利用空間向量求二面角的平面角

1、利用法向量求二面角的平面角授課教師：陳誠班級：高二 14班時間： 2021-01-14【教學目標】1、讓學生初步理解二面角的平面角與半平面法向量的關(guān)系，并能解決與之有關(guān) 的簡單問題。2、通過本節(jié)課的學習，培養(yǎng)學生觀察、分析與推理從特殊到一般的探究能力和 空間想象能力。3、培養(yǎng)學生主動獲取知識的學習意識，激發(fā)學生學習興趣和熱情，獲得積極的 情感體驗。【教學重點】 利用法向量計算二面角的大小。 【教學難點】求兩個面的法向量及判斷二面角大小與兩個面的法向量的夾角的關(guān) 系?！菊n時安排】 1 課時【教學過程】一、內(nèi)容回憶求二面角的平面角的方法：定義法、三垂線法、向量法。 前兩種方法是空間立體的方法，難度

2、較大，都涉及到要在兩半平面內(nèi)找棱 的垂線，或是找點在平面內(nèi)的射影，再算邊長，通過解三角形來解決。而向量法也是要找兩個與棱垂直的且和半平面延伸方向一致的向量來計算 夾角。所以這些方法都涉及到了找垂線，再說明，再計算的過程，都需要邏輯推 理。而如果解決二面角的平面角也能像前面解決線線角或線面角問題一樣，能 通過空間向量的方法來解決， 那么這些邏輯推理過程， 我們能通過利用空間向量 的程式化計算來轉(zhuǎn)化。 因為空間中平面的位置可以用平面的法向量來表示， 所以 二面角的平面角可以用平面的法向量的夾角來解決， 那么向量的夾角與二面角的 平面角有著一種什么樣的聯(lián)系呢？、新課講授如圖，二面角為:-1 -1、記

3、 h _ ： ,12 -，且li與 J相交于 C , hH-'二A,川-=B.2、過B作B0 _ 1,連AO下面說明 AOB即是二面角的平面角：h _ I, BO _ I,.丨 _ 面BOC.I _OC,I.丨面AOC.I _ AO.AOB是二面角的平面角一找、二證、三計算3、丨_面AOC禾口面BOC,又；過空間一點有且只有一個平面和直線垂直。.面AOC和面BOC重合。即AOBC四點共面，即有平面四邊形AOBC內(nèi)角和=360°.T T4、在Ii，I2上分別取直線的方向向量口,門2,，事實上，由于線面垂直，兩方向向量即是兩平面的法向量。0 0 ACB=：q ,n2 , ACB

4、AOB = 180°= AOB ：q,n2 =180°. ACB ： q,n2 =18O0, ACB AOB =18O0= AOB = ： q,n2 .由分別可得COS 匕 AOB - -COS :COS AOB = COS ；： R,門25 、總結(jié)。計算二面角的平面角，可先找兩平面的法向量的夾角。即計算法向量的數(shù)量積?？汕蟪龇▕A角的余弦值，繼而得到平面角的余弦值注釋：這里不能像解決線線角或線面角那樣， 對向量夾角的余弦值套上絕對值。 因為前兩種角都是在0°一90°之間，所以前兩種角的正余弦值一定是 一個正數(shù)。而二面角的平面角在00 -1800，所以余弦

5、值有可能會是負值。 正負的選取要通過對圖形的觀察得到。無論法向量的夾角余弦值求出來 是正還是負，如果觀察得到的二面角的平面角是個銳角，那么平面角的余 弦值取正的。例題例1、ABC是以.B為直角的直角三角形。SA_平面ABC,SA二BC =2,AB =4,M、N分別是AB、BC的中點。求二面角S-NM 一 A的余弦值。解：如圖，以B為原點，BA,BC為x、y軸建系，那么 A4, 0, 0，S4, 0, 2，M2，0, 0，N0，1, 0 ；SA 面AMNT AS可作為平面AMN的一個法向量。T 4平面AMN 一個法向量為 口 = AS =0,0, 2設(shè)平面SMN的一個法向量為n2x, y, zn

6、SM =0= (x, y, z)(一2,0, -2) =0= -2x2z=0n2 *SN =0= (x,y,z) (_4,1, -2) =0二 _4x y _2z = 0COS :： n，n?0,0, 21,2匚1 _二2_ _2晶2晶6:可觀察二面角的平面角是銳角，COS 66注釋：弓I導學生總結(jié)用法向量求解二面角的平面角問題的一般步驟Stepl建系Step2表示相應(yīng)點的坐標；、T TStep3設(shè)平面的法向量分別為Step4列方程求出法向量Step5用數(shù)量積公式求法向量的余弦值Step6根據(jù)圖形判斷銳角或鈍角 例 2、在直三棱柱 ABC-ABCi中，AB=1, AC = AA=/3,NABC

7、 = 6O0.(1) 證明 AB _ AC(2) 求二面角A-AC -B的平面角的余弦值解：如圖(1)ABC 中，空AC,即孝,si nC1, C =30°sinC sin B sinC sin 602.BAC =90° 二 AB _ AC.如圖建系，A(0,0,0), B(1,0,0),C(°p.3,0), a(o,o, .3)AB是平面AA,C的一個法向量。.n； =(1,0,0) 設(shè)平面ABC的法向量為 二(x, y, z)n2 AB = (x, y,z)(1,0, -、3) = x -、3z = 0n2 * AC = (x, y, z) * (0, 3, - 3) = 3 y - 3z = 0LT令z=1,可得 nO, 3,1,1)COS<>=(1,0,0) *3,1,1)3、15 COS<1, n2>f= f=1J55:觀察可知二面角