《微積分初步》形成性考核冊(cè)題修改正式版

1、作業(yè)（一）函數(shù)，極限和連續(xù)一、填空題（每小題2分，共20分）1.函數(shù)的定義域是 答案： 提示：對(duì)于，要求分母不能為0，即，也就是； 對(duì)于，要求，即；所以函數(shù)的定義域是2函數(shù)的定義域是 答案： 提示：對(duì)于，要求分母不能為0，即，也就是； 對(duì)于，要求，即；所以函數(shù)的定義域是3.函數(shù)的定義域是 答案： 提示：對(duì)于，要求分母不能為0，即，也就是； 對(duì)于，要求，即； 對(duì)于，要求，即且； 所以函數(shù)的定義域是4.函數(shù)，則 答案： 提示：因?yàn)?，所?函數(shù)，則 答案： 提示：因?yàn)楫?dāng)是在區(qū)間，應(yīng)選擇進(jìn)行計(jì)算，即6函數(shù)，則 答案： 提示：因?yàn)?，所?函數(shù)的間斷點(diǎn)是 答案： 提示：若在有下列三種情況之一，則在間斷：在

2、無(wú)定義；在極限不存在；在處有定義，且 存在，但。題中在處無(wú)定義8. 答案： 1 ； 提示：9若，則 答案： 2 提示：因?yàn)?，所?0若，則 答案： 1.5；提示：因?yàn)?，所以二、單?xiàng)選擇題（每小題2分，共24分）1設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）答案：BA奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既奇又偶函數(shù) 提示：奇函數(shù)是指，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)是指，關(guān)于軸對(duì)稱。題中，所以函數(shù)是偶函數(shù)。2設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）答案：AA奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既奇又偶函數(shù) 提示：因?yàn)?，所以是奇函?shù)。3函數(shù)的圖形是關(guān)于（）對(duì)稱答案：DA B軸C軸 D坐標(biāo)原點(diǎn) 提示：因?yàn)?，是奇函?shù)，所以的圖形是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱4下列

3、函數(shù)中為奇函數(shù)是（無(wú)）A B C D提示：A. ,即是偶函數(shù)； B. 的圖形只在一、四象限，既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)； C 的圖形只在一、四象限，既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)； D ，既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)。 所以本題沒有一個(gè)待選答案是奇函數(shù)5函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ┐鸢福篋A B C且 D且 提示：對(duì)于，要求分母不能為0 ，即；對(duì)于，要求，即。 的定義域?yàn)榍?函數(shù)的定義域是（）答案：DA BC D 提示：對(duì)于，要求分母不能為0，即；對(duì)于，要求，即。所以函數(shù)的定義域是7設(shè)，則（ ）答案：CA B C D 提示：注意比少1，所以8下列各函數(shù)對(duì)中，（）中的兩個(gè)函數(shù)相等答案：D A， B，C， D 提示：兩個(gè)函數(shù)

4、相等，必須是對(duì)應(yīng)的規(guī)則相同，定義域相同。上述答案中，A定義域不同；B對(duì)應(yīng)的規(guī)則不同；C定義域不同；D對(duì)應(yīng)的規(guī)則相同，定義域相同9當(dāng)時(shí)，下列變量中為無(wú)窮小量的是（ ）答案：C.A B C D 提示：以0為極限的變量稱為無(wú)窮小量。上述答案中，當(dāng)時(shí)，A趨向；B的極限為1；C的極限為0；D趨向。10當(dāng)（ ）時(shí)，函數(shù)，在處連續(xù). 答案：BA0 B1 C D 提示：當(dāng)時(shí)，稱函數(shù)在連續(xù)。因，所以當(dāng)1時(shí)，函數(shù)，在處連續(xù)11當(dāng)（ ）時(shí)，函數(shù)在處連續(xù) 答案：DA0 B1 C D 提示：當(dāng)時(shí)，稱函數(shù)在連續(xù)。因?yàn)?，所以?dāng)3時(shí)，函數(shù)，在處連續(xù) 12函數(shù)的間斷點(diǎn)是（ ）答案：AA B C D無(wú)間斷點(diǎn)提示：若在有下列三種情

5、況之一，則在間斷：在無(wú)定義；在極限不存在；在處有定義，且存在，但。題中，分母，所以在和處無(wú)定義三、解答題（每小題7分，共56分）計(jì)算極限 解 2計(jì)算極限 解 3. 解 4計(jì)算極限 解 5計(jì)算極限 解 6.計(jì)算極限 解 7計(jì)算極限 解 8計(jì)算極限解 作業(yè)（二）導(dǎo)數(shù)、微分及應(yīng)用一、填空題（每小題2分，共20分）1曲線在點(diǎn)的斜率是 答案： 提示：若已知曲線方程，則它在任一點(diǎn)處的斜率為。題中，將代入上式，得2曲線在點(diǎn)的切線方程是 答案： 提示：若已知曲線方程，則它在任一點(diǎn)處的斜率為。若給定曲線上的一點(diǎn)，則通過該點(diǎn)的切線方程為。題中，將代入上式，得，所以通過點(diǎn)(0,1)切線方程為，即3曲線在點(diǎn)處的切線方

6、程是 答案： 提示：若已知曲線方程，則它在任一點(diǎn)處的斜率為。若給定曲線上的一點(diǎn)，則通過該點(diǎn)的切線方程為。題中，將代入上式，得，所以通過點(diǎn)(0,1)切線方程為，即4 答案：提示：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算。5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，則(0) = 答案：提示：根據(jù)有限多個(gè)函數(shù)的乘積的求導(dǎo)法則（見P45）， + 6已知，則= 答案： 提示： 7已知，則= 答案： 提示：，8若，則 答案：9函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 答案：10函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，則a應(yīng)滿足 答案： 提示；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加。題中，所以函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)增加，a應(yīng)滿足。二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共24分）1函數(shù)在區(qū)間

7、是（ ）答案：DA單調(diào)增加 B單調(diào)減少 C先增后減 D先減后增提示：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少。題中，令，得駐點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加。所以函數(shù)在區(qū)間是先減后增。2滿足方程的點(diǎn)一定是函數(shù)的（ ）答案：C.A極值點(diǎn)B最值點(diǎn) C駐點(diǎn)D 間斷點(diǎn)提示：使的點(diǎn)，成為函數(shù)的駐點(diǎn)（P69定理3.2）3若，則=（ ） 答案：C A. 2 B. 1 C. -1 D. 2提示： ， 4設(shè)，則（ ） 答案：B A B C D提示：5設(shè)是可微函數(shù)，則（ ） 答案：D A B C D 提示： 6曲線在處切線的斜率是（ ） 答案：C A B C D 提示：若已知曲線方程，則它在任一點(diǎn)處的斜率為

8、。，將代入上式得7若，則（ ）答案：C A B C D 提示： 8若，其中是常數(shù)，則（ ）答案C A B C D 提示：，9下列結(jié)論中（ ）不正確 答案：C A在處連續(xù)，則一定在處可微. B在處不連續(xù)，則一定在處不可導(dǎo). C可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上. D若在a，b內(nèi)恒有，則在a，b內(nèi)函數(shù)是單調(diào)下降的. 提示：極大值可能出現(xiàn)在：駐點(diǎn)（駐點(diǎn)是的點(diǎn)）；連續(xù)但導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。10若函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則( )是錯(cuò)誤的 答案：B A函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處有定義 B，但 C函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處連續(xù) D函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可微 提示：若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則它在點(diǎn)一定連續(xù)（P83定理

9、2.5）。，但即在點(diǎn)不連續(xù)。11下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是（ ）答案：BAsinx Be x Cx 2 D3 x提示：A是周期函數(shù)；B是單調(diào)增函數(shù)；C是偶函數(shù)，先減后增；D是單調(diào)減函數(shù)12.下列結(jié)論正確的有（ ） 答案：A Ax0是f (x)的極值點(diǎn)，且(x0)存在，則必有(x0) = 0 Bx0是f (x)的極值點(diǎn)，則x0必是f (x)的駐點(diǎn) C若(x0) = 0，則x0必是f (x)的極值點(diǎn) D使不存在的點(diǎn)x0，一定是f (x)的極值點(diǎn) 提示：A正確；B不正確，因?yàn)轳v點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；C不正確，(x0) = 0就是駐點(diǎn)，駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；D不正確，因?yàn)闃O大值可能出現(xiàn)在：駐點(diǎn)和連續(xù)但

10、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。三、解答題（每小題7分，共56分）1設(shè)，求 解 2設(shè)，求. 解 3設(shè)，求. 解 4設(shè)，求. 解 5設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求. 解 對(duì)方程兩邊求導(dǎo)，得 ， ， ， 6設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求. 解 對(duì)方程兩邊求導(dǎo)，得 ， ， ， 7設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求. 解 對(duì)方程兩邊求導(dǎo)，得 ， 8設(shè)，求解 對(duì)方程兩邊求導(dǎo)，得 ， ，作業(yè)（三）不定積分，極值應(yīng)用問題一、填空題（每小題2分，共20分）1若的一個(gè)原函數(shù)為，則 。 答案： （c為任意常數(shù)） 提示：參見教材P90，根據(jù)定義4.1，若，則稱為的原函數(shù)，根據(jù)題意，對(duì)求導(dǎo)的結(jié)果就是，即2若的一個(gè)原函數(shù)為，則 。 答案： 提示：參見

11、教材P90，根據(jù)定義4.1，若，則稱為的原函數(shù)，根據(jù)題意，對(duì)求導(dǎo)的結(jié)果就是，即，所以3若，則 答案： 提示： 驗(yàn)算：4若，則 答案： 提示： 驗(yàn)算：5若，則答案： 提示： 6若，則 答案： 提示： 7答案：提示：是的原函數(shù)，對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)就等于被積函數(shù)，所以對(duì)原函數(shù)求微分就等于被積函數(shù)的微分8 答案： 提示：9若，則答案： 提示：10若，則 答案： 提示：二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共16分）1下列等式成立的是（）答案：AA B C D提示：對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)等于被積函數(shù)本身23若，則（ ）. 答案：AA. B. C. D. 提示：4若，則（ ）. 答案：A A. B. C. D. 提示： 即對(duì)被積函

12、數(shù)先求導(dǎo)再積分等于被積函數(shù)本身（加不定常數(shù)）。5以下計(jì)算正確的是（ ） 答案：AA B C D 提示：6（ ）答案：AA. B. C. D. 提示：利用分部積分法，設(shè)，,則， 上式中利用了“對(duì)被積函數(shù)先求導(dǎo)再積分等于被積函數(shù)本身（加不定常數(shù)）”。7=（ ） 答案：C A B C D 提示：所以對(duì)原函數(shù)求微分就等于被積函數(shù)的微分8如果等式，則（） 答案BA. B. C. D. 提示： ，比較上式左右兩邊，可知三、計(jì)算題（每小題7分，共35分）1 解 2 解 3 解 4 解 利用分步積分法： 設(shè)，則， 5 解 利用分步積分法： 設(shè)，則， 四、極值應(yīng)用題（每小題12分，共24分）1設(shè)矩形的周長(zhǎng)為12

13、0厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。60-x0xxy解 設(shè)矩形的一邊邊長(zhǎng)為x厘米，則另一邊邊長(zhǎng)為（60-x）厘米，邊長(zhǎng)為x厘米的邊繞軸旋轉(zhuǎn)得一圓柱體，其底面積為(60-x)2，旋轉(zhuǎn)體的體積為 令，即 其中是極小值點(diǎn)，此時(shí)體積為0；是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的圓柱體最大體積值為 2欲用圍墻圍成面積為216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長(zhǎng)和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最??？ 解 設(shè)土地一邊長(zhǎng)為，另一邊長(zhǎng)為，共用材料為于是 =3 令得唯一駐點(diǎn)（舍去） 10分 因?yàn)楸締栴}存在最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，

14、所以，當(dāng)土地一邊長(zhǎng)為，另一邊長(zhǎng)為18時(shí)，所用材料最省. 五、證明題（本題5分）1函數(shù)在（是單調(diào)增加的證 只需證明當(dāng)時(shí)，有 因?yàn)?當(dāng)時(shí)，即有 所以，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)增加的。作業(yè)（四）定積分及應(yīng)用、微分方程一、填空題（每小題2分，共20分）1 答案：提示：上式被積函數(shù)第一項(xiàng)和是奇函數(shù)，在對(duì)稱積分限下的積分結(jié)果為0，第二項(xiàng)數(shù)是偶函數(shù)，在對(duì)稱積分限可化為，所以2 答案： 提示：被積函數(shù)的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)都是奇函數(shù)，在對(duì)稱積分限下的積分結(jié)果為0，第三項(xiàng)為是偶函數(shù)，在對(duì)稱積分限下可化為，所以3已知曲線在任意點(diǎn)處切線的斜率為，且曲線過，則該曲線的方程是 。答案：提示：切線在點(diǎn)（4，5）處的斜率為，根據(jù)切線方程，得

15、該切線方程為 ，即4若 答案：2 提示：上式被積函數(shù)第一項(xiàng)和第二項(xiàng)都是奇函數(shù)，在對(duì)稱積分限下的積分結(jié)果為0，第三項(xiàng)為是偶函數(shù)，在對(duì)稱積分限下可化為，所以5由定積分的幾何意義知，= 。答案：，它是1/4半徑為a的圓的面積。提示：設(shè)，則。當(dāng)；當(dāng)。所以 ，它是1/4半徑為a的圓的面積（參見P125（3）6 . 答案：0提示：因?yàn)槎ǚe分的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值（即常數(shù)），常數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)為0。7=答案： 提示：8微分方程的特解為 . 答案：1提示：將微分方程分離變量得 兩邊積分得 ，即，所以微分方程的特解為 9微分方程的通解為 . 答案：提示：將微分方程分離變量得 兩邊積分得 ，即，所以微分方程的通特解為10微分

16、方程的階數(shù)為 答案：2提示：微分方程的階數(shù)是微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階次。二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分）1在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)（1, 4）的曲線為（ ）答案：AAy = x2 + 3 By = x2 + 4 C D 提示：曲線方程由確定，將代入得，所以通過點(diǎn)（1, 4）的曲線為。2若= 2，則k =（ ） 答案：A A1 B-1 C0 D 提示：，所以3下列定積分中積分值為0的是（ ） 答案：A A B C D 提示：因?yàn)榉e分式中的被積函數(shù)是奇函數(shù)，奇函數(shù)在對(duì)稱積分限下的定積分為0 。4設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分（ ）答案：DAB CD 0提示：奇函數(shù)在對(duì)稱積分限下的定積分為0 。5（ ）答案：DA0 B C D提示：是偶函數(shù)，所以6下列無(wú)窮積分收斂的是（）答案：BA B C D 提示：發(fā)散， 收斂 發(fā)散 發(fā)散7下列無(wú)窮積分收斂的是（）答案：BA B C D提示：發(fā)散 收斂 發(fā)散 發(fā)散8下列微分方程中，（ ）是線性微分方程答案：D A B C D提示：所謂：“線性”，是指在方程中含有未知數(shù)y和它的導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)都是關(guān)于的一次項(xiàng)。9微分方程的通解為（ ）答案：C A B C D提示：由題意可知，y的導(dǎo)數(shù)為0，所以