高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)典型例題4——三角函數(shù)

1、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與典型例題第四章三角函數(shù)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)關(guān)系表角的概念1.與（0°<360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）:;終邊在x軸上的角的集合:;終邊在y軸上的角的集合：;終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：.2. 角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零, 熟記特殊角的弧度制.3.弧度制下，扇形弧長(zhǎng)公式，扇形面積公式，其中為弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)。例1.已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2,那么這個(gè)圓心

2、角所對(duì)的弧長(zhǎng)為( ) 例2. 已知為第三象限角,則所在的象限是( )(A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限三角函數(shù)的定義1.三角函數(shù)定義:利用直角坐標(biāo)系，可以把直角三角形中的三角函數(shù)推廣到任意角的三角數(shù).在終邊上任取一點(diǎn)（與原點(diǎn)不重合），記，則，。注: 三角函數(shù)值只與角的終邊的位置有關(guān)，由角的大小唯一確定,三角函數(shù)是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù). 根據(jù)三角函數(shù)定義可以推出一些三角公式:誘導(dǎo)公式：即或之間函數(shù)值關(guān)系，其規(guī)律是“奇變偶不變，符號(hào)看象限” ；如同角三角函數(shù)關(guān)系式：平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系，商數(shù)關(guān)系.重視用定義解題.三角函數(shù)線(xiàn)是通過(guò)有向線(xiàn)段直

3、觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法.如單位圓2. 各象限角的各種三角函數(shù)值符號(hào):一全二正弦,三切四余弦 ,(縱坐標(biāo)y的符號(hào)) (橫坐標(biāo)x的符號(hào))例3.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)P(4,-3),求2sina+cosa的值.例4.若是第三象限角,且,則是( )第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角例5.若的終邊所在象限是（ ）(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限三角函數(shù)公式三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系公式組二 ()公式組三公式組四 公式組五 公式組六 (二)兩角和與差公式公式組一公式組二: ,公式組三, ,常用數(shù)據(jù): 的三角函數(shù)值 , ,例6.化簡(jiǎn)：例7.已知ta

4、n，tan是方程兩根，且，則+等于( )(A) (B)或 (C)或 (D)例8. 的值是（ ） (A)2 (B)2+ (C)4 (D)三角函數(shù)公式注: 以上公式務(wù)必要知道其推導(dǎo)思路，從而清晰地“看出”它們之間的聯(lián)系，它們的變化形式.如 等.從而可做到:正用、逆用、變形用自如使用各公式.三角變換公式除用來(lái)化簡(jiǎn)三角函數(shù)式外，還為研究三角函數(shù)圖象及性質(zhì)做準(zhǔn)備.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2+sin2=tanx·cotx=tan45°等。項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：;配湊角(常用角變換):、等.降次與升次。即倍角公式降次與半角公式升次。

5、化弦（切）法。將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化成弦（切）。引入輔助角。asin+bcos=sin(+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號(hào)確定，角的值由tan=確定。例9. 設(shè),若則=（ ）(A) (B) (C) (D)4例10. ( ) 例11. 求下列各式的值： ; tan17°+tan28°+tan17°tan28°例12.已知為銳角，且，求的值. 三角函數(shù)公式例13. 已知為第二象限角，且 sin=求的值.例14. 已知，（1）求的值；（2）求的值例15. 已知,三角函數(shù)公式例16. 已知，求例17. 已知銳角a,b滿(mǎn)足cosa=,cos(a+

6、b)=,求cosb.例18. 已知，tana =，tanb =，求2a + b.例19. 在ABC中，已知cosA =，sinB =，則cosC的值為( )(A) (B) (C) (D)例20. 若關(guān)于x的方程2cos2(p + x) - sinx + a = 0 有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。三角函數(shù)三角函數(shù)的性質(zhì):（A、0）定義域RRR值域周期性 奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)當(dāng)非奇非偶, 當(dāng)奇函數(shù)單調(diào)性上為增函數(shù)；上為減函數(shù).（）上為增函數(shù);上為減函數(shù).（）上為增函數(shù)；上為減函數(shù)（）三角函數(shù)定義域值域RR周期性奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性上為增函數(shù)（）上為減函數(shù)（）以上性質(zhì)的理解記憶關(guān)鍵是能想象或畫(huà)出函數(shù)

7、圖象.函數(shù)的圖像和性質(zhì)以函數(shù)為基礎(chǔ),通過(guò)圖像變換來(lái)把握.如(A>0,>0)相應(yīng)地，的單調(diào)增區(qū)間 的解集是的增區(qū)間.注:或（）的周期; 的對(duì)稱(chēng)軸方程是（），對(duì)稱(chēng)中心；的對(duì)稱(chēng)軸方程是（），對(duì)稱(chēng)中心；的對(duì)稱(chēng)中心（）.三角函數(shù)例21.下列函數(shù)中，既是（0，）上的增函數(shù)，又是以為周期的偶函數(shù)是( )(A)y=lgx2 (B)y=|sinx| (C)y=cosx (D)y=例22.函數(shù)的最小正周期是（ ）(A) (B) (C) (D) 例23. 函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是( ) (A) (B) (C) (D)例24函數(shù)的最小值是（ ） 三角函數(shù)例25. 為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（ ）(A

8、)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 (B)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度(C)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 (D)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度例26. 若函數(shù)的圖象（部分）如圖所示，則的取值是( )(A) (B) (C) (D)例27. 函數(shù)的最小正周期是_.例28將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，所得圖象的解析式是_.例29. 函數(shù)在區(qū)間的最小值為_(kāi).例30.函數(shù)的最大值等于 .例31. 已知，求函數(shù)的值域例32.已知函數(shù)求它的定義域和值域； 求它的單調(diào)區(qū)間；判斷它的奇偶性； 判斷它的周期性.三角函數(shù)例33. 已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（xR）求f(x)的最小

9、正周期；求f(x)單調(diào)區(qū)間；求f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心。例34. 求函數(shù)f (x)=的單調(diào)遞增區(qū)間反三角函數(shù)反三角函數(shù)符號(hào)的運(yùn)用: 、注意：反三角數(shù)符號(hào)只表示這個(gè)范圍的角，其他范圍的角需要用誘導(dǎo)公式變到這個(gè)范圍.例35適合的角是（ ） 例36.求的值.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與典型例題(第四章三角函數(shù))答案例1.C例2.D例3. 由定義 ：,sina=-,cosa=,2sina+cosa=-例4.B解：,則是第二或第四象限角,又,則是第二或第三象限角,必為第二象限角例5.D例6. 解：原式例7. A例8.C 例9.B例10.B例11. 解：原式=; ,tan17°+tan28°=

10、tan(17°+28°)(1-tan17°tan28°)=1- tan17°tan28°原式=1- tan17°tan28°+ tan17°tan28°=1例12.解：,為銳角,例13.解：當(dāng)為第二象限角，且時(shí)，所以=例14. 解（1）：由，解得（2）例15. 解： 例16.解:,例17. 解：cosa=,sina=,又cos(a+b)=<0 ,a+b為鈍角, sin(a+b)=,cosb=cos(a+b)-a=cos(a+b)cosa+sin(a+b)sina=（角變換技巧）例18. 解

11、： ,又tan2a < 0，tanb < 0 ,，, ,2a + b = 例19. 解：C = p - (A + B) ,cosC = - cos(A + B) 又AÎ(0, p),sinA = 而sinB =,顯然sinA > sinB A > B,即B必為銳角 , cosB = ,cosC = - cos(A + B) = sinAsinB - cosAcosB =例20. 解：原方程變形為：2cos2x - sinx + a = 0 即 2 - 2sin2x - sinx + a = 0,- 1sinx1 ,； , a的取值范圍是例21.B例22.C例2

12、3.C例24.D 例25.B例26.C例27.例28.例29.1例30.例31.解： , ,函數(shù)y的值域是例32. 解（1）x必須滿(mǎn)足sinx-cosx>0，利用單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)及，kZ 函數(shù)定義域?yàn)?，kZ 當(dāng)x時(shí)， 函數(shù)值域?yàn)椋?）定義域在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng),不具備奇偶性 （4） f(x+2)=f(x) 函數(shù)f(x)最小正周期為2注；利用單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)可知，以、象限角平分線(xiàn)為標(biāo)準(zhǔn)，可區(qū)分sinx-cosx的符號(hào)；以、象限角平分線(xiàn)為標(biāo)準(zhǔn)，可區(qū)分sinx+cosx的符號(hào)例33. （1）T=（2）增區(qū)間k-，k+，減區(qū)間k+（3）對(duì)稱(chēng)中心（，0），對(duì)稱(chēng)軸，kZ例34. 解：f (x)= 令,y=,t是x的增函數(shù),又0<<1,當(dāng)y=為單調(diào)遞增時(shí),cost為單調(diào)遞減 且cost>0,2kp