兩輛鐵路平板車的裝貨問題

1、兩輛鐵路平板車的裝貨問題摘要此題針對(duì)鐵路平板車裝貨的問題，有七種規(guī)格的包裝箱要裝到兩輛鐵路平板 車上去。在厚度、載重、件數(shù)等條件的限制下，要求我們把包裝箱裝到平板車上 去使得浪費(fèi)的空間最小。針對(duì)本問題，初步分析可得：題中所有包裝箱共重89t，而兩輛平板車只能載重共80t，因此，不可能全安裝下。根據(jù)題意可得，浪費(fèi)的空間最小就是要求 盡可能使兩輛車上的裝箱總厚度盡可能大。根據(jù)題目中關(guān)于厚度、載重、件數(shù)等限制條件，建立相應(yīng)的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，寫出相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)和約束條件。 使 用數(shù)學(xué)軟件matlab和lingo得出相應(yīng)的最優(yōu)解。假設(shè)有數(shù)組最優(yōu)解，最后用Excel 對(duì)得到的最優(yōu)解進(jìn)行分析，得出最符合題

2、意的答案。關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃最優(yōu)解lingo matlab一、問題重述有7種規(guī)格的包裝箱要裝到兩輛鐵路平板車上去。包裝箱的寬和高是一樣 的，但厚度t，以厘米計(jì)與重量w,以公斤計(jì)是不同的。下表給出了每種 包裝箱的厚度、重量以與數(shù)量。每輛平板車有10.2米長(zhǎng)的地方可用來裝包裝箱像面包片那樣，載重為40噸。由于當(dāng)?shù)刎涍\(yùn)的限制，對(duì)C5,C6,C7類的包裝 箱的總數(shù)有一個(gè)特別的限制：這類箱子所占的空間厚度不能超過 302.7cm。C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7tcm 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0wkg 2000 3000 1000 500 4000 200

3、0 1000 件數(shù) 8796648問：應(yīng)該如何把這些包裝箱裝到平板車上，才能使得浪費(fèi)的空間最小盡量使這些包裝箱所占的空間最大？試建立此問題的數(shù)學(xué)模型。問題分析2.1對(duì)題目的分析題目中的所有包裝箱的總重量W=2*8+3*7+9*1+0.5*6+4*6+2*4+1*8=89t但是兩輛平板車的總載重量只有 80t，所以不可能全部裝下所有貨物。題目要求試 把包裝箱裝到平板車上去使得浪費(fèi)的空間最小。所以不以盡可能裝滿80t貨物為目標(biāo)函數(shù)，而是以使兩輛車上的裝箱總厚度盡可能大為目標(biāo)函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型。 由于當(dāng)?shù)貙?duì)于貨運(yùn)的限制 C5,C6,C7所占的厚度不超過302.7cm。這句話可以理 解為1 ：每輛車的長(zhǎng)

4、度限制不超過302.7cm°2 :兩輛車的總長(zhǎng)度限制不超過302.7cm0我們算得需要裝載的C5, C6, C7總長(zhǎng)度為：T=48 . 7*6 + 52 . 0*4 + 64 . 0*8 = 1012 . 2cm遠(yuǎn)大于3 0 2. 7 cm。所以本文中我們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)據(jù)的判斷，只考慮第一種情況。2.2對(duì)模型的簡(jiǎn)單分析根據(jù)題目我們要建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。 分析發(fā)現(xiàn)：1.有一個(gè)目標(biāo)，即題目的 最終要使兩輛車的總厚度實(shí)現(xiàn)最大化；2.存在一定的約束條件，并且這些約束條 件可以由決策變量的線性不等式表示，即每輛車的厚度以與載重限制是完全由決 策變量每輛車所裝種類包裝箱的個(gè)數(shù)決定的。故此題屬于線性

5、問題，可以采 用線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型解決。三、模型假設(shè)1、包裝箱的底面積恰好與平面車的平面積恰好相等；2、包裝箱之間不存在間隙，即包裝箱所鋪成的總高度沒有影響；3、將每個(gè)包裝箱裝入平板車都具有可行性；4、各個(gè)貨物裝在車上的概率相同，相互之間的排放不存在關(guān)聯(lián)性；5、在該平板車裝載的過程中不考慮各個(gè)貨物的厚度與重量的誤差性，均為題中 所給的準(zhǔn)確數(shù)值；&裝載的過程中不考慮貨物在車上的排列次序與各個(gè)貨物的重量密度，排除因 局部過重而造成的平板車不能行駛的情況；7、不考慮方案不同僅僅是AB車車次相互交換的情況；8、不考慮一輛車上同一種包裝箱組合方案的不同排列；9、在重量符合要求的情況下，不考慮兩車重

6、量差異大小對(duì)最優(yōu)解的影響四、符號(hào)說明序號(hào)符號(hào)符號(hào)說明1X1X7A車中C1C7類貨物裝載的數(shù)量2Y1Y7B車中C1C7類貨物裝載的數(shù)量3f目標(biāo)函數(shù)，即 A, B車所裝貨物的總厚度4Wa最優(yōu)解中A車的實(shí)際重量5Wb最優(yōu)解中B車的實(shí)際重量6Ta最優(yōu)解中A車的實(shí)際厚度7Tb最優(yōu)解中B車的實(shí)際厚度8Lta最優(yōu)解中A車的C5,C6,C7的實(shí)際厚度9Ltb最優(yōu)解中B車的C5,C6,C7的實(shí)際厚度為了便于問題的求解，我們給出以下符號(hào)說明:五、模型的建立與求解經(jīng)過以上的分析和準(zhǔn)備，我們將逐步建立以下數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步闡述模型的 實(shí)際建立過程。5.1線性規(guī)劃模型的建立與求解根據(jù)題目中的意思，要在符合厚度、質(zhì)量等的條

7、件下建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。 我們可以根據(jù)題意寫出初步的目標(biāo)函數(shù)和約束條件：假設(shè)兩輛車分別為 A車和B車，設(shè)A車上的C1、C2、C3 C4 C5 C6 C7 種類的箱子分別裝x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7件，B車上的C1、C2 C3 C4 C5 C6 C7種類的箱子分別裝y1、y2、y3、y4、y5、y6、y7件。1. 目標(biāo)函數(shù)為使兩輛平板車的裝箱總厚度之和盡可能地大，即：max 0.487x1 0.520x2 + 0.613x3 + 0.720x4 + 0.487x5 + 0.520x6 + 0.640x7+ 0.487y1 + 0.520y2 + 0.613y3 + 0.720y4

8、+ 0.487y5 + 0.520y6 + 0.640y72. 約束條件裝箱過程中必須遵循的各約束如下：厚度約束：每輛平板車有10.2m長(zhǎng)的地方來裝包裝箱可以得0.487x1 + 0.520x2 + 0.613x3 + 0.720x4 + 0.487x5 + 0.520x6 + 0.640x710.200.487y1 + 0.520y2 + 0.613y3 + 0.720y4 + 0.487y5 + 0.520y6 + 0.640y710.20重量約束：每輛平板車的載重為40t可以得：2x1 +3x2 + x3 + 0.5x4 + 4x5 + 2x6 + x7 402y1 + 3y2 + y3

9、 + 0.5y4 + 4y5 + 2y6 + y7 40特殊約束：C5 C6 C7所占空間厚度不能超過302.7cm可以得:0.487x5 + 0.520x6 + 0.640x73.0270.487y5 + 0.520y6 + 0.640y73.027箱數(shù)約束：x1 + y1 8x2+y2 7x3 + y3 9x4+ y4 6x5+ y5 6x6+ y6 4x7+ y7 8均為=0的整數(shù)。另外,X1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y75.2運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件對(duì)模型求解1. 線性模型總的表示:maxZ 0.487x1 + 0.520x2 + 0.613x3 +

10、 0.720x4 + 0.487x5 + 0.520x6 + 0.640x7+ 0.487y1 + 0.520y2 + 0.613y3 + 0.720y4 + 0.487y5 + 0.520y6 + 0.640y7s.t. 0.487x1+ 0.520x2+0.613x3+0.720x4 + 0.487x5 + 0.520x6 + 0.640x710.200.487y1+ 0.520y2+0.613y3+0.720y4 + 0.487y5 + 0.520y6 + 0.640y710.202x1 + 3x2 + x3 + 0.5x4 + 4x5 + 2x6 + x7402y1 + 3y2 + y

11、3 + 0.5y4 + 4y5 + 2y6 + y7400.487x5 + 0.520x6 + 0.640x73.0270.487y5 + 0.520y6 + 0.640y73.027x1 + y1 8 x2 + y2 7 x3 + y3 9 x4 + y4 6 x5 + y5 6 x6 + y6 4 x7 + y7 8x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7 02. 用matlab對(duì)模型求解對(duì)于此模型，針對(duì)目標(biāo)函數(shù)，我們利用matlab軟件確定其最優(yōu)解。可得一組最優(yōu)解：4,3,8,020,1,2,4,0,6,1,2,2檢驗(yàn)可

12、得：A B車的總厚度為2021.7cm。3. 用lingo對(duì)模型求解對(duì)于此模型，針對(duì)目標(biāo)函數(shù)，我們利用matlab軟件確定其最優(yōu)解?？傻脙山M最優(yōu)解：最優(yōu)解一VariableValueReduced CostX16.000000-0.4870000X22.000000-0.5200000X36.000000-0.6130000X40.000000-0.7200000X50.000000-0.4870000X60.000000-0.5200000X74.000000-0.6400000Y12.000000-0.4870000Y23.000000-0.5200000Y32.000000-0.6130

13、000Y45.000000-0.7200000Y50.000000-0.4870000最優(yōu)解二VariableY63.000000Y72.000000-0.5200000-0.6400000ValueReduced CostX10.000000 -0.4870000X25.000000-0.5200000X32.000000 -0.6130000X45.000000-0.7200000X52.000000 -0.4870000X61.000000 -0.5200000X72.000000 -0.6400000Y16.000000 -0.4870000Y22.000000 -0.5200000Y

14、36.000000 -0.6130000Y40.000000 -0.7200000Y50.000000 -0.4870000Y60.000000 -0.5200000Y74.000000-0.6400000首先，比照matlab和lingo的運(yùn)算結(jié)果，可以很容易地得出lingo所得的最優(yōu)解更 合理兩車總厚度為2040cm遠(yuǎn)大于matlab的結(jié)果。其次，比照兩組最優(yōu)解：x1x2x3x4x5x6x7y1y2y3y4y5y6y7TaTbTWaWb|Wa-Wb|2325032626000410201020204025.5282.50525212626000410201020204031.5283.5可

15、以看出，雖然兩組都是最優(yōu)解，但是第二種方法算出來的總載重更大些。3.進(jìn)一步分析分析兩組最優(yōu)解的具體數(shù)據(jù)，兩組數(shù)據(jù)對(duì)C1和C5兩種貨箱產(chǎn)生了替換。再 對(duì)貨箱尺寸進(jìn)行分析后，我們發(fā)現(xiàn)C1,C5以與C2,C6貨箱的厚度分別相等，如果 C1,C5或C2,C6貨箱之間相互替換，不影響厚度而只對(duì)重量和對(duì)于 C5,C6,C7貨 箱的長(zhǎng)度有影響。1. 對(duì)A車因?yàn)閤5,x6均為0,假設(shè)是減少x2，x3來增大x5，x6,那么C5, C6, C7包裝箱 的厚度總和就大于302.7cm。故A車不能互換，只能為6， 2， 6， 0， 0， 0， 42. 對(duì)B車C2->C6 不可以，因?yàn)镃5-C7超出302.7 ；

16、 C6->C2不可以，因?yàn)镃2已經(jīng)到達(dá) 最多7件。所以我們經(jīng)過分析，枚舉出了 6組符合要求的最優(yōu)解篩選后的6組情況如下表所列:X1X2X3X4X5X6X7Y1Y2Y3Y4Y5Y6Y7總載重tC5+C6+C7厚度cm2325032626000423.52.840525212626000429.52.7741425122626000426.52.8071525112626000427.52.2872425022626000424.52.322525012626000425.51.8六、模型的評(píng)價(jià)與改良6.1模型的評(píng)價(jià)基于對(duì)問題的分析與理解，建立了整數(shù)線性規(guī)劃模型，并使用lingo軟件對(duì)該模

17、型進(jìn)行求解。模型的優(yōu)點(diǎn)由于lingo軟件功能強(qiáng)大，計(jì)算機(jī)運(yùn)行的時(shí)間大大縮短。我們將題目給出的 約束條件很直觀地反映出來，便于理解。并且利用多種方法通過該模型得到問題 的最優(yōu)解，再次說明了該模型的正確性和適用性。模型的缺點(diǎn)采用lingo語言，在變量較多而且存在相同參數(shù)的時(shí)候，lingo只能得到一 組或少量根底解，不夠全面。這時(shí)根據(jù)題目具體數(shù)據(jù)分析的作用就更顯得重要， 不能盲目的運(yùn)用計(jì)算機(jī)求解。七、模型的推廣本文只考慮了貨車中所浪費(fèi)的空間最小，沒有考慮貨車的載重量經(jīng)濟(jì)利益等其他 因素。所以再日后模型推廣上可以將平板車的裝載重量， 經(jīng)濟(jì)利益等因素引進(jìn)來， 從而由單目標(biāo)規(guī)劃推廣到多目標(biāo)規(guī)劃上， 使我們

18、的模型更符合實(shí)際需求，更具有 經(jīng)濟(jì)效益。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)變?yōu)檫\(yùn)輸 模型那么需要更進(jìn)一步當(dāng)然，本文的模型還只是針對(duì)一種確知的目標(biāo)函數(shù)而定的。 本錢最小化而需要進(jìn)行復(fù)雜的不確定的多因素動(dòng)態(tài)規(guī)劃時(shí), 的深化與改良。八、參考文獻(xiàn)1靜、但琦等，?數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?，：高等教育，2021。2煥彬、庫在強(qiáng)等，?數(shù)學(xué)模型與實(shí)驗(yàn)?，：科學(xué)技術(shù)，2021。3戴明強(qiáng) 衛(wèi)軍 鵬飛，數(shù)學(xué)模型與其應(yīng)用，第一期，94-121頁，2007年九、附錄附錄一Max0.487x1+0.52x2+0.613x3+0.72x4+0.487x5+0.52x6+0.64x7+0.487y1+0.52y2+0.613y3+0.72y4+0.487y5+0.52y6+0.64y7St0.487x1+0.52x2+0.613x3+0.72x4+0.487x5+0.52x6+0.64x7<=10.22x1+3x2+1x3+0.5x4+4x5+2x6+1x7<=400.487x5+0.52x6+0.64x7<=3.0270.487y1+0.52y2+0.613y3+0.72y4+0.487y5+0.52y6+0.64y7<=10.22y1+3y2+1y3+0.5y4+4