高考導數(shù)(洛必達法則)

1、第二部分：泰勒展開式x1.e 11!2!3!III(ne 1)!其中(01);2. ln(1x)2x2!3x3!III(1)nn1 xn!Rn,其中Rn (n 1n x1 n 11)()；(n 1)! 1 x3.sin x3x3!5x5!III1)k12k 1x(2 k 1)!Rn,其中Rn2k 1 k x(1) cos x ；(2 k 1)!4. cosx2x2!4x4!HI(1)k2k 21 x(2 k 2)!Rn其中Rn2kk x(1) cos x;(2k)!第三部分：新課標高考命題趨勢及方法許多省市的高考試卷的壓軸題都是導數(shù)應用問題，其中求參數(shù)的取值范圍就是一類重點考查的題型.這類題目

2、容易讓學生想到用 分離參數(shù)的方法，一部分題用這種方法很湊效， 另一部分題在高中范圍內用分離參數(shù)的方法卻不能順利解決，高中階段解決它只有華山一條路分類討論和假設反證的方法.雖然這些壓軸題可以用分類討論和假設反證的方法求解，但這種方法往往討論多樣、過于繁雜，學生掌握起來非常困難.研究發(fā)現(xiàn)利用分離參數(shù)的方法不能解決這部分問題的原因是出現(xiàn)了型的式子，而這就是大學數(shù)學中的不定式問題，解決這類問題的有效方法就0是洛必達法則.第四部分：洛必達法則及其解法洛必達法則：設函數(shù)f(x)、g(x)滿足:(1) lim f(x)x alim g(x) 0;(2)在 U"內,x af (x)和g (x)都存在

3、，且g (x) 0 ；/c、 f (x)(3) lim-x a g (x)A ( A可為實數(shù)，也可以是ntt f(x) f (x).則 limlimA.x a g(x) x a g (x)(2011 新)例:已知函數(shù)aln x f(x)x 1b,曲線 xf(x)在點(1,f (1)處的切線方程為x 2y 3 0.(i)求a、b的值;(n)如果當1 時，f(x)ln xk ,求k的取值范圍.x(I)略解得a 1, b1. (n)方法一：分類討論、假設反證法由(l)知 f(x)ln xlnx k、1f(x) (x1 ? 一(21n(k21)(x 1人 ) .x考慮函數(shù)h(x) 2ln x(k 1)

4、(x2Zx0),則 h'(x)(k 1)(x22x1) 2x(i)當 k 0 時，由 h'(x)k(x2 1) (x 1)2知，當x 1時,h'(x) 0.因為 h(1) 0,精品1所以當x (0,1)時，h(x) 0,可得1 x2h(x) 0;當 x (1,)時，h(x) 0,可得12- h(x) 0 ,從而當x 0且x 1時,1 xIn x f(x) JIn x k0 ,即 f (x)；x 1 x(ii)當 0,，1,k 1時，由于當x (1,)時,1 k(k 1)(x2 1)2x一一一，10,故 h'(x) 0,而 h(1) 0,故當 x (1,)1 k時

5、，h(x)cr 1一一0 ,可得2 h(x) 0,與題設矛盾.1 x(iii)當 k)時,1 時，h'(x) 0,而 h(1) 0 ,故當 x (1,L 1h(x) 0,可得 2 h(x) 0,與題設矛盾.1 x綜上可得,k的取值范圍為(，0.0 k 1時，許多考生都停留在此這是高中階段公認的難點，即便注：分三種情況討論： k 0；0 k 1；k 1不易想到.尤其是一1層面，舉反例x (1,)更難想到.而這方面根據不同題型涉及的解法也不相同,1 k通過訓練也很難提升. 當x 0,且x 1時，f (x)ln x也即kxIn x1xln x2xln x,、"x丁彳k1'圮

6、 g(x)x2x In x1 x2則 g'(x)2(x2 1)ln x 2(1 x2) 2(x2 1)22(1 x )22(1 x )(ln xIn xx 1In xx 1記 h(x)4x _ (11+。一Cx (1+x )x(1+x )從而h(x)在(0,)上單調遞增，且h(1) 0,因此當x (0,1)時,h(x) 0,x (1,)時，h(x) 0;當x (0,1)時,g'(x) 0,當 x(1,)時,g'(x) 0,所以g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,)上單調遞增.由洛必達法則有2xln x眄內)l嗎 1) 12x ln xlim 2x 1 1 x21M1

7、2ln x 2 - 0,2x即當x 1時，g(x) 0,即當1 時，g(x)0.因為k g(x)恒成立，所以k0 .綜上所述，當x 0,In x k且x 1時，f(x) 成立，k的取值范圍為(x 1 x,0.注：本題由已知很容易想到用分離變量的方法把參數(shù)k分離出來.然后對分離出來的函數(shù)2xln xg(x) X 1 求導，研究其單調性、極值.此時遇到了 “當x=1時，函數(shù)g(x)值沒有意義”這一問題，很多考生會陷入困境.如果考 前對優(yōu)秀的學生講洛必達法則的應用，再通過強化訓練就能掌握解決此類難題的這一有效方法.、x ,2例(2010新)：設函數(shù) f (x) e 1 x ax .(I)若a 0 ,

8、求f (x)的單調區(qū)間；(n)當x 0時，f (x) 0,求a的取值范圍應用洛必達法則和導數(shù)(n)當 x 0時，f(x)2x ax .當x0 時，a R;當x0 時，ex 1 x2 .ax等價于axe 1 x2x記 g(x)xe 1 x2xx(0,+皿 (x)，則 g'(x) 2)ex x 2記 h(x)(x 2)ex x(0+ )，則 h'(x) (x 1)ex 1當 x (0,+ )時，h''(x)xex 0,所以h'(x)(x 1)ex 1 在(0 + )上單調遞增，且 h'(x) h'(0) 0,所以 h(x) (x 2)ex x

9、2在(0,+ )上單調遞ex 1 x .2 在(0,+ )上單調遞增.x由洛必達法則有,xe1 xlim g (x)lim2x 0x 02xxe 1 lim x 0 2xxelim 一x 0 2即當x 0時,綜上所述，當a1一1 ，g(x)-,所以當x21八， 一、一且 x 0時，f (x) 2(0+ )時，所以0成立.自編：若不等式-3 一sinx x ax 對于(0,2)恒成立，求g(x)a的取值范圍.增，且 h(x) h(0) 0,因此當 x (0 + )時，g'(x)解：應用洛必達法則和導數(shù)當x (0,一)時，原不等式等價于 a23sin x xcosx 2xx sinx 、3

10、一，則 f (x) xsin x cosx(x tanx),t己 g(x) 3sin x xcosx 2x ,貝U g'(x) 2cosx xsin x 2 .因為 g''(x) xcosxg”'(x)xsinx 0,所以 g”(x)在(0,3)上單調遞減，且 g''(x) 0,所以g '(x)在(0,-)上單調遞減，且g '(x) 0 .因此g(x)在(0,-)上單調遞減,且g(x) 0,故f'(x) 吟 0,因此f(x) sin x 一、3.記 f (x) x sinx在(0,一)上單調遞減. xx2x sinx 1

11、cosx sinx由洛必達法則有 lim f (x) lim3 lim2 lim limx 0x 0 x x 0 3x x 0 6x x 0cosx1.，、1 ,1 , 一 ,即當x 0時，g(x) 一，即有f(x) .故a -時，不等式sinx x6663ax對于x (0,萬)恒成立.通過以上例題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)應用洛必達法則解決的試題應滿足:(1)可以分離變量；用導數(shù)可以確定分離變量后一端新函數(shù)的單調性；出現(xiàn)“2010海南寧夏文(21)已知函數(shù)f(x) x(ex 1) ax2.(I)若f (x)在x1時有極值，求函數(shù)f(x)的解析式；(n)當x 0時,f (x) 0,求a的取值范圍.解

12、：(n)應用洛必達法則和導數(shù) x 0時,f (x) 0,即 x(ex 1)2 一.ax .當x 0時，a R；當x 0時,x(ex 1)2x .ax等價于e 1 ax,也即aex 1 、,、.記 g(x) xx (0,)，則 g,(x) 3_J記 h(x) (x 1)ex 1 , x (0,),則 h'(x)xxe0 ,因此h(x)(x 1)ex 1 在(0,)上單調遞增，且h(x) h(0) 0,所以 g'(x) 皿 xg(x)ex 1-小在(0, x)上單調遞增.x_, , ,e 1由洛必達法則有l(wèi)im g(x) lim x 0x 0xx e lim x 0 11 ,即當x

13、 0時，g(x) 1所以g(x)綜上所述，當a 1 , x 0時，f (x)0成立.2010全國大綱理(22)設函數(shù)f(x) 1x(i)證明：當x 1時，f(x) ；(n)x 1設當x 0時，f (x)xax 1求a的取值范圍.(n)應用洛必達法則和導數(shù)此時f (x) 0 .當a 0時，若x當a 0時,_x0 時，f(x)，即1ax 11皿 x一,貝 U a ax 1x x 什 xe ；右ax 10, f(x)x等價于ax 1x ax 1xxexxe x記 g(x)xxexxe x2x 2 x xx1e x e 2e 1 e x 2一，貝Ug'(x) 2=x2(exx 2x2(xe x

14、) (xe x)x 、不成立;ax 1R;x).記 h(x) exx2 2 e x,貝U h'(x) ex 2x e,h''(x)ex+e x2 0.因此，h'(x)ex 2x e x在(0,)上單調遞增,且 h'(0) 0,所以h'(x)0,即 h(x)在(0,)上單調遞增，且h(0) 0,所以h(x) 0.因此g '(x)=(xex x)2h(x) 0 ,所以 g(x)在(0,)上單調遞增由洛必達法則有xxelim g(x) lim tx 0x 0 vaxxexe 1lim tx x 0 exxexlimxe 1 x 0x e2exx

15、 xex xe1-1 -g (x) 一，即有 g (x) 一，所以 a22sin x(2008)例：設函數(shù) f (x)-2 cosx1-,-.綜上所述,2a的取值范圍是,2.(i)求f(x)的單調區(qū)間；(n)如果對任何 x 2 0 ,都有f (x)<求a的取值范圍.(x)(2 cos x)cos x sin x( sin x)(2cosx)22cos x 12(2 cosx)當 2k：t當 2k：t2五32jt32ku2冗,2k 冗32k：t紅34兀3(kZ)時,Z)時,cosxcosx1 r ,即 f (x)21 一、2 ,即 f (x)0;因此f (x)在每一個區(qū)間2 7t3(k是增函數(shù),f (x)在每一個區(qū)間2ku2冗,2 k 冗34 冗/Ir 、(kZ )3是減函數(shù).(n)應用洛必達法則和導數(shù)sinxf(x) ros;ax若sin xx 0,則a R ；若 x 0 ,貝u 2 cosxax等價于sinxa g (x)x(2 cosx)即sin xx(2 cosx)g'(x)則2xcosx2sin x sin xcosx x2 "2x (2 cosx)h(x) 2xcosx 2sin xsin xcosx xh'(x) 2cosx 2xsinx2xsin xcos2x 12cosx cos2x2