2014年秋季八年級數(shù)學教材

1、第一講 三角形的三線【知識體系】一、三角形相關概念 1三角形的概念 由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結所組成的圖形叫做三角形要點：三條線段；不在同一直線上；首尾順次相接.2三角形的表示通常用三個大寫字母表示三角形的頂點，如用A、B C表示三角形的三個頂點時，此三角形可記作厶ABC其中線段 AB BC AC是三角形的三條邊，/ A、/ B、/ C分別表示三角 形的三個角.二、三角形中的三種重要線段 三角形的角平分線、中線、高線是三角形中的三種重要線段.1三角形的角平分線：三角形一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和 交點之間的線段叫做三角形的角平分線.注意：三角形的角平分線是一條線

2、段，可以度量，而角的平分線是經(jīng)過角的頂點且平分 此角的一條射線. 三角形有三條角平分線且相交于一點，這一點一定在三角形的部. 三角形的角平分線畫法與角平分線的畫法一樣，可以用量角器畫，也可通過尺規(guī) 作圖來畫.2三角形的中線：在一個三角形中，連結一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形 的中線.注意：三角形有三條中線，且它們相交三角形部一點. 畫三角形中線時只需連結頂點與對邊的中點即可.3三角形的高線：從三角形一個頂點向它的對邊作垂線，頂點和垂足間的限度叫做三 角形的高線，簡稱三角形的高.注意：三角形的三條高是線段畫三角形的高時，只需要向對邊或對邊的延長線作垂線，連結頂點與垂足的線段 就是該邊上的

3、高.三、三角形三邊關系定理 三角形兩邊之和大于第三邊， 故同時滿足 ABC三邊長a、b、c的不等式有：a+b>c,b+c>a, c+a>b. 三角形兩邊之差小于第三邊， 故同時滿足 ABC三邊長a、b、c的不等式有：a>b-c , b>a-c , c>b-a .注意：判定這三條線段能否構成一個三角形，只需看兩條較短的線段的長度之和是否大于 第三條線段即可四、三角形的穩(wěn)定性三角形的三邊確定了，那么它的形狀、大小都確定了，三角形的這個性質就叫做三角形的 穩(wěn)定性例如起重機的支架采用三角形結構就是這個道理.【例題解析】【例1】填空1、按角分類：可分為三角形、三角形、

4、三角形；按邊分類：等腰三角形和不等邊三角形；等腰三角形又可分為：三角形和不相等的等 腰三角形；2、 1如圖，假設，那么 AD是厶ABC的中線；三角形有條中線；三角形的中線將三角形 分成相等的兩個三角形；2如圖，假設，那么 。丘是厶ABC的角平分線；三角形有條角平分線；A.正方形B.長方形C.3如圖，那么BF是厶ABC的BC邊上的高；三角形有條高；銳角三角形條高在三角形部; 直角三角形條高在三角形部；鈍角三角形條高在三角形部；3、以下列圖形中有穩(wěn)定性的是【例2】對下面每個三角形，過頂點 A畫出中線，角平分線和高BE是 ABC的高的圖形是B【例3】如圖，在厶ABC中,2題圖AE是中線，AD是角平分

5、線，AF是高。填空:1BE=1? 2/ BAD=2122 / 94E D F3/ AFB=90 ;4SaABC=【練】如圖，在"ABC中，/仁/2,G為AD中點，延長BG交AC于E,F為AB上一點,CF丄AD 于H,判斷以下說法那些是正確的，哪些是錯誤的 AD是"ABE的角平分線 BE是"ABD邊AD上的中線 BE是"ABC邊AC上的中線 CH是"ACD邊AD上的高【例4】如圖，在 ABC中,D,E分別是BC, AD的中點,S ABC =4 cm，求 S ABE【練】如圖，在 ABC中, D是AD的中點,S ABD =4cm，求 S ABC【例

6、 5】如圖， ACB 中，/ ACB=90 , / 1 = / B.1試說明CD是厶ABC的高；2如果 AC=8 , BC=6 , AB=10，求 CD 的長.【練】AD,CE為三角形ABC的兩條高，AB=4cm,CE=2cm(1) 求三角形ABC的面積(2) 假設AD=1.5cm 求BC的長【例6】如圖，在三角形 ABC中，AD是BC邊上的中線，三角形ACD的周長小5，你能求出AC與AB的邊長的差嗎?【練】在厶ABC中，AD是BC邊上的中線，假設> AC 丨，AB與AC的和為14,求AB和AC的長.ABD和厶ADC的周長之差為 4 AB【例7】1.以下各組線段為邊，能組成三角形的是A.

7、1cm, 2cm, 4cmB . 8cm,6cm,4cm12cm, 5cm, 6cmD . 2 cm,3cm,5cmC.【練】1.在厶ABC中，假設AB 8 , BC 6，那么第三邊 AC的長度m的取值圍是.2. 2021?三角形三邊長分別為 2, x, 13,假設x為正整數(shù)那么這樣的三角形個數(shù)為3.等腰三角形三邊長分別是4,8 , X,求X的值【練】三角形的兩邊長為cm。2cm和7cm,第三邊的長是一個奇數(shù)，那么第三邊的長是A、2B、3C、5D、13【練】等腰三角形的一邊長為5cm,它的另一邊短6cm,求三角形的周長【例8】a,b.c分別是三角形 求厶ABC的周長 判斷 ABC的形狀 ABC

8、 的三邊長，且 b,c 滿足b-c人 2+/c-3/=0 , a 滿足 /a-4/=2【練】a,b.c分別是三角形 ABC的三邊長，化簡【例10】小華在中問小明：“一個三角形三邊長分別是 4, 9, 12，如何求這個三角形的面 積？小明提示說：“可通過作最長邊上的高來求解小華根據(jù)小明的提示作出的圖 形正確的選項是cm2,CE=cm 【家庭作業(yè)】1、如圖:1在厶ABC中，BC邊上的高是 2在厶AEC中，AE邊上的高是3在厶FEC中，EC邊上的高是 4假設 AB=CD=2cm , AE=3cm，那么 Saec =2. 如圖，在直角三角形 ABC中，/ ACB=90 , CD是AB邊上的高，AB=1

9、3cm BC=12cmAC=5cm求 ABC的面積；CD的長。3、如下列圖,AD是厶ABC的中線,AB=6cm，AC=5cm，求厶ABD和厶ADC的周長的差.4、如下列圖, 長.AD是厶ABC的中線,AE是厶ACD的中線,DE=2cm，求 BD , BE, BC 的A DB5、如圖， ABC 中，/ ABC=40°，/ C=60° AD 丄BC 于 D, AE 是/ BAC 的平分線.1求/ DAE的度數(shù)；2指出AD是哪幾個三角形的高.7、如圖在 ABC中，CD是高，點 E、F、G分別在 BC、AB、AC上，且 EF丄AB，/仁 / 2,試判斷DG與BC的位置關系？并說明理

10、由.8、三角形的三邊長分別為 5, 1+2x, 8,那么x的取值圍是 第二講：三角形角度計算【根底回憶】1、三角形角和定理：三角形的三個角的和等于；引申：直角三角形中，兩銳角；幾何形式：在 ABC中，/ A+Z B+Z C=;或/ A+Z B =- / C;或/ A =- / C-/ B;2、 1三角形的與另一條邊組成的角叫三角形的外角；2三角形的一個外角等于和它的兩個角的和；幾何形式：Z A+Z B =;或/ A =- Z B；3三角形的一個外角大于任何一個和它的角；幾何形式：Z ACD> ;或/ ACD> ；引申：4三角形的外角與它相鄰的角；幾何形式：ZACD-Z ACB =;

11、5三角形的外角和每個頂點取一個外角等于；3、多邊形的對角線條對角線 n邊形的角和為多邊形的外角和為【例題解析】【例1】選擇題1、等腰三角形的一個外角是120。，那么它是A.等腰直角三角形B. 一般的等腰三角形C. 等邊三角形 D.等腰鈍角三角形2、如果三角形的一個外角和與它不相鄰的兩個角的和為180°,那么與這個外角相鄰的角的度數(shù)為A. 30 ° B. 60° C.90° D. 120°3、三角形的三個外角的度數(shù)比為A. 90 ° B.110° C. 1004、如圖，以下說法錯誤的選項是A、Z B > Z ACDBZ

12、B+Z ACB =180°-Z ACZ B+Z ACB <180DZ HEC >Z B2 : 3 : 4，那么它的最大角的度數(shù)° D. 120°4題圖5、假設一個三角形的一個外角小于與它相鄰的角，那么這個三角形是.A、直角三角形 B、銳角三角形 C、鈍角三角形 D、無法確定6、如圖，假設Z A=10°,Z B=45°,Z C=38°,那么Z DFE等于A. 120 ° B. 115°C.93° D. 105°8、如圖，那么/ 1=, / 2=, / 3=,9、 等腰三角形的一個外角為

13、 150 °，那么它的底角為 .【例2】1.如圖，在 ABC中，/ A=60°, BD CE分別是 AC AB上的高，H是BD ?CE 的交點，求/ BHC的度數(shù).【例3】如圖 ABC中，/ A=20°, CD是/ BCA的平分線， 又有/ EDA=/ CDB求/ B的大小.【練】1如圖，：在'-I.' I'中，-I ' 的度數(shù)【例5】如圖把一三角形紙片沿/ 2之間的關系？DE折疊，當點A落在四邊形BCDE勺部時,探索/ A、/ 1、D【練】將厶ABC沿 EF折疊，使點C落在點C'處.1如圖1,試問/ 1、/ 2與/ C之間

14、有何關系？為什么?2假設點 6在厶ABC的外部，如圖2所示，試問/ 1、/ 2與/ C之間又有何關系?什么?C【例6】，如圖，AB/ CD AE平分/ BAC CE平分/ ACD,求/ E的度數(shù)【練】如圖4,/ 1+Z 2+Z 3+/4等于多少度【例7】如圖1，求證/ A+/ B=/ C+/ D如圖2，求證/ A+/ B+/ C=/ BDC圖4 如圖 3，求/ A+/ B+/ C+/ D+/ E= 如圖 4，/ F=58°，那么/ A+/ B+/ C+/ D+/ E= 如圖 5，求/ A+/ B+/ C+/ D+/ E= 如圖 6, / A+/ 申/ C+/ D+/E+/ F+/G=

15、; 如圖 7，/ A+/ 由/ C+/ D+/E+/ F=；圖3圖1圖2EEC圖5圖6圖7【例8】 ABC的三個角的度數(shù)之比/ A:/ B:/ C=1: 3: 5,那么/ B? / C=【練】等腰三角形兩角的度數(shù)之比是1: 2，求頂角的度數(shù)?！纠?】如圖， ABC中，/ A=50°，點P是/ ABC與/ ACB平分線的交點.1求/ P的度數(shù)；2猜想/ P與/ A有怎樣的大小關系？3假設點P是/ CBD與/ BCE平分線的交點，/ P與/ A又有怎樣的大小關系? 4假設點P是/ ABC與/ ACF平分線的交點，/ P與/ A又有怎樣的大小關系?2、 3、 4小題只需寫出結論，不需要證明

16、】【例 10 ABC中，/ BAC=100 .1假設/ ABC和/ ACB的角平分線交于點 O,如圖1所示，試求/ BOC勺大小;2假設/ ABC和/ ACB的三等分線即將一個角平均分成三等分的射線相交于0, 0,如圖2所示，試求/ B0C的大小；3如此類推，假設/ ABC和/ACB的n等分線自下而上依次相交于 0, O, Q，如圖3 所示，試探求/ B0C的大小與n的關系，并判斷當/ BOC=170時，是幾等分線的交線所成 的角.【例11】如圖， A0B的三個頂點的坐標分別是1求厶A0B的面積00, 0，A5, 0，B 1, 4，2假設0.A亮點位置不變，P點在什么位置時， 0AP的面積是

17、A0B的面積的2 倍.3假設B 1, 4不變，底邊在x軸上，那么底邊的兩個頂點坐標是什么時，可使所得的三角形的面積是原來三角形的面積的2倍.【練】在平面直角坐標系中， ABC的頂點坐標為 A- 1,0,B- 5, 0，C- 2, 3.1求 S2在y軸的正半軸上是否存在一點P,使pg 2SABC，假設存在，請求出點 P的坐標假設不存在，請說明理由；3直接寫出厶PCA勺面積值【例 12】A(a,O),B(b,O), 點 C在 y 軸上，且有 |a 4 (b 2)20JC11 *A°DK1求B.C的坐標;2如圖，AB/ CD,Q是CD上一動點，CP平分/ DCB,BQ與CP交于點P,求DQ

18、BQBC卩假設S ABC 6,求C點的坐標；值.【家庭作業(yè)】1、如圖，AD ABC的中線，BE為三角形 ABD中線,1/ ABE=15，/ BAD=35，求/ BED的度數(shù)；2在厶BED中作BD邊上的高；3假設 ABC的面積為60, BD=5,那么點E到BC邊的距離為多少?2如圖2，求出/ A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F 的度數(shù).3、 1如圖，：在I' '中，D 是 AC上一 點，且.求:丄一的度數(shù).3如圖，：在等邊三角形 ABC中, D E分別在AB和AC上，且 相交于點P.求:的度數(shù)4. 在厶ABC A= 1 / C=1 / ABC BD是角平分線，求/2 25

19、.如圖1, A為x軸負半軸上一點，B為x軸正半軸上一點，C(0, 2), D( 3, 2).1求厶BCD的面積.2如圖2，假設 ACL BC,作/ CBA的平分線交 CO于點 / CQP勺大小關系，并證明你的結論 .P,交CA于點Q判斷/ CPQ與圖1圖26. 1如圖， ABC中，BD平分/ ABC CF平分/ ACB的鄰補角/ ACE CF交BA延長線于點F.試問/ BAC.Z BDC和/ F之間有怎樣的數(shù)量關系？說明你的理由2如圖，/ 仁/2, AC平分/ BAO交y軸于點C,試問/ 關系？說明你的理由A落在點7. 如圖，點 A- 3，2，B 2，0，點C在x軸上，將 ABC沿 x軸折疊，

20、使點D處.1寫出D點的坐標并求 AD的長；2EF平分/ AED,假設/ ACF-Z AEF=15 ,求/ EFB 的度數(shù).第三講三角形全等根底【知識要點】1、 全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。全等三角形的性質: 全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等。全等三角形的判定方法：12345三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成SSS；兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成SAS。有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。簡寫成ASA兩個角和其中一個角的對邊對應相等的的兩個三角形全等。簡寫成AAS。斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。2、全等三角形

21、的性質：全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角也相等。3、三角形的全等變換1平移型變換：把全等三角形中的一個圖形沿某一直線方向平移而與另一個圖形重合 的變換規(guī)律，其根本模式如圖 12對折型變換：把全等三角形中的一個圖形沿某一直線翻折與另一個圖形重合的變換 規(guī)律，其根本模式如圖 23旋轉變換：把全等三角形中的一個圖形繞某一點旋轉與另一個圖形重合的變換規(guī)律，其根本模式如圖34復合型變換：把全等三角形中的一個圖形經(jīng)過以上兩種變換才能與另一個圖形重合 的變換規(guī)律。其根本模式有：如圖41旋轉+平移；2對折+旋轉；3對折+平移。圖4【根底回憶】填空題每題3分,共30分1 如圖, ABC DBC,且/

22、A和/ D, / ABC和/ DBC是對應角，其他對應邊2. 如圖, ABD ACE,且/ BAD 和/ CAE, / ABD 和/ ACE, / ADB 和/ AEC 是對應角 那么對應邊.3. :如圖, ABC FED,且 BC=DE.那么/ A=,A D= .4. 如圖, ABD ACE,那么AB的對應邊是 , / BAD的對應角是 5. :如圖， ABE ACD, / B= / C,那么/ AEB=,AE= .6. :如圖，AC丄BC于C , DE丄AC于E , AD丄AB于A , BC=AE .假設 AB=5 ,那么AD= .7. : ABC A'B '' A

23、'B'C'的周長為12cm，那么 ABC的周長為&如圖，：/仁/ 2 , / 3=/ 4 ,要證BD=CD ,需先證 AEBA EC ,根據(jù)是再證 BDE圣厶,根據(jù)是ABC9. 如圖，/ 1 = / 2，由AAS判定 ABDA ACD那么需添加的條件是 .10. 如圖，在平面上將 ABC繞B點旋轉到厶A'BC'的位置時，AA ' BC，/ ABC=70那么/ CBC '為度.【例題解析】【例1】1以下說確的個數(shù)有形狀一樣的兩個圖形是全等形；對應角相等的兩個三角形是全等三角形；全等三角形的面積相等；假設ABC DEF , DEF也C

24、. 2個 MNP , 那么 ABC MNP . A . 0 個B . 1 個2假設 ABC也厶DEF , DEF的周長為13 , DE=3,EF=4，那么AC的長.A . 13B . 3C. 4D. 63A ABC 也厶 A B'A=80°，/ B=40°，那么/ C'的度數(shù)為丨.A. 80 °B. 40° C. 60° D. 120°4 2021, 7, 3分如圖以下條件中，不能 證明 ABDACD的是A. BD=DC, AB=ACC. / B=Z C,Z BAD = Z CADB. / ADB= / ADCD. /

25、 B=Z C, BD = D5 2021, 5, 4分以下命題中，真命題是丨.(A) 周長相等的銳角三角形都全等；(B) 周長相等的直角三角形都全等；(C) 周長相等的鈍角三角形都全等；(D)周長相等的等腰直角三角形都全等.【例3】2021, 16, 3分如下列圖，兩塊完全相 同的含30°角的直角三角形疊放在一起，且/DAB=30有以下四個結論： AF丄BC :厶ADG ACF ；0為BC的中點； AG : DE= . 3 : 4,其中正確結論的序號是【練】202119,4分如圖，點 B,C,F,E在同一直線上，1填“是'或“不是"2的對頂角，要使 ABC DEF，

26、還需添加一個條件，這個條件可以是只需寫出一個.【例4】如下列圖，將ABC繞點A順時針旋轉30°后得AAB 1C1，將ABC 沿直線AB翻折得ABC2O 1問MB1C1與 MBC2有何關系？C22求/ CACi的度數(shù)?！揪殹咳缦铝袌D，ABE和AADC是ABC分別沿著 / 2 ：/ 3=28 : 5 : 3,那么/ a的度數(shù)為A . 80 ° B . 100 ° C. 60 ° D . 45 °AB, AC邊翻折180°形成的，假設/ 1 :【例5】2021威海,6, 3分在厶ABC中，AB > AC,點D、E分別是邊 AB、AC的

27、中點,點F在BC邊上,連接DE, DF, EF.那么添加以下哪一個條件后,仍無法判定 BFD與 EDF 全等.A . EF / ABB . BF=CFRF(定能使 ABD ACD的條件是C. Z A=Z DFED.Z B=Z DFE【練】2021宿遷,7,3分如圖，Z 1 = Z 2，那么不,BA . AB= AC B . BD = CDC . Z B=Z C D . Z BDA = Z CDA【例6】(2021)如圖，C是線段 AB的中點，CD平分Z ACE , CE平分Z BCD , CD=CE .(1) 求證： ACD BCE ;假設Z D=50 °，求Z B的度數(shù).【練】AB

28、/ DE, BC/ EF, D, C在 AF上，且AD=CF,求證：【例7】如圖，D點在AB上，點E在AC上，BE和CD相交于點/ C。求證： ABE ACD 。2BD = CE【練】如圖，AB = DC , AC = DB , BE = CE,求證：AE = DE.【例8】：如圖，等腰ABC與ADE中, 求證：CE=BD。AB=AC , AD=AE，且/ CAB= / EAD。【練】：如圖，點A、B、C、D在同一條直線上, 求證：/ E=Z F.AC = BD, AE 丄 AB , CD 丄 DF,AE = DF。DF【例8】如圖，在 ABC中，AD為/ BAC的平分線，DE丄AB于E, D

29、F丄AC于F。求證：DE=DF .【練】：如圖，AC BC于C , DE 長？AC 于 E , AD AB 于 A , BC=AE .假設 AB=5 ,求 AD 的【例9】在厶ABC中， ACB 90 , AC BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD MN于D，BE MN于E.(1)當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證： ADC也 CEB : DE AD BE ；(2) 當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，1中的結論還成立嗎？假設成立，請給出 證明；假設不成立，說明理由圖1【家庭作業(yè)】1. 1假設 ABC EFG，且/ B = 60°,/ FGE-Z E = 56°,那么/ A

30、 =度.2 ABC DEF , AB=5 , BC=4 , AC=3 , / C=9° ,那么DEF 中,最小的邊長為 最大的角為度.2. 如圖，在 ABC中，D,E分別是邊 AC,BC上的點，假設 AADB EDB EDC,那么Z3. 如圖，AB / CD,AD / CB,那么 ABC CDA 的依據(jù)是A. ASAB. SASC. SSSD.都不對4如圖，點 B、E、C、F 在同一條直線上， AB=DE,AC=DF, BE=CF. 求證：/ A= / D。5:如圖，在 RtMBC中，/ BAC=90 °,AB=AC, P為BC延長線上任一點，過 B、C兩點分 別作直線AP

31、的垂線BE、CF，E、F分別為垂足.1求證：BE+CF=EF ；2假設P為線段BC上的任意一點，其它條件不變，試問：線段 BE、CF、EF的長 度之間是否存在某種確定的數(shù)量關系？請畫出圖形，并證明你的結論6如圖，AC，BD相交于點 O, BO=DO，CO=AO，EF?過點0?分別交BC，AD于E，F(xiàn)， 據(jù)此你能得出什么結論？寫出思考過程.第四講三角形全等綜合【知識要點】1熟練運用全等三角形的性質與判定解決幾何問題2 熟練運用等腰三角形的性質與判定解決幾何問題 歸納與總結1全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角也相等2. 全等三角形的判定方法 ：SSS SAS ASA、AA

32、S、HL.3證明線段相等的方法：(1) 可證它們所在的兩個三角形全等(2) 運用角平分線的性質定理(3) 等角對等邊；(4) 等腰三角形的三線合一；(5) 運用線段的垂直平分線的性質定理等式的性質4. 證角相等的方法：(1) 同角的余角(補角)相等；(2) 對頂角相等；(3) 平行線的性質；(4) 全等三角形的對應角相等；(5) 角平分線性質定理的逆定理(6) 等邊對等角；(7) 等式的性質.【例題解析】【例1】如圖，ABE ACD ,1說出這兩個三角形中所有的對應邊，對應角2指出圖中所有相等的線段，并說明理由?！揪殹?、如圖， ABC ADE求證： BAD CAE2、如圖，直線AD、BC交于

33、點O , AOB DOC，判斷直線AB、CD的關系3、如圖，A、B、C三點在同一直線上，且ABE1求證：BD AC2求DE的長DBC， AB 7 cm， BC 3cm【例2】如圖，AB CD，AC BD，求證：A D【練】1、如圖，在色ABC中，點D是BC邊上一點,平分 ADB交AB于E ,求 EDF的度數(shù)AD CD，F(xiàn)是AC的中點，DE2、如圖，D是BC上一點，AB AD，BCDE AC AE求證： C E ； CDEBAD【例3】如圖，D、E分別為AB、AC上兩點，AD AE , BD CE，求證： B C【練】1、如圖，在等邊 崔ABC中，D、E分別為AC、AB上兩點，CD AE , B

34、D與CE交于點01求證：BD CE2求 BOC的度數(shù)2、如圖，銳角ABC中，BE、CF分別是高線，在高BE上截取BMAC，在高CF延長線上截取 CN AB，連AM、AN，求證： AM AN : MAN 90M【例4】如圖，在Rt ABC中,ACB 90，CA CB，過C點作直線丨，AD l于l點D , BE l于點E，求證：AD EB DE【練】1、如圖，在 ABC中，點D為BC的中點，分別過 B、C作BE AD于E ,CF AD 于 F，且 AD 10，求 AE AF 的長。F2、如圖，AD / CB，點E為CD上一點，AE、BE分別平分 DAB、 CBA , BE交AD的延長線于點F ,求

35、證：AE BE二AB AF二AD BC AB【例5】如圖,BAC CDB 90，AC DB，求證：BA DC【練】1、如圖， A 90，AB BD，ED BC 于 D，求證：ED CE AC2、如圖，AE BC 于 E , DFBC 于 F , AEEBDCDF , AB DC , AC 與 BD 有怎樣的關系?【家庭作業(yè)】1 如圖，AB=AD , AE=AC，/ 1 = / 2。求證：/ E= / C2、A、B、C在同一直線上,DB=CB，EB=AB，EC=AD，/ EBC=120° 求/ 1 的度數(shù)匚AE=CF，過點E、F分別作DE丄AC , BF丄AC，假CA3、如圖，A、E、

36、F、C在同一直線, 設AB=CD，求證：BD平分EFo4、，AD為AABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F,且有BF=AC，F(xiàn)D=CD，求證:BE 丄 AC o5、如圖， AABC中，/ A=90° AB=AC，過A在ABC外任作直線丨，BE丄l于E, CF 丄丨于F。 求證：EF=BE+CF ; 假設丨為經(jīng)過ABC部的一條直線，其它條件不變，中的結論是否成立？畫出符合題 意的圖形并證明。BC第五講角平分線【根底回憶】1. 角的平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊 相等。2. 角的平分線性質的逆用：角的部到角的兩邊 的在角的平分線上，所以角的平分線可以看作是到角兩邊距離相等的

37、所有點的集合。3./如圖，在 ABC 中，/ ACB=90° ,BC交AB于E,那么 ACAE4.如圖， ABC中，/ C=90° AC=BC , AD為/ BAC的平分線，DE丄AB，垂足為E,AB=10，那么 DEB的周長為?！镜淅馕觥?、利用角平分線條件向兩邊作垂線構造全等【例1】：如圖，在 ABC中，/ C=90 , AD平分 BAC ,1假設BC=16 , BD=10，求點D到AB的距離.2假設 BC=16 , BD : CD=5 : 3，求點 D 到 AB【例2】如圖，在四邊形 ABCD中，AD=DC , BD平分/ ABC，求證：/ A+ / C=180C【

38、練】1.如圖，在四邊形 ABCD中，/ A+ / C=180 , BD平分/ ABC，求證：AD=DCC2.如圖，在四邊形ABCD中,1求證：BE=丄AB+BC2DE 丄 BC 于 E, BD 平分/ ABC，假設/ A+ / C=180°,E二、利用角平分線截長補短【例3】如圖，在 ABC中，B 60，AD、CE分別平分 BAC、 的交點為F .求證：FE FD .BCA，且 AD 與 CEC【練】在 ABC中，AB AC , AD是 BAC的平分線.P是AD上任意一點求證:AB AC PB PC .【例 4】如圖：AB / CD, / 1 = / 2, / 3 = / 4.求證:

39、BC =AB + CD找D圖2三、利用“角平分線+垂直這一條件構造全等三角形【例5】如下列圖，在 ABC中，/ ABC=3 / C, AD是/ BAC的平分線，BE丄AD于F,求證：BE 1(AC AB)2【練】：如圖，AB=AC，/ BAC=90，/ 1 = / 2, CE丄 BE,求證：BD=2CE .四、根本圖形：【例6】：如圖，在 AABC中，/ C= 2/ B,Z 1 = Z 2，求證【練】如圖，在 ABC 中/ A=100° ,AB=AC，/ ABC五、角平分線的判定【例7】如圖，將厶ABC繞A點順時針方向旋轉 a角度到 ADE的位置，設BC與DE交；MA平分/ DMC于

40、M點，連接AM.以下結論：BC=DE ；/ BAEa ；/ DMBa其中正確的結論有A .B.C .D.CA . AB > AD + BCB . AB = AD + BCC. AB v AD + BCD .無法確定2. 如圖 5,A ABC 中，/ C=90° AD 平分/ BAC , DE丄 AB 于 E, BC=8 cm, BD=5 cm, 那么DE=cm3 .如圖 6, / A = 90 ° BD 平分/ ABC, AD = 3cm, BC = 6cm,那么 BDC 的面積為AB=AC , AD 平分/ BAC , DE 丄 AB , DF 丄 AC , E、F

41、 為垂足，那4.如圖， ABC中， 么以下四個結論： AD上任意一點到 AB、AC的距離相等； AD上任意一點到C、B兩點的距離相等; AD 丄BC 且 BD=CD ； / BDE= / CDF ;其中正確的個數(shù)有丨B . 2個C . 3個D . 4個【家庭作業(yè)】5，如圖，P為/ AOB平分線OP上一點,求證：OA+BO=2OCPC 丄 OA 于 C ,Z OAP+ / OBP=180°。PB1如圖4，四邊形ABCD中，假設/ DAB的平分線AE交CD于E,連結BE，且BE恰 好平分/ ABC，那么AB的長與AD + BC的長的大小關系是第六講軸對稱與其變換【根底回憶】1 軸對稱：軸

42、對稱指把一個圖形沿著某一條直線翻折過去，假設它能夠與另外一個圖形重合，那么這兩個圖形成 這條直線叫，兩個圖形中的對應點叫 。2.軸對稱的主要性質1關于某直線對稱的兩個圖形是 ;2假設兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點連線的 ，兩個對稱點到對稱軸的距離相等。3假設兩個圖形對應點連線被同一條直線 ，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。3 垂直平分線的性質定理與其逆定理1線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的 ;2到線段 的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。【例題解析】2畫圖：試畫出以下正多邊形的所有對稱軸，并完成表格,、軸對稱的定義與性質【例1】1填表：圖形對稱軸個數(shù)圖形對稱軸

43、個 數(shù)圖形對稱軸個數(shù)等腰三角形長方 形等腰 梯形等邊三角形正方 形圓正多邊形的邊數(shù)34567對稱軸的條數(shù)根據(jù)上表，猜想正 n邊形有條對稱軸?！揪殹? 如圖，以下列圖案是我國幾家銀行的標志，其中軸對稱圖形有©GA . 1個 B. 2個 C. 3個D. 4個2、如以下列圖，左邊是一只停泊在平靜水面上的小船，它的倒影'應是亠亍亍亍AB.C.D.二、軸對稱畫圖【例2】1畫出線段 AB的中垂線。2在AB上找一點P,使P到M、N兩點的距離相等3等。如圖，A、B、C三點表示三個工廠，要建一個供水站，使它到這三個工廠的距離相4如圖，li、 等，且到P、【例(1)(2)12交于A點，P、Q的位

44、置如下列圖，試確定 Q兩點的距離也相等。三、用坐標表示軸對稱3】如圖， ABC中各頂點的坐標分別是 A 1, 4、B 在同一坐標系中畫出直線 I : x=-1 ；作出 ABC關于直線I對稱的 A B'并寫出對稱點 A'、B'、 C勺坐標【練】如圖：寫出A、B、C三點的坐標. 假設 ABC各頂點的橫坐標不變， 縱坐標都乘以-1，請你在同一坐標系中描出對應的點A'、B'、C,并依次連接這三個點，所得的厶A B'與原 ABC有怎樣的位置關系？ 在的根底上，縱坐標都不變，橫坐標都乘以-1 ,在同一坐標系中描出對應的點 A、B、C，并依次連接這三個點，所得

45、的厶 A B與原 ABC有怎樣的位置關系？【例4】1點M一 2, 1關于x軸對稱點N的坐標是點A 1 , - 3關于y軸對稱點B的坐標是 點C一 2, 2關于原點對稱點 D的坐標是 2點A一 1,1丨關于直線x=1對稱的點的坐標是： 點C2,- 1關于直線y= 1對稱的點的坐標是： 【練】1點P一 5, 1丨關于x軸對稱點Q的坐標是2點Ax, 4與點B 3, y關于y軸對稱，那么x+ y的值為.3點M-2, 1丨關于x軸對稱的點N的坐標是 ，直線MN與X?軸的位置關艮是;點P 1, 2關于直線y=1對稱的點的坐標是 .四、垂直平分線的綜合應用【例5】如圖，把長方形ABCD沿AC折疊，得到如下列

46、圖的圖形,DOC的大小是A. 40 ° B. 50 °C. 60 °D . 70ACB = 35°,那么【練】如圖，在 ABC的邊BC上取一點D，邊AC上取一點E使得 ABD沿AD翻折后，點B對應點是 丘，將厶CDE翻折后，點C的對應點剛好是點A，那么/ C= ; AC= AB.【例6】如圖，點 線段MN交OA、P在/ AOB的部，點M、N分別是點P關于直線 OA、OB的對稱點,OB于點E、F，假設 PEF的周長是20cm，求線段 MN的長.【練】如圖，在 ABC中，AB=AC=14cm,邊AB的中垂線交AC于D ,BCD的周長為24cm，求BC的長【例

47、7】如圖，在 ABC中，DM、EN分別垂直平分 AC和BC ,交AB于M、N . 1 假設 CMN的周長為20cm，求AB的長；2假設/ ACB=11O，求/ MCN的度數(shù).C圖 1ABCD2以下說確的是A .任何一個圖形都有對稱軸；B 兩個全等三角形一定關于某直線對稱；C .假設 ABC與厶A B'成軸對稱，那么 ABC A B' C'；D .點A，點B在直線丨兩旁，且AB與直線丨交于點0,假設AO=BO，那么點A與點 B關于直線丨對稱.3. A-1 , -2和B 1 , 3，將點A向平移個單位長度后得到的點與點B關于y軸對稱.4. 一個點的縱坐標不變，把橫坐標乘以-

48、1，得到的點與原來的點的關系是 .5. 如圖， ABC中，AB AC , A 30 , DE垂直平分AC ,那么 BCD的度數(shù)為A. 80B. 75C. 65D. 45 6 .如圖， ABE和 ACD是 ABC分別沿著 AB, AC邊翻折180形成的，假設BAC 150，那么的度數(shù)是.7.如圖，E ,以下結論1BD平分 ABC 2AD4D是AC中點，其中正確的個數(shù)是C. 3個ABC 中，AB AC，/ A = 36,AB的中垂線BD BC3DE交AC于D，交AB于BDC的周長等于AB BC1試在2試在x軸上畫一點y軸上畫一點D. 4個CM，使其MP+MQ值最小;N，使其 NP=NQ ;；y第七

49、講 等腰三角形和等邊三角形【根底回憶】1、一個等腰三角形兩角的度數(shù)比為1:4,那么這個等腰三角形頂角的度數(shù)為A.20 °B.120 °C.20。或 120 °D.362、等腰三角形兩邊長分別為4和9,那么第三邊長為a,那么六3、右圖是由9個等邊三角形拼成的六邊形，假設中間的小等邊三角形的邊長是邊形的周長是4、如圖，在 Rt ABC 中，/ B=90。，/ ACB=60 ° , D 是 BC 延長線上一點，且 AC=CD, 那么BC:CD=【例題解析】-、等腰三角形的性質與判定【例1】如圖，ABC中，ABAC , E在AC上, AD和BE是高，它們相交于點

50、 H,且CAE BE，求證：AH 2BD【例2】如圖， ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交于點0給出以下三個條件：/ EBO= / DCO;/ BEO= / CDO; BE=CD.(1)上述三個條件中，哪兩個條件可判定ABC是等腰三角形用序號寫出所有情形ABC是等腰三角形(2)選擇第1小題中的一種情形，證明【練】求證：如果三角形一個外角的角平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等 腰三角形。二、等邊三角形的性質與判定【例3】如圖，點B、C、D在同一條直線上， ABC和厶CDE?都是等邊三角形.BE交AC于F, AD交CE于H ,求證：1 BCEACD . 2CF=CH 3

51、FH/BD【練】，如圖，延長ABC的各邊，使得BF=AC,AE=CD=AB,順次連接D,E,F，得到ADEF為等邊三角形，求證：(" AEF CDE;(2) ABC為等邊三角形三、等腰直角三角形的性質與應用【例4】如圖，等腰Rt ABC中，AB=AC D為BC的中點，E、F分別在 AB AC上,且AE=CF. 求證：(1)DE=DF ;2/ EDF =90° .FEAB垂足,求證： DEF是等腰直角三角形【練】 ABC中，/ C=90 ,AC=BC,D是AB的中點,E是BC上任一點，EP丄CB,PF丄AC,E、F為四、含30°的直角三角形【例5】如圖，直角 AAC

52、B中，/ ABC=90，/ BAC=30，而 AACD 和 ABE都是等邊三匚角形；AC、DE交于F。求證：FD=FE且CF=3AF【家庭作業(yè)】BD= CE,連接AD BE交于.135 °1如圖，等邊 ABC中，點D、E分別為BC CA上的兩點，且F點，那么/ FAE+Z AEF的度數(shù)是A. 60°B . 110°C . 120°D 2.如圖，點C是線段BE上一點，且AABC、AAEF都是等邊三角形1直接寫出圖中以點 A為頂點的相等的角； 2寫出圖中與 CF相等的線段，并說明理由3.如圖，在 ABC中，AB AC ,求證：EB 3EA4.如圖, ABC為

53、等邊三角形,QR丄AB于R, PQ丄AC于Q, RP丄BC于P,且AR= BP= CQ, 求證： RPQ為等邊三角形.5如圖，在等邊 ABC中，D是AC上一點，點DM BC，求證 BM EM第八講期中復習選擇題1、以下“ Q表情"中屬于軸對稱圖形的是2、如下列圖， AB3A EFD, / B與/ F是對應角，那么A. AB=DE, AC=EF, BC=DF B. AB=DF, AC=DE, BC=EFC. AB=EF, AC=DE, BC=DF D.AB=EF, AC=DF, BC=DE3、點P(2 , -3)關于y軸的對稱點的坐標是A.(2,3) B.(-2,-3) C.(-2,3) D.(-3,2)4、以下性質中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是A.兩邊之和大于第三邊B 有一