求曲線方程的幾種常見方法

1、求曲線方程的幾種常見方法2011-04-20 13:59 來源： 文字大?。骸敬蟆俊局小俊拘　?#160;解析幾何研究的主要問題是：（1）根據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程；(2)通過曲線的方程，研究曲線的性質(zhì)所以求曲線的方程是解析幾何中的一個(gè)重要問題下文將討論幾種求曲線方程的方法及求曲線方程時(shí)應(yīng)注意的問題一、直接法若動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，或這些幾何量間的等量關(guān)系簡(jiǎn)單明了且易于表達(dá)，我們只要將這些的等量關(guān)系變成含，的等式就得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程這種方法不需要其它技巧，故稱為直接法例1已知P，Q是平面內(nèi)的2個(gè)定點(diǎn)，=2,點(diǎn)M為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且M到點(diǎn)P的距離與到點(diǎn)Q的距離的比值

2、為（0），求點(diǎn)M的軌跡解析 以線段PQ的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系點(diǎn)為（-1，0），點(diǎn)為（1，0），設(shè)點(diǎn)為（，），（0）， ，化簡(jiǎn)可得（1）時(shí)，點(diǎn)的軌跡為軸，其方程為；（2）0且時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程可化為，即，當(dāng)0且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓點(diǎn)評(píng) 直接法求軌跡的一般步驟為：（1）必要時(shí)建立平面直角坐標(biāo)系（若已有直角坐標(biāo)系則可以省去這一步），設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；（2）根據(jù)題設(shè)條件列出等量關(guān)系式；（3）將上述等量關(guān)系式轉(zhuǎn)化為方程式；（4）整理、化簡(jiǎn)方程式為軌跡方程；（5）必要時(shí)進(jìn)行討論，以保證軌跡的純粹性與完備性，并指出軌跡的具體幾何意義二、

3、定義法若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可以根據(jù)定義直接求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法稱為定義法例2 如圖,已知兩圓，動(dòng)圓在圓內(nèi)且和圓內(nèi)切，和圓外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡解析 設(shè)動(dòng)圓圓心為，由題意可知根據(jù)橢圓的第一定義，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)的橢圓，其中，動(dòng)圓圓心的軌跡方程為點(diǎn)評(píng) 解答本題的關(guān)鍵在于透過復(fù)雜的條件認(rèn)識(shí)到點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)的橢圓，假若根據(jù)幾何條件列方程求解就復(fù)雜了三、相關(guān)點(diǎn)法有些求軌跡的問題中，其動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出，但這一動(dòng)點(diǎn)隨另一動(dòng)點(diǎn)（稱之為相關(guān)點(diǎn)）而動(dòng)假若相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的或可分析的，這時(shí)我們可

4、以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程或關(guān)系式，即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫相關(guān)點(diǎn)法，也叫轉(zhuǎn)移點(diǎn)法或代入法例3 已知曲線與直線交于兩點(diǎn)和,且記曲線在點(diǎn)A點(diǎn)B之間的那段為L(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)P（s,t）是L上的任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A和點(diǎn)B均不重合若點(diǎn)Q是線段AB的中點(diǎn)，試求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程解析 由，解得A（-1，1），B（2，4）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）于是，又-1s2,即又點(diǎn)P（s,t）在曲線C上，將代入得，即（）點(diǎn)評(píng) 相關(guān)點(diǎn)法是一種常考的方法，用此法求軌跡的大致步驟是：（1）設(shè)所求軌跡的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

5、，再設(shè)在曲線上與動(dòng)點(diǎn)P相關(guān)的點(diǎn)為Q（），所以；（2）找出P,Q的坐標(biāo)之間的關(guān)系式，并表示為（3）將代入，即可得所求的軌跡方程本題中還要注意所求曲線只是拋物線的一部分四、交軌法若動(dòng)點(diǎn)是兩條動(dòng)曲線（含直線）的交點(diǎn)，則可恰當(dāng)?shù)囊胍粋€(gè)或幾個(gè)參數(shù)，寫出動(dòng)曲線的方程，消去參數(shù)，即可求得所求的軌跡方程這種方法叫交軌法例4 如圖，橢圓與軸的交點(diǎn)為A(2,0),B(-2,0),與 軸平行的直線交該橢圓于不同的兩點(diǎn)M，N，試求直線AM，BN的交點(diǎn)Q的軌跡方程解析 直線MN的方程為，設(shè)M和N的坐標(biāo)分別為（），（），則，即M，N為不同的兩點(diǎn)，直線AM，BN的方程分別為因?yàn)辄c(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足上式，所以

6、將它們相乘可得，將代入上式可得，即又交點(diǎn)Q不可能在軸上，交點(diǎn)Q的軌跡方程是點(diǎn)評(píng) 交點(diǎn)Q不可能在軸上，去掉（2，0），（-2，0）兩點(diǎn)，確保軌跡的純粹性不容忽視五、向量法用向量法求軌跡方程時(shí)，可充分利用向量垂直和共線的充要條件，并可以避免討論直線斜率是否存在，使計(jì)算得到簡(jiǎn)化例5 如圖，設(shè)點(diǎn)A、B為拋物線（p0）上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OAOB，OMAB，M是垂足，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示的曲線類型解析 設(shè)點(diǎn)A，點(diǎn)B（），M（），,即，又,即，化簡(jiǎn)得又,，化簡(jiǎn)可得消去可得，又因?yàn)锳、B異于原點(diǎn)，所以點(diǎn)M的軌跡方程為，它表示一點(diǎn)（2p，0）為圓心，2p為半徑的圓

7、（不包含原點(diǎn)）點(diǎn)評(píng) 利用向量可以將幾何問題化為代數(shù)計(jì)算，在此設(shè)點(diǎn)A，點(diǎn)B（），而不設(shè)點(diǎn)，是為了盡量減少參數(shù)六、參數(shù)法動(dòng)點(diǎn)滿足的條件式中含有參數(shù)（如角度、斜率、比值等）或動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中受到某個(gè)參數(shù)制約，我們建立以這個(gè)變量為參數(shù)的參數(shù)方程，然后消去這個(gè)參數(shù)，即得軌跡的普通方程，這種求軌跡方程的方法叫參數(shù)法例6 過點(diǎn)P（4，1）的動(dòng)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足,證明：點(diǎn)Q總在某定直線上證明 設(shè)點(diǎn)Q，A，B的坐標(biāo)分別為（），（），（）由題設(shè)知，均不為0，記,則0，且又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而于是，從而， 又因?yàn)辄c(diǎn)A、B在橢圓C上，即，+2得，結(jié)合、得

8、即點(diǎn)Q（）總在定直線上點(diǎn)評(píng) 在此選取比值作參數(shù)，得到軌跡的含的參數(shù)方程，最后消去參數(shù)得到軌跡的普通方程本題中點(diǎn)Q的軌跡只是直線的一部分七、點(diǎn)差法例7 給定雙曲線，過點(diǎn)A（2，1）的直線與所給雙曲線交于兩點(diǎn)，求線段中點(diǎn)P的軌跡方程解析 設(shè)P（），則兩式相減得又又，A，P四點(diǎn)共線，即所求軌跡方程為點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)差法是求弦中點(diǎn)形成的軌跡的有效方法【練習(xí)】1動(dòng)點(diǎn)與兩點(diǎn)連線的斜率之積為（0），求點(diǎn)的軌跡方程，并根據(jù)值變化討論其軌跡是什么曲線2已知圓：與定直線，動(dòng)圓與圓外切，并且與直線相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程3已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓（ab0）上任意一點(diǎn)，且,求點(diǎn)P的

9、軌跡方程4如圖，設(shè)點(diǎn)A、B分別為（-1，0）、（1，0），N為單位圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），單位圓上過點(diǎn)N的切線與過點(diǎn)A、B的切線分別交于D、C兩點(diǎn)，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為P，求交點(diǎn)P的軌跡5已知點(diǎn)A（1，0）為圓內(nèi)的一點(diǎn)，P為圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？6過拋物線的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程  7.線段AB是經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的弦，求弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程【參考答案】1（1）-1時(shí)，軌跡方程為（），點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓（不含,兩點(diǎn)）；（2）時(shí)，軌跡方程為，