圓周運動脫軌和臨界問題(教案)

1、豎直平面內(nèi)的圓周運動豎直平面內(nèi)的圓周運動是典型的變速運動，高中階段只分析通過最高點和最低點的情況， 經(jīng)常考查臨界狀態(tài)，其問題可分為以下兩種模型. 一、兩種模型模型1: “輕繩類”圖1圖2繩對小球只能產(chǎn)生沿繩收縮方向的拉力(圓圈軌道問題可歸結(jié)為輕繩類)，即只能沿某一個方向給物體力的作用，如圖運 動 過(1)臨界條件：在最高點，繩子(2)小球能通過最高點的條件：生向(3)小球不能過最高點的條件：斜拋1、圖2所示，沒有物體支撐的小球，在豎直平面做圓周 最 高 點 的 情 況(或圓圈軌道)對小球沒有力的作用，Vo 河v 顧，當(dāng)v 麻時繩對球產(chǎn)生拉力，圓圈軌道對球產(chǎn) 下的壓力v 刷，實際上球還沒到最高點

2、就脫離了圓圈軌道，而做運動模型2: “輕桿類”6 / 9有物體支撐的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動過最高點的情況，如圖3所示，(小球在圓環(huán)軌道內(nèi)做圓周運動的情況類似“輕桿類”， 如圖4所示，)：(1)臨界條件：由于硬桿和管壁的支撐作用，小球恰能到達(dá)最高點的臨界速度V0 0(2) 小球過最高點時，輕桿對小球的彈力情況 ：當(dāng)v 0時，輕桿對小球有豎直向上的支持力N,其大小等于小球的重力，即 N mg ;22vv 當(dāng) 0 V TgR時， 因 mg N m, 則 N mg m.輕桿對小球的支持力N豎直向上，其大小隨速度的增大而減小，其取值范圍是 mg N 0. 當(dāng)v刷時,n 0；22 當(dāng) v q疏時 ，

3、則 mg N m, 即 N m mg ,RR桿對小球有指向圓心的拉力，其大小隨速度的增大而增大，注意桿與繩不同，在最高點，桿對球既能產(chǎn)生拉力，也能對球產(chǎn)生支持力，還可對球的作用力為零.小結(jié) 如果小球帶電，且空間存在電磁場時，臨界條件應(yīng)是小球重力、電場力和洛倫茲力 的合力作為向心力，此時臨界速度項(應(yīng)根據(jù)具體情況具體分析 ).另外，若在月球 上做圓周運動則可將上述的g換成g月，若在其他天體上則把g換成g天體A點由靜止下滑，若小球恰能【例1】如圖5所示，質(zhì)量為m的小球從光滑的斜面軌道的 通過半徑為R的豎直圓形軌道的最高點 B而做圓周運動，問 A點的高度h至少應(yīng)為多少？【解析】此題屬于“輕繩類”，其

4、中“恰能”是隱含條件，即小球在最高點的臨界速度是臨界押g ,根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mgh12mg 2R _mv缶界25把 V臨界曬代入上式得：hmin 2R【例2】如圖6所示，在豎直向下的勻強(qiáng)電場中，一個帶A點由靜止下滑,負(fù)電q、質(zhì)量為m且重力大于所受電場力的小球，從光滑的斜面軌道的 若小球恰能通過半徑為 R的豎直圓形軌道的最高點 B而做圓周運動，問 A點的高度h至少應(yīng)為多少？【解析】此題屬于“輕桿類”，帶電小球在圓形軌道的最高點B受到三個力作用：電場力F qE,方向豎直向上；重力彈力N,方向豎直向下.由向心力公式，有mg N qE m 要使小球恰能通過圓形軌道的最高點而做圓周運動，說明小球此時

5、處于臨界狀態(tài)，其速率VB為臨界速度，臨界條件是由此可列出小球的臨界狀態(tài)方程為mg qE2Vb m R說明把式中的mg qE換成2mvB ,較容易求出hRmin,L、 ，r、12(mg qE) (h 2R)mvj2 B【例3】如圖6所示，在豎直向下的勻強(qiáng)電場中，一個帶正電q、質(zhì)量為m且重力大于所受電場力的小球，從光滑的斜面軌道的A點由靜止下滑，若小球恰能通過半徑為R的豎直圓形軌道的最高點B而做圓周運動，問A點的高度h至少應(yīng)為多少？ 【解析】此題屬于“輕繩類”，題中“恰能”是隱含條件，要使帶電小球恰能通過圓形軌道的最高點B而做圓周運動，說明小球此時處于臨界狀態(tài)，其速率vB為臨界速度，臨界條件是N0

6、 .由此可列出小根據(jù)動能定理，有（mg球的臨界狀態(tài)方12qE) (h 2R) -mv2小結(jié) 上因為電場由上述二式解得：hmin 5 R 述兩題條件雖然不同，但結(jié)果相同，為什么 ？力與重力做功具有相同的特點，重力做功僅與初、末位置的高度差有關(guān)；在勻強(qiáng)電場中，電場力做功也僅與沿電場力方向的距離差有關(guān).我們不妨可以這樣認(rèn)為，例2中的“等效重力加速度gj比例1中的重力加速度g減小，例3中的“等效重力加速度 g2”比例1中的重力加速度g增大.例2中南界兩mg1hmg1 2R122 mV臨界例3中v臨界.Rg2mg2hmg2 2R12- mV舊界2把丫臨界代入各自對應(yīng)的式子，結(jié)果mg、mg2分別都約去了，

7、故 hmin2【例4】如圖7所示，一個帶止電m的電荷，從光滑的斜面軌道的 A點由靜止q、質(zhì)里為下滑，若小球恰能通過半徑為R的豎直圓形軌道的最高點 B（圓弧左半部分加上垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場），問點A的高度至少應(yīng)為多少？【解析】此題屬于“輕繩類”，題中“恰能”是隱含條件，要使小球恰能通過圓形軌道的最高點B ,說明小球此時處于臨界狀態(tài)，其速率Vb為臨界速率，臨界條件是 N 0,由此可 列 出 小2Vbmg qvB B m 12mgh mg 2R mvB2因Vb只 能, 可 得 ：Vb / qB J(qB)2 呼2m.RR12 4m2g 2R2-2 4m2ghmin 2R qB （qB） y 8mg

8、R【例5】如圖8所示，在豎直向下的均勻電場中，一個帶正電滑的斜面軌道的A點由靜止下滑，若小球恰能通過半徑為q、質(zhì)量為m的電荷，從光R的豎直圓形軌道的最高點B （圓弧左半部分加上垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場），問點A的高度h至少應(yīng)為多少？取 正 值 ， 即Vb 而qB J(qB) r【解析】此題屬于“輕繩類”，題中“恰能”是隱含條件，要使小球恰能通過圓形軌道的最高點B ,說明小球此時處于臨界狀態(tài)，其速率Vb為臨界速率，臨界條件是 N 0,由此列出小球的臨界mg qvBB qE mvBR12(mg qE) (h 2R)-mvB2臺匕 目匕VbR2m12 4mqB (qB) r (mg qE)hmin2R

9、R22m2 4mqB .(qB)(mg qE)8m(mg qE)qB，(qB)2 4m (mg qE)小結(jié)小球受到的洛倫茲力與軌道的彈力有相同的特點，即都與速度v的方向垂直，它們對小球都不做功，而臨界條件是N 0.【例6】如圖9所示，ABD為豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道，其中AB段是水平的，BD段為半徑R 0.2m的半圓，兩段軌道相切于B點，整個軌道處在豎直向下的勻強(qiáng)電場中，場強(qiáng)大小E 5.0 103V/m . 一不帶電的絕緣小球甲，以速度Vo沿水平軌道向右運動，與靜止在B點帶正電的小球乙發(fā)生彈性碰撞。已知甲、乙兩球的質(zhì)量均為m 1.0 10 2 kg ,乙所帶電荷量q 2.0 10 5C , g

10、取10m/s2.(水平軌道足夠長，甲、乙兩球可視為質(zhì)點，整個運動過程無電荷轉(zhuǎn)移)(1)甲乙兩球碰撞后，乙恰能通過軌道的最高點D ,求乙在軌道上的首次落點到B點的距離；(2)在滿足(1)的條件下。求的甲的速度 vo ；(3)若甲仍以速度Vo向右運動，增大甲的質(zhì)量，保持乙的質(zhì)量不變，求乙在軌道上的首次 落點到B點的距離范圍.圖9【解析】(1)在乙恰能通過軌道最高點的情況下，設(shè)乙到達(dá)最高點速度為VD ,乙離開D點到達(dá)水平軌道的時間為 t ,乙的落點到B點的距離為x ,則,2mg qE m 2R - (mg qE)t2 R2 mx VDt聯(lián)立得x 0.4m(2)設(shè)碰撞后甲、乙的速度分別為v甲、七，根據(jù)

11、動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有mv0 mv甲 mv乙1mv21mv1mv2聯(lián)立得Vo由動能定理,mg 2RqE 2R1 2一 mvD2mmvl 電 2聯(lián)立得Vo5(mg Eq)R2.5m/sm(3)設(shè)甲的質(zhì)量為 M ,碰撞后甲、乙的速度分別為Vm、Vm,根據(jù)動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有MV0Mvmmvm1 21212 Mv 0 Mv M mvm2 22聯(lián)立得VmM m由O和M>m,可得 v0Wvmv2M設(shè)乙球過D點時速度為vD ,由動能定理得1 '2 12mg 2R qE 2R mvD mvm窗2 D 2 m聯(lián)立C12 得 2m/s< vD< 8m/s (14設(shè)乙在

12、水平軌道上的落點距B點的距離x',有xVpt聯(lián)立04得：0.4m<x<1.6m【例7】如圖10所示，桿長為L , 一端固定一質(zhì)量為 m的小球，桿的質(zhì)量忽略不計，整個 系統(tǒng)繞桿的另一端在豎直平面內(nèi)做圓周運動.g 10m/s2求： (1)小球在最高點 A的速度Va為多少時，才能使桿和小球m的作用力為零？(2)小球在最高點A時，桿對小球的作用力(3)若 m 0.5kg , L0.5m , vA 0.4m/s ,多F為拉力和推力時的臨界速度分別是多少則在最高點 A和最低點B ,桿對小球m的作用 大，圖11 圖12【解析】此題屬于“輕桿類”.若桿和小球m之間無相互作用力，那么小球做圓

13、周運動的向心力僅由重力mg提供，根據(jù)牛頓解得(2)若小球m在最高點 A時，受拉力 F ,受力如圖2匚MF mg m 解得第二定律，有： mgVa11所示，由牛頓第二定律，有2VA mL若小球 m在最高點 A時，受推力 F ,受力如圖V1gL :12所示，由牛頓第二定律，有2解得:gLmgVa. gL長是桿對小球m的作用力F在推力和拉力之間突變的臨界速度.L 0.5m 時Vo '"gL 2.2m/s,o.4m/s<Vo ,桿對小球有推力FA ,有mg FA m1 ,則FA 4.84N .由A至B只有重力做功，機(jī)械能守恒.設(shè)B點所處水平面為參考平面，則ImV；212mg 2

14、LmvB ,2Vb4gL4.5m/s在最低點 B , 小球 m 受2VbFb mg m-j-Fbmg2Vb m 25.3N【例8】如圖13所示，光滑的圓管軌道 AB部分平直,LBC部分是處于豎直平面內(nèi)半徑為Vo射R的半圓，圓管截面半徑 r ,有質(zhì)量為m、半徑比r略小的光滑小球以水平初速度度 入圓管.(1)若要小球能從C端出來，初速Vo多大？(2)在小千從C端出來瞬間，對管壁壓力有哪幾種典型情況，初速度v0各應(yīng)滿足彳f么條件？7 / 9【解析】本題綜合考查了豎直平面內(nèi)圓周運動臨界問題；屬于“輕桿類 小球恰好能到達(dá)最高點的條件是Vc0 ,由機(jī)械能守恒，初速度應(yīng)滿足：12-mvo2要(2)在剛mg2

15、RVomg小球能從球從C端1好對管壁2Vcm 一L機(jī) 械 能Vc 0 , 管壁壓 ,重力V4gR.射速度Vo ,/4gR .種典型情況：1 22mvomg2R對下管壁有壓力，應(yīng)有解 2Vc mg m Vo1 23 mVC5gR,相應(yīng)的入射速度Vo應(yīng)滿足同2Vo45gR .對上管壁有壓力，此時應(yīng)有mg mVC-,相應(yīng)的入射速度v0應(yīng)滿足小結(jié)本題中的小球不能做勻速圓周運動，它的合力除最高點與最低點過圓心外，其他條 件下均不過圓心，因而在一般位置處，它具有切向加Vo 5gR例9如圖14所示，一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑半徑大得多)，在圓管中有兩個直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球 環(huán)形管順時

16、針運動，當(dāng) A球運動到最低點時，速度為A B ,質(zhì)量分別為R (比細(xì)管的 mA、mB ,沿Va , B球恰到最高點，若要此時圓管B 的 速 度Vb為 多 大圖15圖1610 / 9【解析】本題綜合考察了豎直平面內(nèi)圓周運動臨界問題的分析，屬于“輕桿類”.在最低點對A球進(jìn)行受力分析，如圖15所示，應(yīng)用牛頓第二定律有NamAgVa mA R由牛頓第三定律，球A對管有向下的壓力 Na向上的壓力Nb ',球B受力情況，如圖16所示,Na ,根據(jù)題意Na' Nb ,即球B對對管有 由牛頓第三定律，管對球 B有向下的壓力Nb ,對球B應(yīng)用牛頓第定律Nb2mlB gm>B R ,由于 N

17、a Nb(2)如圖當(dāng)0當(dāng)v小 球 在 凸、17所示，小球在凸半球上最高點運動時:mA 2 vB.VA,mB球 上mA _( 1)gRmB運 動v 砥，小球不會脫離凸半球且能通過凸半球的最高點.質(zhì)，因軌道對小球不能產(chǎn)生彈力，故此時小球?qū)偤妹撾x軌道做平拋運動.當(dāng) v ygR ,圖18所示，小球若通過凹半球的最低點時由以上分析可知，通過凸（或凹）半球最高點（或最低點平拋 速度只要v運動 .0即可.）的臨界條件是小球速度）水 平 運 動 位 移 為 多 少【例10如圖19所示，汽車質(zhì)量為1.5 104kg ,以不變速率通過凸形路面，路面半徑為?若汽車達(dá)到臨界速度時將15m ,若汽車安全行駛，則汽車不

18、脫離最高點的臨界速度為多少”，即軌道只能沿某一方向給物體作用力，臨界條件為汽車2對軌道壓力 N 0 ,則汽車不脫離最tWj點的臨界速度為v0則有： mg m°-可得Rvo TgR；(2)當(dāng)vo 阿時，汽車在軌道最高點僅受重力作用，且有初速度廊,故做平拋運動，則12R 2 gt , x Vot,可得：x V2R.【例11】小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運動.當(dāng)球某次運動到最低點時，繩突然斷掉，球飛離水平距離d后落地，如圖20所示.已知握繩的手離地面高度為d ,手與球之間的繩3長為-d ,重力加速度為g .忽略手的運動半徑和仝氣阻力.4(1)求繩斷時球的速度大小 v1和球落地時的速度大小 v2 .(2)問繩能承受的最大拉力多大？(3)改