數(shù)學研究生課程設置統(tǒng)計分析

1、數(shù)學研究生課程設置統(tǒng)計分析課程設置既是研究生進行課程學習的知識載體，學生科研創(chuàng)新能力培養(yǎng)中基本知識和基本方法的傳承和發(fā)展，也直接制約著培養(yǎng)目標的實現(xiàn)。課程設置還是學科點自主實現(xiàn)學科持續(xù)發(fā)展的主體作用的體現(xiàn)，關注研究生課程設置與建設是當前的熱點話題之一。 2014年 12月教育部公布了關于改進和增強研究生課程建設的意見 1，要求“把培養(yǎng)目標和學位要求作為課程體系設計的根本依據(jù)。完整貫徹本學科研究生培養(yǎng)目標和學位要求，重視課程體系的系統(tǒng)設計和整體優(yōu)化。堅持以能力培養(yǎng)為核心、以創(chuàng)新能力培養(yǎng)為重點，拓寬知識基礎 ”。2015 年 1 月 27 日，李克強總理在與科教文衛(wèi)體的代表座談時談到“剛才為什么我

2、要問純數(shù)學？我們要搞原始創(chuàng)新，就必須更加重視基礎研究，沒有扎實的基礎研究，就不可能有原始創(chuàng)新”2。與一般研究研究生公共數(shù)學 3 或者數(shù)學二級學科4 的課程體系不同，本文主要關注數(shù)學學科本身的課程設置問題。通過調研我國 19 個大學數(shù)學一級學科下，各個培養(yǎng)單位自主設置基礎數(shù)學、應用數(shù)學、計算數(shù)學、概率論與數(shù)理統(tǒng)計和運籌學與控制論共五個二級學科下開設專業(yè)課程的現(xiàn)狀，進行可視化統(tǒng)計分析。把各個高校開設的共性課程與哈佛大學、加州大學伯克利分校的數(shù)學課程進行對比分析。課程統(tǒng)計分析結果可以為數(shù)學學科碩士研究生培養(yǎng)方案修（制）訂提供參考，也可供理工類學科選修數(shù)學課程參考。一、數(shù)學學科課程開設頻數(shù)可視化分析課

3、程數(shù)據(jù)來自于19個高等學校：北京大學（PKU ,北京工業(yè)大學 （PKU ,北京航空航天大學（BAUU ,北京交通大學（BJTU ,北京 科技大學（USTB ,復旦大學（FDU ,哈爾濱工業(yè)大學（HIT）,華 東理工大學（ECUST ,武漢理工大學（WUT ,上海交通大學（SJTU ,西安交通大學（XJTU ,蘭外I大學（LZUJ）,武漢大學 （WHU,吉林大學（JLU）,南京大學（NJU ,四JI大學（SCU , 南開大學（NKU ,浙江大學（ZJU）,山東大學（SDU。括號中的學 校簡稱用于課程設置信息可視化圖形繪制（如圖 1）。所選的 19所高校中包括北京大學等國家重點學科院校8 個。因為

4、本次統(tǒng)計分析主要面向綜合類或者理工類院校，所以沒有納入師范類院校。根據(jù)各個學校公開的培養(yǎng)方案中的選修課和必修課進行統(tǒng)計，把課程名稱非常接近的課程合并為同一個課程名稱 , 比如“代數(shù)幾何初步”并入“代數(shù)幾何”，“算法分析與設計”并入“算法設計與分析”，“現(xiàn)代分析基礎”并入“現(xiàn)代分析引論”，“小波分析及應用”并入“小波分析”，“有限元的數(shù)學理論”并入“有限元方法”，“隨機信號處理”并入“隨機信號分析”，“最優(yōu)化計算方法”并入“最優(yōu)化理論與算法”，“矩陣分析”并入“矩陣分析與計算”等。在合并之后，這 19 所高校的開設課程之和多達664 門，采用信息可視化軟件Gephi, 繪制出這 19 所高校及其

5、數(shù)學學科開設課程交叉關系圖（圖 1）。圖 1 中，學校和課程都采用代碼表示，每門課程對應一個小圓點（結點），每所學校對應于一大圓點（結點），將學校與其所開設課程通過直線相連。若同一門課程的開設學校多于一個，則此結點與多個學校相關聯(lián)，并且這類多個學校關聯(lián)的結點一般都布局在比較靠近中心的位置。若某個結點僅與某個高校關聯(lián)，則說明此課程為這個學校特色課程。從圖 1 可以看出，ZJU, BJTU LZU, SDU PKU NKU FDUM開設了較多特色課程。從高校角度看，這19 所高校中，各個高校開設課程數(shù)量如圖 2 所示，其中開課最多的是復旦大學 158 門，最少的是華東理工大學 26 門。從課程角度

6、看， 664 門課程中，有447 門課程僅有一個學校開設，有118 門課程獲得了 3 個或者 3 個以上學校開設。而獲得 7 個或者 7 個以上學校開設的課程僅有28 門 , 如表 1 所示。表 1中的課程代碼體現(xiàn)在圖 1 中?？梢姳? 所列出的 28 門課程獲得比較多高校的重視，可以認為是數(shù)學學科的關鍵課程集。根據(jù)開設課程的頻數(shù)和相關排序，從表1 還可以歸納出以下幾個結論。（ 1）相對公認的最關鍵課程是泛函分析、動力系統(tǒng)、隨機過程，這也是近些年來數(shù)學學科各個分支方向的熱門課程。（2）數(shù)值計算、最優(yōu)化方法、統(tǒng)計分析等基本數(shù)學技術與動力系統(tǒng)、小波分析、有限元方法等前沿課程代表的先進方法在數(shù)學學科

7、獲得同等重要的地位，在28 門課程中的次序不相上下，所占比例也比較接近。（3）純數(shù)學課程保持了相當?shù)谋壤?。?shù)學作為學科自我發(fā)展的純數(shù)學方向的課程，比如代數(shù)拓撲、交換代數(shù)、黎曼幾何、代數(shù)學、拓撲學、微分幾何等都 得到了重點關注。二、依據(jù)開設課程相關性的高校聚類因為課程數(shù)目多達到 664 門，而各個高校開設課程數(shù)量相對于這個數(shù)字而言只能是小比例，以其中的關鍵課程或者熱門課程為基礎進行聚類分析。我們先給出數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析方法的基本描述。第(ii=1,2,，伯)個學校關于n門課程開設狀態(tài)用一個n維的向量xi二 (c1,c2)表示，其中cj (j=1,2,m)為0-1變量，cj=0表示該學校未開設第j門課程

8、，否則cj=1。將兩所學校A和B之間相關距離定義為 d=1-r2 ，即實數(shù) 1 與相關系數(shù)r 的平方的差。兩所學校相關系數(shù)絕對值越高，這兩所學校的距離就越短。采用 R語言的iGraph軟 件包編程實現(xiàn)聚類分析。其中聚類算法采用力導引布局的FR算法，輸入這 19 個學校的相關距離矩陣，繪制出聚類結果圖。為了讓圖像更加簡潔地體現(xiàn)聚類效果，僅畫出相關距離小于 0.9 的聚類結果。繪圖中邊的長度與A和B之間的相關距離相對應。取表1中排序前15 (n=15) 門關鍵課程進行可視分析，從圖 3(a) 可以看出，在相關距離小于 0.9 的水平上， 19 個學?？梢苑譃榱鶄€類：第一類是北京大學、四川大學、 武

9、漢大學、華東理工大學、武漢理工大學；第二類是蘭州大學、山東 大學；第三類是浙江大學、南京大學、北京科技大學、上海交通大學 和北京航空航天大學；第四類是哈爾濱工業(yè)大學、北京交通大學、北 京工業(yè)大學；第五類是西安交通大學、南開大學和吉林大學；第六類是復旦大學。這個聚類是按照這15 門課程的開設情況作出的，能夠從課程設置方面體現(xiàn)出一些異同之處。如果需要找出更深層次的信息，需要結合各個學校的培養(yǎng)目標進行分析。若重點考慮其中至少有6 個或者6個以上學校開設的課程，則有 37門(n=37),這37門課程為 基礎進行聚類分析。由FR算法可以繪制聚類結果如圖3 (b)所示。與 圖3 (a)相比較，聚類結果有些

10、變化，比如學校被分為8類，其原因是向量維數(shù)增加， 0 分量的個數(shù)增加，學校之間的相關性削弱，從而相 關距離增加。三、關鍵數(shù)學課程的中美比較分析哈佛大學數(shù)學系的數(shù)學課程5 中包含在表1 中 28 門課程的是復分析、代數(shù)拓撲、代數(shù)學、李群和李代數(shù)、微分幾何等5 門。面向研究生開設的課程有32門，其中有代數(shù)K-理論和流形拓撲、算術統(tǒng)計專題、代數(shù)幾何中的相交理論、結的代數(shù)不變量等12 門新課程，這些新的課程與學科的新進展、當前社會和科技新需求緊密結合。學校還開設了供研究生與本科生同修的數(shù)學課程30 門，包括一些經(jīng)典的數(shù)學課程，比如泛函分析、動力系統(tǒng)、組合論、線性代數(shù)及其應用、概率論等。在這 30 門課

11、程中開設了統(tǒng)計軟件的數(shù)學基礎等5 門新課程。新課程的開設以及研究生與本科生大量課程的同修是哈佛大學數(shù)學系與國內課程設置上的兩個不同點。加州大學伯克利分校數(shù)學學科研究生課程65 門6，其中在表1 的課程有 8 門課程，分別是動力系統(tǒng)，偏微分方程，代數(shù)拓撲，矩陣分析與計算，黎曼幾何，調和分析，微分方程數(shù)值解, 李群。 65 門課程中包含數(shù)學課程熱點話題、代數(shù)專題、拓撲專題、微分幾何專題等特色課程，其授課內容是由任課教師自主選定的各個方向的高級話題，因此其內容因時因人而有所變化。對比這兩所學校的開設課程與表1 的關鍵課程表，可以看出，哈佛大學和加州大學伯克利分校的應用類課程如小波分析、有限元方法、時間序列等課程沒有開設，它們主要通過一些專題課程形式來教授應用、前沿、熱點知識。四、對自主設置課程的思考與建議1. 各個學校開設的數(shù)學專業(yè)課程數(shù)量差異較大，多的 150余門，少的20 多門；各個高校課程交叉形成的關鍵課程28 門，其中泛函分析, 動力系統(tǒng)，偏微分方程，小波分析，復分析, 有限元方法，組合優(yōu)化，最優(yōu)化理論，多元統(tǒng)計獲得半數(shù)以上高校開設；根據(jù)各個高校課程交叉的特征對各個高校進行聚類，能夠直觀分析各個高校的聚類特征和特色課程；交叉課程基數(shù)越大，聚類越分散。2. 基于哈佛大學與加州伯克利分校數(shù)學課程，可以看出國外高校在分析、幾何、代數(shù)三大傳統(tǒng)方向的基