大學(xué)數(shù)學(xué)論文new

1、抽屜原理及其應(yīng)用學(xué)生姓名：閆夢茹 學(xué)號：20090401017 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)指導(dǎo)教師：沈守強(qiáng) 職稱：講師摘 要：抽屜原理是數(shù)學(xué)中一個(gè)十分重要的原理，其應(yīng)用非常廣泛. 本文首先給出了抽屜原理的一些形式，然后討論了它在數(shù)學(xué)中和生活中的一些具體應(yīng)用.關(guān)鍵詞：抽屜原理；數(shù)學(xué)；應(yīng)用Abstract：Drawer principle is an important principle in mathematics, its application is very extensive. This paper gives some form of drawer principle,

2、and then discusses it in mathematics and the life of some specific application.Key Words: Drawer principle; Mathematics; Application引言 抽屜原理又稱鴿巢原理、鞋盒原理、重疊原理，它最先是由德國數(shù)學(xué)家狄利克雷明確地提出來的，因此也稱為狄利克雷原理.比如說，桌上有十個(gè)蘋果，要把這十個(gè)蘋果放到九個(gè)抽屜里，無論怎樣放，我們會發(fā)現(xiàn)至少會有一個(gè)抽屜里面至少放兩個(gè)蘋果.這一現(xiàn)象就是我們所說的“抽屜原理”.抽屜原理的內(nèi)容簡潔明了，易于接受，它在解決數(shù)學(xué)問題中有非常重要的作用，許

3、多生活中的問題也可以用它來解決.為此，本文首先給出了抽屜原理的一些形式，然后討論了它在近世代數(shù)、離散數(shù)學(xué)、數(shù)論、高等代數(shù)及幾何中的具體應(yīng)用，最后還利用抽屜原理解決了生活中的取同色衣服、電腦算命及握手問題.1. 抽屜原理1.1 抽屜原理的形式原理1 如果把個(gè)元素分到個(gè)集合中，那么不管怎么分，則必有一個(gè)集合中至少含有兩個(gè)元素. 證明 用反證法. 如果個(gè)集合中每個(gè)集合至多放一個(gè)元素，則放入個(gè)集合中的元素總數(shù)至多為個(gè).這與假設(shè)有個(gè)元素矛盾，從而定理得證. 原理2 把無窮多個(gè)元素按任意確定方式分成個(gè)集合，則至少有一個(gè)集合中仍含有無窮個(gè)元素. 原理3(鴿巢原理） 設(shè)為正整數(shù)，如果將個(gè)物體放入個(gè)盒子內(nèi)，那么

4、，或者第一個(gè)盒子至少含有個(gè)物體，或者第二個(gè)盒子至少含有個(gè)物體,，或者第個(gè)盒子至少含有個(gè)物體.證明 設(shè)將個(gè)物體分放到個(gè)盒子中，若對于每個(gè)第個(gè)盒子里含有少于個(gè)物體，則所有盒子中的物體總數(shù)不超過該數(shù)比所分發(fā)的物體總數(shù)少.因此，我們斷言，對于某一個(gè)，第個(gè)盒子至少包含個(gè)物體.在初等數(shù)學(xué)中，如果上述都等于同一個(gè)整數(shù)時(shí)，該原理敘述如下：推論1 如果個(gè)物體放入個(gè)盒子中，那么，至少有一個(gè)盒子含有個(gè)或更多的物體.推論2 如果個(gè)非負(fù)整數(shù)的平均數(shù)大于,那么，至少有一個(gè)整數(shù)大于或等于.推論3 如果個(gè)非負(fù)整數(shù)的平均數(shù)小于，那么，至少有一個(gè)整數(shù)小于或等于.推論4 如果個(gè)非負(fù)整數(shù)的平均數(shù)至少等于,那么，這個(gè)整數(shù)至少有一個(gè)滿足

5、. 推廣 如果把多于個(gè)元素分成個(gè)集合，則至少有一個(gè)集合中含有不少于個(gè)元素.證明 用反證法. 如果每個(gè)集合至多放個(gè)元素，那么個(gè)集合至多放個(gè)元素，這與題設(shè)不符，從而定理得證.原理4（抽屜原理的映射形式） 設(shè)和是兩個(gè)有限集，如果，那么對從到的任何滿映射，至少存在，使.1.2 抽屜原理的解題步驟 第一步：分析題意. 分清什么是“東西”，什么是“抽屜”，也就是什么作“東西”，什么可作“抽屜”. 第二步：制造抽屜.這是最關(guān)鍵的一步，這一步就是如何設(shè)計(jì)抽屜.根據(jù)題目條件和結(jié)論，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識，抓住最基本的數(shù)量關(guān)系，設(shè)計(jì)和確定解決問題所需要的抽屜及其個(gè)數(shù)，為使用抽屜鋪平道路.通常有以下三種構(gòu)造抽屜的方法：

6、 ()整除性問題：常以剩余類為抽屜；()集合問題：常以元素的性質(zhì)劃分集合構(gòu)造抽屜；()其他問題：常將狀態(tài)不同的元素分類構(gòu)造抽屜. 第三步：運(yùn)用抽屜原理.觀察題設(shè)條件，結(jié)合第二步，恰當(dāng)應(yīng)用各個(gè)原則或綜合運(yùn)用幾個(gè)原則，以求解決問題.2. 抽屜原理在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 一般地說，用抽屜原理來解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，有如下特征：新給的元素具有任意性，如八只鴿子放入七個(gè)籠子，可以隨意地一個(gè)籠子放幾只，也可以讓籠子空著.問題的結(jié)論是存在性命題，題中常含有“至少有”、“一定有”、“不少于”、“存在”、“必然有”等詞語，其結(jié)論只要存在，不必確定.下面來討論抽屜原理在數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用.2.1 在近世代數(shù)中的應(yīng)用例1 證明

7、只含有限個(gè)理想的非零整環(huán)必是域.證明 根據(jù)魏德邦定理，只需證明是除環(huán)即可. 也即證對中任意元素，方程或在中有解. 事實(shí)上，在中任取元素，考慮，易知，都是的理想.但由于整環(huán)只有有限個(gè)理想，根據(jù)抽屜原理，必存在正整數(shù)與滿足，從而存在,使或.即方程在中有解,根據(jù)定理，是除環(huán).由魏德邦定理，原命題得證.例2 從階群中任取個(gè)元素，證明存在使（單位元）.證明 因?yàn)? 用所取元素的積及作序列： （1）則它的項(xiàng)都是的元素. 根據(jù)抽屜原理，序列（1）中必有兩項(xiàng)相等. 如果，此時(shí)，符合要求，否則有.于是有.取，有,使.2.2 在離散數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 例3 ,是的子集，且,可以找到的兩個(gè)非空真子集和，使得的元素之和與的

8、元素之和相等.解 由于，所以的非空子集的數(shù)目為，另一方面，的元素之和有,.這說明中個(gè)元素的和不超過，也就是個(gè)元素之和不同的數(shù)充其量也就是個(gè).現(xiàn)在有只鴿子,個(gè)鴿巢，故存在一個(gè)鴿巢中兩個(gè)鴿子相同.設(shè)這個(gè)子集為和,使得若和無共同元素，即，則若,則便是所求. 例4 設(shè)是個(gè)正整數(shù)的集合，且，證明存在非空的子集, 使得的元素之和被除盡.證明 設(shè)，令 若存在，則.否則，為小于的正整數(shù)，根據(jù)鴿巢原理,個(gè)鴿巢，只鴿子，必存在和相等，不妨設(shè),則，故 ，即.2.3 在數(shù)論中的應(yīng)用 中國余式定理 令和為兩個(gè)互素的正整數(shù)，并令和為整數(shù)，且以及，則存在一個(gè)正整數(shù)，使得除以的余數(shù)為，并且除以的余數(shù)為，即可以寫成的同時(shí)又可以

9、寫成的形式，這里和是整數(shù).證明 為了證明這個(gè)結(jié)論,考慮個(gè)整數(shù)這些整數(shù)中的每一個(gè)除以都余.設(shè)其中兩個(gè)除以有相同的余數(shù)，令這兩個(gè)數(shù)為和，其中因此，存在兩個(gè)整數(shù)和，使得，這兩個(gè)方程相減可得. 于是是的一個(gè)因子. 由于和沒有除之外的公因子，因此是的因子.然而，意味著，也就是說不可能是的因子.該矛盾產(chǎn)生于我們的假設(shè)，個(gè)整數(shù)中的兩個(gè)除以有相同的余數(shù). 因此，這個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)除以都有不同的余數(shù). 根據(jù)抽屜原理，個(gè)數(shù)中的每一個(gè)作為余數(shù)都要出現(xiàn)，特別地，數(shù)也是如此.令為整數(shù)，滿足，且使數(shù)除以余數(shù)為.則對于某個(gè)適當(dāng)?shù)?，? 因此且，從而具有所要求的性質(zhì).例5 從到的個(gè)正整數(shù)中任取個(gè)，則這個(gè)數(shù)中至少有一對數(shù)，其中

10、一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù). 證明 設(shè)所取個(gè)數(shù)是，對序列中的每一個(gè)數(shù)去掉一切的因子，直至剩下一個(gè)奇數(shù)為止.例如，去掉的因子，留下奇數(shù)，結(jié)果得到由奇數(shù)組成的序列 （2）到中只有個(gè)奇數(shù)，故序列（2）中至少有兩個(gè)是相同的.設(shè)為，對應(yīng)地有.若，則是的倍數(shù).例6 設(shè)是個(gè)任意整數(shù)，是的任一排列，則至少有一個(gè)是偶數(shù). 證明 根據(jù)抽屜原理，這個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)同為偶數(shù)，或同為奇數(shù)，不妨設(shè)這兩個(gè)數(shù)為和，且同為奇數(shù)，則中至多有一個(gè)偶數(shù).故再根據(jù)抽屜原理，和中至少有一個(gè)是奇數(shù)，而且有一個(gè)和中某一個(gè)相等.奇數(shù)與奇數(shù)之差為偶數(shù),故中至少有一個(gè)為偶數(shù).若兩個(gè)數(shù)同是偶數(shù)，結(jié)果也是對的，因偶數(shù)與偶數(shù)之差仍然是偶數(shù).2.4 在高等

11、代數(shù)中的應(yīng)用例7 設(shè)為階方陣，證明存在，使秩=秩=秩=.證明 因?yàn)殡A方陣的秩只能是這個(gè)數(shù)之一，令，的個(gè)數(shù)多于秩的個(gè)數(shù)，由抽屜原理可知，存在,滿足使得秩=秩，但秩秩秩，所以秩=秩，利用此式與秩的性質(zhì)得秩秩+秩-秩,這里的是任意三個(gè)可乘矩陣，用數(shù)學(xué)歸納法可證秩=秩.其中為非負(fù)整數(shù)，故命題的結(jié)論成立.例8 已知齊次線性方程組 其中.證明存在不全為零的整數(shù)適合.證明 令.于是，所給方程組寫成. 設(shè)集合那么映射是一個(gè)滿射，顯然，因?yàn)?，所以對每個(gè),它的個(gè)分量適合 因此，又，于是根據(jù)抽屜原理的映射形式知，必存在中兩個(gè)不同的元使,于是.令，則就是我們所要求的.是不全為零的整數(shù)，且滿足.2.5 在幾何中的應(yīng)用例

12、9 在邊長為的正方形內(nèi)部，放置若干個(gè)圓，這些圓的周長之和等于.證明：可以作出一條直線，至少與其中四個(gè)圓有交點(diǎn).證明 將所有的已知圓投影到正方形的一條邊上.注意，周長為的圓周，其投影長為的線段.因此所有已知圓的投影長度之和等于，由于，所以由抽屜原理知，線段上必有一點(diǎn)，至少被四條投影線段所覆蓋.即至少有四條投影線段有公共點(diǎn).因此，過點(diǎn)且垂直于的直線，至少與四個(gè)已知圓有交點(diǎn).例10 求證：在平面內(nèi)，任意凸五邊形的頂點(diǎn)中，必有三點(diǎn)、，使.分析 因?yàn)槭峭刮暹呅挝鍌€(gè)內(nèi)角大小的平均值，又是的三等分值，所以此題要用兩次抽屜原理.證明 因?yàn)槠矫嫱刮暹呅蔚膬?nèi)角和為，所以由抽屜原理知，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于.不妨設(shè)這

13、個(gè)不小于的內(nèi)角的頂點(diǎn)為，與它不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)為、，邊、把分成三個(gè)角，則由抽屜原理知，必有一個(gè)角不小于，設(shè)這個(gè)角為，于是.例11 邊長為的正三角形內(nèi)任選五個(gè)點(diǎn)，必有兩點(diǎn)的距離不超過.證明 用正三角形的三條中位線可將其分割為個(gè)邊長為的小正三角形，以這個(gè)小正三角形為鴿籠，將要選的個(gè)點(diǎn)視為只鴿子，由鴿籠原理可知，必有個(gè)點(diǎn)（鴿子)落在某一個(gè)小正三角形內(nèi).因?yàn)樾≌切蝺?nèi)任兩點(diǎn)之間的距離小于等于邊長，即知此兩點(diǎn)的距離小于等于.3. 抽屜原理在生活中的應(yīng)用抽屜原理在日常生活中的應(yīng)用也非常的廣泛，比如說：個(gè)人中必然至少存在兩人有相同的生日；抽屜里有雙手套散開放著，從中任取只，其中至少有一對是成雙的.這些都可以

14、用抽屜原理來解釋.下面進(jìn)一步討論抽屜原理在生活中的有趣應(yīng)用.3.1 取同色衣服 如果你的衣柜里有件衣服，其中件是藍(lán)的，件是灰的，件是紅的.試問應(yīng)從中隨意取多少件能保證有件是同色的.又應(yīng)再抽取多少件保證為件是同顏色的？根據(jù)鴿巢原理，個(gè)鴿巢，只鴿子，則至少有一個(gè)鴿巢有只鴿子. （1）現(xiàn)在有個(gè)鴿巢，即,所以，,.即隨意抽取件可保證有件是同顏色的. （2）似乎若依據(jù)（1），,則應(yīng)抽取件能保證有件同色.其實(shí)不然，問題的模型與鴿巢原理不盡相同.我們考慮一種最壞的情況：第次取件正好有件都是藍(lán)的即件藍(lán)色，取走后，問題變成由灰的和紅的構(gòu)成同顏色的情況.這時(shí)，,.故應(yīng)取件. （3） ,故需要取出件. （4） ,應(yīng)

15、取件. （5） 考慮到藍(lán)的和灰的已分別取盡，這時(shí)只剩下紅的，,故應(yīng)取件. （6） ,應(yīng)取件.3.2 電腦算命 “電腦算命”看起來挺玄乎，只要你報(bào)出自己出生的年、月、日和性別，一按按鍵，屏幕上就會出現(xiàn)所謂性格、命運(yùn)的句子，據(jù)說這就是你的“命”.這是科學(xué)的嗎？如果以年算，按出生的年、月、日、性別的不同組合數(shù)應(yīng)為，我們把它作為抽屜數(shù).我國現(xiàn)在有億人口，把它作為物體.由于，根據(jù)抽屜原理，存在個(gè)以上的人，盡管他們的出身、環(huán)境、經(jīng)歷、天賦、機(jī)遇各不相同，但他們卻有完全相同的“命”，這是非常荒謬的！所謂“電腦算命”不過是把人為編好的算命語句像中藥柜那樣事先分別一一存放在各自的柜子里，誰要算命，即根據(jù)出生的年

16、、月、日、性別的不同的組合按不同的編碼機(jī)械地到電腦上各個(gè)“柜子”里取出所謂命運(yùn)的句子.其實(shí)這充其量不過是一種電腦游戲而已.3.3 有趣的握手在一次聚會后，如果你統(tǒng)計(jì)一下每個(gè)人的握手?jǐn)?shù)（即與他人握手的次數(shù)），你會發(fā)現(xiàn)握手?jǐn)?shù)為奇數(shù)的一定是偶數(shù)個(gè)人，且必有兩個(gè)人的握手?jǐn)?shù)相等.假如聚會有個(gè)人參加（當(dāng)然可以假定），其中握手?jǐn)?shù)為的有個(gè)人.若，即大家彼此全未握手，結(jié)論當(dāng)然成立.現(xiàn)在假設(shè)（注意不會有，只能是），設(shè)這個(gè)人的握手?jǐn)?shù)分別為，因?yàn)樗麄兾帐值姆秶驮谶@個(gè)人之間，故必有.由抽屜原理可知，諸中必有個(gè)是相等的，進(jìn)而，因?yàn)槊看挝帐址謩e對握手的兩人各計(jì)入一次握手?jǐn)?shù)，故必為偶數(shù).此即說明諸中奇數(shù)的個(gè)數(shù)只能是偶數(shù).至

17、于另個(gè)未與任何人握手的人，他們的握手?jǐn)?shù)被認(rèn)為是偶數(shù).這就得到了全部結(jié)論.4. 小結(jié) 抽屜原理是一個(gè)敘述起來非常簡單明了的原理，但它在數(shù)學(xué)和日常生活中的應(yīng)用十分廣泛.本文首先給出了抽屜原理的一些形式，然后討論了它在近世代數(shù)、離散數(shù)學(xué)、數(shù)論、高等代數(shù)及幾何中的具體應(yīng)用，最后還利用它解決了生活中有趣的取同色衣服、電腦算命及握手問題.運(yùn)用抽屜原理的關(guān)鍵在于如何制造抽屜，而構(gòu)造抽屜的技巧也有很多，比如利用等分區(qū)間、分割圖形、對稱性等都可以制造抽屜，這里不再一一論述. 參考文獻(xiàn)1 田秋成.組合數(shù)學(xué).M.北京：電子工業(yè)出版社，2006.2 盧開澄，盧華明.組合數(shù)學(xué).M.北京：清華大學(xué)出版社，2006.3 曹汝成