43多項式方法求特征值問題

1、4. 3多項式方法求特征值問題4.3.1 F-L方法求多項式系數(shù)我們知道，求n階方陣A的特征值就是求代數(shù)方程IA 1 I 0 431的根。稱為A的特征多項式。上式展開為n丿pl n 1 p2 n 2Pn 其中PPz.-Pn為多項式的系數(shù)。從理論上講，求A的特征值可分為兩步：第一步直接展開行列式|A 1 |求出多項式 ；第二步求代數(shù)方程X 0的根，即特征值。對于低階矩陣，這種方法是可行的。但對于高階矩陣，計算量那么很大，這種方法是不適用的。這里我們介紹用F-L Faddeev-Leverrier丨方法求特征方程丨中多項式 的系數(shù)。由于代數(shù)方程求根問題在第2章中已經(jīng)介紹，所以本節(jié)中解決特征值問題的

2、關(guān)鍵是確定矩陣A的特征多項式，所以稱這種方法為多項式方法求特征值問題。記矩陣a= aj n n的對角線元素之和為trAan a22. ann 利用遞歸的概念定義以下n個矩陣Bkk1,2,.,n：p1 trB1B1 A,B2A(B1pj),B3A(B2p2!),P21trB2P31trB31丄廠 Pk -trBkkBkA(Bk 1pk 1 !),BnA(Bn 1 Pn1l), PnBn 可以證明,式中Pk*1,2,., n,即是所求A的特征多項式的各系數(shù)。用式求矩陣的特征多項式系數(shù)的方法稱為F-L方法。相應(yīng)特征方程為：n nn 1n 2(1) (P1P2Pn)0 而且可證矩陣A的逆矩陣可表示為1

3、1A1 (Bn1 Pn1l)Pn(4.3.6)例1求矩陣3 2 4A 2024 23的特彳征值與A1解用F-L方法求得32 4BiA 20 242 3PitrB161124B2A(BiP1I)2824211P21-trB2152800B3A(B2P2I)080008P31trB383所以A的特征方程為(1)3( 36 2 158) 0此方程的根，即特征值為18,21311112421 1171A(B2 P2I)P3484111242從例1中的計算結(jié)果可知B3P3I Faddeev曾經(jīng)證明：對n階矩陣A,按式計算出的Bn總有BnPnI件 3.7432特征向量求法當(dāng)矩陣A的特征向量確定以后，將這些

4、特征值逐個代入齊次線性程組A Ix=0中,由于系數(shù)矩陣A I的秩小于矩陣 A I的階數(shù)n,因此雖然有n個方程n個未知數(shù),但實際上是解 有n個未知數(shù)的相互獨立的r個方程rn.當(dāng)矩陣A的所有特征值互不一樣時，這樣的問題中要解的齊次方程組中有n-1個獨立方程，其中含有n個特征向量分量，因此特征向量分量中至少有一個需要任意假設(shè)其值，才能求出其他特征分量在計算機中解這樣的齊次線性程組，可用高斯-假設(shè)當(dāng)消去法，以便把一組n個方程簡化為等 價的一組n-1個方程的方程組然而，用高斯-假設(shè)當(dāng)消去法簡化一個齊次線性程組時，方程之間不都是獨立的，在消去過程中系數(shù)為零的情況較多必需交換方程中未知數(shù)的次序，以防止主元素

5、位置上為零的情況因此，為了提高精度和防止零元素的可能性，我們總是用主元素措施把絕對值最大的系數(shù)放于主元素位置例如，假設(shè)矩陣A為4其特征方程為=0展開后為(1)( 2)(故特征值分別為1 1, 2 2,5)0F面求特征向量，將3x1 2x2 2x35xi 2x2 2x32x1 4x2 0x31代入方程組(A I)x 0中，得0 438以-5為主元素,交換上式第一與第二個方程得5x1 2x2 2x303x1 2x2 2x302x1 4x2 0x30(4.3.9)用高斯-假設(shè)當(dāng)消去法消去-5所在列中的x1,并把主元素所在行調(diào)到最后，得0x10xi165 X216一X24 門x3054X3055X12

6、5X225%30再以16/5為主兀素，消去它所在列中的0x10x20X30X11 0x2- x300x11 x2x324 30(4.3.10)X2，并把主元素所在的行調(diào)到最后，得(4.3.11)這就是用高斯假設(shè)當(dāng)消去法實現(xiàn)把一組三個方程簡化為等價的一組兩個獨立方程的情形 為這個等價的方程組包含兩個獨立的方程其它兩個值就可以通過兩個獨立方程解出 的一個特征向量為，而有三個未知數(shù)，所以只要假定其中一個值 比方，令x31 ,那么得到矩陣A的對應(yīng)于.因，那么1 1對另外兩個特征值的對應(yīng)特征向量求法與上述對i 1的推導(dǎo)過程一樣計算機中實現(xiàn)求解這樣的齊次線性方程組的消去步驟是，用第3章討論過的高斯-假設(shè)當(dāng)

7、消去法的公式，方程組(439)的系數(shù)矩陣經(jīng)過第一次消去后的矩陣B為1651645452(4.3.12)以矩陣為方程組(4310)的系數(shù)矩陣，其中省略了有0和1元素的第一列，然后再進展必在進展第二次消元之前，要應(yīng)用完全主元素措施對前兩行進展最大主元素選擇 要的行或列交換每完成一次消元過程，總省略只有0和1元素的第一列，并且計算機僅尋找矩 陣的前n-k行中的最大主元素，其中k是消元過程應(yīng)用的次數(shù).對(4.3.12)式再進展一次消元過 程，那么得到列矩陣B14(4.3.13)此矩陣是對應(yīng)于方程組(4.3.11)的系數(shù)矩陣，不過省略了含0和1元素的前兩列一般來說 最后 矩陣列的數(shù)目等于矩陣 A I的階

8、數(shù)和秩的差值.由于方程組(4.3.8)有三個未知數(shù)，兩個獨立方程，所以計算機必須任意給定一個未知數(shù)的值，以便可以從其他兩個獨立方程中解出另外兩個未知數(shù).為方便，在計算機決定特征向量時，要恰當(dāng)?shù)卦O(shè)定任意選取的未知數(shù)的值.例如，令x31，由方程組(4.3.11)知道，其他兩個分量的值正好能從含x3的非零系數(shù)項得出.為此，從計算機所存儲的最終矩陣中，令B1最上面的0元素為-1,并把它順次調(diào)到最下面第三行的位置上 在工程問題中，從特征方程所求出的特征值，就得到所求的特征向量1)，少數(shù)情形也有一樣的.一般地，當(dāng)一個特征方程有k重根 時矩陣A I的秩可能比其階數(shù)少1,或2,或3,，或k，當(dāng)然對應(yīng)于的線性無

9、關(guān)的特征向量的個數(shù)也就是1,或2,或3,或k,下面通過一個特征值對應(yīng)兩個線性無關(guān)特征向量的例子進一步說明計算機求特征向量的方法.設(shè)矩陣A為3 24A 2024 23其特征方程為324220423展開后得(1)2(8) 0121,3 8為了決定1的特征向量，將424%212X20424X3應(yīng)用一次高斯-假設(shè)當(dāng)消去法，得1代入方程組(A I )x=0,得(4314)所以特征值為(4.3.15)寫成矩陣形式,(4.3.15)式的系數(shù)矩陣為性無關(guān)的特征向量。對應(yīng)于1的全部特征向量為000000X2011/21X30B 01/2因為方程組(4.3.15)的系數(shù)矩陣的秩為1,它比矩陣階數(shù)少2,因此對應(yīng)于1

10、有兩個線性無關(guān)的特征向量，必須給兩個未知數(shù)任意規(guī)定值，才能確定這兩個線性無關(guān)的特征向量，由4315式可看出，一般總是選擇x21,x30求一個特征向量 選擇x2,x31求另一個特征向量；這樣有兩個線性無關(guān)的特征向量1/21100 1計算機中求兩個線性無關(guān)的特征向量的方法是，在(4.3.16)式的B中，把第一列中第一個0元素用-1代替,第二列中第二個0元素也用-1代替，然后把第一、第二行順次調(diào)到最下面一行 的位置上，第三行自然就成了第一行，如此調(diào)換后矩陣的第一列和第二列就是所求的兩個線1/21k11 k2 001其中k1與k2是任意常數(shù)，且不同時為零。為了說明列交換的必要性，防止主元素為零，再舉一

11、個例子，設(shè)矩陣A為2812A144001其特征方程為( 2) ( 特征值為1)01 2, 20, 31對應(yīng)于2 的特征向量可由解以下方程組而求得4812X1124X2 0001X3(4.3.17)用一次高斯-假設(shè)當(dāng)消去法，得001X1001X20123X3(4.3.18)假設(shè)不進展列交換， 那么下一個消元過程只能在第一行的第二個元素與第二行的第二個元素 中找最大主元素，而它們都是零，我們不得不對(4.3.17) 式進展列交換，即交換未知數(shù)之間的次序，之后再進展消去過程 .對(4.3.17)式進展列交換，即把絕對值最大系數(shù)放在主元素位置，顯然是第一列與第三列的交換，交換后成為1284X3421X2 0100X1(4.3.19)其中未知數(shù)列矩陣中Xi與X3也進展了交換，這樣才能保證(4317)式與(4319)式等價，對(4.3.19)式進展一次高斯 -假設(shè)當(dāng)消去法，得02/31/3X302/31/3X2 012/31/3X11(4.3.20)再進展一次消去過程，得000X3100X2001 1/2X1(4.3.21)在計算機中計算，剩下一個最終的列矩陣0B0(4.3.22)將(4.3