高考概率知識(shí)點(diǎn)及例題

1、概率知識(shí)要點(diǎn).隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率I、必然事件：一般地，把在條件s下，一定會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件 S的必然事件。2、不可能事件：把在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的 不可能事件。3、確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱(chēng)相對(duì)于條件S的確定事件。4、隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S 的隨機(jī)事件。5、頻數(shù)：在相同條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀(guān)察某一事件A是否出現(xiàn)，稱(chēng)n 次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)。6、頻率：事件A出現(xiàn)的比例f (A)= J tl n7、概率：隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.概率的意義1、概率

2、的正確解釋?zhuān)弘S機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)性 中含有規(guī)律性。認(rèn)識(shí)了這種隨機(jī)中的規(guī)律性，可以比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)隨機(jī)事 件發(fā)生的可能性。2、游戲的公平性：抽簽的公平性。3、決策中的概率思想：從多個(gè)可選答案中挑選出正確答案的決策任務(wù)，那 么“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準(zhǔn)則。極大似然法、小概率事件4、天氣預(yù)報(bào)的概率解釋?zhuān)好魈毂镜亟邓怕蕿?0%解釋是“明天本地下雨 的機(jī)會(huì)是70%”。5、試驗(yàn)與發(fā)現(xiàn)：孟德?tīng)柕耐愣乖囼?yàn)。6、遺傳機(jī)理中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。（概率的基本性質(zhì)1、事件的關(guān)系與運(yùn)算（1）包含。對(duì)于事件A與事件B,如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生， 稱(chēng)事件B包含事件A （或事件A包含

3、于事件B）,記作8 3A（或AnB）。不可能事件記作0。（2）相等。若33AH則稱(chēng)事件A與事件B相等，記作A二B。（3）事件A與事件B的并事件（和事件）：某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā) 生或事件B發(fā)生。（4）事件A與事件B的交事件（積事件）：某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā) 生且事件B發(fā)生。（5）事件A與事件B互斥：AC8為不可能事件，即館8=0,即事件A與 事件B在任何一次試驗(yàn)中并不會(huì)同時(shí)發(fā)生。（6）事件A與事件B互為對(duì)立事件：AflB為不可能事件，AU8為必然事 件，即事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生。 ¥2、概率的幾個(gè)基本性質(zhì)（1） 0<P（A）<l.（2）必然

4、事件的概率為l.P（E） = l.（3）不可能事件的概率為0.尸（尸） = 0.（4）事件A與事件B互斥時(shí)，P（A|JB）=P（A）+P（B）概率的加法公式。（5）若事件B與事件A互為對(duì)立事件,，則AU8為必然事件，尸（AU8） = 1.古典概型古典概型I1、基本事件：基本事件的特點(diǎn)：（1）任何兩個(gè)事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本時(shí)間 的和。2、古典概型：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概型。2 八十 “A、A包含的基本事件的個(gè)數(shù)3、公式：P（A）=汗砧、，,她基本事件的總數(shù)（整數(shù)值）

5、隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生如何用計(jì)算器產(chǎn)生指定的兩個(gè)整數(shù)之間的取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)一一書(shū)上例 題。幾何概型幾何概型1、幾何概型：每個(gè)事件發(fā)生的概率只有與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或 體積）成比例的概率模型。2、幾何概型中，事件A發(fā)生的概率計(jì)算公式：構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生常用的是0川上的均勻隨機(jī)數(shù)，可以用計(jì)算器來(lái)產(chǎn)生01之間的均勻隨機(jī) 數(shù)。本章知識(shí)小結(jié)（1）在具體情境中，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，進(jìn)一 步了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別。（2）通過(guò)實(shí)例，了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式。（3）通過(guò)實(shí)例，理解古典概型及其概率計(jì)算

6、公式，會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨 機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。（4） 了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法（包括計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來(lái)進(jìn)行 模擬）估計(jì)概率，初步體會(huì)幾何概型的意義（參見(jiàn)例3）。（5）通過(guò)閱讀材料，了解人類(lèi)認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的過(guò)程。重難點(diǎn)的歸納：重點(diǎn)：1、了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，正確理解概率的意義.2、理解古典概型及其概率計(jì)算公式.3、關(guān)于幾何概型的概率計(jì)算4、體會(huì)隨機(jī)模擬中的統(tǒng)計(jì)思想：用樣本估計(jì)總體.難點(diǎn)：1、理解頻率與概率的關(guān)系.2、設(shè)計(jì)和運(yùn)用模擬方法近似計(jì)算概率.13、把求未知量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型求概率的問(wèn)題.（二）高考概率概率考試內(nèi)容：隨機(jī)事件的概率.等可能性

7、事件的概率.互斥事件有一個(gè) 發(fā)生的概率.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).考試要求：（1） 了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義.（2） 了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用排列組合的基本公式計(jì)算一些 等可能性事件的概率。（3） 了解互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式 與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率.（4）會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生K次的概率.以下歸納9個(gè)常見(jiàn)考點(diǎn)：解析概率與統(tǒng)計(jì)試題是高考的必考內(nèi)容。它是以實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題為載體，以 排列組合和概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)為工具，以考查對(duì)五個(gè)概率事件的判斷識(shí)別及 其概率的計(jì)算和隨機(jī)變量概率分布

8、列性質(zhì)及其應(yīng)用為目標(biāo)的中檔師，預(yù)計(jì) 這也是今后高考概率統(tǒng)計(jì)試題的考查特點(diǎn)和命題趨向。下面對(duì)其常見(jiàn)題型和考點(diǎn)進(jìn)行解析?？键c(diǎn)1考查等可能事件概率計(jì)算。在一次實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等。如果事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么p(a)=竺。這就是等可能事件 n的判斷方法及其概率的計(jì)n算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的計(jì)算方法以及分析 和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。例1(2004天津)從4名男生和2名女生中任3人參加演講比賽.(I)求所選3人都是男生的概率；(II)求所選3人中恰有1名女生的概率；(III)求所選3人中至少有1名女生的概率.考點(diǎn)2考查互斥事件至少有一個(gè)

9、發(fā)生與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率計(jì)算。不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A、B叫做互斥事件，它們至少有一個(gè)發(fā)生 的事件為A+B,用概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)計(jì)算。事件A (或B)是否發(fā)生對(duì)事件B (或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響，則A、B叫做相互獨(dú)立事件，它們同時(shí)發(fā)生的事件為ABo用概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)計(jì)算。高考常結(jié)合考試競(jìng)賽、上網(wǎng)工作等問(wèn)題對(duì)這兩個(gè)事件的識(shí)別及其概率 的綜合計(jì)算能力進(jìn)行考查。例2.(2005全國(guó)卷III)設(shè)甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器是否需要照顧相互之間沒(méi)有 影響。己知在某一小時(shí)內(nèi)，甲、乙都需要照顧的概率為，甲、丙都需要照 顧的概率為，乙、丙都需要照顧的概率為，

10、(I )求甲、乙、丙每臺(tái)機(jī)器在 這個(gè)小時(shí)內(nèi)需要照顧的概率分別是多少；(II)計(jì)算這個(gè)小時(shí)內(nèi)至少有一臺(tái) 需要照顧的概率。考點(diǎn)3考查對(duì)立事件概率計(jì)算。必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件A、B叫做互為對(duì)立事件。用概率的減法 公式P(A)4P(A)計(jì)算其概率。高考常結(jié)合射擊、電路、交通等問(wèn)題對(duì)對(duì)立事件的判斷識(shí)別及其概率計(jì)算 進(jìn)行考查。例3. (2005福建卷文)甲、乙兩人在罰球線(xiàn)投球命中的概率分別為1和2。2 5(I)甲、乙兩人在罰球線(xiàn)各投球一次，求恰好命中一次的概率；(II)甲、乙兩人在罰球線(xiàn)各投球二次，求這四次投球中至少一次命中的 概率；考點(diǎn)4考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算。若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率

11、都不依賴(lài)其它各次試驗(yàn)的結(jié) 果，則此試驗(yàn)叫做n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。若在1次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率 為P,則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=匕(A)= C/(i p)"3高考結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次 的概率的計(jì)算方法和化歸轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。例4. （2005湖北卷）某會(huì)議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只， 且型號(hào)相同。假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號(hào)的燈 泡壽命為1年以上的概率為pl,壽命為2年以上的概率為p2。從使用之日 起每滿(mǎn)1年進(jìn)行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時(shí)不換。¥

12、（I）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡 的概率；（II）在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，求該盞燈需要 更換燈泡的概率；（III）當(dāng)pl=, p2二時(shí)，求在第二次燈泡更換工作，至少需 要更換4只燈泡的概率（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）考點(diǎn)5考查隨機(jī)變量概率分布與期望計(jì)算。解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)明確隨機(jī)變量可能取哪些值，然后按照相互 獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率的法公式去計(jì)算這些可能取值的概率值即可等到分 布列，最后根據(jù)分布列和期望、方差公式去獲解。以此考查離散型隨機(jī)變 量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念和運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。例5.（2005湖北卷）某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)

13、車(chē)駕照考試規(guī)定；每位考試 者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過(guò)，使可領(lǐng)取駕 照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參 加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過(guò)的概率依次為，一求在一年內(nèi)李明參 加駕照考試次數(shù)1的分布列和的期望，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率。 考點(diǎn)6考查隨機(jī)變量概率分布列與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合1、考查隨機(jī)變量概率分布列與函數(shù)結(jié)合。例6. (2005湖南卷)某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽 這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)£表示 客人離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值。%(I)求W的分布

14、及數(shù)學(xué)期望；(H)記函數(shù)f(x)=x2 33+l在區(qū)間2, +-)上單調(diào)遞增為事件A,求 事件A的概率。2、考查隨機(jī)變量概率分布列與數(shù)列結(jié)合。例7甲乙兩人做射擊游戲，甲乙兩人射擊擊中與否是相互獨(dú)立事件，規(guī)則 如下：若射擊一次擊中，原射擊者繼續(xù)射擊，若射擊一次不中，就由對(duì)方 接替射擊。已知甲乙兩人射擊一次擊中的概率均為7,且第一次由甲開(kāi)始射 擊。(1)求前4次射擊中，甲恰好射擊3次的概率。(2)若第n次由甲射擊的概率為a”，求數(shù)列aj的通項(xiàng)公式；求lima”，并 說(shuō)明極n玲8限值的實(shí)際意義。3、考查隨機(jī)變量概率分布列與線(xiàn)形規(guī)劃結(jié)合。例8 (2005遼寧卷)某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)

15、過(guò)第一 和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié) 果均有A、B兩個(gè)等級(jí)對(duì)每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品。&（I）己知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級(jí)的概率如表一所 示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概P（甲卜P（乙卜（II）己知一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如表二所示，用、n分別表示一件甲、乙產(chǎn)品 的利潤(rùn)，在（I）的條件下，求、n的分布列及此、Eq；（III）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示.該工廠(chǎng)有工人 40名，可用資金60萬(wàn)元。設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在（II） 的條件下，y為何值時(shí)，z=xE +

16、 yEnx最大最大值是多少（解答時(shí)須給出圖 示）考查隨機(jī)變量概率分布列性質(zhì)性質(zhì)應(yīng)用考點(diǎn)7考查隨機(jī)變量概率分布列性質(zhì)應(yīng)用。離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.，高考常結(jié)合應(yīng)用問(wèn)題對(duì)隨機(jī)變量概率分布列及其性質(zhì)的應(yīng)用 進(jìn)行考查。例9（2004年全國(guó)高考j）某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答三個(gè)問(wèn)題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得。分。假設(shè)這名同學(xué)每 題回答正確的概率均為，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響求這名同學(xué)回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望； 求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分（即Q0）的概率?？键c(diǎn)8樣本抽樣識(shí)別與計(jì)算。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣

17、，分層抽樣得共同特點(diǎn)是不放回抽樣，且各個(gè)體被抽取得概率相等，均為2 （N為總體個(gè)體數(shù)，n為樣本容量）。系統(tǒng)抽 N樣、分層抽樣的實(shí)質(zhì)分別是等距抽樣與按比例抽樣，只需按照定義，適用 范圍和抽樣步驟進(jìn)行，就可得到符合條件的樣本。高考常結(jié)合應(yīng)用問(wèn)題，考查構(gòu)照抽樣模型，識(shí)別圖形，搜集數(shù)據(jù)，處 理材料等研究性學(xué)習(xí)的能力。例11 （2005年湖北湖北高考題）某初級(jí)中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級(jí) 108人，二、三年級(jí)各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項(xiàng)調(diào)查, 考慮選用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽 樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按一、二、三年級(jí)依次統(tǒng)一編號(hào)為1, 2,270；使用系統(tǒng)

18、抽樣時(shí)，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號(hào)1, 2,270,并將整個(gè)編號(hào)依次分為10段.如果抽得號(hào)碼有下列四種情況:7, 34, 61, 88, 115, 142, 169, 196, 223, 250；5, 9, 100, 107, 111, 121, 180, 195, 200, 265； 11, 38, 65, 92, 119, 146, 173, 200, 227, 254；30, 57, 84, 111, 138, 165, 192, 219, 246, 270；關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是 （）A.、都不能為系統(tǒng)抽樣B.、都不能為分層抽樣C.、都可能為系統(tǒng)抽樣 D.、都可能為分層抽樣考點(diǎn)9考

19、查直方圖。這是統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，不是概率的吧 例12.（2005江西卷）為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a,視力在到之間的學(xué)生數(shù)為b,則3 b的值分別為()A. 0,27,78 B. 0,27,83 C. ,78 D. ,83方法小結(jié)：解決概率問(wèn)題時(shí)，一定要根據(jù)有關(guān)概念，判斷問(wèn)題是否是等可能性事件、 互斥事件、相互獨(dú)立事件，還是某一事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k 次的情況，以便選擇正確的計(jì)算方法，同時(shí)注意上述各類(lèi)事件的綜合問(wèn)題, 要全面考慮

20、，特別是近幾年高考概率與期望的綜合，體現(xiàn)了高考對(duì)概率知 識(shí)要求的進(jìn)一步提高。下面僅以幾個(gè)例題作以小結(jié)。一、用排列組合求概率例1從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù), 這個(gè)三位數(shù)不能被3整除的概率為()(A)19 乃 4(B)3Hs(C)3 的 4(D)41y60分析：等可能事件的概率關(guān)鍵是利用排列組合出基本事件數(shù)。答案：B點(diǎn)評(píng)：本題將等可能事件與對(duì)立事件的概率，以及分類(lèi)討論綜合在一起， 體現(xiàn)了知識(shí)交匯點(diǎn)的命題精神，是高考的熱點(diǎn)。二、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率例2某廠(chǎng)生產(chǎn)A產(chǎn)品，每盒10只進(jìn)行包裝，每盒產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)合格后才能 出廠(chǎng)，規(guī)定以下,從每盒10只中任意抽4只進(jìn)行

21、檢驗(yàn)，如果次品數(shù)不超過(guò)1只, 就認(rèn)為合格，否則就認(rèn)為不合格，己經(jīng)知道某盒A產(chǎn)品中有2只次品(1)求該盒產(chǎn)品被檢驗(yàn)合格的概率（2）若對(duì)該盒產(chǎn)品分別進(jìn)行兩次檢驗(yàn)，求兩次檢驗(yàn)的結(jié)果不一致的概率 分析：對(duì)一個(gè)復(fù)雜事件的概率可以分拆成幾個(gè)互斥事件的概率或者轉(zhuǎn)化為 求其對(duì)立事件的概率。點(diǎn)評(píng)：求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，要保證兩者確是“相互獨(dú)立”事 件。本例的“比賽型”題，分析比較簡(jiǎn)單，只要結(jié)合有關(guān)比賽規(guī)則即可解 決，此類(lèi)題也是高考的熱點(diǎn)題。三、對(duì)立重復(fù)試驗(yàn)例3 一位學(xué)生每天騎自行車(chē)上學(xué)，從他家到學(xué)校有5個(gè)交通崗,假設(shè)他在交通 崗遇到紅燈是相互獨(dú)立的，且首末兩個(gè)交通崗遇到紅燈的概率均為p,其余3 個(gè)交通崗

22、遇到紅燈的概率均為1。2若p二弟，求該學(xué)生在第三個(gè)交通崗第一遇到紅燈的概率；（2）若該學(xué)生至多遇到一次紅燈的概率不超過(guò)18,求p的取值范圍。分析：首末兩個(gè)交通崗遇紅燈的概率相同，其余3個(gè)交通崗遇紅燈的概率 也相同，可看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。點(diǎn)評(píng)：要注意恰有k次發(fā)生和某指定的k次發(fā)生的差異。對(duì)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 來(lái)說(shuō)，前者的概率為總結(jié)：概率初步的考題一般以（1）等可能事件；（2）互斥事件有一個(gè)發(fā)生;（3）相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生；（4）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為載體。有的考題可能綜 合多個(gè)概率題型；在等可能事件的概率計(jì)算中，關(guān)鍵有二：一是誰(shuí)是一次 試驗(yàn)（一次事件所含的基本事件的總數(shù)）；二是事件A所含基本事件數(shù)。當(dāng) 然，所有

23、基本事件是等可能的是前提；善于將復(fù)雜的事件分解為互斥事件 的和與獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵。(三)高考數(shù)學(xué)概率中的易錯(cuò)題辨析一、概念理解不清致錯(cuò)例1.拋擲一枚均勻的骰子，若事件A： “朝上一面為奇數(shù)”，事件B：“朝上一面的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3"，求P (A+B)錯(cuò)誤解法1：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)是1, 3, 5；事件B：超上一面的點(diǎn)數(shù)為 1, 2, 3, AP (A+B) =P (A) +P (B) =- + - = - 6 6 2錯(cuò)因分析：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)是1, 3, 5；事件B：越上一面的點(diǎn)數(shù)為1, 2, 3,很明顯，事件A與事件B不是互斥事件。即P (A+B) WP (A) +P

24、(B),所以上解是錯(cuò)誤的。實(shí)際上：正確解法為：A+B包含：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1, 2, 3, 5四種情況AP (A+B) =- = - 6 3錯(cuò)誤解法2：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1, 3, 5；事件B：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1, 2, 3,即以A、B事件中重復(fù)的點(diǎn)數(shù)1、3AP (A+B)=P (A) +P (B) -P (A B)11113二+x=2 2 2 2 4錯(cuò)因分析：A、B事件中重復(fù)點(diǎn)數(shù)為1、3,所以P (A-B)這種錯(cuò) 6誤解法在于簡(jiǎn)單地類(lèi)比應(yīng)用容斥原理Card (A U 8) = Card (A) + Card (B) - Card(A A B)致錯(cuò)正確解答：P (A+B) =P (A)

25、+P (B) -P (A B).112 2+ =-1,(當(dāng)?shù)诖螖S出偶黝-1,(當(dāng)?shù)诖螖S出奇數(shù))'2 2 6 3例2.某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列詢(xún)，使% = 記S, =%+%+ +* 求S, > 0(/ = 1,234)且4 = 2的概率。錯(cuò)解：記事件A： 4=2,即前8項(xiàng)中，5項(xiàng)取值1,另3項(xiàng)取值一1-* 58 = 2 的概率 P(A) = Cg . (1)8記事件B: S* >0(/ = 123,4),將S >0(/ = 123,4)分為兩種情形:(1)若第1、2項(xiàng)取值為1,則3, 4項(xiàng)的取值任意(2)若第1項(xiàng)為1,第2項(xiàng)為-1,則第3項(xiàng)必為1第四項(xiàng)任意AP(B

26、)=(1)2+(1)3=1，所求事件的概率為P=P(A) P (B) =2 o 2錯(cuò)因分析：SjNO且凡=2是同一事件的兩個(gè)關(guān)聯(lián)的條件，而不是兩個(gè)相互獨(dú)立事件。51之0對(duì)4=2的概率是有影響的，所以解答應(yīng)為：正解：: S, >0(/ = 1,23,4)J前4項(xiàng)的取值分為兩種情形若1、3項(xiàng)為1;則余下6項(xiàng)中3項(xiàng)為1,另3項(xiàng)為-1即可。即勺=ct(1)8;若1、2項(xiàng)為正，為避免與第類(lèi)重復(fù)，則第3項(xiàng)必為-1,則后5項(xiàng)中只須3項(xiàng)為1,余下2項(xiàng)為-1,即尸2=，(；)8,所求事件的概率為八c+) 4)8 =母二、有序與無(wú)序不分致錯(cuò)例3.甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有10個(gè)不同的題目，其中選擇題6

27、個(gè)，判斷題4個(gè)，甲、乙依次各抽一題。求：(1)甲抽到選擇題，乙提到判斷題的概率是多少(2)甲、乙兩人中至少有1人抽到選擇題的概率是多少錯(cuò)誤解法：(1)甲從選擇題抽到一題的結(jié)果為以乙從判斷題中抽到一題的結(jié)果為C：而甲、乙依次抽到一題的結(jié)果為G?。，所求概率為：宣錯(cuò)因分析：甲、乙依次從10個(gè)題目各抽一題的結(jié)果，應(yīng)當(dāng)是先選后排, 所以應(yīng)為娠。為避免錯(cuò)誤，對(duì)于基本事件總數(shù)也可這樣做：甲抽取一道題 目的結(jié)果應(yīng)為C；。種，乙再抽取余下的9道題中的任一道的結(jié)果應(yīng)為C；種， 所以正確解答：器4（2）錯(cuò)誤解法：從對(duì)立事件考慮，甲、乙都抽到判斷題的結(jié)果為。:種, 所以都抽到判斷題的概率為,所求事件的概率為1_工=

28、8C；oC； 1515 15錯(cuò)因分析：指定事件中指明甲、乙依次各抽一題，那么甲、乙都提到 判斷題的結(jié)果應(yīng)為種，所以所求事件概率應(yīng)為券=2說(shuō)明：對(duì)于第（2）問(wèn)，我們也可以用這樣解答：這里啟示我們，當(dāng)基本事件是有序的，則指定事件是有序的 .o 15（指定事件包含在基本事件中）；當(dāng)基本事件是無(wú)序的，則指定事件也必?zé)o 序。關(guān)鍵在于基本事件認(rèn)識(shí)角度必須準(zhǔn)確。例4.己知8支球隊(duì)中有3支弱隊(duì)，以抽簽方式將這8支球隊(duì)分為A、 B兩組，每組4支，求：A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率。錯(cuò)解：將8支球隊(duì)均分為A、B兩組，共有種方法：A、B兩組中 有一組恰有兩支弱隊(duì)的分法為：先從3支弱隊(duì)取2支弱隊(duì)，又從5支強(qiáng)隊(duì)

29、取2支強(qiáng)隊(duì)，組成這一組共有。久;種方法，其它球隊(duì)分在另一組，只有一 種分法。，所求事件的概率為：=錯(cuò)因分析：從基本事件的結(jié)果數(shù)來(lái)看，分組是講求順序的，那么指定 事件："A、B組中有一組有2支弱隊(duì)”應(yīng)分為兩種情形。即“A組有”或“B 組有”，所以正確解答為：I正解：笛華=9或二說(shuō)明：這道題也可從對(duì)立事件求解：3支弱隊(duì)分法同一組共有：種結(jié)果。，所求事件概率為1-與f=97三、分步與分類(lèi)不清致錯(cuò)例5.某人有5把不同的鑰匙，逐把地試開(kāi)某房門(mén)鎖，試問(wèn)他恰在第3 次打開(kāi)房門(mén)的概率錯(cuò)誤解法：由于此人第一次開(kāi)房門(mén)的概率為9若第一次未開(kāi)，第2 次能打開(kāi)房門(mén)的概率應(yīng)為：；所以此人第3次打開(kāi)房門(mén)的概率為g

30、o43錯(cuò)因分析：此人第3次打開(kāi)房門(mén)實(shí)際是第1次未打開(kāi)，第2次未打開(kāi), 第3次打開(kāi)“這三個(gè)事件的積事件”，或者理解為“開(kāi)房門(mén)是經(jīng)過(guò)未開(kāi)、 未開(kāi)、開(kāi)”這三個(gè)步驟，不能理解為此事件只有“開(kāi)房門(mén)”這一個(gè)步驟， 所以，正確解答應(yīng)為：正解：第1次未打開(kāi)房門(mén)的概率為:；第2次未開(kāi)房門(mén)的概率為第543次打開(kāi)房門(mén)的概率為"所求概率為：P = ix2xi=lo35 4 3 5例5.某種射擊比賽的規(guī)則是：開(kāi)始時(shí)在距目標(biāo)100m處射擊，若命中 記3分，同時(shí)停止射擊。若第一次未命中，進(jìn)行第二次射擊，但目標(biāo)已在 150m遠(yuǎn)處，這時(shí)命中記2分，同時(shí)停止射擊；若第2次仍未命中，還可以進(jìn)行第3次射擊，此時(shí)目標(biāo)已在20

31、0m遠(yuǎn)處。若第3次命中則記1分，同時(shí) 停止射擊，若前3次都未命中，則記。分。己知身手甲在100m處擊中目標(biāo) 的概率為，他命中目標(biāo)的概率與目標(biāo)的距離的平方成反比，且各次射擊都 是獨(dú)立的。求：射手甲得k分的概率為Pk，求P3, P2, %，Po的值。:設(shè)射手射擊命中目標(biāo)的概率P與目標(biāo)距離x之間的關(guān)系為P = 土,由已知 - = ->=5000 x22 1002錯(cuò)誤解法：p.=l 2n 5000 24的=0n 5000 1 -=一2002 812149尸。=。-/-補(bǔ)才市錯(cuò)因分析：求P2時(shí)，將第150m處射擊命中目標(biāo)的概率作為第2次命 中目標(biāo)的概率，隔離了第1次射擊與第2次射擊的關(guān)系，實(shí)際上，

32、第2次 射擊行為的發(fā)生是在第1次未擊中的前提下才作出的。P2應(yīng)為“第1次未擊中，第2次擊中”這兩個(gè)事件的積事件的概率。求P1時(shí)也如此。正解：瑪毛49144四、考慮不周致錯(cuò)例6.某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)x的分布列如下:10P現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高的環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)記 為求：孑的分布列。錯(cuò)誤解法：J的取值為8, 9, 10o57,兩次環(huán)數(shù)為7,7；k8,兩次 成績(jī)?yōu)?, 8或8, 8：分9,兩次成績(jī)7, 9或8, 9或9, 9； =10,兩次 隊(duì)數(shù)為7, 10或8, 10或9, 10或10, 10o/ P（ = 7） = 0.2x0.2 = 0.04P（J = 8） = 0.2x

33、0.3 + 0.32 =0.15P 記=9） = 0.2 x 0.3 + 0.3 x 0.3 + 0.32 = 0.23P（& = 10） = 0.2 x 0.3 0.2 + 0.3 0.3 + 0.22 = 0.2（分布列略）錯(cuò)因分析：j = 8,即兩次成績(jī)應(yīng)為7, 8或8, 7或8, 8實(shí)際為三種情形， PR = 8） = 2x0.2x0.3 + 0.32 =0.21J=9兩次環(huán)數(shù)分別為7,9 （或9,7 ） ； 8,9 （或9,8 ） , P 化= 9） = 2x 0.2 x0.3 + 2x 0.3 x 0.3 + O.32 = 0.39Hgp（ = 10） = 0.122 x2

34、 + 0.3x0.2x4 + 0.22 =0.36例7.將n個(gè)球等可能地放入到N （nXn）個(gè)有編號(hào)的盒子中（盒子中 容納球的個(gè)數(shù)不限）。求A：某指定的n個(gè)盒子中恰有一球的概率。錯(cuò)誤解法：將n個(gè)球等可能地放入到N個(gè)盒子中，共有W種方法。而指定的n個(gè)盆中各有一球的放法有：n!種，則所求概率：p（a）=工錯(cuò)因分析：這種解法不全面，如果球是有編號(hào)的，則答案是對(duì)的。若球是不可辨認(rèn)的，則答案錯(cuò)了，若球是不可辨認(rèn)的，則若考慮盒子中球的 個(gè)數(shù)而不考慮放的是哪幾個(gè)球，為此，我們用“口”表示一個(gè)盒子；用 表示一個(gè)球，先將盒子按編號(hào)1345n2把n個(gè)球放入N中盒子中，形如：101001110001,正好看作N+1

35、個(gè)“1”和n個(gè)“0”的全排列。由于兩邊必為“1”所以排法只有累.1種; 而指定的n個(gè)盒子中恰有一球的放法只有1種，故尸(a)= 二=半上工以皿(抵+!五、混淆“互斥”與“獨(dú)立”出錯(cuò)例8.甲投籃命中概率為，乙投籃命中概率為，每人投3次，兩人恰好 都命中2次的概率是多少錯(cuò)解:設(shè)“甲恰好投中2次”為事件A, “乙恰好投中2次”為事件B, 則兩人恰好投中2次為A+Bo所以 P (A+B) =P (A) +P (B)=60.82x0.2+ C；0.7晨0.3 = 0.825。錯(cuò)因分析：本題解答錯(cuò)誤的原因是把相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的事件當(dāng)成互 斥事件來(lái)考慮。將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中2次”與“乙 恰

36、好投中2次”的和。正解：設(shè)“甲恰好投中2次”為事件A, “乙恰好投中2次”為事件B, 則兩人恰好都投中2次為ABo所以 P ( AB) =P (A) XP (B) = Cj 0.82 x 0.2 x C3 0.7 2 x 0.3 = 0.169六.混淆有放回與不放回致錯(cuò)例9.某產(chǎn)品有3只次品，7只正品，每次取1只測(cè)試，取后不放回,求:（1）恰好到第5次3只次品全部被測(cè)出的概率;（2）恰好到第k次3只次品全部被測(cè)出的概率/（幻的最大值和最小值。錯(cuò)解：（1） p （a） =2_2.m=_L 10 9 8 7 6 144（2）心歷（1-歷廠(chǎng)=0.21。錯(cuò)因分析：錯(cuò)解（1）的錯(cuò)誤的原因在于忽視了 “不

37、放回摸球”問(wèn)題的 每一次摸球是不獨(dú)立的；而錯(cuò)解（2）的錯(cuò)誤的原因則在于忽視了 “不放回摸球”問(wèn)題的每一次摸球袋內(nèi)球的總數(shù)是變的（比前一次少一個(gè)）。正解:5120二1 廠(chǎng)氏一 3 a(2)P ='-d)"2),(3KE0,&eZ)240當(dāng)& =3 時(shí)，/伏)min=3) =擊；當(dāng)我 =3 時(shí)，f(k) max = f (10) = ©一、選擇2 .（福建理5）某一批花生種子，如果每1粒發(fā)牙的概率為二那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是A.提96 c 192625. 625D.256625解:獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)8（4,3，尸伙=2）=得償=黑5 5 / 5 y

38、 625那么播下3481253 .（福建文5）某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為% 粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是解：這是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，服從二項(xiàng)分布8（3二），尸（X=2） = C；0515,¥一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)女生373Xy男生377370Z各年級(jí)男、女生人數(shù)如表1.已知4 .（廣東理3）某校共有學(xué)生2000名, 在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到二 年級(jí)女生的概率是.現(xiàn)用分層抽樣的方 法在全校抽取64名學(xué)生，則應(yīng)在三年 級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為（C）A. 24B. 18C. 16D. 12解：依題意我們知道二年級(jí)的女生有380人，那么三年級(jí)的學(xué)生的人數(shù)應(yīng) 該是500,即總體中各個(gè)年級(jí)的人數(shù)比例為3:3:2,故在分層抽樣中應(yīng)在三 年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為64x2 = 1686.（江西理11文11）電子鐘一天顯示的時(shí)間是從00:00到23:59的每一時(shí) 刻都由四個(gè)數(shù)字組成，則一天中任一時(shí)刻的四個(gè)