利用綜合除法巧解一元多項(xiàng)式問題

1、利用綜合除法巧解一元多項(xiàng)式問題The Ingenious Use of Synthetic Division to Solve the Problem ofOne Element Polynomial HU Jiaojiao ， CHENG Qian( School of Mathematics and Statistics， Qinghai NormalUniversity ， Xining ， Qinghai 810008 )Synthetic division plays an important role in the study of higher algebra ， is wide

2、ly used in solving mathematical problems. And the，theexpr calculation of a polynomial factorization， especially the root problemis complicated ， in this paper ， the polynomial function can be easily decomposed by using the synthetic division method， and the highdegree polynomial can be decomposed ef

3、fectively. And at the same time division number greater than 1 is extended.Keywords polynomial ； synthetic division ； rational是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的是研究多項(xiàng)式理論本文利用這一工具一元多項(xiàng)式是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重要組成部 分， 石；綜合除法是帶余除法的一種特殊情 況重，要工具， 在多項(xiàng)式計(jì)算中充當(dāng)有利工 具ot : factorization且在綜合除法的根底上結(jié)合有理根判斷法分解高次多項(xiàng)式； 最后再對(duì)除式次數(shù) 大 于 1 的綜合除法表達(dá)式， 討論其商式和余式的求法并給出簡(jiǎn) 潔的 表達(dá)

4、形式。1 預(yù)備知識(shí)定義 1.11 數(shù)環(huán)上一個(gè)文字的多項(xiàng)式或一元多項(xiàng)式指的是 形式表達(dá)這里是非負(fù)整數(shù)； 都是中的數(shù)。 在多項(xiàng)式中叫作常數(shù)項(xiàng)或 零 次項(xiàng)，叫作次項(xiàng)，叫作次項(xiàng)的系數(shù)。定理 1.11 設(shè)，那么中可找到多項(xiàng)式，當(dāng)去除時(shí)，使，所 得 余式就是在處的值，即。定理 1.21 設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式， 假設(shè)有理數(shù)是的一個(gè)根， 和是互素的整數(shù)，是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，那么1 整除的最高次項(xiàng)系數(shù)，而整除的常數(shù)項(xiàng)系數(shù)；2 現(xiàn)介紹綜合除法。設(shè)由定理 1.1 得其中 商式； 余式 為，那么可用下表計(jì)算出商式的系數(shù)和余式： 這就是綜合除 法。2 綜合除法的應(yīng)用2.1 利用綜合除法簡(jiǎn)便計(jì)算多項(xiàng)式的值 在計(jì)算高次冪多

5、項(xiàng)式 函數(shù)的值時(shí)， 會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算復(fù)雜、 運(yùn)算量 大、耗時(shí)長(zhǎng)等特點(diǎn)，為簡(jiǎn)化運(yùn)算、提高效率和正確率，當(dāng)題目要 求求得某高次多項(xiàng)式函數(shù)的值時(shí)， 那么可以將利用綜合除法寫成 的多項(xiàng)式形式，余式的值即就是所求的值例1 ，求解：將通過綜合除法分別寫成以為除式的形式即；此時(shí)得例 2 將多項(xiàng)式表示成的形式解：所以因而綜合上述解題方法， 可發(fā)現(xiàn)在求特定高次多項(xiàng)式值時(shí)， 綜 合 除法不僅提高運(yùn)算效率， 還降低了運(yùn)算量， 將函多項(xiàng)式寫 成特定 函數(shù)冪的形式對(duì)解題以及理解多項(xiàng)式也具有非常重要的 意義。2.2 分解因式分解因式是代數(shù)式的恒等變形， 目前使用因式分解的方法 中 例如十字交叉法只能解決較低次冪多項(xiàng)式的問題，

6、對(duì)于高次 冪多 項(xiàng)式計(jì)算仍沒有行之有效的解決方法。 此時(shí)借助定理 1.2 利 用綜 合除法可解決高次多項(xiàng)式求有理根的問題。例3 求多項(xiàng)式的有理根解：由題知最高項(xiàng)系數(shù) 1 的因數(shù)是 ?？，常數(shù)項(xiàng) -6 的因數(shù) 是?？； ?？； ?？； ?？，由定理 1.3 知，所有可能的有理根 是?？； ? ？； ?？； ?？。以下通過綜合除法來檢驗(yàn)。即二重根， -1 ，-2，3 為全部根此題中多項(xiàng)式次數(shù)較高， 簡(jiǎn)單十字交叉法不能， 將因式分 解， 運(yùn)用綜合除法可對(duì)其分解，但注意重根情形。3 除式為高次多項(xiàng)式的綜合除法 將綜合除法中除式為的形 式推廣為更高次的整系數(shù)多項(xiàng)式 問題，文獻(xiàn) 2 中未給出余式的 具體的表達(dá)式， 文獻(xiàn) 3 雖分類詳 盡，但結(jié)構(gòu)太過復(fù)雜， 因此 為提高應(yīng)用廣泛性和可操作性得到以 下一般形式。定理：設(shè)有，且，商式；余式那么有；且；且那么有下表： 定理由關(guān)系式，比擬同次項(xiàng)系數(shù)易得。例 4 設(shè)，求除的商式和余式。 解：令；那么 根據(jù)上述一般方法公式對(duì)使用綜合除法，除式為 所以除的 商式為，余式為 此題利用上面的表達(dá)式， 簡(jiǎn)捷地計(jì)算了除式為高次項(xiàng)的多 項(xiàng) 式運(yùn)算，使問題變得簡(jiǎn)單化。如果除式中最高項(xiàng)系數(shù)不為 1，那 么我們應(yīng)該先將除式變?yōu)樽罡唔?xiàng)系數(shù)為 1 的多項(xiàng)式再利用綜合 除法一般形式進(jìn)行計(jì)算即可。4 結(jié)束語(yǔ) 本文利用綜合除法及其相關(guān)拓展解決了多項(xiàng)式值 計(jì)算繁瑣