x)A, 抓住這一本質(zhì)抓住這一本質(zhì), 將它們統(tǒng)一將它們統(tǒng)一表示為：表示為：三、變量三、變量的極限的極限 變量的極限變量的極限lim f(x) A 或或 f(x) Alim,nnuA lim ( ),xf xA lim( ),xf xA lim( ),xf xA 0lim(),xxfxA 0lim(),xxfxA 0lim().xxfxA 0|xx0|

21、0,nN正整數(shù)正整數(shù)N,limnnu時時,|un-A|0, ,lim( )xf x 時時,| f(x) -A|0, ,|x|XX0, x0,x Xd d 0,時時,| f(x) -A|0, ,lim( )xf x 時時,| f(x) -A|0, ,lim( )xf x | f(x) -A|0, ,0lim( )xxf x0 x0 x 0,| f(x) -A|0, ,0lim( )xxf x 0 xx00,| f(x) -A|0, ,0lim( )xxf x 整理課件31作業(yè)：P38：2-6 2-7 (2)(3)思考：思考：8預(yù)習(xí)：無窮小與無窮大預(yù)習(xí)：無窮小與無窮大整理課件32絕對值無限增大的變

22、量稱為絕對值無限增大的變量稱為無窮大無窮大(量量).一、無窮大量一、無窮大量0lim( );lim( ).xxxf xf x 1.定義定義:記作記作:分析定義分析定義:0|xx0|0,有有| f(x)| MM M M 0, ,0lim( )dxxf x |x| X 時時,X 0,有有| f(x)| MM M M 0, ,lim( )dxf x 0( )(;( )().f xxxf xx 或或：）2.3 無窮大量與無窮小量無窮大量與無窮小量0,( )MxXf xM 使使f (x)在在X上無界上無界比較比較:整理課件333.單說變量是無窮大量是無意義的，要指明單說變量是無窮大量是無意義的，要指明自

23、變量的變化過程。自變量的變化過程。 注意注意1. 無窮大量是變量無窮大量是變量, 不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;4. 無窮大量是無界變量無窮大量是無界變量, 但無界變量未必是但無界變量未必是無窮大量無窮大量.02.lim( )xxf x 切切勿勿將將認認為為極極限限存存在在； 11nnun 當當n是無界變量是無界變量, 但不是無窮大量但不是無窮大量.例例:f(x)xsinx當當x是無界變量是無界變量, 但不是無窮大量但不是無窮大量;整理課件34xxy1sin1 110,sin,.xyxx 時時是是無無界界變變量量 但但不不是是無無窮窮大大量量整理課件3500()()lim( )(lim

24、( )xxxxxxf xf x 或或2. 正無窮大、負無窮大正無窮大、負無窮大:注：注： 正正(負負)無窮大不可籠統(tǒng)地寫作無窮大無窮大不可籠統(tǒng)地寫作無窮大;01limxx 2limtanxx 20lim logxx 211lim(1)xx 1limxxe 1lim( )xxe 3lim(1)nn = =例例:整理課件3611lim1xx 000lim( )()lim( )(),( ).xxxxf xf xxxyf x 注注：如如果果或或則則直直線線是是曲曲線線的的鉛鉛直直漸漸近近線線11 xy圖示：圖示：整理課件371.定義定義:極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無窮小無窮小(量量). 記作

25、記作: 二、無窮小量二、無窮小量0lim( )0 ;lim( )0.xxxf xf x分析定義分析定義:0|xx0|0,有有| f(x) |0, ,0lim( )xxf xX0,lim( )xf x 時時,有有| f(x) |0, ,|x|X0( )0() ;( )0().f xxxf xx 或或：整理課件38例如例如, 0sinlim0 xxsin0.xx函函數(shù)數(shù)是是當當時時的的無無窮窮小小量量1lim( )0,2xx 1( ).2xx 函數(shù)是當時的無窮小量函數(shù)是當時的無窮小量, 0)1(lim nnn( 1).nnn 數(shù)列是當時的無窮小量數(shù)列是當時的無窮小量注意注意1.無窮小量是變量無窮小

26、量是變量, 不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小量的唯一的數(shù)；零是可以作為無窮小量的唯一的數(shù)；3.單說變量是無窮小量是無意義的，要指明自單說變量是無窮小量是無意義的，要指明自變量的變化過程。變量的變化過程。 ex當當 時是無窮小量時是無窮小量; lnx當當 時是無窮小量時是無窮小量.x- x 1整理課件392. 變量極限與無窮小量的關(guān)系變量極限與無窮小量的關(guān)系:證證0lim( ),xxf xA 設(shè)設(shè),)()(Axfx 令令0( )( )lim( )0.xxf xAxx則且則且),()(xAxf 設(shè)設(shè)0lim( )0.xxx 其中其中l(wèi)im( )( ),f xAf xA

27、lim0 僅對僅對xx0的情形證明。的情形證明。 0,0, d d 則則|f(x)-A| ,0lim ( )0 xxf xA 0|x-x0|d d 時時, ,0,0, d d 由由無無窮窮小小定定義義: : |(x)| 0|x-x0|d d 時時, , 即即|f (x)-A| ,0lim( )xxf xA21lim2,xxx 例例2112,xxx 1lim0 xx 定理定理整理課件403. 無窮小的運算性質(zhì)無窮小的運算性質(zhì):(1)有限個有限個無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量.證證0,0,X 12max,XXX 取取,xX 當當時時 恒恒有有 22注意注意無窮多個無窮多個

28、無窮小的代數(shù)和未必是無窮小無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .lim0lim0 xx 設(shè)設(shè)，則則lim()0 x要證要證120,X X1時時, 有有|X2時時, 有有| .2 2 111lim()nnnnn 個個例：例：0 111lim()lim1nnnnnnnn 個個整理課件410lim( )0 xxf x 證證(3)無窮小量與有界變量之積仍為無窮小量無窮小量與有界變量之積仍為無窮小量.證證1010,0,0( ).Mxxf xMd dd d 時時有有(2) 有限個有限個無窮小的乘積仍為無窮小量無窮小的乘積仍為無窮小量.01sinlimsin0,lim0,xxxxxx2則則0|xx0| d d2

29、2時時, , |(x)| . . 1M推論推論 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.12min,d dd d d d 取取則則00,xxd d當時 恒有當時 恒有( )f x MM 0lim( ) ( )0 xxf xx 例如例如: :2011limarctan0,lim(1)cos02nxnxnx0lim0 xx 設(shè)設(shè)，0. .0,0, d d ()A 不妨設(shè) 不妨設(shè) 2 21010,( )xxf xAd d ( )Af xA即即( )f xA 2020, 0,xxdddd又又00,( )( )xxf xf x d d 當當0lim0( )xxf x 12min,d dd

30、d d d 取取則則？2A?22AAA2A 0結(jié)論？結(jié)論？思考思考!整理課件434. 無窮小量階的比較無窮小量階的比較例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim022210, sin ,sin,.xx xx xxxx 當當時時都都是是無無窮窮小小極限不同極限不同, ,反映了它們趨近于零的反映了它們趨近于零的“快慢快慢”程度不同程度不同. . 203limxxxx 兩個無窮小量的和、差、積仍為無窮小量。商呢兩個無窮小量的和、差、積仍為無窮小量。商呢? ?20limxxx=0=3=1無窮小量的商未必是無窮小量。無窮小量的商未必是無窮小量。 0lim3xx 01limxx 0lim(3)xx整

31、理課件44(1)lim0,( );o 若若則則稱稱 是是比比 高高階階的的無無窮窮小小量量 記記定義定義: :,0. 設(shè)是同一過程中的兩個無窮小量 且設(shè)是同一過程中的兩個無窮小量 且1,;C 特特別別地地，則則稱稱 與與 是是等等價價的的無無窮窮小小量量, , 記記(3)0,C 則則稱稱 是是 的的同同階階的的無無窮窮小小量量；(2), 則則稱稱 是是比比 低低階階的的無無窮窮小小量量；例例304tanlimxxxx30,4 tan.xxxx故當時為 的高階無窮小故當時為 的高階無窮小注：常數(shù)零是比任何其它無窮小量更高階的無窮小量。注：常數(shù)零是比任何其它無窮小量更高階的無窮小量。 30lim

32、4 tan0 xx (后面我們會利用等價無窮小量簡化某些極限的計算后面我們會利用等價無窮小量簡化某些極限的計算) 整理課件45定理定理 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大量的倒數(shù)為無窮小量無窮大量的倒數(shù)為無窮小量; ;恒恒不為零不為零的無窮小量的倒數(shù)為無窮大量的無窮小量的倒數(shù)為無窮大量. .證證.)(lim0 xfxx設(shè)設(shè) 1.( )f x 01lim0( )xxf x三、無窮大量與無窮小量之間的關(guān)系三、無窮大量與無窮小量之間的關(guān)系. 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設(shè)設(shè)反反之之: 則則1.( )Mf x 故故01lim( )xxf x( )0,f x 而而意義意義: :關(guān)于無窮

33、大的討論關(guān)于無窮大的討論, 都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.01lim0()xxfx 要要 證證01lim()xxfx 要要 證證1M0, 0,d d 0M 0,0, 0( ),xxf xdddd時,時,00,xxd d ( )1f x 則即整理課件461ln(2)x 當當 時是無窮大量時是無窮大量; 當當 時是無窮小量時是無窮小量.10 x 當當 時是無窮大量時是無窮大量; 當當 時是無窮小量時是無窮小量.x 1或或 x 2xxx +練習(xí)練習(xí):無窮大無窮大:ln(2x)為無窮小為無窮小(t)2x 1無窮小無窮小:ln(2x)為無窮大為無窮大(t)2x+x 或或 x 2x

34、 1或或(t)2x0(畫畫lnt的圖形的圖形!)(畫畫lnt的圖形的圖形!)整理課件47試說出下列極限的數(shù)學(xué)定義：試說出下列極限的數(shù)學(xué)定義：1)lim( )xf x 2) lim( )xf x 23) lim( )xf x 0lim( )lim( )xxxf xf x 、證明證明34) lim( )xf x limxxe M M 0, , 證明：證明：只要只要x lnM,M M , ,則當則當xX 時時,取取X=lnM(不妨設(shè)不妨設(shè)M1),要要e xe x M M limxxe 解答解答:2.不能保證不能保證. 例例0,x 1( )0f xx ，1lim0.xx 而而1. 未必未必例例01si

35、nlimxxxx 01limsinxx不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大思考題思考題:1. 任何兩個無窮小量都可以比較階的高低嗎？任何兩個無窮小量都可以比較階的高低嗎？故當故當x0時時,無窮小無窮小 與與x不可以比較階的高低不可以比較階的高低1sinxx整理課件49小 結(jié)1. 主要內(nèi)容主要內(nèi)容:三個定義三個定義;兩個定理兩個定理;四個性質(zhì)四個性質(zhì);一個推論一個推論.2. 幾點注意幾點注意:無窮小量與無窮大量是相對于過程而言的無窮小量與無窮大量是相對于過程而言的.(1) 無窮小無窮小(大大)量是變量量是變量,不能與很小不能與很小(大大)的數(shù)混淆的數(shù)混淆, 零是唯一的無窮小的數(shù)；零是唯一的無窮小

36、的數(shù)；(2) 無窮多個無窮小的代數(shù)和無窮多個無窮小的代數(shù)和(乘積乘積)未必是無窮小未必是無窮小; ;(3) 無界變量未必是無窮大量無界變量未必是無窮大量.3.無窮小量的比較無窮小量的比較:反映了同一過程中反映了同一過程中, 兩個無窮小量趨于零的速度快慢兩個無窮小量趨于零的速度快慢.高高(低低)階無窮小階無窮小; 等價無窮小等價無窮小; 無窮小的階無窮小的階.整理課件50作業(yè)：P52：2-14思考：思考：2-13、2-17 (下次課后做在書上下次課后做在書上)整理課件51絕對值無限增大的變量稱為絕對值無限增大的變量稱為無窮大無窮大(量量).分析定義分析定義:0|xx0|0,有有| f(x)| M

37、M M M 0, ,0lim( )dxxf x |x| X 時時,X 0,有有| f(x)| MM M M 0, ,lim( )dxf x 0,( )MxXf xM 使使比較比較:f (x)在在X上無界上無界 無窮大量與無窮小量無窮大量與無窮小量 三個定義三個定義;兩個定理兩個定理;四個性質(zhì)四個性質(zhì);一個推論一個推論.定義定義1. . 極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無窮小無窮小(量量).定義定義2. .整理課件52(4) 無窮小量除以極限不為零的變量，其商仍為無窮小量.(3) 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.(2) 有限個無窮小的乘積是無窮小.推論推論 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.(1)

38、 在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.定理定理2. .在同一過程中在同一過程中, 無窮大量的倒數(shù)為無窮小量無窮大量的倒數(shù)為無窮小量; lim( )( ),f xAf xA lim0 定理定理1. .lim0,( );o 稱稱 是是比比 高高階階的的無無窮窮小小 記記lim0,C 稱 是 的同階的無窮小稱 是 的同階的無窮小定義定義3. .恒不為零恒不為零的無窮小量的倒數(shù)為無窮大量的無窮小量的倒數(shù)為無窮大量.2.4 極限的性質(zhì)與運算法則極限的性質(zhì)與運算法則一、極限的性質(zhì)一、極限的性質(zhì)1(唯一性唯一性). 若若limf(x)存在，則極限值唯一。存在，則極限值唯一。2(局部有界性局部有界性

39、). 若若存在，存在，0lim()xxfx則函數(shù)則函數(shù)f (x)在在x0的某的某空心鄰域空心鄰域內(nèi)有界內(nèi)有界.3(保號性保號性). 若若0lim(),xxfxA 且且A0則則在在x0的某的某空心鄰域空心鄰域內(nèi)內(nèi)f (x)0(或或A0)，(或或f (x)00lim()xxfxA A0且且2,0()1 ,0 xxfxx 反例反例: :整理課件54即即lim( ),lim ( ),(1) lim ( )( );(2) lim ( )( );( )(3) lim,0.( )f xAg xBf xg xABf xg xA Bf xABg xB設(shè)則設(shè)則其中其中二、極限的四則運算法則二、極限的四則運算法則

40、在極限存在的條件下，和、差、積、商在極限存在的條件下，和、差、積、商(分分母不為母不為0 0)的極限等于極限的和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商. .注意法則條件注意法則條件極限存在極限存在; 分母極限不為零分母極限不為零.整理課件55證：由極限與無窮小量的關(guān)系，證：由極限與無窮小量的關(guān)系， 再由極限與無窮小量的關(guān)系再由極限與無窮小量的關(guān)系,法則法則(1)、 成立。成立。( ), ( )f xAg xB( )( )()()f xg xAB ( ) ( )()()()f x g xABABAB ( ),0( )()f xAAAABABg xBBBBB B ()BAB B 都都用到法則用

41、到法則(1)(2)其中其中l(wèi)im=lim=0, AB，(2)、 (3)是無窮小量是無窮小量整理課件562 lim( )lim( )Cf xCf x （）3 lim ( )lim( )nnf xf x （）（）4 lim( )0,f xA（）（）lim ( )lim( )nnf xf x 則則推論推論:0033000lim(0), limxxxxxxxxx ，故推論故推論(3)中的中的n還可推廣到分數(shù)以至任何實數(shù)還可推廣到分數(shù)以至任何實數(shù).由直觀得由直觀得:5 lim ( )lim( )f xf x （）(1)法則可推廣到法則可推廣到有限個有限個函數(shù)的和、差、積函數(shù)的和、差、積(“函數(shù)極限函數(shù)極

42、限”一節(jié)已一節(jié)已證證)整理課件57三、極限不等式三、極限不等式00lim( ), lim( ),xxxxf xAg xB 若在若在x0的某的某空心鄰域空心鄰域內(nèi)內(nèi)f (x)g (x)，且，且則則AB證：由證：由f (x)g (x)得得f (x)g (x)0，0lim ( )( )xxf xg xAB 又又由極限性質(zhì)由極限性質(zhì)4(保號性保號性) AB0即即AB僅對僅對xx0情形敘述、證明情形敘述、證明, 其它情形有類似結(jié)論其它情形有類似結(jié)論.注注:與與“保號性保號性”類似類似, 即使條件改為即使條件改為“f (x)g (x)”,結(jié)論仍為結(jié)論仍為“AB”定理定理整理課件58例例1.531lim23

43、2 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 四、求極限舉例四、求極限舉例整理課件59小結(jié)小結(jié): :則則有有設(shè)設(shè),)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxx

44、xxxx )()(00 xQxP ).(0 xf 21232 lim54xxxx 例例2154lim023xxxx 解：解：原式原式=若若Q(x0)=0, 則商的則商的法則不能應(yīng)用法則不能應(yīng)用整理課件60解解例例3.321lim221 xxxx求求.,1分分母母的的極極限限都都是是零零分分子子時時x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 0()0型型(消去零因子法消去零因子法)整理課件6122042lim93xxx 222022242lim9393934242x

45、xxxxxx 解解：原原式式= = 2202293lim42xxxxx 2209363lim4242xxx 0()0型型例例4整理課件62例例5.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x() 型型.,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 3243235lim741xxxxx 244235lim417xxxxxx變變:= =0整理課件63小結(jié)小結(jié): :為為非非負負整整數(shù)數(shù)時時有有和和當當nmba, 0, 000 , 0,

46、lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當整理課件64例例63113lim().11xxx 求求22113lim(1)(1)xxxxxx 解：原式=解：原式=21(1)(2)lim(1)(1)xxxxxx = = =12222()()limxxxxxxxxx 解解 原原式式22lim()xxxxx 求求例例7222limxxxxxx 2lim1111xxx 10()0型型() 型型(- -型型)(- -型型)x1+:+(- -)x1- -:- -+(+)整理課件65例例8).21(lim222nnnnn 求求解解222221lim)21(limnnnn

47、nnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 無窮多項之和無窮多項之和, 不可用法則不可用法則. 先變形再求極限先變形再求極限.66例例931lim (11)nnn求求3111lim1nnn 解：原式解：原式233lim11111( 1)nnnn 13 0()0型型2331lim1111( 1)nnn 11(1)n “型”“型”00或“型”或“型”a3- -b3 =(a- -b)(a2+ab+b2)(0型型)10 01 整理課件67例例10 設(shè)設(shè)1,01( )0,01,0 xxf xxxx 0lim( )xf x求求0lim( )xf x 0lim( )xf x 0li

48、m( )1xf x =1解解01lim1xx 0lim(1)xx =1注意解題步驟注意解題步驟整理課件68例例11 無窮遞縮等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)無窮遞縮等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)等比數(shù)列等比數(shù)列211111,na a q a qa q 前前n項和項和1(1)1nnaqSq 無窮無窮遞縮遞縮等比數(shù)列所有項之和等比數(shù)列所有項之和limnnSS1q 11aq 整理課件69221(1)()11xa xab xbaxbxx 2(1)()lim01xa xab xbx 10101aaabb 例例12解解21lim()01xxax bx 若若 , 求求a，b整理課件70小結(jié)已經(jīng)學(xué)過的幾種求極限的方法小結(jié)已經(jīng)學(xué)過的

49、幾種求極限的方法 在簡單的情形可通過直觀分析來求極限在簡單的情形可通過直觀分析來求極限 利用左、右極限與極限的關(guān)系來求極限利用左、右極限與極限的關(guān)系來求極限 利用無窮大量與無窮小量的關(guān)系求極限利用無窮大量與無窮小量的關(guān)系求極限 利用無窮小量的性質(zhì)來求極限利用無窮小量的性質(zhì)來求極限 利用極限四則運算法則求極限利用極限四則運算法則求極限(可能需要預(yù)先可能需要預(yù)先對函數(shù)式作適當?shù)淖冃螌瘮?shù)式作適當?shù)淖冃?后面我們將進一步討論較復(fù)雜極限的求解方法后面我們將進一步討論較復(fù)雜極限的求解方法.整理課件71解答解答沒有極限沒有極限假設(shè)假設(shè) 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限， 由極限運算

50、法則可知：由極限運算法則可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設(shè)錯誤故假設(shè)錯誤思考題思考題 在某個過程中，若在某個過程中，若 有極限，有極限， 無極限，那么無極限，那么 是否有極限？為是否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 整理課件72作業(yè)： P46：2-9 (3)(12)(14) 2-10 P52：2-16 (1)(4)(5)整理課件73定理定理 每個收斂的數(shù)列只有一個極限每個收斂的數(shù)列只有一個極限. .證證lim,lim,nnnnuaub 設(shè)設(shè)又又由定義由定義,使使得得., 021NN 1;nnNua 當當時時恒恒有有

51、2;nnNub 當當時時恒恒有有 ,max21NNN 取取時時有有則則當當Nn ()()nnabubuannubua.2 .時時才才能能成成立立上上式式僅僅當當ba 故收斂數(shù)列極限唯一故收斂數(shù)列極限唯一.四、數(shù)列極限的性質(zhì)四、數(shù)列極限的性質(zhì) 返返 回回整理課件74幾何解釋幾何解釋:2.5 極限存在準則與兩個重要極限極限存在準則與兩個重要極限一、極限存在準則一、極限存在準則(1)單調(diào)遞增有上界；單調(diào)遞增有上界；準則準則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.注注: 根據(jù)準則只能判斷極限存在根據(jù)準則只能判斷極限存在, 無法求出極限值無法求出極限值.(2)單調(diào)遞減有下界單調(diào)遞減有下界.整理課件7

52、51111211 1(1)(1)(1)(1)2!1!121112(1)(1)(1)(1)!121nnnnnnnnnnn 1,nnuu 顯然顯然 ;nu是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的證明證明1(1)nnun數(shù)列收斂數(shù)列收斂1(1)nnun證：證： 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!) 1() 1( 1nu =例例1整理課件761212111 n, 3 nu有界有界limnnu 存存在在1lim(1)nnen 記記：)71828. 2( e1213 n又又nu 11112111(1)(1)(1)(1)2!nnnnnn 1

53、1112!n 1( !(1)2 12 22 12)nnn n 1121112n 整理課件77例例2333 ()nun 證證明明重重根根式式 收收斂斂(1)證證1,nnuu 顯然顯然 nu單單調(diào)調(diào)遞遞增增133,u 3,ku 設(shè)設(shè)13kkuu 則則33 , 3 nu有有上上界界limnnu存在存在13,nnuu 230AA 113113,22AA (舍去舍去)113lim.2nnu limnnuA設(shè)=設(shè)=兩邊取極限得兩邊取極限得3AA并求極限值并求極限值.(2)解解整理課件78(2)limlimnnnnyaz 準則準則夾逼準則夾逼準則 若數(shù)列若數(shù)列xn、yn及及zn滿足下列條件滿足下列條件:(1

54、) N0，nN時時, ynxnzn ;axnn lim則則注注: 1)函數(shù)極限的函數(shù)極限的夾逼準則夾逼準則 若若f(x)、g(x)及及h(x)滿足滿足:2)利用利用夾逼準則夾逼準則求極限關(guān)鍵求極限關(guān)鍵:0d d (1)0(, )oxU xd d(|x|X) 00()()lim( )lim( )xxxxxxg xAh x(2)0()lim( )xxxf xA 則則g(x)f (x)h(x) ;(X0)時時, 構(gòu)造構(gòu)造yn與與zn ，且其極限易求，且其極限易求.整理課件79例例3).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又

55、又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn80AC)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設(shè)設(shè)單單位位圓圓xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線二、兩個重要極限二、兩個重要極限0(:)0注型注型0sinlim1xxx 1.OABOABOACSSS 扇扇由由得得1122OA BDAB OAOA AC 1 12 2證證sin()sinxxxx - -0 x 只討論情形只討論情形,tansinxxx sincos1xxx 即即有有111tansinxxx81ACxoBD,tansinxxx sincos1,

56、xxx 即即有有cos x 而而212sin2x 212()2x212x, 1coslim0 xx0lim11,x 且且0sinlim1.xxx 2sin1cos1,2xxxx 20lim(1)12xx又又注注: 1.sintan,2xxxx sin,xxxR 2.(圖圖!)3. ,0limcos1xx 0limsin0 xx (2sin)xxx由 有： 由 有： 整理課件82例例40sinlim1xxx 利用求極限時抓住特征：利用求極限時抓住特征：0(1)0型型0sin(2) lim=1=10tanlimxxx 00sintanlim1limxxaxaxaxax 故有：故有：0sin1lim

57、()1cosxxxx0(0型)型)(a為非零常數(shù)為非零常數(shù)!)x0時，時，sinxx tanx sinaxax tanax整理課件83等價無窮小替換等價無窮小替換定理定理 (等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理).limlim,lim, 則則存存在在且且設(shè)設(shè)證證 lim)lim( limlimlim.lim 整理課件84常用等價無窮小常用等價無窮小: :22211cos2sin 2()222xxxx0arcsinlimxxx 20, sin, arcsin,tan, arctan,1ln(1) ,1 , 1cos2xxaxaxaxaxaxaxaxaxxxexxx 當當時時(待證待證)0(0型)

58、型)0arcsinlim1sin(arcsin )xxx 整理課件85例例5.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 22012lim12xxx 原式原式0(0型)型)例例620tan 2lim1cosxxx 202(2 )lim12xxx . 8 不能濫用等價無窮小代換不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中對于代數(shù)和中的各無窮小不的各無窮小不能分別替換能分別替換. .注意注意0(0型)型)用等價無窮用等價無窮小替換定理小替換定理:整理課件86例例7.2sinsintan

59、lim30 xxxx 求求錯錯解解.sin,tan,0 xxxxx時時當當 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解33012lim8xxx .161 0(0型)型)30tan (1cos )lim(2 )xxxx 原式原式整理課件87例例8.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解0tan51coslimsin3sin3xxxxx 原原式式2001552limlim333xxxxxx 0(0型)型)013sin2sinlim()1xxxxx 例例90sin1lim(23sin)2xxxxx 0(0型)型) 思考思考:例例7可否拆成兩可否拆成兩個極限之差個極限之差?不可不可!

60、拆開后拆開后為為型型整理課件881lim(1)xxex ,1xt 令令101lim(1)lim(1)xtxttx. e exxx 10)1(lim2.(:1) 注型注型數(shù)列情形已證數(shù)列情形已證, 可推廣至可推廣至x + 及及x (1) 1 型型101(2) lim(1)lim(1)e 利用該重要極限解題時抓住特征：利用該重要極限解題時抓住特征：整理課件89例例11.)11(limxxx 求求解解一般地：一般地：lim 1xxkx lim1kxkxkx例例102lim(1) .nnn 求求解解(1 型)型)(1 型)型)(1 型)型)不要仿照不要仿照教材解題教材解題步驟步驟勿作變換勿作變換!1l