小學(xué)奧數(shù)-幾何五大模型(相似模型)

1、任意四邊形、梯形與相似模型29 / 18模型四相似三角形模型（一）金字塔模型丁 AD AE DE AF一 一 一 一AB AC BC AGD S*A ADE ： SA ABCAF2: AG2。所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形（只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似），與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半。相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互

2、轉(zhuǎn)化的工具。在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形。【例1】 如圖，已知在平行四邊形 ABCD中，AB 16, AD 10, BE 4,那么FC的長 度是多少？【解析】圖中有一個沙漏，也有金字塔，但我們用沙漏就能解決問題，因?yàn)锳B平行于CD,8.所以 BF:FC BE:CD 4:16 1:4,所以 FC 10【例2】如圖，測量小玻璃管口徑的量具 ABC, AB的長為15厘米，AC被分為60等份。 如果小玻璃管口 DE正好對著量具上20等份處（DE平行AB ）,那么小玻璃管口徑 DE是多大？【解析】有一個金字塔模型，所以DE:AB DC: AC , DE:15 40:60

3、 ,所以DE 10厘米。【例3】如圖，DE平行BC,若AD:DB 2:3，那么SxADE : SA ECB 根據(jù)金字塔2_2Sa ade : Sa abc2 : 5設(shè)SAADE4份模型 AD : AB 4:25,則 SA abc 25 份AE : AC DE : BC 2: (2 3) 2:5Sa bec25 5 3 15 份，所S ADE : SAECB【例4】如圖， 4ABC中，DE, FG , BC互相平行，AD DF FB , 則 SAADE : S3邊形 DEGF : S3邊形 FGCB o【解析】設(shè)$4 ADE 1份，根據(jù)面積比等于相似比的平方，所以 Saade:Sa afg AD

4、:AF2 1:4, SA ade : Sa ABC AD2: AB2 1:9,因此SA AFG 4 份，SA ABC9 份，進(jìn)而有Sg邊形 DEGF3份，S四邊形 FGCB5份，所以SaADE : S四邊形 DEGF : S四邊形 FGCB1:3:5【鞏固】如圖， DE平行BC,且AD 2, AB 5, AE 4 ,求AC的長?！窘馕觥?由金字塔*II型得 AD: AB AE:AC DE: BC 2:5 ,所以AC 4 2 5 10如圖，ABC中，DE , FG , MN , PQ , BC互相平行,AD DFFM MP PB ,貝U SAADE ： S3邊形 DEGF ： S3邊形 FGNM

5、 ： S3邊形 MNQP ： S3邊形 PQCB【解析】設(shè)Sade1份，Saade：SaafgAD2：AF21:4,因此Safg4份，進(jìn)而有S四邊形DEGF3份,同理有S四邊形FGNM5份,&邊形 MNQP 7份,Sa邊形 PQCB 9 份.所以有Sa ADE : Sa邊形 DEGF : S邊形 FGNM:S3邊形 MNQP : S3邊形 PQCB1:3: 5:7:9【總結(jié)】 數(shù)列。繼續(xù)拓展，我們得到一個規(guī)律： 平行線等分線段后,所分出來的圖形的面積成等差【例5】 已知 ABC中,DE平行BC ,若AD : DB 2:3 ,且S弟形dbce比S.de大8.5 cm2 , 求 SA AB

6、C 0【解析】根 據(jù) 金字塔模型 AD : AB DE : BC 2: (2 3) 2:5,2_2Sa ade : Sa abc2 :54:25 ,設(shè)SaADE 4份，則SaABC 25份， 2 SW形 DBCE25 4 21份，S弟形dbce比SAade大17份，恰好是8.5 cm ,所以SA ABC一 _212.5 cm例6如圖：MN 平彳B BC ,SA MPN : SA BCP4:9 , AM 4 cm ,求BM的長度【解析】BM 6【例7】例8在沙漏模型中，因?yàn)锳M : AB4 2 cmMN : BCSAMPN : S BCP2:3 ,因?yàn)锽C, BO:EO如圖，已知DE平行由沙漏模

7、型得BO:EOAD: AB DE: BC 2:3如圖， ABC中，AE4:9AM，所以MN : BC 2:3 ,在金字塔模型中有：4 cm , AB 4 2 3 6 cm，所以3: 2 ,那么 AD: ABBC:DE 3:2 ,再由金字塔模型得【解析】ED與BC平行,4根據(jù)相似模型可知平方厘米。那么 AED的面積是1AD -AC , ED與BC平行， EOD的面積是 1 4平方厘米。4ED: BC 1:4, EO:OC 1:4則S CDE 4 1 5平方厘米,又因?yàn)?S AED : S CDE AD : DC1:3 ,所以 S AEDS COD 4S EOD 4平方厘米,15.、3 9平萬厘米

8、）.在圖中的正方形中, 積的幾倍？A, B,C分別是所在邊的中點(diǎn)，VCDO的面積是VABO面【解析】 連接BC ,易知OA / EF ,根據(jù)相似三角形性質(zhì)，可知 OB:OD AE: AD ,且OA:BE DA:DE 1:2 , 所以 VCDO 的面積等于 VCBO的面積；由 11OA -BE AC 可得 CO 3OA,所以 Svcdo Svcbo 3Svabo ,即 VCDO 的面積是 24VABO面積的3倍。【例9】 如圖，線段 AB與BC垂直，已知AD EC 4, BD BE 6,那么圖中陰影部分 面積是多少？不妨連接這個圖形的對稱軸【解析】 解法一：這個圖是個對稱圖形， 且各邊長度已經(jīng)給

9、出， 看看.SVCEO ,SVDBOSVEBO , 且作輔助線BO ,則圖形關(guān)于BO對稱，有SvadoSVADO : SVDBO4:6 2:3 ,設(shè)VADO的面積為2份，則VDBO的面積為3份，直角三角形 ABE的面積為8份. 因?yàn)镾vabe 6 10 2 30 ,而陰影部分的面積為4份，所以陰影部分的面積為30 8 4 15.解法二：連接 DE、AC ,由于 AD EC 4, BD BE 6,所以DE / AC ,根 據(jù)相似三角形性質(zhì)，可知DE: AC BD:BA 6:10 3:5,根據(jù)梯形蝴蝶定理，SvDOE : SvDOA : S/COE : ScOA 32 : 3 5 : 3 5 :5

10、2 9:15:15:25,所以S陰影: S弟形ADEC1 -又S梯形ADEC102. 一 .一 .一 rr1515 15:9 15 15 2515: 32 ,即 隨影S弟形 ADEC ；32一 115一10 - 6 6=32 ,所以 S陰影 一S梯形adec 15 .232【例10】（2008年第二屆兩岸四地”華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請賽）如圖，四邊形ABCD和EFGH都是平行四邊形，四邊形 ABCD的面積是16, BG: GC 3:1,則 四邊形EFGH的面積 【解析】因?yàn)镕GHE為平行四邊形，所以 EC/AG ,所以AGCE為平行四邊形.1-1BG: GC 3:1 ,那 A GC: BC

11、 1:4,所以 Syagce Syabcd 16 4 .44又AE GC,所以AE:BG GC : BG 1:3 ,根據(jù)沙漏模型，3 -3FG : AF BG: AE 3:1 ,所以 Syfghe Syagce 4 3 .4 42:1,E是BD的中點(diǎn)，且EF/BC,【例11】 已知三角形 ABC的面積為a, AF : FC 交CD于G ,求陰影部分的面積.【解析】已知AF: FC 2:1 ,且EFBC ,利用相似三角形性質(zhì)可知2EF :BC AF : AC 2:3 ,所以 EF BC ,且 Svaef : Svabc 4:9.31 又因?yàn)镋是BD的中點(diǎn)，所以 EG是三角形 DBC的中位線，那么

12、EG - BC ,21 2 一一，r -EG:EF -:- 3:4,所以 GF:EF 1:4,可得 Scfg : Svafe 1:8 ,所以2 3aSVCFG : SVABC 1:18，那么 SvCFG .18【例12】已知正方形 ABCD ,過C的直線分別交 AB、AD的延長線于點(diǎn) E、F,且AE 10cm, AF 15 cm,求正方形 ABCD的邊長.【解析】方法一：本題有兩個金字塔模型，根據(jù)這兩個模型有BC: AF CE: EF ,BC DC CE CFDC: AE CF :EF ,設(shè)正方形的邊長為 x cm,所以有 1,AF AE EF EF即_x _x 1 ,解得x 6 ,所以正方形

13、的邊長為 6 cm .15 10方法二：或根據(jù)一個金字塔列方程即A 竺，解得x 6101580毫AB、【例13 如圖，三角形 ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC 120毫米，高AD米，要把它加工成正方形零件， 使正方形的一邊在 BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在 AC上，這個正方形零件的邊長是多少？【鞏固】【解析】用與已知邊有關(guān)系的兩個金字塔模型，所以有PNBCx120AP AB x 80PH BP,設(shè)正方形的邊長為 x毫米，PNAD ABBC1 ,解得x 48,即正方形的邊長為 48毫米.如圖,在 ABC中，有長方形 DEFG , G、F在BC上,PHADAP BPAB ABE分別在AB、AC上，A

14、H是4ABC 邊BC的高，交DE于M , AH 8厘米，求長方形的長和寬.DG: DE 1:2, BC 12 厘米,觀察圖中有金字塔模型5個，用與已知邊有DE ADBC AB2x所以有91224,24厘米.7DG BDDE,所以有AHx8ABBC24 ,2xDGAH487ADAB關(guān)系的兩個金字塔模型，所以BD .一1 ,設(shè) DG x ,貝U DE 2x , AB 48 一，因此長方形的長和寬分別是半 厘米,【例14】圖中ABCD是邊長為12cm的正方形，從G到正方形頂點(diǎn)C、D連成一個三角形，已知這個三角形在 AB上截得的EF長度為4cm,那么三角形GDC的面積是多 少？GG【解析】根據(jù)題中條件

15、，可以直接判斷出EF與DC平行，從而三角形GEF與三角形GDC相 似，這樣，就可以采用相似三角形性質(zhì)來解決問題.做GM垂直DC于M ,交AB于N .因?yàn)镋F / DC ,所以三角形GEF與三角形GDC相似，且相似比為EF:DC 4:12 1:3,所以 GN: GM 1:3 ,又因?yàn)?MN GM GN 12,所以 GM 18 cm ,所以三角形GDC的面積為 12 18 108 cm30 2【例15 如圖，將一個邊長為2的正方形兩邊長分別延長 1和3,割出圖中的陰影部分, 求陰影部分的面積是多少？【解析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例有:NF 3 EM 1；Sb1 2 2 32 3 1 2【例16

16、】(2008 年 101中學(xué)考題）圖中的大小正方形的邊長均為整數(shù)（厘米），它們的面積之和等于52平方厘米，則陰影部分的面積是【解析】設(shè)大、小正方形的邊長分別為22m 8.右 m 5,則 m nm厘米、n厘米（m n ）,則m2 n2 52 ,所以 52 2 50 52 ,不合題意，所以m只能為6或7.檢驗(yàn)可知只有m 6、n 4滿足題意，所以大、小正方形的邊長分別為6厘米和4厘米.根據(jù)相似三角形性質(zhì)，BG:GF AB:FE 6:4 3: 2 ,而BG GF 6,得一 , ,1一、一，BG 3.6（厘米），所以陰影部分的面積為：-6 3.6 10.8（平方厘米）.2【例17如圖，O是矩形一條對角線

17、的中點(diǎn)，圖中已經(jīng)標(biāo)出兩個三角形的面積為 3和4,那么陰影部分的一塊直角三角形的面積是多少？【解析】連接OB ,面積為4的三角形占了矩形面積的，所以Soeb 4 3 1，所以 4OE：EA 1:3所以CE:CA 5:8 ,由三角形相似可得陰影部分面積為8 （-）2 ”.88【例18】已知長方形 ABCD的面積為70厘米，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G是BC邊上的三等分點(diǎn)，求陰影 EHO的面積是多少厘米？【解析】因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G是BC邊上的三等分點(diǎn)，由此可以說明如果把長方形 的長分成6份的話，那么ED AD 3份、BF FG GC 2份，大家能在圖形中找到沙漏 AEOD和ABOG ：有ED： B

18、G = 3 ：4,所以O(shè)D ： BO 3： 4 ,相當(dāng)于把BD分成（3 4）7份，同理也可以在圖中在次找到沙漏： 4EHD和4BHF也是沙漏， ED： BF 3 ：2,由此可以推出： HD ： BH 3： 2,相當(dāng)于把 BD分成（3 2）5份，那么我們就可以把 BD分成35份（5和7的最小公倍數(shù)）其中OD占15份，BH占1435份，HO占6份，連接EB則可知 ABED的面積為70 4 35 ,在BD為底的二角形中HO占6份，則面積為：35 3（平方厘米）.235【例19】ABCD是平行四邊形，面積為 72平方厘米，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為 平方厘米.【解析】方法一：

19、注意引導(dǎo)學(xué)生利用三角形的中位線定理以及平行線的相關(guān)性質(zhì). 設(shè)G、H分別為AD、DC的中點(diǎn)，連接 GH、EF、BD .1 cGH平均分成四段，又OM / EF ,所以O(shè)E :ED ED OD :ED 3 2 :3 1:3,1 1-72 6 （平萬厘米） , SVADO 2 SVAEO 12 （平3 4SVCDM 12平方厘米.AEDD平行四邊形ABCD，4對角線DO : ED所以SvBD 被 EF 、BD: BD41AEO 3方厘米）.同理可得SVCFMAC、41s-S平行四邊形ABCD46平方厘米所以 Svabc SVAEO SVCFM 36 6 6 24 （平方厘米）， 于是，陰影部分的面積

20、為 24 12 12 48（平方厘米）.方法二：尋找圖中的沙漏，AE:CD AO:OC 1:2, FC : AD CM : AM 1:2,1 -1因此O,M為AC的二等分點(diǎn)，SAodm S平行四邊形abcd 72 12 （平萬厘米），66一 1 一 1SA AEOSAOCD -12 2 6 （平方厘米），同理& fmc 6（平方厘米），所以44隨影72 12 6 6 48（平方厘米）.【例20如圖，三角形PDM的面積是8平方厘米，長方形 ABCD的長是6厘米，寬是4厘米，M是BC的中點(diǎn)，則三角形 APD的面積是平方厘米.【解析】 本題在矩形內(nèi)連接三點(diǎn)構(gòu)成一個三角形，而且其中一點(diǎn)是矩形某

21、一條邊的中點(diǎn)，一般需要通過這一點(diǎn)做垂線.B AD的中點(diǎn)N ,連接MN ,設(shè)MN交PD于K .則三角形PDM被分成兩個三角形，而且這兩個三角形有公共的底邊MK ,可知三1 8. 一角形PDM的面積等于 -MK BC 8（平萬厘米）,所以MK=-（厘米），那么2 38 4 -NK 4 - -（厘米）.3 3因?yàn)镹K是三角形APD的中位線，所以AP 2 NK ，（厘米），所以三角形APD的1 8面積為 一 一 6 8（平萬厘米）. 2 3【例21 如圖，長方形 ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，AF與BE、BD分別交于G、H , OE 垂直 AD 于 E ,交 AF 于 O ,已知 AH 5 cm, HF

22、 3 cm ,求 AG .【解析】由于AB / DF ,利用相似三角形性質(zhì)可以得到AB: DF AH : HF又因?yàn)镋為AD中點(diǎn)，那么有 OE:FD 1:2,3所以 AB:OE 5: - 10:3, 利用相似二角形性質(zhì)2AG:GO AB:OE 10:3, 一一11一1040而 AO AF5 34 cm ,所以AG4cm .2213135:3 ,可以得到【例22】右圖中正方形的面積為1, E、F分別為AB、BD的中點(diǎn),陰影部分的面積.題中條件給出的都是比例關(guān)系,由此可以初步推斷陰影部分的面積要通過比例求解，而圖中出現(xiàn)最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性質(zhì).陰影部分為三角形，已知

23、底邊為正方形邊長的一半，只要求出高，便可求出面積.可以作FH垂直BC于H , GI垂直BC于I .根據(jù)相似三角形性質(zhì)，CI【例23】CI :CB 1:6,即 BI : BC6 1 :6 5: 6 ,所以 Svbge12, AB 2CD , E 為 AC 的中點(diǎn),梯形ABCD的面積為于F ,四邊形CDFE的面積是【解析】由于E為AC的中點(diǎn)，根據(jù)相似三角形性質(zhì),再根據(jù)相似J 52 6 24BE的延長線與AD交1CG AB 2CD , GD - GC 2角形性質(zhì)，AF :FDAB: DG 2:1 , GF :GB 1:3 ,而:CH CG:CF 1:3 ,又因?yàn)?CH HB ,所以Sabd：Sbcd

24、 AB ：CD 2:1,所以S bcd一 Sabcd31一 1234 , S GBC 2S BCD 8 .S GDFS GBC1，S EBC6S GBC ,所以 SDDFE1-22118-S GBC S GBC633【例24如圖,三角形ABC的面積為60平方厘米,E、F分別為各邊的中點(diǎn),那么陰影部分的面積是平方厘米.【解析】陰影部分是一個不規(guī)則的四邊形，不方便直接求面積，可以將其轉(zhuǎn)化為兩個三角形的面積之差.而從圖中來看，既可以轉(zhuǎn)化為BEF與EMN的面積之差，又可以轉(zhuǎn)化為BCM與CFN的面積之差.（法1）如圖,連接DE .由于D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)，那么BDEF為平行四邊形，且面積為三角形A

25、BC面積的一半，即30平方厘米；那么 BEF的面積為平行四邊形 BDEF面積的 一半，為15平方厘米.根據(jù)幾何五大模型中的相似模型，由于DE為三角形ABC的中位線，長度為BC的1一半，則 EM:BM DE : BC 1:2,所以 EM EB ;31 EN :FN DE :FC 1:1,所以 EN EF .2_ ,111那么 EMN的面積占 BEF面積的-，所以陰影部分面積為2 3 6， 1一 一一，15 1 - 12.5 （平萬厘米）.（法2）如圖，連接AM .根據(jù)燕尾定理，S ABM :S bcm AE:EC 1:1, Sacm：Sbcm AD : DB 1:1,1 1所以S BCO - S

26、 ABC -60 20平方厘米， 33一一1 一11一而S BDC- S ABC-6030平方厘米，所以 S FCN-S BDC7.5平方厘米，2 24那么陰影部分面積為 20 7.5 12.5（平方厘米）.【總結(jié)】求三角形的面積，一般有三種方法:利用面積公式：底 高2;利用整體減去部分；利用比例和模型.【例25】如圖，ABCD是直角梯形，AB4,AD 5,DE 3,那么梯形 ABCD的面積是多【解析】 延長EO交AB于F點(diǎn)，分別計(jì)算 AOD,AOBADOCQBOC的面積，再求和.DE：BF DO ：OB 3：1 SA AOD ' SA AOB 3 . 1 ； SA DOC SA BO

27、C 3 , 1 Sa AOD SA BOC1 一一又 SA abd4 5 102 SA AOD3SSAABD47.5 , SAAOB2.5, SABOC7.5,SAdoc3SABOC 3 7.5 22.5S 梯形 abcd 7.5 2.5 7.5 22.5 40那么圖中陰影三角形的面積【例26】邊長為8厘米和12厘米的兩個正方形并放在一起,是多少平方厘米？大正方形為 ABCD ,小正方形為 MNDE , EBAH：BC AO：OC 3 ：5給圖形標(biāo)注字母，按順時針方向標(biāo)注, 分別交AC, AD于O,H兩點(diǎn)， AO：OC AB： EC 12 ： 20 3 ：5 ,【例2例 .AO： AC 3 ：

28、8,AH：AD 3 ：5,SAAHO , SA ADC9 , 40, SA ADCSA AHO1 1222aSSA ADC407272 16.240如右圖，長方形ABCD 中，EF 16, FG 9,求 AG 的長.DABE ,根據(jù)相似三角形性質(zhì)知【解析】因?yàn)镈A /DGGBAGGE【例28】又因?yàn)镈FAG 所以AGGEGA，即DG GBAG2FGGAGE FG 252225 15 ,所以 AG 15.（第21屆迎春杯試題）如圖，已知正方形E是DC邊上的點(diǎn)，且DE:EC1:3 , AFABCD的邊長為4, F是BC邊的中點(diǎn), 與BE相交于點(diǎn)G ,求 SAABG【解析】方法一：連接 AE ,延長

29、AF ,AB:CM BF : FC 1:1 ,因此DC兩條線交于點(diǎn) M根據(jù)題意有,構(gòu)造出兩個沙漏，所以有CE 3 ,再根據(jù)另一個沙漏【例29】有 GB:GE AB:EM4:7 ,所以 Saabg方法Sa AEF接 AE,EF3 2 2 4S»A ABE411求據(jù)(4 42)SA ABF : S AEFBG :GE4:7,所以Sa ABGSa ABE4 7Sa ABF蝴-(4 114 2)32.112 4定絲11F是AB、AD的中點(diǎn),如圖所示,BF交EC于M ,求 BMG的面積.已知平行四邊形 ABCD的面積是1 , E、CAD的中點(diǎn)，得EF / /BD ,而FD:BC FH : HC

30、 1:2,EB:CD BG:GD 1:2 所以 CH:CF GH : EF 2:3, 并得G、H是BD的三等分點(diǎn)，所以 BG GH ,所以BG:EF BM:MF 2:3,2所以BM BF ,S BFD5一一. 1,又因?yàn)锽G -BD ,所以3-SABDBMG-Sy ABCDBFD130BM :MFBM 2BF 5可得S bmg【例30】（清華附中入學(xué)試題）正方形ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，四邊形BGHF的面積是平方厘米.【解析】欲求四邊形BGHF的面積須求出EBG和CHF的面積.解法二:延長CE交DA于I ,如右圖，可得，AI : BC AE:EB 1:1,

31、從而可以確定 M的點(diǎn)的位置，BC: IF 2:3,1 ，、一,BG 、BD （鳥頭定理），2 1c2 11c 1S BDFSyabcd5 35 3 4301由題息可信到： EG : GC EB : CD 1:2,所以可信：S ebg Sbce3將AB、DF延長交于M點(diǎn)，可得：BM : DC MF : FD BF : FC 1:1 ,一1一 2而 EH:HC EM :CD (AB AB) :CD 3: 2 ,得 CH -CE ,25121S BCE S BCE255一 1而 CF BC ,所以 S chf2一 1 1-1SbceAB BC 120 302 24【例31】【解析】11SI邊形 BGHFS EBC S EBC S EBC35本題也可以用蝴蝶定理來做，連接 能解出.已知 SA ABC 14AD 2,BDIs15EF ,，點(diǎn)5,AF FC , Sg邊形DBEF ABC的面積已知，若知道 ABE的面積.連接CD .EBC 30 14 .15確定H的位置（也就是FH : HD ）,同樣也D,E,F 分別在 AB, BC,CA上,且SAABE 則SA ABE 是多少？ ABE的面積占 ABC的幾分之幾就可以計(jì)算出S四邊形 DBEFSA ABE, SA DEF SA ADE. AC與DE平行, SA ADE SA CDE SA ABESACDB【例32】AD 2,