第七章狀態(tài)空間描述法

1、7.1 7.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 7.2 7.2 狀態(tài)方程求解狀態(tài)方程求解 7.3 7.3 可控性與可觀測性可控性與可觀測性7.4 7.4 狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器End End 控制理論的發(fā)展控制理論的發(fā)展經(jīng)典控制論：經(jīng)典控制論：現(xiàn)代控制論：現(xiàn)代控制論：大系統(tǒng)理論、智能控制理論：大系統(tǒng)理論、智能控制理論：時(shí)間：本世紀(jì)時(shí)間：本世紀(jì)30-50年代年代對象：線性定常，單輸入輸出系統(tǒng)對象：線性定常，單輸入輸出系統(tǒng)方法：傳遞函數(shù)，頻域特性方法：傳遞函數(shù)，頻域特性時(shí)間：本世紀(jì)時(shí)間：本世紀(jì)50-70年代年代對象：時(shí)變、離散、非線性的多輸入輸出系統(tǒng)對象：時(shí)變、離散

2、、非線性的多輸入輸出系統(tǒng)方法：時(shí)域，線性代數(shù)，狀態(tài)空間方法：時(shí)域，線性代數(shù)，狀態(tài)空間時(shí)間：本世紀(jì)時(shí)間：本世紀(jì)60年代末年代末-今今對象：復(fù)雜系統(tǒng)，交叉學(xué)科，生醫(yī)、信號處理、軟件算法對象：復(fù)雜系統(tǒng)，交叉學(xué)科，生醫(yī)、信號處理、軟件算法方法：人工智能，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，模糊集，運(yùn)籌學(xué)方法：人工智能，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，模糊集，運(yùn)籌學(xué)現(xiàn)代控制論的現(xiàn)代控制論的 五個(gè)分支：五個(gè)分支： 建模和系統(tǒng)辨識建模和系統(tǒng)辨識 最優(yōu)濾波理論最優(yōu)濾波理論 最優(yōu)控制最優(yōu)控制 自適應(yīng)控制自適應(yīng)控制 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論現(xiàn)代控制原理預(yù)覽現(xiàn)代控制原理預(yù)覽建模建模分析分析設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)狀態(tài)空間狀態(tài)空間表達(dá)式表達(dá)式建立建立求解求解轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換可控可控性性可

3、觀可觀性性穩(wěn)定性穩(wěn)定性狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器最優(yōu)控制最優(yōu)控制線性系統(tǒng)理論是現(xiàn)代控制論的基礎(chǔ)線性系統(tǒng)理論是現(xiàn)代控制論的基礎(chǔ)最完善，技術(shù)上較為成熟，應(yīng)用最廣泛最完善，技術(shù)上較為成熟，應(yīng)用最廣泛的部分的部分主要研究線性系統(tǒng)在輸入作用下狀態(tài)運(yùn)主要研究線性系統(tǒng)在輸入作用下狀態(tài)運(yùn)動過程的規(guī)律和改變這些規(guī)律的可能性動過程的規(guī)律和改變這些規(guī)律的可能性與措施與措施建立和揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)、動態(tài)行為建立和揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)、動態(tài)行為和性能之間的關(guān)系和性能之間的關(guān)系主要研究內(nèi)容包括狀態(tài)空間描述、能空主要研究內(nèi)容包括狀態(tài)空間描述、能空性、能觀性和狀態(tài)反饋、狀態(tài)觀測等性、能觀性和狀態(tài)反饋、狀態(tài)觀測等現(xiàn)代控

4、制論現(xiàn)代控制論 VS 經(jīng)典控制論經(jīng)典控制論特特 點(diǎn)點(diǎn)已工程化，直觀，具體，已工程化，直觀，具體，精度一般精度一般已規(guī)范化，精度高，有標(biāo)已規(guī)范化，精度高，有標(biāo)準(zhǔn)的算法程序準(zhǔn)的算法程序控制器控制器以模擬硬件為主以模擬硬件為主以單片機(jī)、微處理器，軟以單片機(jī)、微處理器，軟件為主件為主結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖經(jīng)經(jīng) 典典現(xiàn)現(xiàn) 代代時(shí)時(shí) 間間1940-1960年年1960年至現(xiàn)在年至現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)、微分方程傳遞函數(shù)、微分方程傳遞矩陣、狀態(tài)方程傳遞矩陣、狀態(tài)方程數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具常微分方程、復(fù)變函數(shù)、常微分方程、復(fù)變函數(shù)、Laplace變換等變換等矩陣?yán)碚?、泛函分析、矩陣?yán)碚?、泛函分析、概率統(tǒng)計(jì)等概率統(tǒng)計(jì)等應(yīng)

5、用范圍應(yīng)用范圍單輸入單輸出線性定常單輸入單輸出線性定常連續(xù)、離散時(shí)變集中參連續(xù)、離散時(shí)變集中參數(shù)系統(tǒng)數(shù)系統(tǒng)多輸入多輸出連續(xù)、離多輸入多輸出連續(xù)、離散時(shí)變集中參數(shù)系統(tǒng)散時(shí)變集中參數(shù)系統(tǒng)應(yīng)用情況應(yīng)用情況極為普遍極為普遍范圍廣范圍廣控制器被控對象r(t)c(t)微處理器被控對象RYN經(jīng)典控制論經(jīng)典控制論以微分方程或傳遞函數(shù)為描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型以微分方程或傳遞函數(shù)為描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型常采用頻域分析法分析系統(tǒng)特性常采用頻域分析法分析系統(tǒng)特性表達(dá)系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系表達(dá)系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系只描述系統(tǒng)的外部特性，不反應(yīng)內(nèi)部各物理量的變化只描述系統(tǒng)的外部特性，不反應(yīng)內(nèi)部各物理量的變化僅

6、僅考慮零初始條件，不足以揭示系統(tǒng)全部特性僅僅考慮零初始條件，不足以揭示系統(tǒng)全部特性現(xiàn)代控制論現(xiàn)代控制論采用狀態(tài)空間表達(dá)式作為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型采用狀態(tài)空間表達(dá)式作為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用時(shí)域分析系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)之間的關(guān)系用時(shí)域分析系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)之間的關(guān)系狀態(tài)空間表達(dá)式是一階矩陣狀態(tài)空間表達(dá)式是一階矩陣-向量微分方程組向量微分方程組揭示系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)動規(guī)律，反應(yīng)系統(tǒng)動態(tài)特性的全部信息揭示系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)動規(guī)律，反應(yīng)系統(tǒng)動態(tài)特性的全部信息7.1. 狀態(tài)和狀態(tài)空間基本概念狀態(tài)和狀態(tài)空間基本概念(5) 狀態(tài)方程狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)與輸入之間關(guān)系的、一階微：描述系統(tǒng)狀態(tài)與輸入之間關(guān)系的、一階微 分方

7、程（組）：分方程（組）：(6) 輸出方程輸出方程：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)、輸入之間關(guān)系的數(shù)：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)、輸入之間關(guān)系的數(shù) 學(xué)表達(dá)式：學(xué)表達(dá)式：( )( )( )x tAx tBu t( )( )( )y tCx tDu t(7) 狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式： (5)+(6).(4) 狀態(tài)空間狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量：以狀態(tài)變量 為坐標(biāo)軸構(gòu)成為坐標(biāo)軸構(gòu)成 的的n維空間維空間1 ,( )( )nxxtt7.1. 狀態(tài)和狀態(tài)空間狀態(tài)和狀態(tài)空間 例例7.1 試建立圖示電路的數(shù)學(xué)模型。試建立圖示電路的數(shù)學(xué)模型。RL Ci(t)ur(t) uc(t)()()()(tutRitudttdiLrc dttd

8、uCtic)()( )(1)(1)()(1)(tuLtiLRuLdttditiCdttdurcc思考和第二章思考和第二章建模的區(qū)別建模的區(qū)別“經(jīng)典經(jīng)典”是是高階微分高階微分，一個(gè)方程一個(gè)方程，無中間變量，無中間變量“現(xiàn)代現(xiàn)代”是是一階微分一階微分，一個(gè)方程組一個(gè)方程組，有中間變量，有中間變量經(jīng)典控制論中：經(jīng)典控制論中：n階系統(tǒng)階系統(tǒng) n階微分方程階微分方程 只是輸入與輸出的關(guān)系，無中間變量只是輸入與輸出的關(guān)系，無中間變量現(xiàn)代控制論中：現(xiàn)代控制論中：n階系統(tǒng)階系統(tǒng) n個(gè)一階微分方程個(gè)一階微分方程 體現(xiàn)輸入，輸出與各個(gè)中間變量的線性關(guān)系體現(xiàn)輸入，輸出與各個(gè)中間變量的線性關(guān)系 在已知在已知ur(t)

9、的情況下，只要知道的情況下，只要知道 uc(t)和和i(t)的變化特性，則的變化特性，則其他變量的變化均可知道。故其他變量的變化均可知道。故uc(t)和和i(t)稱為稱為“狀態(tài)變量狀態(tài)變量”。記。記 )()()(),()(21 、及及ixdttdxtitxtutxiic)(10)()(110)()(2121tuLtxtxLRLCtxtxr 則有則有 )(1)(1)()(1)(tuLtiLRuLdttditiCdttdurcc12212111rxxCRxxxuLLL轉(zhuǎn)換成矩陣方程轉(zhuǎn)換成矩陣方程一階矩陣微分方一階矩陣微分方程式程式7.1. 狀態(tài)和狀態(tài)空間基本概念狀態(tài)和狀態(tài)空間基本概念(1) 狀態(tài)狀

10、態(tài)：系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和將來的狀況系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和將來的狀況(2) 狀態(tài)變量狀態(tài)變量：能夠完全表征系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的最小一組變量：能夠完全表征系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的最小一組變量： )b00 ( )( ) t tx tx ta表示系統(tǒng)在表示系統(tǒng)在 時(shí)刻的狀態(tài)時(shí)刻的狀態(tài)0t若初值若初值 給定，給定， 時(shí)的時(shí)的 給定，給定， 則狀態(tài)變量完全則狀態(tài)變量完全確定系統(tǒng)在確定系統(tǒng)在 時(shí)的行為。時(shí)的行為。0()x t0tt( )u t0tt淡化了輸出的概念，都?xì)w結(jié)為狀態(tài)變量淡化了輸出的概念，都?xì)w結(jié)為狀態(tài)變量已知輸入及所有狀態(tài)變量已知輸入及所有狀態(tài)變量，就能刻畫整個(gè)系統(tǒng)，就能刻畫整個(gè)系統(tǒng) 如上例中如上例中, 為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，

11、為系統(tǒng)的狀態(tài)向量， 為狀態(tài)變量。為狀態(tài)變量。 txtxtx21 )2 , 1( , itxi(3) 狀態(tài)向量狀態(tài)向量：以系統(tǒng)的：以系統(tǒng)的n個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量 作為分量的向量，即作為分量的向量，即 1 ,( )( )nxxttT1( ),( )( )nx txxtt7.1. 狀態(tài)和狀態(tài)空間基本概念狀態(tài)和狀態(tài)空間基本概念(5) 狀態(tài)方程狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)與輸入之間關(guān)系的、一階微：描述系統(tǒng)狀態(tài)與輸入之間關(guān)系的、一階微 分方程（組）：分方程（組）：(6) 輸出方程輸出方程：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)、輸入之間關(guān)系的數(shù)：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)、輸入之間關(guān)系的數(shù) 學(xué)表達(dá)式：學(xué)表達(dá)式：( )( )( )x

12、 tAx tBu t( )( )( )y tCx tDu t(7) 狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式： (5) (6).(4) 狀態(tài)空間狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量：以狀態(tài)變量 為坐標(biāo)軸構(gòu)成為坐標(biāo)軸構(gòu)成 的的n維空間維空間1 ,( )( )nxxtt求上述求上述RLC電路的狀態(tài)空間表達(dá)式電路的狀態(tài)空間表達(dá)式1122100( )( )( )1( )( )1rx tx tCu tx tx tRLLL 1112( )( )( ) ( )( )( )0 1( )ccx tx tuty tutx txt狀態(tài)方程狀態(tài)方程輸出方程輸出方程狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式12100( )( )1( )1rx tCu tx t

13、RLLL x(t)( )0 1y t x(t)12( )( )x tx tx(t)其中其中狀態(tài)空間表達(dá)式就是用狀態(tài)向量將狀態(tài)空間表達(dá)式就是用狀態(tài)向量將狀態(tài)方程和輸出表示出來狀態(tài)方程和輸出表示出來求上述求上述RLC電路的狀態(tài)空間表達(dá)式電路的狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式12100( )( )1( )1rx tCu tx tRLLL x(t)( )0 1y t x(t)狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式( )( )u ty tx(t)Ax(t)BCx(t) 1) 1)選取選取 n n個(gè)狀態(tài)變量個(gè)狀態(tài)變量；確定；確定輸入輸入、輸出輸出變量；變量；建立狀態(tài)空間表達(dá)式的步驟建立狀態(tài)空間表達(dá)式的步驟

14、狀態(tài)變量狀態(tài)變量、輸入變量、輸入變量、參數(shù)參數(shù)輸出變量、輸出變量、狀態(tài)變量狀態(tài)變量、輸入變量、輸入變量、參數(shù)參數(shù) 2) 2)根據(jù)系統(tǒng)微分方程列出根據(jù)系統(tǒng)微分方程列出n n個(gè)個(gè)一階微分方程一階微分方程；3)3)根據(jù)系統(tǒng)微分方程，列出根據(jù)系統(tǒng)微分方程，列出m m個(gè)個(gè)代數(shù)方程代數(shù)方程。結(jié)論：結(jié)論：(1)(1)狀態(tài)變量選取具有狀態(tài)變量選取具有非唯一性非唯一性。狀態(tài)變量個(gè)數(shù)。狀態(tài)變量個(gè)數(shù)系統(tǒng)的階次；系統(tǒng)的階次；(2)(2)狀態(tài)變量具有狀態(tài)變量具有獨(dú)立性獨(dú)立性；(3)(3)不同組狀態(tài)變量之間可做等價(jià)變換不同組狀態(tài)變量之間可做等價(jià)變換線性變換。線性變換。三三. 狀態(tài)變量的選取狀態(tài)變量的選取 1. 狀態(tài)變量的

15、選取是非唯一的。狀態(tài)變量的選取是非唯一的。 2. 選取方法選取方法 （1）可選取初始條件對應(yīng)的變量或與其相關(guān)的變量作）可選取初始條件對應(yīng)的變量或與其相關(guān)的變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。 （2）可選取獨(dú)立儲能（或儲信息）元件的特征變量或）可選取獨(dú)立儲能（或儲信息）元件的特征變量或與其相關(guān)的變量作為控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量。（如電感電與其相關(guān)的變量作為控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量。（如電感電流流i、電容電壓、電容電壓uc 、質(zhì)量、質(zhì)量m 的速度的速度v 等。等。 系統(tǒng)的狀態(tài)變量選取是不唯一的（對應(yīng)空間的基不唯一）系統(tǒng)的狀態(tài)變量選取是不唯一的（對應(yīng)空間的基不唯一）不同組狀態(tài)變量對系統(tǒng)的表達(dá)形式不同不同組

16、狀態(tài)變量對系統(tǒng)的表達(dá)形式不同變量的個(gè)數(shù)是唯一的，等于系統(tǒng)的階數(shù)（空間的維度）變量的個(gè)數(shù)是唯一的，等于系統(tǒng)的階數(shù)（空間的維度）例例7.3 已知系統(tǒng)微分方程組為已知系統(tǒng)微分方程組為 dtiiciRur)(121111 dticiRdtiic22222111)(1rcudticu 221 其中，其中，ur 為輸入，為輸入，uc 為輸出，為輸出，R1、C1、 R2、C2為常數(shù)。試為常數(shù)。試列寫系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程。列寫系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程。 解：解： dtixdtix2211,rcuxcu 221uRxxCRCRCRCRCRxx 0/1/1/1/1/1/1121221212111121 utxtx

17、Cy 212/1022222111)(1xcxRxxc )(121111xxcxRur 選選寫成向量寫成向量矩陣形式：矩陣形式： dtiiciRur)(121111 dticiRdtiic22222111)(1rcudticu 221 ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111四四. 狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式 1. 單輸入單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)單輸入單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng) BuAxx duxcxcxcynn 2211DuCxy SISO系統(tǒng)中，系統(tǒng)中，y和和u是標(biāo)量是標(biāo)量MIMO系統(tǒng)中，系統(tǒng)中，y和和u是向量是向

18、量所有狀態(tài)分量的一階導(dǎo)所有狀態(tài)分量的一階導(dǎo)是其他狀態(tài)分量與輸入是其他狀態(tài)分量與輸入的線性組合的線性組合 2. 一般線性系統(tǒng)一般線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式（狀態(tài)空間表達(dá)式（p輸入輸入q輸出）輸出） utDxtCyutBxtAx DuCxyBuAxx 3. 線性線性定常定常系統(tǒng)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式 （t 域）域） （ 域）域）s1uxy B C D Ab) 結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖x 系統(tǒng)系統(tǒng) A 輸入輸入 u 輸出輸出 y 狀態(tài)狀態(tài) X a) 結(jié)構(gòu)關(guān)系圖結(jié)構(gòu)關(guān)系圖DBCDuCxyBuAxx 不管不管X再怎么狀態(tài)改變，輸出只與狀再怎么狀態(tài)改變，輸出只與狀態(tài)變量有關(guān)，與狀態(tài)變量的改變無關(guān)態(tài)變量有關(guān)，與狀

19、態(tài)變量的改變無關(guān)五五. 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 1. 方法方法:機(jī)理分析法、實(shí)驗(yàn)法機(jī)理分析法、實(shí)驗(yàn)法 2. 線性定常單變量系統(tǒng)線性定常單變量系統(tǒng)(單輸入單輸入單輸出系統(tǒng)單輸出系統(tǒng)) (1) 由微分方程建立由微分方程建立 ubububyayayayaymmnnnnn011110112211 1121, nnyxyxyx 在輸入量中不含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)：在輸入量中不含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)：微分方程有幾階，就微分方程有幾階，就有幾個(gè)狀態(tài)變量有幾個(gè)狀態(tài)變量 11212100nnnnnyayaya ya ybu12231( )0 11210nnnnnnxxxxxxxya xa

20、xaxb u 則寫成向量寫成向量-矩陣形式矩陣形式11221101210010001000010nnnnnxxxxuxxxaaaaxb121y100nxxxx 1121, nnyxyxyx 例例7.4 已知系統(tǒng)微分方程為已知系統(tǒng)微分方程為 uyyyy323 列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。 yxyxyx 321,解：解：選選 11221101210010001000010nnnnnxxxxuxxxaaaaxb121y100nxxxx21003,3,2,13naaab1122330 1 000 0 101 2 33xxxxuxx 11231 0 0 xyxxx反過來，已知狀態(tài)

21、空間表達(dá)式，求傳遞函數(shù)反過來，已知狀態(tài)空間表達(dá)式，求傳遞函數(shù)21003,3,2,13naaab1122330 1 000 0 101 2 33xxxxuxx 11231 0 0 xyxxxuyyyy323 輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)：輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)：轉(zhuǎn)為傳遞函數(shù)法轉(zhuǎn)為傳遞函數(shù)法設(shè)控制系統(tǒng)由下列設(shè)控制系統(tǒng)由下列 n n 階微分方程來描述階微分方程來描述ububububyayayaynnnnonnnn1)1(1)(1)1(1)(這時(shí)，不能簡單地把這時(shí)，不能簡單地把 選作狀態(tài)變量，選作狀態(tài)變量，即不能即不能采用上述的方法采用上述的方法。因?yàn)椴捎蒙鲜龇椒ɑ梢浑A微分方程組。因?yàn)椴捎蒙鲜龇椒ɑ梢浑A微分

22、方程組 )1(,nyyyububububxaxaxaxxxxxxxnnnnonnnnnn1)1(1)(121113221這樣，最后一個(gè)方程中包含了輸入信號這樣，最后一個(gè)方程中包含了輸入信號 的各階導(dǎo)數(shù)，的各階導(dǎo)數(shù)，系統(tǒng)將得不到唯一解。系統(tǒng)將得不到唯一解。)(tu 輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)：輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)：轉(zhuǎn)為傳遞函數(shù)法轉(zhuǎn)為傳遞函數(shù)法手段：引入變量，改變方程組形式手段：引入變量，改變方程組形式目標(biāo)：生成的狀態(tài)方程組右邊不能有目標(biāo)：生成的狀態(tài)方程組右邊不能有u的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法：方法： 可控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)可控規(guī)范型實(shí)現(xiàn) 能觀測規(guī)范型實(shí)現(xiàn)能觀測規(guī)范型實(shí)現(xiàn) 對角線規(guī)范實(shí)現(xiàn)對角線規(guī)范實(shí)現(xiàn) 約當(dāng)規(guī)范型實(shí)現(xiàn)約當(dāng)

23、規(guī)范型實(shí)現(xiàn)不同的狀態(tài)變量選取方法獲得的對系統(tǒng)不同的狀態(tài)變量選取方法獲得的對系統(tǒng)不同的表示方式不同的表示方式 01110111)()()(asasasbsbsbsbsusysGnnnnnnn 0122110122111)()()()()()()(,0).bsbsbsbszsyasasasassuszsuszszsysDsNsGbAnnnnnnnnnn zbzbzbzbyuzazazazaznnnnnnnnn012211012211)( 可控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)可控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)分子階數(shù)小于分子階數(shù)小于分母階數(shù)分母階數(shù)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)多項(xiàng)式表多項(xiàng)式表達(dá)形式達(dá)形式反拉普拉斯反拉普拉斯 zbzbzbzbyuzaza

24、zazaznnnnnnnnn012211012211)( uxxxxaaaaxxxxnnnnn 10001000100101211110121 nnxxxbbb21110y和前面和前面一致一致 1112,nnxz xzxz令狀態(tài)變量令狀態(tài)變量0nb 01110111)()()(asasasbsbsbsbsusysGnnnnnnn susDsNsubsyn B）bn00111012211asasasfsfsfsfbnnnnnnnn sDsNbn nnnnnnnnbabfbabf222111, nnbabfbabf000111, 分子分母同階分子分母同階與上面做法相同與上面做法相同例例7.5 已知

25、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 8147158232 ssssssG試求其能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)試求其能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)uxxxxxx 1007148100010321321 3211815xxxy解解: 由由 bn=b3=0,對照標(biāo)準(zhǔn)型對照標(biāo)準(zhǔn)型,可得實(shí)現(xiàn)為可得實(shí)現(xiàn)為 uxxxxaaaaxxxxnnnnn 10001000100101211110121 nnxxxbbb21110y例例7.67.6 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 814715882323 sssssssG試求其能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)試求其能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn) 8147761814715882322323 ssssssssssssGux

26、xxxxx 1007148100010321321 uxxxy 321167解解: 由由 bn=b30, 對照標(biāo)準(zhǔn)型對照標(biāo)準(zhǔn)型 susDsNsubsyn 總結(jié)：能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)總結(jié)：能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)寫成狀態(tài)方程和輸出方程寫成狀態(tài)方程和輸出方程 XAXBuYCXDu 12312101000010,0001nnnnxxXAxxaaaa10100,0001mmn mBCbbb 1011111( )( )( )mmmmnnnnb sb sbsbY sG ssa sasaU s 正常情況下，正常情況下，nm。分母首位系分母首位系數(shù)為數(shù)為1例例 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 23223( )246

27、10ssG ssss 試求出其對應(yīng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型。試求出其對應(yīng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型。 解解: : 首先把首先把G(s)分母中分母中s最高次項(xiàng)系數(shù)變成最高次項(xiàng)系數(shù)變成1, ,用用2除除G(s)的分母與分子的分母與分子, ,得得2321322( )235ssG ssss 直接寫出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型直接寫出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型: : 11223312301000010532131122xxxxuxxxYxx 與能控規(guī)范型關(guān)系：與能控規(guī)范型關(guān)系： 能觀測規(guī)范型實(shí)現(xiàn)能觀測規(guī)范型實(shí)現(xiàn)XAXBuYCXDu 11221332011210000100001000000000010nmnnnnnnxxabxxaxxabuxxax

28、xa 1nm 123100001nnxxxYxx 能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型：其系能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型：其系數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置關(guān)系數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置關(guān)系, ,而前者的而前者的b為為后者的后者的CT, ,前者的前者的CT為后者的為后者的b。具有這種結(jié)構(gòu)關(guān)系的稱為互有具有這種結(jié)構(gòu)關(guān)系的稱為互有對偶對偶關(guān)系。關(guān)系。 例例7.7 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 8147158232 ssssssG試求其能觀測規(guī)范型實(shí)現(xiàn)。試求其能觀測規(guī)范型實(shí)現(xiàn)。 1011111( )( )( )mmmmnnnnb sb sbsbY sG ssa sasaU s 11223312300815101480171001x

29、xxxuxxxYxx 反過來，已知狀態(tài)空間表達(dá)式，求傳遞函數(shù)反過來，已知狀態(tài)空間表達(dá)式，求傳遞函數(shù) niiinnscscscscsusysG12211 niiixcsy1則則 sussxii 1取取uxxxxxxnnn 111000000212121 nnxxxccc2121y 對角線規(guī)范實(shí)現(xiàn)對角線規(guī)范實(shí)現(xiàn) () ( )( )iisx su siiixxu重點(diǎn)在于重點(diǎn)在于 ， 與傳遞函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系與傳遞函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系 iic結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖+nx 1x x1y(t)u(t)1 1c1x22 2c c2xnn nc cn+2x 信號流圖信號流圖 （t 域）域） （ 域）域）s1解：解：則對角

30、線規(guī)范型實(shí)現(xiàn)為則對角線規(guī)范型實(shí)現(xiàn)為 416121231138421158)(2 sssssssssG 321612338xxxyuxxxxxx 111400020001321321的對角線規(guī)范型實(shí)現(xiàn)，并畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖的對角線規(guī)范型實(shí)現(xiàn)，并畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖 。 8147158232 ssssssG 例例7.8 求求 當(dāng)當(dāng)G(s)有重極點(diǎn)時(shí)，設(shè)有重極點(diǎn)時(shí)，設(shè)-pi中有中有k重極點(diǎn)重極點(diǎn))()()()()()()()()(11nkkpspspssNsDsNsGsusy nnkkkkkpscpscpscpscpsc 11111211)()(kjsGpsdsdjckjjpsjj ,)()()!1(1lim

31、111nkisGpscipsii ,)()(lim)()()(21sGsGsG 1112111)()()(pscpscpscsGkkk 約當(dāng)規(guī)范型實(shí)現(xiàn)約當(dāng)規(guī)范型實(shí)現(xiàn)-特征方程有重根時(shí)特征方程有重根時(shí) uxxxxxxxxxxxxnrrrnrrnrrr111100112121211112121nnrrrrrscscscscscsUsY11111211)()()()(uxxxxxxxxxxxxnrrrnrrnrrr111100112121211112121xnrrrccccccy2121對角塊對角塊約當(dāng)塊約當(dāng)塊 nnscscscscscsG 44113211231111312112xxx uxx 1

32、3113 uxx 444 uxxnnn 1211111xxx 則則 )(1)(113sussx 令令 )(1)(1)(1312112sxssussx )(1)(1)(1213111sxssussx 約當(dāng)規(guī)范型實(shí)現(xiàn)約當(dāng)規(guī)范型實(shí)現(xiàn)-特征方程有重根時(shí)特征方程有重根時(shí) uxxxxxxxxxxnnn 1110000000000000000100001413121141114131211 141312114131211nnxxxxxcccccy例例7.9)2()1(562254562)(22232 ssssssssssG2111)1(12 sssuxxxxxx 110200010011321321 321

33、111xxxy由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)XAXBuYCXDu 已知已知其取拉式變換：其取拉式變換：例如：例如：某系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：某系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：1001030100401 0 1 xxuyx求其傳遞函數(shù)求其傳遞函數(shù)1( ) () ( )G sC sIABD U s 線性定常連續(xù)系統(tǒng)線性定常連續(xù)系統(tǒng) 1. 齊次狀態(tài)方程的解齊次狀態(tài)方程的解 )(自自由由運(yùn)運(yùn)動動 Axx 設(shè)解為：設(shè)解為： 02210)(kkkkktbtbtbbbttx)(2)(1011121 tbbbtbtbbbkkkkkkktAAxxkkttxbAb02221 bAbkkk0!1 bAb01 )0

34、()!1()0()!121(!121)(00022020200 xkxkAtIkAtAtxkkkkkkktAbbtAtAtbAtbbb )0()(xtxeAt 即即,!10狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣稱為矩陣指數(shù)稱為矩陣指數(shù)定義定義 kkkAttAek 拉氏變換法拉氏變換法由由 兩邊取拉氏變換，兩邊取拉氏變換， 得得 SX(s)-X(0)=AX(s) (SIA)X(s)=X(0) X(s)=(SIA)-1.X(0)兩邊取拉氏反變換兩邊取拉氏反變換 x(t)= L-1X(s)= L-1(SI-A)-1 X(0) = L-1 (SI-A)-1 X(0)比較前式，有比較前式，有eAt= L-1 (SI-

35、A)-1 Axx 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算 (t)=eAt=I+At+(1/2)A2t2+(1/k！)Aktk+ (0)=I初始狀態(tài)初始狀態(tài) AAttA )0(,)()(t)(2) (t1t2)=(t1)(t2) =(t2)(t1) - 線性關(guān)系線性關(guān)系 -1(t)=(-t)， -1(-t)=(t) - 可逆性可逆性 x(t)=(t-t0)x(t0) x(t0)=(t0)x(0), 則則 x(t)=(t)x(0)=(t)-1(t0)x(t0) =(t)(-t0)x(t0)=(t-t0)x(t0)（6）(t2-t0)=(t2-t1)(t1-t0) = e (t2-t1)Ae(t1-t

36、0)A 可分階段轉(zhuǎn)移可分階段轉(zhuǎn)移 (t)k =(kt) e(A+B)t=eAt.eBt=eBt.eAt (AB=BA) e(A+B)teAt.eBteBt.eAt (ABBA) 引入非奇異變換引入非奇異變換 后，后， 兩種常見的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣兩種常見的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 xpx peptAt1)( ttnneetA 00)(,0011 ttttmttmmeteeemtteetA 000)!1()(,0010011 例例7.13 設(shè)有一控制系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為設(shè)有一控制系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為 Axx 320100010A在在t0=0時(shí)，狀態(tài)變量的初值為時(shí)，狀態(tài)變量的初值為x1(0) x2(0) x3(0),

37、試求該方程的解。試求該方程的解。 3201001)(:sssAsI解解)2)(1(20)3(013)1)(2()()(21 sssssssssssAsIAsIadjAsI )2)(1/()2)(1/(20)2)(1/(1)2)(1/()3(0)2)(1(/1)2)(1(/ )3(/1ssssssssssssssssss 22112212021112112025 . 0115 . 025 . 0125 . 1/1sssssssssssssss ttttttttttttAteeeeeeeeeeeeAsILet222222112220205 . 05 . 05 . 025 . 11)()( ) 0(

38、)2() 0()22() 0()() 0()2() 0()5 . 05 . 0() 0()5 . 025 . 1 () 0() 0() 0() 0()() 0()()()()()(3222322232221321321xeexeexeexeexeexeexxxxtxttxtxtxtxtttttttttttt。 Axx ,11)0( 時(shí)時(shí)x;)(22 tteetx,12)0( 時(shí)時(shí)x。 tteetx2)(試求試求A及及(t) 。 )()()()()(22211211ttttt設(shè)設(shè)解：解： 例例7.14 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 )()()()(11)()()()(222112112221

39、121122tttttttteett )()(2)()(212)()()()(22221121122211211tttttttteett解方程組得，解方程組得， 11(t)=2e-t e-2t, 12(t)= 2e-t2e-2t 21(t)=-e-t +e-2t, 22(t)=-e-t+2e-2t tttttttteeeeeeeet22222222)( 3120424222)(022220tttttttttteeeeeeeetA例例7.15 設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動方程為設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動方程為cuuabyybay )(式中式中a、b、c均為實(shí)數(shù)，試求：均為實(shí)數(shù)，試求： 求系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。求系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。

40、 求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 bsbabcasabacbsascsabsbascssUsYsG 11)()()()()()1(2解解： xbabcabacyuxbax1100 btateebsasLbsasLAsILt001001)00()()()2(111112. 非齊次狀態(tài)方程非齊次狀態(tài)方程 的解的解BuAxx 直接法（積分法）直接法（積分法） BueAXxexexAexedtdAtAtAtAtAt )()( dBuextxedxeddtAAttA)()0()()(00 dButxtdBuexetxtttAAt 00)()()()0()()0()(2) 拉氏變換法拉氏變換法

41、sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s) (sI-A)x(s)=x(0)+Bu(s) x(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)則則 x(t)=-1(sI-A)-1x(0)+-1(sI-A)-1Bu(s) (由由eAt=-1(sI-A)-1可得可得) dButxtdBuexetxtttAAt 00)()()()0()()()0()( 例例7.16 在上例中，當(dāng)輸入函數(shù)在上例中，當(dāng)輸入函數(shù)u(t)=1(t)時(shí)，求系統(tǒng)狀態(tài)時(shí)，求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。方程的解。 11,00)(Beetbtat )0()1 (1)0()1 (1)0()0(1100)0()0(00)()()0()(

42、)(210)()(210)()(210 xeebxeeadeexexedeexxeedButxttxbtbtatatttbtabtatttbtabtatt )()(txbabcabacty 例例7.17 設(shè)有一電液位置伺服系統(tǒng)，已知系統(tǒng)方塊圖如下設(shè)有一電液位置伺服系統(tǒng)，已知系統(tǒng)方塊圖如下所示。試用狀態(tài)空間法對系統(tǒng)進(jìn)行分析所示。試用狀態(tài)空間法對系統(tǒng)進(jìn)行分析 。解：解：由圖由圖 111,363,300020001 CBA332613)3)(2)(1(6 ssssss)116(6)()(2 ssssHsG61166)()(1)()()(23 ssssHsGsGsusy 3 2/s 1- 電動伺服閥電

43、動伺服閥放大器放大器油缸油缸位移傳感器位移傳感器11612 ssu( (s) )y( (s) ) ttteeeAsILt3211000000)( dButxttxt 0)()() 0()()( deeetttt 3630000000)(3)(2)( ttttttteeedeee320)(3)(2)(13333363 tttttteeeeeeCxy323233113333111 本章本章主要內(nèi)容主要內(nèi)容： 線性線性定常定常系統(tǒng)的可控性的系統(tǒng)的可控性的定義定義及及判別判別 線性線性定常定常系統(tǒng)的可觀測性的系統(tǒng)的可觀測性的定義定義及及判別判別 可控性與可觀測性的可控性與可觀測性的對偶原理對偶原理 可

44、控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測標(biāo)準(zhǔn)型可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測標(biāo)準(zhǔn)型可控性可控性：反映了控制：反映了控制輸入輸入對系統(tǒng)對系統(tǒng)狀態(tài)狀態(tài)的制約能力。的制約能力。 輸入能否控制狀態(tài)輸入能否控制狀態(tài)（控制問題）（控制問題）可觀性可觀性：反映了：反映了輸出輸出對系統(tǒng)對系統(tǒng)狀態(tài)狀態(tài)的判斷能力。的判斷能力。 狀態(tài)能否由輸出反映狀態(tài)能否由輸出反映（估計(jì)問題）（估計(jì)問題）能控性和能觀性是現(xiàn)代控制論中的兩個(gè)重要的基本概念能控性和能觀性是現(xiàn)代控制論中的兩個(gè)重要的基本概念現(xiàn)代控制論建立在狀態(tài)空間描述的基礎(chǔ)上現(xiàn)代控制論建立在狀態(tài)空間描述的基礎(chǔ)上狀態(tài)方程：輸入狀態(tài)方程：輸入u(t)引起的狀態(tài)引起的狀態(tài)x(t)的變化過程的變化過程輸出方程：狀態(tài)

45、變化對輸出的影響輸出方程：狀態(tài)變化對輸出的影響能控性：分析能控性：分析u(t)對狀態(tài)對狀態(tài)x(t)的控制能力的控制能力能觀性：分析能觀性：分析y(t)對狀態(tài)對狀態(tài)x(t)的反應(yīng)能力的反應(yīng)能力-（控制問題）（控制問題）-（估計(jì)問題）（估計(jì)問題）例例2-12-1：已知系統(tǒng)的動態(tài)方程，判斷其可控性、可觀測性。：已知系統(tǒng)的動態(tài)方程，判斷其可控性、可觀測性。uxxxx21500421212160 xxyuxx114uxx2522 可以控制可以控制 u21, xx 26xy 無法反映無法反映 y1x 系統(tǒng)系統(tǒng)完全可控！完全可控！ 系統(tǒng)系統(tǒng)不完全可觀不完全可觀！ 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：設(shè)線性

46、定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： 如果存在一個(gè)控制如果存在一個(gè)控制u u( (t t) )，能在有限時(shí)間間隔，能在有限時(shí)間間隔 t to o, ,t tf f 內(nèi)，內(nèi)，使系統(tǒng)從其一初態(tài)使系統(tǒng)從其一初態(tài)x x( (t to o) )轉(zhuǎn)移到任意指定的終態(tài)轉(zhuǎn)移到任意指定的終態(tài)x x( (t tf f) ) ，則稱，則稱此狀態(tài)此狀態(tài)x x( (t to o) )是完全可控的，簡稱系統(tǒng)可（能）控。（只要有是完全可控的，簡稱系統(tǒng)可（能）控。（只要有一個(gè)狀態(tài)變量不可控，則系統(tǒng)不可控）。一個(gè)狀態(tài)變量不可控，則系統(tǒng)不可控）。 )()()()()()(tDutCxtytButAxtx 二、定義二、定義1. 可控性

47、可控性定義定義三、可控性與可觀測性判據(jù)三、可控性與可觀測性判據(jù) 系統(tǒng)在穩(wěn)定輸入系統(tǒng)在穩(wěn)定輸入u u( (t t) )作用下，對任意初始時(shí)刻作用下，對任意初始時(shí)刻t to o ，若能，若能在有限時(shí)間間隔在有限時(shí)間間隔 t to o, ,t tf f 之內(nèi)，根據(jù)從之內(nèi)，根據(jù)從t to o到到t tf f對系統(tǒng)輸出對系統(tǒng)輸出y(t)y(t)的觀測值和輸入的觀測值和輸入u(t)u(t)，唯一地確定系統(tǒng)在，唯一地確定系統(tǒng)在t to o時(shí)刻的狀態(tài)時(shí)刻的狀態(tài)x x( (t to o) ) ，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀測的，簡稱系統(tǒng)可（能），則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀測的，簡稱系統(tǒng)可（能）觀測。（只要有一個(gè)狀態(tài)變量不

48、能（可）觀測，則系統(tǒng)不可觀測。（只要有一個(gè)狀態(tài)變量不能（可）觀測，則系統(tǒng)不可觀測）。觀測）。2 2. 可觀測性可觀測性定義定義可控規(guī)范型：可控規(guī)范型： 1000B,aaaa1000001000010A1n2101. 可控性判據(jù)可控性判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件是線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件是可控性判別陣：可控性判別陣： 必須滿秩。即必須滿秩。即 （n為系統(tǒng)維數(shù)）為系統(tǒng)維數(shù)）判據(jù)一判據(jù)一： 1110ABBQc12BABAABBQnC nrankQc 試判別其狀態(tài)的可控性。試判別其狀態(tài)的可控性。 u101101xxxx2121 解：解： 例例7.18 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：設(shè)

49、系統(tǒng)狀態(tài)方程為：nrankQc 2系統(tǒng)可控！系統(tǒng)可控！ 設(shè)線性定常系統(tǒng)具有互異的特征值，則系統(tǒng)可控的設(shè)線性定常系統(tǒng)具有互異的特征值，則系統(tǒng)可控的充要條件是，系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角線規(guī)范型方程：充要條件是，系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角線規(guī)范型方程：uxxn 0021中，中， 陣不包含元素全為零的行。陣不包含元素全為零的行。判據(jù)二判據(jù)二: 例例7.19 已知三階二輸入系統(tǒng)狀態(tài)方程已知三階二輸入系統(tǒng)狀態(tài)方程, 試判別其狀態(tài)的試判別其狀態(tài)的可控性?？煽匦?。 21321321100110110010011uuxxxxxx 1211100101011211102cQ解：解： 不可控！不可控！ uxxxxxx

50、 752100050007)1321321uxxxxxx 750100050007)2321321 21321321570410100050007)3uuxxxxxx 21321321570400100050007)4uuxxxxxx 例例7.20 試確定如下幾個(gè)經(jīng)非奇異變換后的對角線規(guī)范型系統(tǒng)的試確定如下幾個(gè)經(jīng)非奇異變換后的對角線規(guī)范型系統(tǒng)的可控性?？煽匦?。uxJJJxk 21 例例7.21 試判斷下列已經(jīng)非奇異變換成約當(dāng)規(guī)范型的系統(tǒng)的試判斷下列已經(jīng)非奇異變換成約當(dāng)規(guī)范型的系統(tǒng)的可控性?？煽匦?。uxxxxxx 340200040014)1321321 21321321030024200040

51、014)2uuxxxxxx 中，與每個(gè)約當(dāng)小塊中，與每個(gè)約當(dāng)小塊 的最后一行相對應(yīng)的最后一行相對應(yīng) 的的 陣陣 中的所有那些行，其元素不全為零。（若兩個(gè)約當(dāng)塊有中的所有那些行，其元素不全為零。（若兩個(gè)約當(dāng)塊有相同特征值，此結(jié)論不成立。）相同特征值，此結(jié)論不成立。） ), 2 , 1(kiJi 約當(dāng)規(guī)范型約當(dāng)規(guī)范型 判據(jù)三：判據(jù)三： 判據(jù)一判據(jù)一: 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充分必要線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件為可觀測性矩陣條件為可觀測性矩陣: 10nCACACQ2. 可觀測性判據(jù)可觀測性判據(jù)必須滿秩，即必須滿秩，即 rankQo=n（n為系統(tǒng)維數(shù)）為系統(tǒng)維數(shù)）可觀測規(guī)范型

52、：可觀測規(guī)范型： 100,1000100010001210 CaaaaAn)(CBTcQ 例例7.22 已知系統(tǒng)的已知系統(tǒng)的A, C陣如下，試判斷其可觀性。陣如下，試判斷其可觀性。uxxxx 1131122121 21210101xxyy 121201010CACQ例例9.23 試判別如下系統(tǒng)的可觀測性。試判別如下系統(tǒng)的可觀測性。解：解： 0154 11 C 55110CACQ 55015411 CA解：解： xcyxxn 0021的矩陣的矩陣 中不包含元素全為零的列。中不包含元素全為零的列。 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)具有不相等的特征值設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)具有不相等的特征值, 則其狀則其狀態(tài)可觀測的充

53、要條件是系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角線規(guī)范型態(tài)可觀測的充要條件是系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角線規(guī)范型:c例例7.24 試判別以下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測性試判別以下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測性. 321321100050007xxxxxx 32121130023xxxyy判據(jù)二判據(jù)二: kJJJx0021中中,與每個(gè)約當(dāng)塊與每個(gè)約當(dāng)塊 首行相對應(yīng)的矩陣首行相對應(yīng)的矩陣 中的中的那些列那些列,其元素不全為零。其元素不全為零。(如果兩個(gè)約當(dāng)塊有相同的特征如果兩個(gè)約當(dāng)塊有相同的特征值值, 此結(jié)論不成立此結(jié)論不成立)。 ), 3 , 2 , 1(kiJi 約當(dāng)規(guī)范型約當(dāng)規(guī)范型c判據(jù)三判據(jù)三: 例例7.25 試判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)

54、可觀測性。試判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測性。 432143213001320012)1xxxxxxxx 43212110100011xxxxyyuxxxxxx 101200120001)2321321 321011xxxy 1 1）可控可觀測的充要條件：）可控可觀測的充要條件： 由動態(tài)方程導(dǎo)出的傳遞函數(shù)不存在零極點(diǎn)對消（即傳遞函由動態(tài)方程導(dǎo)出的傳遞函數(shù)不存在零極點(diǎn)對消（即傳遞函數(shù)可約）。數(shù)可約）。 2 2）可控的充要條件：）可控的充要條件： (SI-A)-1b不存在零極點(diǎn)對消。不存在零極點(diǎn)對消。 3 3）可觀測的充要條件：）可觀測的充要條件： c(SI-A)-1不存在零極點(diǎn)對消。不存在零極點(diǎn)對消。

55、 四、四、 能控能觀性與傳遞函數(shù)的關(guān)系能控能觀性與傳遞函數(shù)的關(guān)系例例7.26 判斷以下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性與可觀測性。判斷以下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性與可觀測性。 21212101,112110 xxyuxxxx1. 單輸入單輸出系統(tǒng)單輸入單輸出系統(tǒng)例例7.27 系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下，判斷其可控性與可觀測性。系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下，判斷其可控性與可觀測性。 ssssssAsI516)5)(1(1651)(11 568922 sssssG解：解： ，故不滿足，故不滿足可控可觀測的條件可控可觀測的條件。 )5)(1()8)(1( sssssG 563312 ssssG由由 uxxyuxxxx21212133106510

56、有有故故可可控控因因,1)5)(1(110516)5)(1(1)(1 sssssssbAsI 則則系系統(tǒng)統(tǒng)不不可可觀觀測測而而,11)5)(1() 1( 3) 1() 1()5)(1(351633)5)(1(1)(1 sssssssssssAsIc2. 多輸入多輸出系統(tǒng)多輸入多輸出系統(tǒng)1）可控的充要條件：）可控的充要條件： 2）可觀測的充要條件：）可觀測的充要條件： 21212101,3002)2(xxyxxxx 例例7.28 用兩種方法驗(yàn)證：系統(tǒng)（用兩種方法驗(yàn)證：系統(tǒng)（1）的狀態(tài)可控性；系統(tǒng)）的狀態(tài)可控性；系統(tǒng)（2）的狀態(tài)可觀測性。）的狀態(tài)可觀測性。 uxxxx213002)1(2121例例

57、7.29 1222222221112111111111211112)()(.1nTnTTTTTTTnToACACACCABABABBBABABABQQc五、對偶原理五、對偶原理 設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng) S1(A1,B1,C1) 與系統(tǒng)與系統(tǒng) S2(A2,B2,C2) 互為對偶系統(tǒng)，則互為對偶系統(tǒng)，則: TTBCC121T12,A A.1111211111BABABABQnc 若系統(tǒng)若系統(tǒng)S1(A1,B1,C1)，則系統(tǒng)，則系統(tǒng)S2(A2,B2,C2)； 若系統(tǒng)若系統(tǒng)S1(A1,B1,C1)，則系統(tǒng)，則系統(tǒng)S2(A2,B2,C2)； 證明：證明：六、線性系統(tǒng)的規(guī)范分解六、線性系統(tǒng)的規(guī)范分解*例例7.30

58、判斷以下系統(tǒng)及其的狀態(tài)可控性與可觀測性。判斷以下系統(tǒng)及其的狀態(tài)可控性與可觀測性。 21212111212110 xxyuxxxx線性系統(tǒng)可分解為線性系統(tǒng)可分解為四種系統(tǒng)四種系統(tǒng)： 能控能控 能觀測能觀測1 2. 3. 4. 1. 能控性規(guī)范分解能控性規(guī)范分解 定理定理 n 階系統(tǒng)階系統(tǒng)(A,B,C)，rankQc=kn，則通過非奇異變換，則通過非奇異變換xTxc 可導(dǎo)出原系統(tǒng)按能控性規(guī)范分解的新系統(tǒng)可導(dǎo)出原系統(tǒng)按能控性規(guī)范分解的新系統(tǒng) (Ac , Bc , Cc)，有，有 uBxxAAAxxxccccccc 00)1(1221211 ccccxxCCy21xc是是k維能控狀態(tài)分量，維能控狀態(tài)分

59、量，cx為為(n-k)維不能控分量，維不能控分量，),(1111cccCBA為能控子系統(tǒng)。為能控子系統(tǒng)。 5-3cB1cA1112AcA22cxcxu kBABABrankckcccc 11111111)( ,)2(ccccBAsICBAsICsG111111)()()()3( Tc的求法：的求法： i) 從從QC中任選中任選k (rankQC=k) 個(gè)個(gè)線性無關(guān)的列向量，線性無關(guān)的列向量，它為它為Tc的前的前k列：列：V1, V2, , Vk ； ii) 在在Rn中再選中再選n-k個(gè)個(gè)列向量，記為列向量，記為Vk+1, Vn , 需使得：需使得： nkkcVVVVT,11 為非奇異。為非奇異

60、。中中選選取取。）不不能能連連續(xù)續(xù)在在注注意意：CnkQVV,(1 設(shè)線性定常系統(tǒng)如下，判斷其能控性；若不完全能設(shè)線性定常系統(tǒng)如下，判斷其能控性；若不完全能控，試將該系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解?？?，試將該系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解。 例例7.31 ,011310301100uxx xy210 解解 系統(tǒng)能控性判別陣系統(tǒng)能控性判別陣 2103111012BAABBQcrankQc=2n=3 , 所以系統(tǒng)是所以系統(tǒng)是不完全能控不完全能控的。的。 其中其中Tc3是任意是任意的，只要能保證的，只要能保證Tc非奇異即可。非奇異即可。變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 ,0111 BTc,110