高考物理一輪復習講義第四章第講萬有引力與航天含答案

1、第4講萬有引力與航天板塊一主干梳理夯實基礎(chǔ)【知識點1】 開普勒行星運動定律I1 .定律內(nèi)容開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間掃過相等的面積。 開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相a3等，即尸=k。2 .使用條件：適用于宇宙中一切環(huán)繞相同中心天體的運動，也適用于以行星為中心的衛(wèi)星?！局R點2】 萬有引力定律及應(yīng)用n1.內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都是相互吸引的，引力的大小與兩物體的質(zhì)量的乘積成正 比，與兩物體間距離的二次方成反比。(2)在狹義相對論中，同

2、一物理過程發(fā)生的位移和對應(yīng)時間的測量結(jié)果在不同的參考系中是 不同的。板塊二考點細研悟法培優(yōu)考點1開普勒第三定律深化理解1 .微元法解讀開普勒第二定律，行星在近日點、遠日點時速度方向與連線垂直，若行星在近日點、遠日點到太陽的距離分別為a、b,取足夠短的時間 At,則行星在 At時間內(nèi)可看作勻速直線運動，由Sa=Sb知；va- ta=1Vb1Ab,可得Va=vOb。行星到太陽的距離越大，行 星的速率越小，反之越大。2 .開普勒第三定律雖然是對行星繞太陽運動的總結(jié)，但實踐表明該定律也適用于其他天體 的運動，如月球繞地球的運動，衛(wèi)星(或人造衛(wèi)星)繞行星的運動。3 .天體雖做橢圓運動，但它們的軌道十分接

3、近圓。為簡化運算，一般把天體的運動當成勻 速圓周運動來研究，橢圓的半長軸即為圓的半徑。則天體的運動遵從牛頓運動定律及勻速 圓周運動的規(guī)律，如 v=cor, F = ma = mv_= mr,w 2等。r例1如圖所示，某行星沿橢圓軌道運行，遠日點離太陽的距離為a,近日點離太陽的距離為b,過遠日點時行星的速率為 Va,則過近日點時的速率為（）A. Vb=gVa該題涉及開普勒哪條定律？其內(nèi)容是什么？提示：開普勒第二定律。對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等 的面積。嘗試解答 選Co若行星從軌道的 A點經(jīng)足夠短的時間t運動到A'點，則與太陽的連線掃過的面積可看作扇形，其面積

4、$人=歲；若行星從軌道的 B點也經(jīng)時間t運動到B'點，則與太陽的連線掃過的面積Sb=¥；根據(jù)開普勒第二定律得 既苴=b詈，即Vb = 7Va, C正確。222b總結(jié)升華繞太陽沿橢圓軌道運行的行星在近日點線速度最大，越靠近近日點線速度越大，線速度大 小與行星到太陽的距離成反比。跟蹤訓練木星的公轉(zhuǎn)周期約為 12年，若把地球到太陽的距離作為1天文單位，則木星到太陽的距離約為()A . 2天文單位B . 4天文單位C. 5.2天文單位D. 12天文單位答案 C解析 木星、地球都環(huán)繞太陽按橢圓軌道運動，近似計算時可當成圓軌道處理，因此它們r 3到太陽的距離可當成是繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑，

5、根據(jù)開普勒第三定律3=占得r木=T朱 T拖3甲 、甚r地=5.2天又單位。拓展延伸考點2天體質(zhì)量和密度的估算1 .自力更生法：利用天體表面的重力加速度g和天體半徑Ro(1)由GMmn mg得天體質(zhì)量 M =gR-o RGM M 3g(2)天體密度p= 7=二=|。"kR3 32 .借助外援法：測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T。, Mm43/口丁目 0 433由G r2 = m 12倚天體白質(zhì)里 M = gt2 °(2)若已知天體的半徑R,則天體的密度MP v4 鼻-近3 33 /GT2R3(3)若衛(wèi)星繞天體表面運行時，可認為軌道半徑r等于天體半徑 R,則天體密度

6、 p= GT2,可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T,就可估算出中心天體的密度。例2 2017邢臺市四模為研究太陽系內(nèi)行星的運動， 需要知道太陽的質(zhì)量， 已知地球半徑 為R,地球質(zhì)量為 m ,太陽與地球中心間距為 r,地球表面的重力加速度為 g,地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期為To則太陽的質(zhì)量為(4備3A.T2R2g4 "mgr2C. r3T2T2R2gB.4/mr3D.4 "mr3T2R2g(1)知道地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期T和太陽與地球中心間距r,能求太陽質(zhì)量嗎?提示:能。利用GMm 4 % r2 = m t2 roG,可以考慮用哪一信息替代?(2)太陽質(zhì)量的四個選項中沒有引力

7、常量提示：地球表面重力加速度g = GmT。R嘗試解答選Do.-'- 一， . , 一. . GMm 4 24 T2r3地球繞太陽做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，有GMm = m4T2r,所以M=tT2,地球表面物體 mo的重力來源于萬有引力， 有GmmUnmog,所以6 = 的,把G代入M=4H， Rmgi4 T2r3 4，r3m.得 M = 2= d2t2 , D 正確。gR t2 gR T m總結(jié)升華估算天體質(zhì)量和密度時應(yīng)注意的問題(1)利用萬有引力提供天體做圓周運動的向心力估算天體質(zhì)量時，估算的只是中心天體的質(zhì) 量，并非環(huán)繞天體的質(zhì)量。(2)區(qū)別天體半徑 R和衛(wèi)星軌道半徑r

8、,只有在天體表面附近的衛(wèi)星才有r=R;計算天體密度時，V=4n兀R3中的R只能是中心天體的半徑。3遞進題組.若已知月球繞地球運動可近似看作勻速圓周運動，并且已知月球的軌道半徑為r,它繞地球運動的周期為 T,引力常量是 G,由此可以知道()A.月球的質(zhì)量 m=7-lgiB.地球的質(zhì)量 M =4者3GT2C.月球的平均密度p= T372gi.3兀D,地球的平均密度p' = G124，r311b 011r_ .、tm=4 ,月球質(zhì)量無法求出，其密度也無GI答案 B后一口士 GMm m - 4, 日h斛析對月球有 產(chǎn) =12 J可得地球質(zhì)量 法計算，故B正確，A、C錯誤；因不知道地球自身半徑，

9、故無法計算密度，故 D錯誤。2. 2017唐山一模美國航天局與歐洲航天局合作，發(fā)射的火星探測器已經(jīng)成功登錄火星。荷蘭企業(yè)家巴斯蘭斯多普發(fā)起的“火星一號”計劃打算將總共24人送上火星，創(chuàng)建一塊長期殖民地。若已知萬有引力常量G,那么在下列給出的各種情景中，能根據(jù)測量的數(shù)據(jù)求出火星密度的是()A .在火星表面使一個小球做自由落體運動，測出落下的高度H和時間tB.火星探測器貼近火星表面做勻速圓周運動，測出運行周期TC.火星探測器在高空繞火星做勻速圓周運動，測出距火星表面的高度H和運行周期TD.觀察火星繞太陽的勻速圓周運動，測出火星的直徑D和運行周期T答案 B解析 由GMm=mg, p= 得：p= 73

10、g,由H=gt2得出g,卻不知火星半徑，a錯R4 34 7GR23成誤。由GManm4 r, p= 六得：P= 6添。當r=R時p= G12, B正確，不知火星半徑，33卡C錯誤。D選項中心天體是太陽，據(jù)給出的數(shù)據(jù)無法計算火星質(zhì)量，也就不能計算火星密度，故D錯誤。考點3 人造衛(wèi)星的運動規(guī)律深化理解1.人造衛(wèi)星的運動規(guī)律 (1)一種模型：無論自然天體 (如地球、月亮)還是人造天體(如宇宙飛船、人造衛(wèi)星)都可以看 作質(zhì)點，圍繞中心天體(視為靜止)做勻速圓周運動。(2)兩條思路萬有引力提供向心力，即 GMrm-= mao天體對其表面的物體的萬有引力近似等于重力，即GMm = mg 或 gR2= GM

11、 (R、g 分別是R天體的半徑、表面重力加速度 )，公式gR2=GM應(yīng)用廣泛，被稱為“黃金代換”。(3)地球衛(wèi)星的運行參數(shù)(將衛(wèi)星軌道視為圓)物理量推導依據(jù)表達式最大值或最小值線速度nMmmv2G-2= m-/gm v= y當r=R時后取大值，v = 7.9km/s角速度GMm- = mo 2r r2* /gm 3= N r3當r=R時有最大值周期仃臂5記2rT=2兀遙當r = R時有最小值，約85 min向心加速度MmG 2 ma 向GMa 向=-2當r = R時有最大值，最大值為a=g軌道 平面圓周運動的圓心與中心天體中心重合共性：半徑越小，運動越快，周期越小2.地球同步衛(wèi)星的特點(1)軌

12、道平面一定：軌道平面和赤道平面重合。(2)周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即 T = 24 h = 86400 s。(3)角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同。_ 皿 Mm4 72 m 3 /GMT2 一一一一(4)局度一'7E：據(jù) G-r2- = m12r 得 r= 1j4 = 4.23x 10 km,衛(wèi)星離地面圖度 h = r R=6R(為恒量)。(5)繞行方向一定：與地球自轉(zhuǎn)的方向一致。3.極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星(1)極地衛(wèi)星運行時每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋。(2)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其運行的軌道半徑可近似7.9 km/s

13、。認為等于地球的半徑，其運行線速度約為(3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心。例3 2017廣東深圳一模人造衛(wèi)星a的圓形軌道離地面高度為h,地球同步衛(wèi)星b離地面a恰好出現(xiàn)在赤道上某建筑物c高度為H, h<H,兩衛(wèi)星共面且運行方向相同。某時刻衛(wèi)星 ; 的正上方，設(shè)地球赤道半徑為 R,地面重力加速度為 g,則(a、b線速度大小之比為R+ hR+ HB.a、c角速度之比為 DR. 3R R + hR+HC.b、c向心加速度大小之比為 口R 一工I、用入/R+h 3D.a下一次通過c正上萬所需時間等于t=2-gR2-(1)怎樣比較人造衛(wèi)星a和同步衛(wèi)星b的線速度、角速度、向心加速度?提示：萬有

14、引力提供向心力GmMUmja。(2)什么時候人造衛(wèi)星 a會再次通過c的正上方？提示：人造衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的角度與 c物體隨地球自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)過的角度之差等于2兀時，a會再次通過c 的上方，即 coat 一 wct= 2 Tto嘗試解答 選Co衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，建筑物隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運動，筑物轉(zhuǎn)過的角度之差等于 2冗時，衛(wèi)星再次出現(xiàn)在建筑物上空。當衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的角度與建繞地球運行的衛(wèi)星，萬有引力提供向心力，設(shè)衛(wèi)星的線速度為v,則GMmr22所以V =線速度大小之比為 田，故A錯誤；設(shè)衛(wèi)星的角速度為3G曙2r，得coaCOcGMK所以有 cobR+ H 一 后h 3,又由于衛(wèi)星b角速度與物體c的角速度相同

15、，所以R+ Ha 花RTK 3，故B錯誤；根據(jù)a=co2r可得弛=氏旦，故C正確；設(shè)經(jīng)過時間t衛(wèi)星a再 acR次通過建筑物C上方，有(3a coc)t = 2兀，彳導t =wa wc2jtGMM_rMT R + h 3 y R+ H 3總結(jié)升華2兀故D錯誤。gR2R+ H 3人造衛(wèi)星問題的解題技巧(1)利用萬有引力提供向心加速度的不同表述形式。MmV20 如。0G r2 = man= mr=mw 2r = m 1 2r= m(2 f)2r。r近似等于地球半徑=7.9 km/sv =(2)第一宇宙速度是人造衛(wèi)星環(huán)繞地球表面運行的最大速度，軌道半徑gGi G2 G2R2 GiR2C.月球與地球的第

16、一宇宙速度之比為,:'GiRi,G2R2D.嫦娥三號環(huán)繞月球表面做勻速圓周運動的周期為GiR2G2g萬有引力近似等于衛(wèi)星的重力，即mg = mg v= >/Rg = 7.9 km/s R(3)同步衛(wèi)星：抓住具有特定的線速度、角速度和周期。具有特定的位置高度和軌道半徑。運行軌道平面必須處于地球赤道平面上，只能靜止在赤道上方特定的點上。比較衛(wèi)星與地球有關(guān)的物理量時可以通過比較衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的參量來確定。如例題中C選項求衛(wèi)星a與地面建筑物c的角速度的比值。跟蹤訓練2017湖北七市一模嫦娥三號攜帶玉兔號月球車首次實現(xiàn)月球軟著陸和月面巡視勘察，并開展月表形貌與地質(zhì)構(gòu)造調(diào)查等科學探測。玉兔號

17、在地球表面的重力為Gi,在月球表面的重力為 G2；地球與月球均視為球體，其半徑分別為Ri、R2；地球表面重力加速度為g。則()A.月球表面的重力加速度為B.地球與月球的質(zhì)量之比為答案 D解析 玉兔號的質(zhì)量為 m = p 所以月球表面的重力加速度為g'=聚=譽，A錯誤；根據(jù)黃金代換公式 GM =gR2,可得gR1 =GiR2, B錯誤；第一宇宙速度 v=JgR,所M月 g R2 G2R27以在月球上與地球上的第一宇宙速度之比為G遇，C錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心Vi, GiRiMm4力GMF = m4Tz2r,嫦娥三號環(huán)繞月球表面做勻速圓周運動，所以軌道半徑等于月球半徑R2,代入得T =

18、2、/G?' D正確。考點4航天器的變軌問題拓展延伸衛(wèi)星將做離心運衛(wèi)星將做近心由v=GM1 .衛(wèi)星變軌原理當衛(wèi)星開啟、關(guān)閉發(fā)動機或受空氣阻力作用時，萬有引力不再等于向心力，衛(wèi)星將做變軌 運行：(1)當衛(wèi)星的速度突然增加時， GM；m,即萬有引力不足以提供向心力，動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，當衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時，由知其運行速度比原軌道時小。2(2)當衛(wèi)星的速度突然減小時， G曙mr,即萬有引力大于所需要的向心力,運動，脫離原來的圓軌道， 軌道半徑變小，當衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時，可知其運行速度比原軌道時大。衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用這一原理。2 .衛(wèi)星變軌時一些物理量的定

19、性分析如圖所示：速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道I、出上運行時的速率分別為vi、V4,在軌道n上過 p、Q點時的速率分別為 V2、V3,在P點加速，則V2>V1；在Q點加速，則V4>V3。又因V1>V4,故有V2>V1>V4>V3。（2）加速度：因為在 P點不論從軌道I還是軌道n上經(jīng)過，P點到地心的距離都相同，衛(wèi)星的加速度都相同，設(shè)為 apo同理，在Q點加速度也相同，設(shè)為 aQo又因Q點到地心的距離 大于P點到地心的距離，所以 aQ<apo（3）周期：設(shè)衛(wèi)星在I、 n、出軌道上運行周期分別為 Ti、T2、T3,軌道半徑分別為 門、2（半 r3長軸）、3,由 產(chǎn)=k

20、可知Ti<T2<T3。例4 （多選）如下圖是“嫦娥三號”飛行軌道示意圖。假設(shè)“嫦娥三號”運行經(jīng)過 P點第一次通過近月制動使“嫦娥三號”在距離月面高度為100 km的圓軌道I上運動，再次經(jīng)過 P點時第二次通過近月制動使“嫦娥三號”在距離月面近地點為Q、高度為15 km ,遠地點為P、高度為100 km的橢圓軌道n上運動，下列說法正確的是（）A. “嫦娥三號”在距離月面高度為100 km的圓軌道I上運動時速度大小可能變化B. “嫦娥三號”在距離月面高度100 km的圓軌道I上運動的周期一定大于在橢圓軌道n上運動的周期C. “嫦娥三號”在橢圓軌道n上運動經(jīng)過Q點時的加速度一定大于經(jīng)過 P

21、點時的加速度D. “嫦娥三號”在橢圓軌道n上運動經(jīng)過Q點時的速率可能小于經(jīng)過 P點時的速率(1)如何比較圓軌道的周期和橢圓軌道的周 期？提示：據(jù)開普勒第三定律，比較半徑與半長軸。(2)如何比較橢圓軌道不同地點的加速度？ 提示：只需看距地心的距離，a = G!MLo r嘗試解答選BCo“嫦娥三號”在距離月面高度為100 km的圓軌道上運動是勻速圓周運動，速度大小不變，選項A錯誤；由于圓軌道的軌道半徑大于橢圓軌道半長軸，根據(jù)開普勒定律，“嫦娥三號”在距離月面高度100 km的圓軌道I上運動的周期一定大于在橢圓軌道n上運動的周期，選項B正確；由于在 Q點“嫦娥三號”離月球近，所受萬有引力大，所以“嫦

22、娥三號”在橢圓軌道n上運動經(jīng)過 Q點時的加速度一定大于經(jīng)過P點時的加速度，選項 C正確；“嫦娥三號”在橢圓軌道上由遠月點 P向近月點Q運動時，萬有引力做正功，速率增大，所以“嫦 娥三號”在橢圓軌道H上運動經(jīng)過 Q點時的速率一定大于經(jīng)過 P點時的速率，選項D錯誤。 總結(jié)升華航天器變軌問題的三點注意事項(1)航天器變軌時半徑的變化，根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關(guān)系判斷；穩(wěn)定在新軌道 上的運行速度變化由v= yGM判斷。兩個不同軌道的“切點”處線速度不相等，同一橢 圓上近地點的線速度大于遠地點的線速度。如例題中的D選項。(2)航天器在不同軌道上運行時機械能不同，軌道半徑越大，機械能越大。從遠地點到

23、近地點，萬有引力對衛(wèi)星做正功，動能 Ek增大，引力勢能減小。(3)兩個不同軌道的 “切點”處加速度a相同。跟蹤訓練2017四川宜賓一診按照我國整個月球探測活動的計劃，在第一步“繞月”工R,月程圓滿完成各項目標和科學探測任務(wù)后，第二步是“落月”工程。假設(shè)月球半徑為 球表面的重力加速度為 go,飛船沿距月球表面高度為 3R的圓形軌道I運動， 到達軌道的A點時點火變軌進入橢圓軌道n,到達軌道的近月點B時再次點火進入月球近月軌道出繞月球做圓周運動。下列判斷正確的是()A.飛船在軌道I上的運行速率v = RB.飛船在A點處點火變軌時，動能增大C.飛船從A到B運行的過程中機械能增大答案 A解析 飛船在軌道

24、I運行時，萬有引力提供向心力，RGMmR 2= mRvR,彳導v =、/GR,又因為mg0=GM2m,得GM = goR2;聯(lián)立得v = g0R,故A正確。飛船在 A點點火變軌到 R2較低軌道，應(yīng)向前噴氣，噴氣過程速度變小，動能變小，故 B錯誤。在n軌道上從 A到B運行的過程中只有萬有引力做功，機械能守恒，故 c錯誤。飛船在出軌道上運行時 GMm=Rm42 R,得 T=Z4GMR"，把 GM=goR2 代入，得 T = 2Ajg,故 D 錯誤。啟智微專題建模提能3雙星模型1 .模型構(gòu)建在天體運動中，將兩顆彼此相距較近，且在相互之間萬有引力作用下繞兩者連線上的某點 做角速度、周期相同的

25、勻速圓周運動的恒星稱為雙星。2 .模型條件(1)兩顆星彼此相距較近。(2)兩顆星靠相互之間的萬有引力提供向心力做勻速圓周運動。(3)兩顆星繞同一圓心做圓周運動。3 .模型特點(1) “向心力等大反向”(2) “周期、角速度相同”兩顆星做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供。兩顆恒星做勻速圓周運動的周期、角速度相等。推導：根據(jù)兩球的向心力大小相等可得,mi w2ri= m2 w2r2, 即 miri = m2r2； 等式 mm= m2r2兩邊同乘以角速度5 得 miri o= m2r2w,即 mivi = m2v2；由 mi co2ri= m212直接可得,miai = m2a2。(4)

26、巧妙求質(zhì)量和:Gmim22 點一了= mid門Gmim22 _L-2= m2 w r2q小,心/日 G mi + m29由+得：了=co2L. m I . mi + m2=小G2013山東高考雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下,上的某一點做周期相同的勻速圓周運動。研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中,分別圍繞其連線 兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化。化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼闹芷跒?)若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T,經(jīng)過一段時間演k倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的答案BB.D.(3)三個反比關(guān)系：mic = m2r2; mivi= m2v2; miai=m

27、2a2解析如圖所示，設(shè)兩恒星的質(zhì)量分別為 Mi和M2,軌道半徑分別為ri和2。根據(jù)萬有引上祎田一祎r/日 GM1M2 . 2兀° GM1M2 . 2兀° i,口力7E律及牛頓第一7E律可得 一2= Mi 2ri, -2一= M2 2r2,解得G Mi+ M2r32 TT 八 _.2TT 2，當兩星的總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，它們之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍時，有Gk Mi+ M23nr名師點睛2兀T，2，聯(lián)立兩式可得 n3.k丁，故B項正確。解答雙星問題應(yīng)注意“兩等” “兩不等”“兩等”它們的角速度相等。雙星做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，即它們受到的向心力大小總 是相等的。(2) “兩不等”雙星做勻速圓周運動的圓心是它們連線上的一點，所以雙星做勻速圓周運動的半徑與雙 星間的距離是不相等的，它們的軌道半徑之和才等于它們間的距離。由mi32口 = m2co22知由于 mi與m2一般不相等，故 口與r2一般也不相等。（多選）宇宙中，兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用互相繞轉(zhuǎn)，稱之為雙星系統(tǒng)。在浩瀚的銀河系中，多數(shù)恒星都是雙星系統(tǒng)。設(shè)某雙星系統(tǒng)