高等數(shù)學(xué) (上冊)

1、整理課件高等數(shù)學(xué) 重慶交通學(xué)院重慶交通學(xué)院 （ 上冊上冊 ）馮春馮春整理課件目 錄第一章 函數(shù) 與 極限第二章 導(dǎo)數(shù) 與 微分 第三章 中值定理 與 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第四章 不定積分第五章 定積分第六章 定積分的應(yīng)用整理課件一、極限 1、定義 Xn=f(n) axnnlim2、 xn |xn-a|0,E N0, st當(dāng)nN時,有|Xn-a|成立 則稱a是xn 當(dāng)n時的極限,記為 axnnlim 說明:(1)先確定,再找N (2)| xn a| 幾何意義: a-xn 0,要使| ,即 取N= so對0找到N= st當(dāng)nN時,| xn a|0,要使| |0) 1( 12nn）（即 -1 N= -1 11對

2、 0, st nN時, | xn a|0,要使 sin -0| nlimn12n即 sin ( )2 取N=( )2 11對 0, ( )2 st | sin -0|Nn12nif so. xn 收斂 否則:發(fā)散 1 證明 : sin =0整理課件1、極限的唯一性 2、極限的收斂性 (二)函數(shù)的極限 1.定義 (1) (x) xxo 0|x-xo|0 |x|xxlima.x+ xXb.x- -xX x-X(x)a, 0|(x)-a|0, x0,st當(dāng)|x|x時,有|(x)-a|0, st當(dāng)0|x-xo| 時,有|(x)-a|0,要使 =0,| -0|= 1 取 x = 1對 ,找到x= ,當(dāng)x

3、X時,有函數(shù)| -0|0,要使 =1, | -1|=,xlim12xx12xx +113x1|3x3整理課件取x= +1, 對 找到x= +1 33當(dāng)xX時,有函數(shù)| -1|=0要使| - 4 | = |x-2| 24xx取= 0|x-2|有|(x)-4|0要使|sinx-sinxo |=2|sin cos | 20 xx 20 xx 2|sin cos |2|sin | 20 xx 20 xx 20 xx 當(dāng) x 很 小 時,|sinx| |x|2|sin |2 | = |x-x0| 20 xx 20 xx 整理課件取 =,0|x-x0|有|sinx-sinxo |N N= nN -X: |

4、x|X X= |x|X - : 0|x-x0|x 2.證明極限的性質(zhì) (1)保號性-用于證明題 x ( , ) , (x)與極限值同號 0 x3. (x) 的存在性 左右極限存在并相等 0limxx當(dāng)xxo時,x ,極限 (x)= -(xo+0) 左極限0 x0limxx應(yīng)用-主要用于分段函數(shù) 分段點(diǎn)處求極限 整理課件設(shè) 討論 (x)的存在性 00 xx0limxx (x)= x2-1=-1 x0 但 x 0 0limx0limx (x)= x2+1=1 0limx0limx不能認(rèn)為x2+1=1 左右極限不相等 x0時函數(shù)極限不存在 設(shè)(x)= 1100123xxxxxx求 (x)及 (x)

5、0limx1limx (x)= x3=0 0limx0limx (x)= x=00limx0limx (x)=0 (x)= x=1 0limx1limx1limx (x)= x=01limx1limx(x)不存在 1limx 整理課件設(shè)(x)= 求 (x)000sinxxxx0limx此時不須要考慮左右極限 (x)= =10limx0limxxxsin4.無窮大與無窮小 (一) 無窮小: if lim (x)=0, so稱為當(dāng)xxo()時的無窮小 注意(1)區(qū)別極限為0的時候稱為無窮小很?。ǔ?shù)極限 0不是無窮小無窮小但可認(rèn)為0為無窮?。?2) =0, xlimx1x1是x時的無窮小 =1,

6、但 并不是無窮小 xlimx1x1天窮小一定針對極限過程 6整理課件(二)無窮大 if lim (x)= so (x)稱為xxo()時的無窮大 極限為無窮大的函數(shù)稱為無窮大 注意: = ,1limx11x 是x1時的無窮大 11x =-1 11x無窮大一定針對極限過程 (三) 無窮大與無窮小的關(guān)系 在同一極限過程中,無窮小和無窮大互為倒數(shù) (四)用- ,-X寫出無窮小(大)的定義 寫出 (x) = 0 0limxx對 0 0 ,st當(dāng)0|x- xo| 時 有| (x)-0|0 x0 ,st當(dāng)|x|X時,| (x)-x|0 x0 ,st當(dāng)|x|X時,| (x)-x|M M二.求極限方法 1.四則

7、運(yùn)算 設(shè)lim (x)=A lim g(x)=B lim(x)+ g(x)=lim (x)+- lim g(x) lim(x). g(x)= lim (x). lim g(x) lim = (其中B0) )()(xgxf)(lim)(limxgxf四則運(yùn)算需在極限存在的條件下 注意: sinx 當(dāng)x時, sinx xlimx1xlim = 分母不為分母不為0 3limx9322xx9lim3lim2323xxxx2.利用無窮小與無窮大的關(guān)系 例: = =0 3limx9322xx3limx9322xx9lim3lim2323xxxx 原式 = 3limx9322xx7整理課件3.無窮小乘以有界

8、函數(shù)仍然是無窮小 sinx=0 ( =0, |sinx| 1有界) nlimx1nlimx1 =0 ( =0, |arctgx|n時, (x)= 0 xlimxlim當(dāng)m0) axaxaxlnlnlim解:原式中:令x-a=t,即 221x整理課件 = = lntaattln)ln(lim0tat)11ln(lim0ataat11 = ataat11a1(x)= (x) 0limxx0limxxa1 (3) xln(x+1)-lnx = xlimxxxe.1log= loge(1+ )x xlimx1=1 (4) ( )x xlim21xx=xxx)2111(= = 2eee1二.極限存在準(zhǔn)則

9、-夾逼定理 設(shè)(x),g(x),h(x) if i)g(x)(x)h(x) ii)limg(x)=lim h(x)=A lim(x)=A 準(zhǔn)則(2)-單調(diào)有界數(shù)列必有極限(證明) 無窮小的比較 已知: lim=0,lim=0 求lim 整理課件(1) lim =0 稱是比高階的無窮小 (2) lim = 稱是比低階的無窮小 (3) lim =k 稱與同階無窮小 (k0,1) (4) lim =1 稱與等價無窮小 例:當(dāng)x0時,下列函數(shù)哪些是x的高階(2,3) ,同階(1,6), 等階(4,5) 1. x4+sin2x = 0limxxxx2sin42. 1-cos2x = = 2sinx xl

10、imxx2sin2xlim3. tg3x=tg2x. = tg2x=0 xtgx4. cos (1-x) 2212sin2)22cos(2xxxx5. xe2x lim e2x=1 6. cscx-ctgx 21.2cos.2sin22sin2.sincos122xxxxxxx等價無窮小的應(yīng)用 在求極限中進(jìn)行等價無窮小替換,簡化計算 整理課件替換公式:已知lim=lim=lim=lim=0 求lim = lim 注意: (1) lim () )( ).()().(lim)().()().(xDxCxBxAxDxCxBxA lim () )()(lim)()(xBxAxBxA即在乘積因式替換,不

11、能在和差的某一部分替換 (2) 記住常用等價無窮小 當(dāng)x0時, sinxx, arcsinxx, tgxx, ln(1+x)x, 1-cosx ,ex-1x 221x1sinlimarcsinlimsinuuxxxuxx令例：利用等價無窮小替換計算下列極限 （1） 52525sin2lim0 xxxxtgx（2） 92)3()2(213sin2cos1lim2220 xxxxx整理課件（3） 21)01 (2)01 ( 1)sin(cossin2)2sin2(cos2sin2sin22sin2sin2sin2cos2sin1cossin1lim220 xxxxxxxxxxxxxxx9 一、函數(shù)

12、的連續(xù) 1. f(x)在x點(diǎn)處連續(xù)的定義： If 處是連續(xù)的）在（稱）（）（）（極限存在）在（）（有定義在00000lim32)() 1 (xxfxfxfxxfxxfxx2函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)即f（x）在（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，任取一點(diǎn)x驗(yàn)證3f（x）在a，b內(nèi)連續(xù) a，b=（a，b）+ bxaxx = a 右連續(xù) ）（）（）（）存在（）（有定義afxfxfafaxaxlim3lim2)() 1 (同理 x=b有左連續(xù) 整理課件例：證明y=sin x在（- ）內(nèi)處處連續(xù) ,證明：任取x sin x在x 有定義 00) , (0sinsinlim0 xxxx處連續(xù)在0)(xxf又 的

13、任意性0 x）內(nèi)處處連續(xù)，）在（xf例：證明有理整函數(shù) 內(nèi)處處連續(xù)在）（),(.110nnnnaxaxaxp證明：任取 ),(0 x有意義在0)(xxpnnnnnaaxaxP.)(10000)()(lim00 xpxpnnxx處連續(xù)在0)(xxpn例：討論下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的連續(xù)性 （1）f（x） 22) 1(1xx00 xx證明： 1)0(1)(lim)3(1)1(lim11lim)(lim)2(110)0()1 (0202002fxfxxxffxxxxx連續(xù) 整理課件（2）f（x）= 0 xxx證明：f（x）=0101xx0 x無意義為間斷函數(shù)二、間斷點(diǎn)的判定以及分類 1定義： 對x 函數(shù)

14、的三個連續(xù)條件中至少有一個不滿足，則x 為函數(shù)的間斷點(diǎn)。 002分類： 例：（1） f（x）= ；x=0 010001xxx為間斷點(diǎn)左右極限存在但不相等0 x余間斷點(diǎn)除第一類間斷點(diǎn)外的其第二類間斷點(diǎn)點(diǎn)左右極限都存在的間斷第一類間斷點(diǎn)（2）f（x）= ; x = 0 0102xxxx左 右 存在但不相等0lim0 x1lim0 x整理課件x=0為第一類間斷點(diǎn)（跳躍間斷點(diǎn)） （3）f（x）= x=0 x1無意義)0(f又 xx1lim0第二類： 振蕩間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)（4）f（x）= tan x x = 2x tan x 2第二類的無窮間斷點(diǎn)2 x（5）f（x）=sin 01xxx 時 極限不存在

15、函數(shù)無限接近2個常數(shù) 0據(jù)其特性稱為振蕩間斷點(diǎn) （6）f（x）= x = 1 1211xxxi) f（1）= 21ii) x 1lim)(11xxfxiii）f（1）= 1lim211xx極限值與函數(shù)值不等為間斷函數(shù)（第一類）整理課件如果改變 f（x）= 則為連續(xù)函數(shù) 1lim1xx這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn)（只需重新定義函數(shù)值）極限存在的間斷點(diǎn) ，能重新定義改變函數(shù)值使其等于極限值 (7) f（x）= 121sinxxxxf（1）=2 1sinsinlim1xxxf（x） )(lim1xfx為間斷函數(shù)重新定義f（x）= 1sinlim1）（xfx為可去間斷點(diǎn)1x100sin0sin(8) 定義

16、，使得 在 處 xxxf1sin)(0 x0)(lim0 xfx（無窮小有界函數(shù)=無窮小 ）練習(xí)： 整理課件判定下列函數(shù)在指定間斷點(diǎn)處的類型 （1） ， 第一類（可去） 11)(2xxxf1x（2） ， 第二類（無窮） 312)(xxf3x（3） ，21)(2xxxxf1x31)(xf（4） , 第一類（跳躍） 第一類（可去）xxxf|)(0 x10一、運(yùn)算 1、四則運(yùn)算： 間斷連續(xù)=間斷 連續(xù)連續(xù)=連續(xù) 間斷間斷=不一定間斷 2、復(fù)合運(yùn)算： ， 兩連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù))(ufy )(xu（用于求極限）例：（1） exxxxxxcos)1 (limcos)1cos(lim1010整理課件（2

17、） 1ln)1ln(lim)1ln(lim100exxxxxx（3） xexx1lim011ln1lim1ln011tOtxttttte令 即 時， 0 x1xex二、初等函數(shù)的連續(xù)性 1、結(jié)論初等函數(shù)在其定義區(qū)間連續(xù) 2、應(yīng)用：（1）求極限)()(lim00 xfxfxx（前提為 時） Dx例：（i） 21)1 (limcos2xxex（ii） 2111sincoslim0 xxxx（2）求連續(xù)區(qū)間 為初等函數(shù)，求其定義區(qū)間 為分段函數(shù)，要討論分段點(diǎn) 整理課件例：（i） 的連續(xù)區(qū)間， 6566)(223xxxxxxf并求 ， ，和 )(lim0 xfx)(lim1xfx)(lim6xfx解：

18、連續(xù)區(qū)間D= ), 1 (1 , 66,1)0()(lim0fxfx（ 在D內(nèi)） 0 x2) 1)(6() 1)(1)(6()(lim1xxxxxxxfx51)(lim6xxfx 重新定義 ， 可變?yōu)檫B續(xù)函數(shù) 2) 1 (f5)6(f（ii） 0001sinsin)(xxxxxf解：當(dāng) 時，D= ), 0()0 ,(f（0）=0 0)(lim0 xfx0 x1)2)整理課件0)(lim0 xfx函數(shù)為連續(xù)函數(shù)。 11 一、性質(zhì) 1. 最大最小值 2. 有界性 3. 介值定理 在 上連續(xù)， ， )(xfba,)(afA )(bfB 對介于A，B之間的任一個數(shù)C， 至少存在一點(diǎn) ，使得： ba,baf,)(二、點(diǎn)定理 1、函數(shù) ，方程 )(xf0)(xf對方程而言， 為方程根 .21,xx3)整理課件對函數(shù)而言， 為函數(shù)的零點(diǎn)。 21,xx2、條件：（1） 在 上連續(xù) )(xfba,（2） 異號（ 0 ） )(),(bfaf)()(bfaf至少 一點(diǎn) ，使得 ，0)(f（即 是函數(shù)的零點(diǎn)） 3、應(yīng)用證明方程根的問題 例1：求證方程 至少有一