第12講　二次函數(shù)

1、.第12講二次函數(shù)第1課時二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)y2x2bxc的圖象經(jīng)過點A2，1，B0，11求該二次函數(shù)的表達式；2二次函數(shù)圖象的頂點坐標為1，1，對稱軸為直線x1，最小值為1；3假設(shè)C，D是拋物線上兩點，且點C3，7，點Da，7，那么a的值為1；來源:Z+xx+k 4假設(shè)點P3n2，y1，Q4n2，y2在拋物線上，試判斷y1與y2的大??；寫出判斷的理由5將該函數(shù)圖象向右平移，當圖象經(jīng)過點1，1時，A，B兩點隨圖象移至A，B，求OBB的面積；6將該函數(shù)圖象向上平移kk是正整數(shù)個單位長度，使平移后的圖象與x軸無交點，求k的最小值【自主解答】解：1二次函數(shù)y2x

2、2bxc的圖象經(jīng)過點2，1，0，1解得該二次函數(shù)的表達式是y2x24x1. 44n23n21，P，Q都在對稱軸的右邊又20，函數(shù)的圖象開口向上，在對稱軸的右邊y隨x的增大而增大，y1y2.5設(shè)函數(shù)圖象向右平移mm0個單位長度，那么平移后函數(shù)的表達式為y2x1m21，圖象經(jīng)過點1，1，2m211，解得m1.SO BBOB·BB×1×1.6將拋物線y2x24x1的圖象向上平移kk是正整數(shù)個單位長度后的解析式為y2x24x1k，方程2x24x1k0無根，0，1681k0.k1.k是正整數(shù)，k的最小值為2. 1.求拋物線yax2bxca0的對稱軸、頂點坐標有兩種方法，一是

3、利用頂點公式，二是通過配方得到y(tǒng)axh2k的形式2比較拋物線上點的縱坐標大小的根本方法有以下三種：1利用拋物線上對稱點的縱坐標相等，把各點轉(zhuǎn)化到對稱軸的同側(cè)，再利用二次函數(shù)的增減性進展比較；2當拋物線的解析式及相應點的橫坐標時，可先求出相應點的縱坐標，然后比較大??；3利用“開口向上，拋物線上的點間隔 對稱軸越近，點的縱坐標越小，開口向下，拋物線上的點間隔 對稱軸越近，點的縱坐標越大比較大小如本例43與x軸有無交點，就是將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解，假設(shè)無交點，即是要求0；有一個交點，即是0；有兩個交點，即是0.【變式訓練1】2019·成都關(guān)于二次函數(shù)y2x24x1，以下說法正確的選項是

4、DA圖象與y軸的交點坐標為0，1B圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)C當x0時，y的值隨x值的增大而減小來源:1Dy的最小值為3【變式訓練2】2019·泰安二次函數(shù)yax2bxc的y與x的部分對應值如下表：x1013y3131以下結(jié)論：拋物線的開口向下；其圖象的對稱軸為直線x1；當x1時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；方程ax2bxc0有一個根大于4.其中正確的結(jié)論有BA1個 B2個 C3個 D4個重難點2同一坐標系中的函數(shù)圖象共存問題2019·德州如圖，函數(shù)yax22x1和yaxaa是常數(shù)，且a0在同一平面直角坐標系的圖象可能是B,A,B,C,D同一法：一般可以先假定其中一種函數(shù)的圖象

5、如：一次函數(shù)，反比例函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖象得到該函數(shù)解析式中字母的范圍，去判斷另一個函數(shù)圖象是否正確如：例2A選項，假設(shè)一次函數(shù)圖象正確，那么a<0，這與拋物線開口向上相矛盾故A選項錯誤【變式訓練3】2019·永州在同一平面直角坐標系中，反比例函數(shù)yb0與二次函數(shù)yax2bxa0的圖象可能是D,A,B,C,D重難點3二次函數(shù)圖象與字母系數(shù)的關(guān)系2019·達州如圖，二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸交于點A1，0，與y軸的交點B在0，2與0，3之間不包括這兩點，對稱軸為直線x2.以下結(jié)論：abc0；9a3bc0；假設(shè)點M，y1，點N，y2是函數(shù)圖象上的兩點，那么y1y2；

6、a .其中正確結(jié)論有DA1個B2個C3個D4個【思路點撥】利用開口方向、對稱軸以及與y軸交點縱坐標即可判斷a，b，c的正負性；根據(jù)拋物線與x軸交點坐標以及對稱軸，可判斷拋物線與x軸的另外一個交點為5，0，根據(jù)圖象可知當x3時，y0，即可判斷9a3bc與0的大小關(guān)系；根據(jù)點M、點N與對稱軸的關(guān)系即可判斷y1與y2的大小關(guān)系；根據(jù)拋物線的對稱軸x2，以及二次函數(shù)經(jīng)過點1，0可得出a，b，c之間的關(guān)系，再根據(jù)2c3即可判斷a的取值范圍,解答二次函數(shù)的圖象信息問題，通常先抓住拋物線的對稱軸和頂點坐標，拋物線與兩坐標軸的交點坐標情況，再根據(jù)圖象與字母系數(shù)之間的關(guān)系求解?？嫉囊恍┦阶拥呐袛喾椒ㄈ缦拢?判斷

7、2ab與0的關(guān)系，需比較對稱軸與1的大小；判斷2ab與0的關(guān)系，需比較對稱軸與1的大小；2判斷abc與0的關(guān)系，需看x1時的縱坐標，即比較x1時函數(shù)值與0的大小；判斷abc與0的關(guān)系，需看x1時的縱坐標，即比較x1時函數(shù)值與0的大??；3判斷4a2bc與0的關(guān)系，需看x2時的縱坐標，即比較x2時函數(shù)值與0的大小；判斷4a2bc與0的關(guān)系，需看x2時的縱坐標，即比較x2時函數(shù)值與0的大??；4判斷9a3bc與0的關(guān)系，需看x3時的縱坐標，即比較x3時函數(shù)值與0的大??；判斷9a3bc與0的關(guān)系，需看x3時的縱坐標，即比較x3時函數(shù)值與0的大小；5判斷某個字母的取值范圍，通常找出兩個等式，將所求字母用其

8、他字母容易得出范圍表示，然后解不等式. 【變式訓練4】2019·深圳二次函數(shù)yax2bxca0的圖象如下圖，以下結(jié)論正確是CAabc0 B2ab0 C3ac0 Dax2bxc30有兩個不相等的實數(shù)根【變式訓練5】2019·荊門二次函數(shù)yax2bxca0的大致圖象如下圖，頂點坐標為2，9a，以下結(jié)論：4a2bc0；5abc0；假設(shè)方程ax5x11有兩個根x1和x2，且x1x2，那么5x1x21；假設(shè)方程|ax2bxc|1有四個根，那么這四個根的和為4.其中正確的結(jié)論有BA1個 B2個 C.3個 D.4個考點1二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)12019·岳陽拋物線y3x225的頂

9、點坐標是CA2，5 B.2，5 C.2，5 D.2，522019·上海以下對二次函數(shù)yx2x的圖象的描繪，正確的選項是CA開口向下B.對稱軸是y軸C經(jīng)過原點D.在對稱軸右側(cè)部分是下降的32019·連云港拋物線yax2a>0過A2，y1，B1，y2兩點，那么以下關(guān)系式一定正確的選項是CAy1>0>y2 By2>0>y1 Cy1>y2>0 Dy2>y1>042019·青島一次函數(shù)yxc的圖象如圖，那么二次函數(shù)yax2bxc在平面直角坐標系中的圖象可能是A,A,B,C,D5如圖，拋物線yax2bxc的頂點為B1，3，

10、與x軸的一個交點A在2，0和3，0之間，以下結(jié)論中：bc0；2ab0；abc0；ac3，正確的有AA4個 B3個 C2個 D1個6.2019·陜西對于拋物線yax22a1xa3，當x1時，y0，那么這條拋物線的頂點一定在CA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限考點2二次函數(shù)圖象的平移72019·廣安拋物線yx221可以由拋物線yx2平移而得到，以下平移正確的選項是DA先向左平移2個單位長度，然后向上平移1個單位長度B先向左平移2個單位長度，然后向下平移1個單位長度C先向右平移2個單位長度，然后向上平移1個單位長度D先向右平移2個單位長度，然后向下平移1個單位長度82

11、019·廣西將拋物線yx26x21向左平移2個單位長度后，得到新拋物線的解析式為DAyx825 Byx425Cyx823 Dyx423考點3二次函數(shù)與方程、不等式92019·襄陽二次函數(shù)yx2xm1的圖象與x軸有交點，那么m的取值范圍是AAm5 Bm2 Cm5 Dm2102019·蘇州假設(shè)二次函數(shù)yax21的圖象經(jīng)過點2，0，那么關(guān)于x的方程ax2210的實數(shù)根為AAx10，x24 Bx12，x26Cx1，x2 Dx14，x20112019·咸寧如圖，直線ymxn與拋物線yax2bxc交于A1，p，B4，q兩點，那么關(guān)于x的不等式mxn>ax2bx

12、c的解集是x<1或x>4考點4確定二次函數(shù)的解析式12：二次函數(shù)圖象的頂點坐標是3，5，且拋物線經(jīng)過點A1，31求此拋物線的解析式；2假如點A關(guān)于該拋物線對稱軸的對稱點是B點，且拋物線與y軸的交點是C點，求ABC的面積解：1設(shè)拋物線的解析式為yax325，將A1，3代入上式得3a1325，解得a.拋物線的解析式為yx325.2A1，3，拋物線對稱軸為直線x3，B5，3令x0，y0325，那么C0，來源:Z#xx#k ABC的面積×51×35.132019·瀘州二次函數(shù)yax22ax3a23 其中x是自變量，當x2時，y隨x的增大而增大，且2x1時，y的

13、最大值為9，那么a的值為DA1或2 B 或 C. D1142019·湖州在平面直角坐標系xOy中，點M，N的坐標分別為1，2，2，1，假設(shè)拋物線yax2x2a0與線段MN有兩個不同的交點，那么a的取值范圍是AAa1或a B.aCa或a Da1或a 152019·淄博拋物線yx22x3與x軸交于A，B兩點點A在點B的左側(cè)，將這條拋物線向右平移mm0個單位長度，平移后的拋物線與x軸交于C，D兩點點C在點D的左側(cè)假設(shè)B，C是線段AD的三等分點，那么m的值為2或8162019·濟寧函數(shù)ymx22m5xm2的圖象與x軸有兩個公共點1求m的取值范圍，寫出當m取范圍內(nèi)最大整數(shù)時

14、函數(shù)的解析式；2題1中求得的函數(shù)記為C1.當nx1時，y的取值范圍是1y3n，那么n的值為2；函數(shù)C2：y2xh2k的圖象由函數(shù)C1的圖象平移得到，其頂點P落在以原點為圓心，半徑為的圓內(nèi)或圓上設(shè)函數(shù)C1的圖象頂點為M，求點P與點M間隔 最大時函數(shù)C2的解析式解：1由題意，得解得m<，且m0.當m2時，函數(shù)解析式為y2x2x.2y2x2x2x2，圖象頂點M的坐標為，由圖形可知當P為射線MO與圓在第一象限的交點時，間隔 最大點P在直線OM上，由O0，0，M，可求得直線解析式為yx，設(shè)Pa，b，那么有a2b，根據(jù)勾股定理可得PO22b2b2，解得a2，b1.PM最大時函數(shù)C2的解析式為y2x2

15、21.第2課時二次函數(shù)的綜合應用重難點1二次函數(shù)的實際應用2019·黃岡我市某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在“精準扶貧活動中銷售一農(nóng)產(chǎn)品，經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)月銷售量y萬件與月份x月的關(guān)系為：y每件產(chǎn)品的利潤z元與月份x月的關(guān)系如下表：x123456789101112z1918171615141312111010101請你根據(jù)表格求出每件產(chǎn)品利潤z元與月份x月的關(guān)系式；2假設(shè)月利潤w萬元當月銷售量y萬件×當月每件產(chǎn)品的利潤z元，求月利潤w萬元與月份x月的關(guān)系式；3當x為何值時，月利潤w有最大值，最大值為多少？【自主解答】解：1當1x9時，設(shè)每件產(chǎn)品利潤z元與月份x月的關(guān)系式為zkxb，得即當1x9時，zx2

16、0，當10x12時，z10，由上可得，z2當1x8時，wx4x20x216x80.當x9時，w920×920121.當10x12時，wx20×1010x200.由上可得，w3當1x8時，wx216x80x82144，當x8時，w獲得最大值，此時w144.當x9時，w121.當10x12時，w10x200，那么當x10時，w獲得最大值，此時w100，由上可得，當x為8時，月利潤w有最大值，最大值144萬元【變式訓練1】2019·濰坊工人師傅用一塊長為10 dm，寬為6 dm的矩形鐵皮制作一個無蓋的長方體容器，需要將四角各裁掉一個正方形厚度不計1在圖中畫出裁剪示意圖，

17、用實線表示裁剪線，虛線表示折痕；并求長方體底面面積為12 dm2時，裁掉的正方形邊長多大？2假設(shè)要求制作的長方體的底面長不大于底面寬的五倍，并將容器進展防銹處理，側(cè)面每平方分米的費用為0.5元，底面每平方分米的費用為2元，裁掉的正方形邊長多大時，總費用最低，最低為多少？解：1裁剪示意圖如圖：設(shè)裁掉的正方形邊長為x dm，由題意，得102x62x12，即x28x120.解得x12，x26舍去答：裁掉的正方形的邊長為2 dm.2長不大于底面寬的五倍，102x562x0x2.5.設(shè)總費用為y，由題意，得y0.5×2102xx62xx2102x62x4x248x1204x6224.對稱軸為直

18、線x6，開口向上，當0x2.5時，y隨x的增大而減小當x2.5時，y最小4×2.5622425.答：當裁掉邊長為2.5 dm的正方形時，總費用最低為25元【變式訓練2】2019·濱州如圖，一小球沿與地面成一定角度的方向飛出，小球的飛行道路是一條拋物線，假如不考慮空氣阻力，小球的飛行高度y單位：m與飛行時間x單位：s之間具有函數(shù)關(guān)系y5x220x，請根據(jù)要求解答以下問題：1在飛行過程中，當小球的飛行高度為15 m時，飛行時間是多少？2在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是多少？3在飛行過程中，小球飛行高度何時最大？最大高度是多少？解：1當y15時，155x220x.解得x1

19、1，x23.答：在飛行過程中，當小球的飛行高度為15 m時，飛行時間是1 s或3 s.2當y0時，05x220x.解得x30，x44.404，在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是4 s.3y5x220x5x2220，當x2時，y獲得最大值，此時，y20.答：在飛行過程中，小球飛行高度第2 s時最大，最大高度是20 m.重難點2二次函數(shù)與幾何圖形的綜合2019·泰安T24，11分如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)yax2bxc交x軸于點A4，0，B2，0，交y軸于點C0，6，在y軸上有一點E0，2，連接AE.1求二次函數(shù)的解析式；2假設(shè)點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求AD

20、E面積的最大值；,運用二次函數(shù)的性質(zhì)務實際問題的最大值和最小值的一般方法是：1列出二次函數(shù)的解析式，并根據(jù)自變量的實際意義，確定取值范圍；2配方法利用公式求頂點；3檢查頂點是否在自變量的取值范圍內(nèi)或檢查所求最值是不是符合要求例如拋物線開口向上求最小值，開口向下求最大值假設(shè)在，那么函數(shù)在頂點處獲得最大值或最小值；假設(shè)不在，那么在自變量的取值范圍內(nèi)，根據(jù)增減性確定1利用二次函數(shù)解決實際問題，第一步是建立二次函數(shù)模型，一般都是根據(jù)兩個變量之間的等量關(guān)系建立2利用二次函數(shù)探究實際生活中的最值問題，需先建立二次函數(shù)模型，列出二次函數(shù)關(guān)系式，整理成頂點式，函數(shù)最值應結(jié)合自變量取值范圍求解，最值不一定是頂點

21、的縱坐標，畫出函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)的圖象，圖象上的最高點的縱坐標是函數(shù)的最大值，圖象上的最低點的縱坐標是函數(shù)的最小值利用二次函數(shù)解決拋物線型問題的根本思路是將實際問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題中的條件，本例中就是將飛行高度轉(zhuǎn)化為縱坐標，然后列出一元二次方程求解；飛機飛出與落地時y值均為0，令縱坐標為0，就可以得到問題的答案；小球飛行的最大高度即是求拋物線所對應的二次函數(shù)的最大值3拋物線對稱軸上是否存在點P，使AEP為等腰三角形？假設(shè)存在，請直接寫出所有P點的坐標，假設(shè)不存，在請說明理由【思路點撥】1把點坐標代入函數(shù)解析式，得出方程組求解即可；2根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出點D坐標，過點D作DGx軸，交AE

22、于點F，表示ADE的面積，運用二次函數(shù)分析最值即可；3設(shè)出點P坐標，分PAPE，PAAE，PEAE三種情況討論分析即可解：1二次函數(shù)yax2bxc經(jīng)過點A4，0，B2，0，C0，6，解得1分二次函數(shù)的解析式為yx2x6.3分2由A4，0，E0，2，可求AE所在直線解析式為yx2.4分過點D作DHx軸，交AE于點F，交x軸于點G，過點E作EHDF，垂足為H. 設(shè)Dm，m2m6，那么點Fm，m2DFm2m6m2m2m8.5分SADESADFSEDF×DF·AGDF·EH×DF·AG×DF·EH×4·DF2&#

23、215;m2m8m2.7分當m時，ADE的面積獲得最大值為.8分3yx2x6的對稱軸為直線x1，設(shè)P1，n，又E0，2，A4，0可求PA，PE，AE2.當PAPE時，解得n1，此時P1，1；當PAAE時，2 ，解得n±，此時點P坐標為1，±；當PEAE時，2，解得n2±，此時點P坐標為1，2±綜上所述，P點的坐標為1，1，1，±，1，2±.11分,本例為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、割補法求三角形面積、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識在1中注意待定系數(shù)法的應用，在2中表示出ADE的面積是解題的關(guān)鍵，在3中表示出三邊

24、的長度是解題的關(guān)鍵，難點在于需分三種情況討論此題考察知識點較多，綜合性較強，難度較大鏈接專題復習七邊欄解題方法. 12019·連云港學校航模組設(shè)計制作的火箭的升空高度hm與飛行時間ts滿足函數(shù)表達式ht224t1.那么以下說法中正確的選項是DA點火后9 s和點火后13 s的升空高度一樣B點火后24 s火箭落于地面C點火后10 s的升空高度為139 mD火箭升空的最大高度為145 m22019·北京跳臺滑雪是冬季奧運會比賽工程之一，運發(fā)動起跳后的飛行道路可以看作是拋物線的一部分，運發(fā)動起跳后的豎直高度y單位：m與程度間隔 x單位：m近似滿足函數(shù)關(guān)系yax2bxca0如圖記錄了

25、某運發(fā)動起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該運發(fā)動起跳后飛行到最高點時，程度間隔 為BA10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m第2題圖第3題圖32019·沈陽如圖，一塊矩形土地ABCD由籬笆圍著，并且由一條與CD邊平行的籬笆EF分開籬笆的總長為900 m籬笆的厚度忽略不計，當AB150m時，矩形土地ABCD的面積最大4便民商店經(jīng)營一種商品，在銷售過程中，發(fā)現(xiàn)一周利潤y元與每件銷售價x元之間的關(guān)系滿足y2x280x750，由于某種原因，售價只能滿足15x22，那么一周可獲得的最大利潤是1_550元來源:Z§xx§k 52019

26、·武漢飛機著陸后滑行的間隔 y單位：m關(guān)于滑行時間t單位：s的函數(shù)解析式是y60tt2.在飛機著陸滑行中，最后4 s滑行的間隔 是24m.62019·義烏某農(nóng)場擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻墻足夠長，方案中的建筑材料可建圍墻的總長為50 m設(shè)飼養(yǎng)室長為xm，占地面積為ym21如圖1，問飼養(yǎng)室長x為多少時，占地面積y最大？2如圖2，現(xiàn)要求在圖中所示位置留2 m寬的門，且仍使飼養(yǎng)室的占地面積最大小敏說：“只要飼養(yǎng)室長比1中的長多2 m就行了請你通過計算，判斷小敏的說法是否正確來源:1ZXXK解：1yx·x252，當x25時，占地面積y最大，即當飼養(yǎng)室長為

27、25 m時，占地面積最大2yx·x262338，當x26時，占地面積y最大，即當飼養(yǎng)室長為26 m時，占地面積最大262512，小敏的說法不正確72019·德州隨著新農(nóng)村的建立和舊城的改造，我們的家園越來越美麗，小明家附近廣場中央新修了一個圓形噴水池，在水池中心豎直安裝了一根高2 m的噴水管，它噴出的拋物線形水柱在與池中心的程度間隔 為1 m處到達最高，水柱落地處離池中心3 m.1請你建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担⑶蟪鏊鶔佄锞€的函數(shù)解析式；2求出水柱的最大高度是多少？解：1如圖，以水管與地面交點為原點，原點與水柱落地點所在直線為x軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標系由題意

28、可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為yax12h0x3拋物線過點0，2和3，0，代入拋物線解析式，可得解得所以拋物線解析式為yx120x3化為一般式為yx2x20x32由1中拋物線解析式y(tǒng)x120x3知，當x1時，y.所以拋物線水柱的最大高度為 m.82019·江西某鄉(xiāng)鎮(zhèn)施行產(chǎn)業(yè)扶貧，幫助貧困戶承包了荒山種植某品種蜜柚，到了收獲季節(jié)，該蜜柚的本錢價為8元/千克，投入市場銷售時，調(diào)查市場行情，發(fā)現(xiàn)該蜜柚銷售不會賠本，且每天銷售量y千克與銷售單價x元/千克之間的函數(shù)關(guān)系如下圖1求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；2當該品種的蜜柚定價為多少時，每天銷售獲得的利潤最大？最大利潤是多少？3某農(nóng)戶今年共采摘蜜柚4 800千克，該品種蜜柚