知識(shí)講解_集合與函數(shù)綜合_ 提高

1、. 集合與函數(shù)綜合編稿：丁會(huì)敏 審稿：王靜偉 【學(xué)習(xí)目的】1.集合1理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；2理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集；3理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；4能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用.2.函數(shù)1會(huì)用集合與對(duì)應(yīng)的語言刻畫函數(shù)；會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，初步掌握換元法的簡單運(yùn)用；2能正確認(rèn)識(shí)和使用函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法和圖象法理解每種方法的優(yōu)點(diǎn)在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；3求簡單分段函數(shù)的解析式；理解分段函數(shù)及其簡單應(yīng)用；4

2、理解函數(shù)的單調(diào)性、最大小值及其幾何意義；集合詳細(xì)函數(shù)理解奇偶性的含義；5能運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】一、集合1集合含義與表示1某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，簡稱集其中每個(gè)對(duì)象叫做元素集合中的元素具有確定性、互異性和無序性2集合常用的表示方法有：列舉法、描繪法、圖示法它們各有優(yōu)點(diǎn)，要根據(jù)詳細(xì)需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?集合間的關(guān)系1假設(shè)集合中A的任何元素都是集合B的元素，那么稱集合A是集合B的子集，記為“AB或“BA2假設(shè)AB，且B中至少存在一個(gè)元素不是A的元素，那么A是B的真子集，記為“AB或“BA3假設(shè)兩個(gè)集合的元素完全一樣，那么這兩個(gè)集合相等，記為“A=B判

3、斷集合相等還可以用下面兩種方法：且A=B；要點(diǎn)詮釋：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集換言之，任何集合至少有一個(gè)子集3集合的根本運(yùn)算1由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素構(gòu)成的集合，叫A與B的并集，記作“AB用數(shù)學(xué)語言表示為AB=x|xA，且xB2由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，叫A與B的交集，記作“AB用數(shù)學(xué)語言表示為AB=x|xA，且xB3假設(shè)全集U，A是U的子集，那么由所有U中不屬于A的元素構(gòu)成的集合稱為集合A在U中的補(bǔ)集記作“用數(shù)學(xué)語言表示為要點(diǎn)詮釋：二、函數(shù)及其表示1兩個(gè)函數(shù)相等的條件用集合與對(duì)應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，與初中的“用變量的觀點(diǎn)描繪函數(shù)本質(zhì)上是一致的函數(shù)有

4、三要素定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系，它們是不可分割的一個(gè)整體當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的三要素完全一樣時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)相等2函數(shù)的常用表示方法函數(shù)的常用表示方法有：圖象法、列表法、解析法注意領(lǐng)會(huì)在實(shí)際情境中根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)3映射設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，假如按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x原象，在集合B中都有唯一確定的元素象與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射由映射定義知，函數(shù)是一種特殊的映射，即函數(shù)是兩個(gè)非空的數(shù)集間的映射三、函數(shù)的性質(zhì)1函數(shù)的單調(diào)性1假如對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間

5、D上是增函數(shù)2假如對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)3假設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上總是遞增或遞減的，那么該區(qū)間是函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增或減區(qū)間假設(shè)函數(shù)在整個(gè)定義域上總是遞增或遞減的，那么稱該函數(shù)為單調(diào)增或減函數(shù)2函數(shù)的奇偶性1假設(shè)一個(gè)函數(shù)具有奇偶性，那么它的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，假如一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么它就失去了是奇函數(shù)或是偶函數(shù)的條件，即這個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)2假設(shè)奇函數(shù)的定義域內(nèi)有零，那么由奇函數(shù)定義知，即，所以3奇、偶性圖象的特點(diǎn)假如一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，那么這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形

6、；反之，假如一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)假如一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，那么它的圖象是以y軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形；反之，假如一個(gè)函數(shù)的圖象是y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)【典型例題】類型一：集合的關(guān)系及運(yùn)算例1全集U=R，集合M=x|2x12和N=x|x=2k1，k=1，2，的關(guān)系的韋恩Venn圖如下圖所示，那么陰影部分所示的集合的元素區(qū)有 A3個(gè) B2個(gè) C1個(gè) D無窮多個(gè)【答案】B【解析】 陰影部分為MN=x|2x12x|x=2k1，k=1，2，=x|1x3x|x=2k1，k=1，2，=1，3，陰影部分所示的集合的元素區(qū)有2個(gè)，應(yīng)選B項(xiàng)【總結(jié)

7、升華】詳細(xì)集合給出或可以求得元素的集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，以及集合間關(guān)系的斷定、子集的個(gè)數(shù)問題是每年高考重點(diǎn)考察的對(duì)象，因此也是高考命題的熱點(diǎn)舉一反三： 【高清課堂：集合與函數(shù)性質(zhì)綜合377492 例4】【變式1】設(shè)全集為，求及 【答案】=；=.例2設(shè)非空集合滿足：當(dāng)xS時(shí)，有x2S.給出如下三個(gè)命題：假設(shè)m=1，那么S=1；假設(shè)，那么l1；，那么其中正確命題的個(gè)數(shù)是 A0 B1 C2 D3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題中條件：“當(dāng)xS時(shí)，有x2S對(duì)三個(gè)命題一一進(jìn)展驗(yàn)證即可：對(duì)于m=1，得，對(duì)于，那么，對(duì)于假設(shè)，那么，最后解出不等式，根據(jù)解出的結(jié)果與四個(gè)命題的結(jié)論對(duì)照，即可得出正確結(jié)果有幾個(gè)【答案】D【解析

8、】 假設(shè)m=1，那么x=x2，可得x=1或x=0舍去，那么S=1，因此命題正確；假設(shè)，當(dāng)時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，那么，可得或舍去，故，因此命題正確；假設(shè)，那么，得，因此命題正確類型二：映射例3設(shè)集合，f是A到B的映射，并滿足1求B中元素3，4在A中的原象；2試探究B中有哪些元素在A中存在原象；3求B中元素a，b在A中有且只有一個(gè)原象時(shí)，a，b所滿足的關(guān)系式【思路點(diǎn)撥】本例是一道與方程綜合的題目，關(guān)鍵是將題目轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的映射的知識(shí)【答案】11，3或3，1；2b24a0；3b2=4a【解析】1設(shè)x，y是3，4在A中的原象，于是，解得或，3，4在A中的原象是1，3或3，12設(shè)任意a，bB在A中有原象x，

9、y，應(yīng)滿足由可得y=xb，代入得x2bx+a=0 當(dāng)且僅當(dāng)=b24a0時(shí)，方程有實(shí)根只有當(dāng)B中元素滿足b24a0時(shí)，才在A中有原象3由以上2的解題過程知，只有當(dāng)B中元素滿足b2=4a時(shí)，它在A中有且只有一個(gè)原象【總結(jié)升華】高考對(duì)映射考察較少，考察時(shí)只涉及映射的概念，因此我們必須準(zhǔn)確地把握映射的概念，并靈敏地運(yùn)用它解決有關(guān)問題舉一反三：【變式1】 a，b為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，集合，表示把M中的元素x映射到集合N中仍為x，那么a+b等于 A1 B2 C3 D4【答案】 D 【解析】 由可得M=N，故，a、b是方程x24x+2=0的兩根，故a+b=4類型三：函數(shù)的概念及性質(zhì)例 【高清課堂：集合與函數(shù)性

10、質(zhì)綜合377492 例2】例4設(shè)定義在R上的函數(shù)y= fx是偶函數(shù),且fx在，0為增函數(shù)假設(shè)對(duì)于，且，那么有 A B C D 【答案】D 【解析】因?yàn)?，且，所以，畫出y= fx的圖象，數(shù)形結(jié)合知，只有選項(xiàng)D正確 【總結(jié)升華】對(duì)函數(shù)性質(zhì)的綜合考察是高考命題熱點(diǎn)問題這類問題往往涉及函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及題目中給出的函數(shù)性質(zhì)解決這類問題的關(guān)鍵在于“各個(gè)擊破，也就是涉及哪個(gè)性質(zhì)，就利用該性質(zhì)來分析解決問題 舉一反三：【變式1】1定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，那么 A BC D2定義在R上的偶函數(shù)f x，對(duì)任意x1，x20，+x1x2，有，那么 A BC D【答案

11、】1D 2A 【解析】1由函數(shù)是奇函數(shù)且在0，2上是增函數(shù)可以推知在2，2上遞增，又，故函數(shù)以8為周期，故應(yīng)選D2由題知，為偶函數(shù)，故，又知x0，+時(shí)，為減函數(shù)，且321，即應(yīng)選A例5設(shè)偶函數(shù)滿足，那么 Ax|x2或x4 Bx|x0或x4Cx|x0或x6 Dx|x2或x2【思路點(diǎn)撥】先求的解析式，即，然后再去解這個(gè)不等式。【答案】 B 【解析】 當(dāng)x0時(shí)，x0，又是偶函數(shù)，或解得x4或x0，應(yīng)選B例6設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，假設(shè)所有點(diǎn) 構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，那么的值為 A2 B4 C8 D不能確定【答案】 B【解析】 依題意，設(shè)關(guān)于x的不等式ax2+bx+c0a0的解集是x1，x2x1x2，且，的最大

12、值是依題意，當(dāng)sx1，x2的取值一定時(shí)，取遍中的每一個(gè)組，相應(yīng)的圖形是一條線段；當(dāng)s取遍x1，x2中的每一個(gè)值時(shí)，所形成的圖形是一個(gè)正方形區(qū)域即相當(dāng)于將前面所得到的線段在坐標(biāo)平面內(nèi)平移所得，因此有，又a0，因此a=4，選B項(xiàng)舉一反三：【變式1】假設(shè)函數(shù)的定義域是0，2，那么函數(shù)的定義域是 A0，1 B0，1 C0，11，4 D0，1【答案】 B 【解析】 要使有意義，那么，解得0x1，故定義域?yàn)?，1，選B例7設(shè)函數(shù)1畫出函數(shù)的圖象；2假設(shè)不等式的解集非空，求a的取值范圍【答案】1右圖；2【解析】 1由于，那么函數(shù)的圖象如下圖2由函數(shù)與函數(shù)y=ax的圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)或a2時(shí)，函數(shù)與函數(shù)y=a

13、x的圖象有交點(diǎn)故不等式的解集非空時(shí)，a的取值范圍為舉一反三：【變式1】 直線y=1與曲線y=x2|x|+a有四個(gè)交點(diǎn)，那么a的取值范圍是_【答案】 【解析】 如圖，作出y=x2|x|+a的圖象，假設(shè)要使y=1與其有四個(gè)交點(diǎn)，那么需滿足，解得例8 函數(shù)x0，常數(shù)aR1討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；2假設(shè)函數(shù)在x2，+上為增函數(shù)，求a的取值范圍【思路點(diǎn)撥】1對(duì)進(jìn)展分類討論，然后利用奇函數(shù)的定義去證明即可。2由題意知，任取2x1x2，那么有恒成立，即可得的取值范圍?！敬鸢浮?當(dāng)a=0時(shí)，為偶函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)2，16【解析】 1當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)任意x，00，+，為偶函數(shù)當(dāng)a0時(shí)

14、，a0，x0，取x=±1，得，函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)2解法一：設(shè)2x1x2，要使函數(shù)在x2，+上為增函數(shù)，必須恒成立x1x20，x1 x24，即ax1 x2 x1+ x2恒成立又x1+ x24，x1x2x1+ x216a的取值范圍是，16解法二：當(dāng)a=0時(shí)，顯然在2，+上為增函數(shù)當(dāng)a0時(shí)，反比例函數(shù)在2，+上為增函數(shù)，在2，+上為增函數(shù)當(dāng)a0時(shí)，同解法一【總結(jié)升華】 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，因此也是高考命題的熱點(diǎn)應(yīng)運(yùn)用研究函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的根本方法，來分析解決問題舉一反三：【高清課堂：集合與函數(shù)性質(zhì)綜合377492 例5】【變式1】函數(shù)，且f1=11務(wù)實(shí)數(shù)k

15、的值及函數(shù)的定義域；2判斷函數(shù)在0，+上的單調(diào)性，并用定義加以證明【答案】12 ；2單調(diào)遞增【解析】1，定義域?yàn)椋?在0，+上任取，那么所以函數(shù)在上單調(diào)遞增例9請(qǐng)先閱讀以下材料，然后答復(fù)以下問題對(duì)于問題“函數(shù)，問函數(shù)是否存在最大值或最小值？假設(shè)存在，求出最大值或最小值；假設(shè)不存在，說明理由一個(gè)同學(xué)給出了如下解答：解：令u=3+2xx2，那么u=x12+4，當(dāng)x=1時(shí)，u有最大值，umax=4，顯然u沒有最小值當(dāng)x=1時(shí)，有最小值，沒有最大值1你認(rèn)為上述解答正確嗎？假設(shè)不正確，說明理由，并給出正確的解答；2對(duì)于函數(shù)，試研究其最值情況【答案】1不正確；2當(dāng)0時(shí)，既無最大值，也無最小值；當(dāng)0時(shí)，有最

16、大值，此時(shí)，沒有最小值【解析】1不正確沒有考慮到u還可以小于0正確解答如下：令u=3+2xx2，那么u=x12+44，當(dāng)0u4時(shí)，即；當(dāng)u0時(shí)，即或，即既無最大值，也無最小值2對(duì)于函數(shù)，令u=ax2+bx+ca0當(dāng)0時(shí)，u有最小值，當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)u0時(shí)，即或，即既無最大值，也無最小值當(dāng)=0時(shí)，u有最小值，此時(shí)，u0，即，既無最大值，也無最小值當(dāng)0時(shí)，u有最小值，即，即當(dāng)時(shí)，有最大值，沒有最小值綜上，當(dāng)0時(shí)，既無最大值，也無最小值當(dāng)0時(shí)，有最大值，此時(shí)，沒有最小值【總結(jié)升華】研究性學(xué)習(xí)是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的教學(xué)理念，是培養(yǎng)創(chuàng)新才能的重要途徑，因此也是新課標(biāo)高考的重點(diǎn)考察對(duì)象解決像本例這樣的研究性問題，關(guān)

17、鍵是透徹理解題目中所提供的材料，準(zhǔn)確地把握題意，靈敏地運(yùn)用所學(xué)的根本知識(shí)和根本方法分析解決問題舉一反三：【變式1】1函數(shù)的最大值為M，最小值為m，那么的值為 A B C D【答案】 C 【解析】 函數(shù)的定義域?yàn)?，1又而，4y28又y0，m=2應(yīng)選C項(xiàng)2設(shè)，是二次函數(shù)，假設(shè)的值域是0，+，那么的值域是 A，11，+ B，10，+C0，+ D1，+【答案】C【解析】要使的值域是0，+，那么可取，10，+又是二次函數(shù)，定義域連續(xù)，故不可能同時(shí)取，1和0，+結(jié)合選項(xiàng)只能選C項(xiàng) 【總結(jié)升華】 函數(shù)的值域問題每年高考必考，而且既有常規(guī)題型如本例1，也有創(chuàng)新題如本例2解答這類問題，既要純熟掌握求函數(shù)值域的

18、根本方法，更要根據(jù)詳細(xì)問題情景，靈敏地處理如本例2中，其背景函數(shù)屬常規(guī)函數(shù)分段函數(shù)、二次函數(shù)、復(fù)合函數(shù)，但給出的值域，要求的值域，就在常規(guī)題型根底上有所創(chuàng)新，解答這類問題，應(yīng)利用根本方法、根本知識(shí)來分析解決問題類型四：函數(shù)的綜合問題例101函數(shù)在區(qū)間1，2上最大值為4，務(wù)實(shí)數(shù)a的值；2函數(shù)，x1，1，求函數(shù)的最小值【思路點(diǎn)撥】第1小題中應(yīng)對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)展全面討論，即按a=0，a0，a0三種情況分析；第2小題中的拋物線開口方向確定，對(duì)稱軸不穩(wěn)定【答案】13或；2略【解析】 1當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間1，2上的值為常數(shù)1，不合題意；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間1，2上是增函數(shù)，最大值為，；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間1，2上是減函數(shù)，最大值為，a=3綜上，a的值為3或2，對(duì)稱軸為直線x=a，且拋物線的開口向上，如下圖所示：當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間1，1上是減函數(shù)，最小值為；當(dāng)1a1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間1，1上是先減后增，最小值為；當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間1，1上是增函數(shù)，最小值為【總結(jié)升華】 求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的