抽屜原理基本介紹

1、基本介紹應(yīng)用抽屜原理解題抽屜原理的內(nèi)容簡明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用。許多有關(guān)存在 性的證明都可用它來解決。例1:同年出生的400人中至少有2個人的生日相同。解：將一年中的365天視為365個抽屜，400個人看作400個物體，由抽屜原理1可以得 知：至少有2人的生日相同.400/365=135,1+仁2 又如：我們從街上隨便找來 13人，就 可斷定他們中至少有兩個人屬相相同。從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套?！睆臄?shù)1 , 2, ., 10中任取6個數(shù)，其中至少有2個數(shù)為奇偶性不同?！崩? :幼兒園買來了不少白兔、熊貓、長頸鹿塑料玩具，每個小朋友任意選擇兩件，

2、那么不管怎樣挑選，在任意七個小朋友中總有兩個彼此選的玩具都相同，試說明道理解：從三種玩具中挑選兩件，搭配方式只能是下面六種：（兔、兔），（兔、熊貓），（兔、長頸鹿），（熊貓、熊貓），（熊貓、長頸鹿），（長頸鹿、長頸鹿）。把每種搭配方式看作一個 抽屜，把7個小朋友看作物體，那么根據(jù)原理1，至少有兩個物體要放進同一個抽屜里，也就是說，至少兩人挑選玩具采用同一搭配方式，選的玩具相同上面數(shù)例論證的似乎都是存在”、總有”、至少有”的問題，不錯，這正是抽屜原則的主要作用（需要說明的是，運用抽屜原則只是肯定了存在”、總有”、至少有”，卻不能確切地指出哪個抽屜里存在多少 抽屜原理雖然簡單，但應(yīng)用卻很廣泛，它可

3、以解答很多有趣的問題，其中有些問題還 具有相當(dāng)?shù)碾y度。下面我們來研究有關(guān)的一些問題。制造抽屜是運用原則的一大關(guān)鍵例1從2、4、6、30這15個偶數(shù)中，任取9個數(shù)，證明其中一定有兩個數(shù)之和是 34。分析與解答 我們用題目中的15個偶數(shù)制造8個抽屜：此抽屜特點：凡是抽屜中有兩個數(shù)的，都具有一個共同的特點：這兩個數(shù)的和是34?，F(xiàn)從題目中的15個偶數(shù)中任取9個數(shù)，由抽屜原理（因為抽屜只有 8個），必有兩個數(shù)可以在 同一個抽屜中（符合上述特點） 由制造的抽屜的特點，這兩個數(shù)的和是 34。例2 :從1、2、3、4、19、20這20個自然數(shù)中，至少任選幾個數(shù)，就可以保證其 中一定包括兩個數(shù)，它們的差是12。

4、分析與解答在這20個自然數(shù)中，差是12的有以下8對：20, 8, 19 , 7, 18, 6, 17, 5，16，4，15，3，14，2，13，1。另外還有4個不能配對的數(shù)9，10，11，12，共制成12個抽屜（每個括號看成一 個抽屜）只要有兩個數(shù)取自同一個抽屜，那么它們的差就等于12，根據(jù)抽屜原理至少任選13個數(shù)，即可辦到（取12個數(shù)：從12個抽屜中各取一個數(shù)（例如取1 , 2, 3 ,，12 ）,那么這12個數(shù)中任意兩個數(shù)的差必不等于12 ）例3 :從1到20這20個數(shù)中，任取11個數(shù)，必有兩個數(shù)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。分析與解答 根據(jù)題目所要求證的問題，應(yīng)考慮按照同一抽屜中，任意兩

5、數(shù)都具有倍數(shù) 關(guān)系的原則制造抽屜把這20個數(shù)按奇數(shù)及其倍數(shù)分成以下十組，看成10個抽屜（顯然，它們具有上述性質(zhì)）：1 , 2 , 4, 8 , 16 , 3 , 6 , 12 , 5 , 10 , 20 , 7 , 14 , 9 , 18 , 11, 13 , 15, 17, 19。從這10個數(shù)組的20個數(shù)中任取11個數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個數(shù)取自同一個抽屜 由于凡在同一抽屜中的兩個數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系，所以這兩個數(shù)中，其中一個數(shù)一定是另一個數(shù)的倍數(shù)。例4 :某校校慶，來了 n位校友，彼此認識的握手問候.請你證明無論什么情況，在這 n個校友中至少有兩人握手的次數(shù)一樣多。分析與解答 共有n位校友

6、，每個人握手的次數(shù)最少是0次，即這個人與其他校友都沒有握過手；最多有n-1次，即這個人與每位到會校友都握了手.然而，如果有一個校友握手的次數(shù)是0次，那么握手次數(shù)最多的不能多于n-2次；如果有一個校友握手的次數(shù)是n-1次，那么握手次數(shù)最少的不能少于1次.不管是前一種狀態(tài)0、1、2、n-2 ,還是后一種狀態(tài)1、2、3、n-1，握手次數(shù)都只有n-1種情況.把這n-1種情況看成n-1個抽屜，到會的n個校 友每人按照其握手的次數(shù)歸入相應(yīng)的抽屜”根據(jù)抽屜原理，至少有兩個人屬于同一抽屜，則這兩個人握手的次數(shù)一樣多。在有些問題中，抽屜”和 物體”不是很明顯的，需要精心制造 抽屜”和 物體”.如何制造抽屜”和物

7、體”可能是很困難的，一方面需要認真地分析題目中的條件和問題，另一方面需 要多做一些題積累經(jīng)驗。例5 : 15個網(wǎng)球分成數(shù)量不同的 4堆，數(shù)量最多的一堆至少有多少個球？分析與解答 此題實際是求出15可分拆多少種4個互不相同的整數(shù)之和，而 15=1+2+3+9=1+2+4+8=1+2+5+7=1+3+4+7=1+3+5+6=2+3+4+6，所以最多一堆的球數(shù)可能是9、& 7、6，其中至少有6個。整除問題把所有整數(shù)按照除以某個自然數(shù)m的余數(shù)分為m類，叫做m的剩余類或同余類，用0,1，m-1表示 海一個類含有無窮多個數(shù)，例如1中含有1 , m+1 ,2m+1 ,3m+1 ,.在研究與整除有關(guān)的

8、問題時，常用剩余類作為抽屜根據(jù)抽屜原理，可以證明：任意n+1個自然數(shù)中，總有兩個自然數(shù)的差是n的倍數(shù)。（證明：n+1個自然數(shù)被n整除余數(shù)至少有兩個相等（抽屜原理），不妨記為 m=a1*n+b n=a2*n+b ，則m-n整除n）。例1證明：任取8個自然數(shù)，必有兩個數(shù)的差是7的倍數(shù)。分析與解答 在與整除有關(guān)的問題中有這樣的性質(zhì)，如果兩個整數(shù)a、b ,它們除以自然數(shù)m的余數(shù)相同，那么它們的差 a-b是m的倍數(shù).根據(jù)這個性質(zhì)，本題只需證明這8個自然數(shù)中有2個自然數(shù)，它們除以7的余數(shù)相同我們可以把所有自然數(shù)按被7除所得的7種不同的余數(shù)0、1、2、3、4、5、6分成七類也就是7個抽屜.任取8個自然數(shù)，根

9、據(jù)抽屜原理，必有 兩個數(shù)在同一個抽屜中，也就是它們除以7的余數(shù)相同，因此這兩個數(shù)的差一定是7的倍數(shù)。例2 :對于任意的五個自然數(shù)，證明其中必有3個數(shù)的和能被3整除.證明任何數(shù)除以3所得余數(shù)只能是0 , 1, 2，不妨分別構(gòu)造為3個抽屜：0, 1, 2 若這五個自然數(shù)除以3后所得余數(shù)分別分布在這 3個抽屜中（即抽屜中分別為含有余數(shù)為0,1,2的數(shù)），我們從這三個抽屜中各取 1個（如15中取3,4,5），其和（3+4+5=12）必能被3整 除. 若這5個余數(shù)分布在其中的兩個抽屜中，則其中必有一個抽屜至少包含有3個余數(shù)（抽屜原理），即一個抽屜包含1個余數(shù)，另一個包含 4個，或者一個包含 2個余數(shù)另一

10、個抽屜包 含3個。從余數(shù)多的那個抽屜里選出三個余數(shù)，其代數(shù)和或為0,或為3，或為6，均為3的倍數(shù)，故所對應(yīng)的3個自然數(shù)之和是3的倍數(shù). 若這5個余數(shù)分布在其中的一個抽屜中，很顯然，從此抽屜中任意取出三個余數(shù)，同 情況，余數(shù)之和可被3整除，故其對應(yīng)的3個自然數(shù)之和能被3整除.例2':對于任意的11個整數(shù)，證明其中一定有 6個數(shù)，它們的和能被6整除.證明：設(shè)這11個整數(shù)為：a1 , a2, a3a11又6=2 X3先考慮被3整除的情形由例2知，在11個任意整數(shù)中，必存在：3|a1+a2+a3，不妨設(shè) a1+a2+a3=b1 ;同理，剩下的8個任意整數(shù)中，由例 2,必存在：3 | a4+a5

11、+a6.設(shè)a4+a5+a6=b2 ;同理，其余的5個任意整數(shù)中，有：3|a7+a8+a9，設(shè)：a7+a8+a9=b3再考慮bl、b2、b3被2整除.依據(jù)抽屜原理，bl、b2、b3這三個整數(shù)中，至少有兩個是同奇或同偶，這兩個同奇（或同偶）的整數(shù)之和必為偶數(shù) 不妨設(shè)2|b1+b2貝U: 6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6任意11個整數(shù)，其中必有6個數(shù)的和是6的倍數(shù).例3 :任意給定7個不同的自然數(shù)，求證其中必有兩個整數(shù)，其和或差是10的倍數(shù).分析：注意到這些數(shù)除以10的余數(shù)即個位數(shù)字，以0, 1，9為標(biāo)準(zhǔn)制造10個抽屜， 標(biāo)以0, 1,，9.若有兩數(shù)落入同一抽屜，其差是 1

12、0的倍數(shù)，只是僅有7個自然數(shù)，似 不便運用抽屜原則，再作調(diào)整： 6, 7, 8, 9四個抽屜分別與4, 3, 2, 1合并，則 可保證至少有一個抽屜里有兩個數(shù)，它們的和或差是10的倍數(shù).抽屜原理-表述抽屜原理的一種更一般的表述為：把多于kn+1個東西任意分放進 n個空抽屜（k是正整數(shù)），那么一定有一個抽屜中放 進了至少k+1個東西?！崩蒙鲜鲈砣菀鬃C明：任意7個整數(shù)中，至少有3個數(shù)的兩兩之差是3的倍數(shù)?！币驗槿我徽麛?shù)除以3時余數(shù)只有0、1、2三種可能，所以7個整數(shù)中至少有3個數(shù)除以3所得余數(shù)相 同，即它們兩兩之差是 3的倍數(shù)。如果問題所討論的對象有無限多個，抽屜原理還有另一種表述：把無限多個

13、東西任意分放進n個空抽屜（n是自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中放進了無限多個東西?！背閷显淼膬?nèi)容簡明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用。許多有關(guān)存在 性的證明都可用它來解決。面積問題例：九條直線中的每一條直線都將正方形分成面積比為2:3的梯形，證明：這九條直線中至少有三條經(jīng)過同一點證明：如圖，設(shè)直線 EF將正方形分成兩個梯形，作中位線 MN。由于這兩個梯形的高 相等， 故它們的面積之比等于中位線長的比，即|MH|:|NH| 。于是點H有確定的位置（它在正方形一對對邊中點的連線上，且|MH|:|NH|=2:3 ）.由幾何上的對稱性，這種點共有四個（即圖中的H、J、I、K）.已知的九條適合

14、條件的分割直線中的每一條必須經(jīng)過H、J、I、K這四點中的一點.把H、J、I、K看成四個抽屜，九條直線當(dāng)成 9個物體，即可得出必定有 3 條分割線經(jīng)過同一點應(yīng)該是（物體數(shù)-1）弓抽屜數(shù)+1染色問題例1正方體各面上涂上紅色或藍色的油漆（每面只涂一種色），證明正方體一定有三個面顏色相同證明：正方形有6個面 由最多（m-1）前+1得出（6-1）倒+仁2.5+1=3例2有5個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請你證明，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。分析與解答 首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種

15、配組情況，看作4個抽屜根據(jù)抽屜原理，至少有兩個小朋友摸出的 棋子的顏色在同一個抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。例3 :假設(shè)在一個平面上有任意六個點，無三點共線，每兩點用紅色或藍色的線段連起來，都連好后，問你能不能找到一個由這些線構(gòu)成的三角形，使三角形的三邊同色？解：首先可以從這六個點中任意選擇一點，然后把這一點到其他五點間連五條線段，如圖，在這五條線段中，至少有三條線段是同一種顏色，假定是紅色，現(xiàn)在我們再單獨來研究這三條紅色的線。 這三條線段的另一端或許是不同顏色，假設(shè)這三條線段（虛線）中其中一條是紅色的，那么這條紅色的線段和其他兩條紅色的線段便組成了我們所需要的同色三角 形，如果這三條線段都是藍色的，那么這三條線段也組成我們所需要的同色三角形。 因而無 論怎樣著色，在這六點之間的所有線段中至少能找到一個同色三角形。例3'（六人集會問題）證明在任意 6個人的集會上，或者有3個人以前彼此相識，或者有 三個人以前彼此不相識?！崩? ”： 17個科學(xué)家中每個人與其余 16個人通信，他們通信所討論的僅有三個問題，而任兩個科學(xué)家之間通信討論的是同一個問題。證明：至少有三