第1章 §1 1.1 歸納推理

1、.§1歸納與類比1.1歸納推理1.理解歸納推理的含義，能利用歸納推理進(jìn)展簡(jiǎn)單的推理.重點(diǎn)2.理解歸納推理在數(shù)學(xué)開(kāi)展中的作用.難點(diǎn)根底·初探教材整理歸納推理閱讀教材P3P5，完成以下問(wèn)題.1.歸納推理的定義根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個(gè)事物都有這種屬性，這種推理方式稱為歸納推理.2.歸納推理的特征歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理.利用歸納推理得出的結(jié)論不一定是正確的.判斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“×1統(tǒng)計(jì)學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體，這種估計(jì)屬于歸納推理.2由個(gè)別到一般的推理稱為歸納推理.3由歸納推理所得到的結(jié)論一定是正

2、確的.【答案】123×質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：小組合作型數(shù)式中的歸納推理1觀察以下各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，那么a10b10 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94210000】A.28B.76C.123D.1992fx，設(shè)f1xfx，fnxfn1fn1xn>1，且nN，那么f3x的表達(dá)式為_(kāi)，猜測(cè)fnxnN的表達(dá)式為_(kāi).【精彩點(diǎn)撥】1記anbnfn，觀察f1，f2，f3，f4，f5之間的關(guān)系，再歸納得出結(jié)論.2寫出前n項(xiàng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納猜測(cè)結(jié)果.【自主解答】1記anbnfn

3、，那么f3f1f2134；f4f2f3347；f5f3f411.通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)fnfn1fn2nN，n3，那么f6f4f518；f7f5f629；f8f6f747；f9f7f876；f10f8f9123.所以a10b10123.2f1xfx，f2xf1f1x，f3xf2f2x，由f1x，f2x，f3x的表達(dá)式，歸納fnx.【答案】1C2f3xfnx等式或不等式進(jìn)展歸納推理的方法：1要特別注意所給幾個(gè)等式或不等式中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；2要特別注意所給幾個(gè)等式或不等式中構(gòu)造形式的特征；3提煉出等式或不等式的綜合特點(diǎn)；4運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論.再練一題1.經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)以下不等式：<2

4、，<2，<2，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)a，b都成立的條件不等式：_.【答案】當(dāng)ab20時(shí)，有<2，a，bR數(shù)列中的歸納推理1在數(shù)列an中，a11，an1，那么a2 017等于A.2B.C.2D.12古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)，如圖1­1­1：圖1­1­1由于圖中1，3，6，10這些數(shù)可以表示成三角形，故被稱為三角形數(shù)，試結(jié)合組成三角形數(shù)的特點(diǎn)，歸納第n個(gè)三角形數(shù)的石子個(gè)數(shù).【精彩點(diǎn)撥】1寫出數(shù)列的前n項(xiàng)，再利用數(shù)列的周期性解答.2可根據(jù)圖中點(diǎn)的分布規(guī)律歸納出三角形數(shù)的形成規(guī)律，如11，312，6123

5、；也可以直接分析三角形數(shù)與n的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而歸納出第n個(gè)三角形數(shù).【自主解答】1a11，a2，a32，a41，數(shù)列an是周期為3的數(shù)列，2 017672×31，a2 017a11.【答案】D2法一：由11，312，6123，101234，可歸納出第n個(gè)三角形數(shù)為123n.法二觀察項(xiàng)數(shù)與對(duì)應(yīng)項(xiàng)的關(guān)系特點(diǎn)如下：項(xiàng)數(shù)1234對(duì)應(yīng)項(xiàng)分析：各項(xiàng)的分母均為2，分子分別為相應(yīng)項(xiàng)數(shù)與相應(yīng)項(xiàng)數(shù)加1的積.歸納：第n個(gè)三角形數(shù)的石子數(shù)應(yīng)為.數(shù)列中的歸納推理在數(shù)列問(wèn)題中，常常用到歸納推理猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和.1通過(guò)條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和；2根據(jù)數(shù)列中的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和與對(duì)應(yīng)序號(hào)之間的關(guān)系求解

6、；3運(yùn)用歸納推理寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式.再練一題2.數(shù)列an滿足a11，an12an1n1，2，3，1求a2，a3，a4，a5；2歸納猜測(cè)通項(xiàng)公式an. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94210001】【解】1當(dāng)n1時(shí)，知a11，由an12an1，得a23，a37，a415，a531.2由a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，可歸納猜測(cè)出an2n1nN.探究共研型幾何圖形中的歸納推理探究1在法國(guó)巴黎舉行的第52屆世乒賽期間，某商場(chǎng)櫥窗里用同樣的乒乓球堆成假設(shè)干堆“正三棱錐形的展品，其中第1堆只有一層，就一個(gè)球；第2，3，4，堆最底層第一層分別按圖1­1

7、73;2所示方式固定擺放，從第二層開(kāi)場(chǎng)，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以fn表示第n堆的乒乓球總數(shù)，試求f1，f2，f3，f4的值.圖1­1­2【提示】觀察圖形可知，f11，f24，f310，f420.探究2上述問(wèn)題中，試用n表示出fn的表達(dá)式.【提示】由題意可得：下一堆的個(gè)數(shù)是上一堆個(gè)數(shù)加下一堆第一層的個(gè)數(shù)，即f2f13；f3f26；f4f310；fnfn1.將以上n1個(gè)式子相加可得fnf136101222n2123n.有兩種花色的正六邊形地面磚，按如圖1­1­3的規(guī)律拼成假設(shè)干個(gè)圖案，那么第6個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的

8、個(gè)數(shù)是圖1­1­3A.26 B.31C.32D.36【精彩點(diǎn)撥】解答此題可先通過(guò)觀察、分析找到規(guī)律，再利用歸納得到結(jié)論.【自主解答】法一：有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：圖案123個(gè)數(shù)61116由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第6個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是65×6131.法二：由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無(wú)紋正六邊形需6個(gè)有紋正六邊形圍繞圖案1外，每增加一塊無(wú)紋正六邊形，只需增加5塊菱形紋正六邊形每?jī)蓧K相鄰的無(wú)紋正六邊形之間有一塊“公共的菱形紋正六邊形，故第6個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)為：65&#

9、215;6131.【答案】B歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略通過(guò)一組平面或空間圖形的變化規(guī)律，研究其一般性結(jié)論，通常需形狀問(wèn)題數(shù)字化，展現(xiàn)數(shù)學(xué)之間的規(guī)律、特征，然后進(jìn)展歸納推理.解答該類問(wèn)題的一般策略是：再練一題3.根據(jù)圖1­1­4中線段的排列規(guī)那么，試猜測(cè)第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)為_(kāi).圖1­1­4【解析】分別求出前4個(gè)圖形中線段的數(shù)目，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出猜測(cè)，圖形到中線段的條數(shù)分別為1，5，13，29，因?yàn)?223，5233，13243，29253，因此可猜測(cè)第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)應(yīng)為2813509.【答案】509構(gòu)建·體系1.用火柴棒擺“金魚，如圖1&

10、#173;1­5所示：圖1­1­5按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚圖需要火柴棒的根數(shù)為A.6n2B.8n2C.6n2D.8n2【解析】a18，a214，a320，猜測(cè)an6n2.【答案】C2.假設(shè)空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩間隔 都相等，那么正整數(shù)n的取值A(chǔ).至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5【解析】n2時(shí)，可以；n3時(shí)，為正三角形，可以；n4時(shí)，為正四面體，可以；n5時(shí)，為四棱錐，側(cè)面為正三角形，底面為菱形且對(duì)角線長(zhǎng)與邊長(zhǎng)相等，不可能.【答案】B3.12×1×2×3，1222×2×3×5，122232&

11、#215;3×4×7，12223442×4×5×9，那么1222n2_.其中nN*.【解析】根據(jù)題意歸納出1222n2nn12n1，下面給出證明：k13k33k23k1，那么23133×123×11，33233×223×21，n13n33n23n1，累加得n131331222n2312nn，整理得1222n2nn12n1，故填nn12n1.【答案】nn12n14.觀察以下等式：11234934567254567891049照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94210002】【解析】由于112，234932，345672552，456789104972，所以第五個(gè)等式為56789101112139281.【答案】5678910111213815.有以下三個(gè)不等式：124292521×94×52，6282221226×28×122，20210210