代數(shù)基本定理

1、代數(shù)基本定理代數(shù)基本定理定理定理1 任何一個任何一個 次多項式次多項式 可以分解成可以分解成 下面的形式下面的形式)(xpnn21)()()(21 axaxxpn21,aa其中其中 為實數(shù)根，為實數(shù)根， 為其實數(shù)；為其實數(shù)；,21,)( ,)(21222112qxpxqxpx分別對應于一對復根，分別對應于一對復根，21,為其實數(shù)，且為其實數(shù)，且n212122 定理定理2 若有理真分式若有理真分式 的分母的分母 分解成定理分解成定理1的形式，則有理真分式可展開成的形式，則有理真分式可展開成)()(xPxQnn)(xPn21)()(222112 qxpxqxpxqpxxMxNqpxxMxNqpxx

2、MxN21222211)()( )()()()()(111211axAaxAaxAxPxQnn )()()(111221axBaxBaxB qpxxSxRqpxxSxRqpxxSxR21222211)()( 其中其中 等都是未定常數(shù)。等都是未定常數(shù)。iiiiiiSRNMBA,可通過比較多項式系數(shù)而定出。可通過比較多項式系數(shù)而定出。例例1) 1() 1() 1() 1(1)()(222122xMNxxAxAxxxPxQnn22221) 1)() 1)(1() 1(1xMNxxxAxA)()() 1() 1() 2(2222211221qpxxMxNqpxxMxNxBxBxA222)32()1)(

3、2(1)()(xxxxxPxQnn例例132xBxA) 3)(2(36532xxxxxx3)2()3(xxBxA3231BABA6, 5BA21xCxBxA例例2) 2)(1(3223223xxxxxxxx32)1()2()2)(1(xxCxxBxxxA令0 x得23,23AA令1x2x令得35, 53BB得61, 16CC) 2)(1(3223223xxxxxxxx) 2( 61) 1( 3523xxxdxxxxxdxxxxx) 2)(1(3223223dxxxx) 2( 61) 1( 35233312224xDCxxBxAxx)() 3() 3(1222DCxxxBxAx1303300BB

4、ABDCA310310DCBA2424353123162xxxxxxx例3dxxxxdxxxxx3123162242435dxxxxxx)3(31313122242cxxx3arctan331312dxxxx322232332) 32(21222xxdxdxxxxx222)2()1()1(3)32ln(21xxdxx例例4cxxx21arctan23)32ln(212三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限四則運算所構成的函數(shù)，由于各種三角函數(shù)都可用 及 的有理式表示，故三角函數(shù)有理式也就是 的有理式，記作xx cos,sinxsinxcos)cos,

5、(sinxxR例5 求dxxxx)cos1 (sinsin1有三角公式知 與 都可以用 的有理式表示，即xsin2tanxxcos2tan12tan22sec2tan22cos2sin2sin22xxxxxxx2sin2coscos22xxx2tanxu 令令212sinuux2211cosuuxduudx212uxarctan22tan12tan12sec2tan12222xxxxdxxxx)cos1 (sinsin1于是于是2222212)111 (12)121 (uduuuuuuucuuuduuu)ln22(21)12(212cxxx2tanln212tan2tan412duuuuuuRdxxxR222212)11,12()cos,(sin一般地對于三角有理式的積分，令一般地對于三角有理式的積分，令2tanxu 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分主要討論主要討