高等數(shù)學(xué)D1_6極限存在準(zhǔn)則及兩個重要極限

1、二、二、 兩個重要極限兩個重要極限 一、夾逼準(zhǔn)則一、夾逼準(zhǔn)則第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則及兩個重要極限 第一章 編輯pptazynnnnlimlim)2(1. 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則 (準(zhǔn)則1) ),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim證證: 由條件 (2) ,0,1N當(dāng)1Nn 時,ayn當(dāng)2Nn 時,azn令,max21NNN 則當(dāng)Nn 時, 有,ayan,azan由條件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn,2N2. 函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則定理定理2.,),(0時當(dāng)xUxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(

2、lim0)0( Xx)(x)(x)(x且1sincosxxx圓扇形AOB的面積二、二、 兩個重要極限兩個重要極限 1sinlim. 10 xxx證證: 當(dāng)即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有AOB 的面積AOD的面積xxxcos1sin1故有OBAx1DC注注當(dāng)20 x時xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx例例2. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim

3、01例例3. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 則,sintx x0時，t 0原式tttsinlim0 1lim0tttsin120sinlimx2x2x21nnnR2cossinlimRn例例4. 求.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121例例5. 已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為證明: .lim2RAnn證證: nnAlimnnnnRnA2cossin2 R說明說明: 計(jì)算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx2.e)1(lim1xxx證證: 當(dāng)0 x時, 設(shè), 1nxn則xx)1 (111)1 (nnnn)1 (

4、11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnnee)1(lim1xxx(P5354)當(dāng)x, ) 1( tx則,t從而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故e)1 (lim1xxx說明說明: 此極限也可寫為e)1 (lim10zzz時, 令例例6. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt則xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則2. 兩個重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e)1(lim10注注: 代表相同的表達(dá)式思考與練習(xí)思考與練習(xí)填空題填空題 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim.