高三數(shù)學(xué)概念、題型、解題方法和規(guī)律總結(jié)

1、高三數(shù)學(xué)概念、題型、解題方法和規(guī)律總結(jié)（二）二、函數(shù)1.映射: AB的概念。在理解映射概念時要注意：A中元素必須都有象且唯一；B中元素不一定都有原象，原象不一定唯一。2.函數(shù): AB是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸的垂線至多有一個公共點(diǎn)，但與軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可能有任意個。如（1）已知函數(shù)，那么集合中所含元素的個數(shù)有 個；答： 0或13. 求函數(shù)定義域的常用方法（在研究函數(shù)問題時要樹立定義域優(yōu)先的原則）：（1）根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對數(shù)中且，等。如（1）函數(shù)的定義域是_；答：（2）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則_；答：（2）

2、根據(jù)實(shí)際問題的要求確定自變量的范圍。（3）復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知的定義域?yàn)?其復(fù)合函數(shù)的定義域由不等式解出即可；若已知的定義域?yàn)?求的定義域，相當(dāng)于當(dāng)時，求的值域（即的定義域）。如（1）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開；答： 答：1,5（2）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開4.求函數(shù)值域（最值）的方法：（1）配方法二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間上的最值；二是求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系）， 如（1）求函數(shù)的值域；答：4,8（2）換元法通過換元把一個較復(fù)

3、雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，注意求新元的范圍，否則容易造成解題的失誤。如（1）的值域?yàn)開；答：（2）的值域?yàn)開；答：（3）函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如求函數(shù)，答： 、（0,1）（4）單調(diào)性法利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如求，答：的值域?yàn)?；答：R（5）數(shù)形結(jié)合法函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等，如（1）已知點(diǎn)在圓上，求及的取值范圍 ；答：、（7）不等式法利用基本不等式求函數(shù)的最值，如設(shè)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是_.。答：，這是一個

4、易錯題，注意研究。（8）導(dǎo)數(shù)法一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)，如求函數(shù)，的最小值。答：48提醒：求函數(shù)的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？ 5.分段函數(shù)。在求分段函數(shù)的值時，一定首先要判斷屬于定義域的哪個子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。如（1）已知，則不等式的解集是_;答：6.求函數(shù)解析式的常用方法：（1）待定系數(shù)法已知所求函數(shù)的類型（二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：；頂點(diǎn)式：；零點(diǎn)式：，要會根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù)的表達(dá)形式）。如：已知為二次函數(shù)，且 ，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,求的解析式 。答

5、：（2）代換（配湊）法已知形如的表達(dá)式，求的表達(dá)式。如（1）已知求的解析式；答：（2）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，那么當(dāng)時，=_ . 答：。（3）方程的思想已知條件是含有及另外一個函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對等式的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于及另外一個函數(shù)的方程組。如（1）已知，求的解析式. （2）已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且+= ,則= _。答： 答：7. 反函數(shù)：了解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱。8.函數(shù)的奇偶性。（1）具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱。如若函數(shù)，為奇函數(shù)，其中，則

6、的值是 ；答：0（2）確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性）：定義法：如判斷函數(shù)的奇偶性_ 。答：奇函數(shù)利用函數(shù)奇偶性定義的等價形式：或（）。如判斷的奇偶性_ _.答：偶函數(shù)圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。如：已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（3，0）對稱，就可以推出為奇函數(shù)。（3）函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.若為偶函數(shù)，則.如若定義在R上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，且=2，則不等式的解集為_ _. 答：若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有.

7、故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。如若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)_ . 答：1既奇又偶函數(shù)有無窮多個（，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意一個數(shù)集）.9.函數(shù)的單調(diào)性。（1）確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：在解答題中常用：定義法（取值作差變形定號）、導(dǎo)數(shù)法（在區(qū)間內(nèi)，若總有，則為增函數(shù)；反之，若在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，則，請注意兩者的區(qū)別所在。如已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_ ；答：)在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為，減區(qū)間為.如若函數(shù) 在區(qū)間（，4） 上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是_ ；答：)復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是

8、同增異減，如函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_ 。 答：（2）特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時，一是勿忘定義域，如若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍答：（3）你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎?（比較大??；解不等式；求參數(shù)范圍）.如已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。答：10. 常見的圖象變換函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位得到的。(則右移)如設(shè)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，的圖像由的圖像向右平移1個單位得到，則為_ ;如（1）若，則函數(shù)的最小值為_ ；答：2（2）要得到的圖像，只需作關(guān)于_軸對稱的圖像，再向_平移3個單位而得到 ；答：；右,（3）函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個數(shù)有_ _個; 答

9、：2函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向上平移個單位得到的；(則下移)函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的得到的。如（1）將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再將此圖像沿軸方向向左平移2個單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為_ ；答： （2）如若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的對稱軸方程是_ 答：函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的. 11. 函數(shù)的對稱性。滿足條件的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。（要注意上面結(jié)論與下面結(jié)論的區(qū)別：關(guān)于軸對稱）如已知二次函數(shù)滿足條件且方程有等根，則_ ；答：函數(shù)關(guān)于軸的對稱曲線方程為；函數(shù)關(guān)于軸的對稱曲線方程為； 函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對稱曲線方程為； 曲線關(guān)于點(diǎn)的

10、對稱曲線的方程為。如若函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，3）對稱，則_ ; 答：的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關(guān)于軸的對稱圖形，然后擦去軸下方的圖象得到；的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的圖象關(guān)于軸的對稱圖形得到。12. 函數(shù)的周期性。（2）由周期函數(shù)的定義“函數(shù)滿足，則是周期為的周期函數(shù)”得：函數(shù)滿足，則是周期為2的周期函數(shù)；若恒成立，則；如已知定義在上的函數(shù)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程在上至少有_ ; 答：5如(1) 設(shè)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，則等于_ ；答：(2)定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，若是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則的大小關(guān)系為_ ；答：（4

11、）設(shè)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且，又，則= ; 答：13. 函數(shù)的零點(diǎn)。函數(shù)零點(diǎn)定義：對于函數(shù)，方程=0的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的零點(diǎn)。三個轉(zhuǎn)化：函數(shù)有零點(diǎn)方程=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)。零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。注意：若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，且滿足定理?xiàng)l件，則有唯一的零點(diǎn)。 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，不一定有成立。如：方程（ ）A（0，1）B（1，2） C（2，3）D（3，4） 答案：C14.指數(shù)式、對數(shù)式：， 。如的值為_ ; 答：抽象函數(shù)：利用一些方法（如賦值法（令0或1，求出或、令或等）、遞推法、反證法等）進(jìn)行邏輯探究。如若，滿足，則的奇偶性是_ ；答：奇函數(shù)15.冪函數(shù)xyo 在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像，并研究其定義域，值域，奇偶性，單調(diào)性和圖象過定點(diǎn)注意：當(dāng)時的圖像在第一象限內(nèi)，當(dāng)時曲線上凸；當(dāng)時曲線下凸； 16.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)對比：y指數(shù)函數(shù)：yx0對數(shù)函數(shù)：圖像x0性質(zhì)定義域:R值域:單調(diào)性:當(dāng)時,在R上時增函數(shù) 當(dāng)時,在R上時減函數(shù)取值范圍:當(dāng)時,在上;在上,當(dāng)時,在 在上, ;定義域: 值域:R單調(diào)性: 當(dāng)時,在R+上時增函數(shù) 當(dāng)時,在R+上時減函數(shù)取值范圍: 當(dāng)時,在