壓桿穩(wěn)定的概念及三種平衡狀態(tài)

1、.391 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念 P塑性材料 P脆性材料AP0.(a)(b)(a): 木桿的橫截面為矩形（木桿的橫截面為矩形（1 2cm), 高為高為3cm，當荷載重量為，當荷載重量為6kN 時桿還不致破壞。時桿還不致破壞。(b): 木木桿的橫截面與桿的橫截面與(a)相同，高為相同，高為 1.4m(細長壓桿）細長壓桿），當壓力為當壓力為 0.1KN時桿被壓彎，導致破壞。時桿被壓彎，導致破壞。 .平衡的三種狀態(tài)平衡的三種狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)穩(wěn)定平衡狀態(tài)穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)平衡剛性圓球受干擾力，剛球離開原位置；干擾力撤消：平衡剛性圓球受干擾力，剛球離開原位置；干擾

2、力撤消：穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡 凹面上，剛球回到原位置；凹面上，剛球回到原位置；隨遇平衡隨遇平衡 平面上，剛球在新位置上平衡；平面上，剛球在新位置上平衡；不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡 凸面上，剛球不回到原位置，凸面上，剛球不回到原位置， 而是偏離到遠處去。而是偏離到遠處去。.平衡的三種狀態(tài)：平衡的三種狀態(tài)： 體系受到微小干擾而稍微偏離它原有的平衡體系受到微小干擾而稍微偏離它原有的平衡狀態(tài)，當干擾消除后，它狀態(tài)，當干擾消除后，它能夠能夠恢復(fù)到原有的平衡恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)，則原有平衡狀態(tài)稱為狀態(tài)，則原有平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)穩(wěn)定平衡狀態(tài)。 當干擾消除后，它當干擾消除后，它不能夠不能夠恢復(fù)到原有的平衡恢復(fù)到原

3、有的平衡狀態(tài)，且狀態(tài)，且趨向于遠離原有的平衡狀態(tài)趨向于遠離原有的平衡狀態(tài)，則原有平，則原有平衡狀態(tài)稱為衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。 當干擾消除后，它當干擾消除后，它不能夠不能夠恢復(fù)到原有的平衡恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)，但狀態(tài)，但能夠在新的狀態(tài)維持平衡能夠在新的狀態(tài)維持平衡，則原有平衡，則原有平衡狀態(tài)稱為狀態(tài)稱為隨遇平衡狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)。.F1FFFFcrFFcrFFcr穩(wěn)定平衡狀態(tài)穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)干擾力干擾力.bs或.（1 1）由由微微分分方方程程寫寫出出對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征方方程程（代代數(shù)數(shù)方方程程） ； （2 2）求求解解特特征征方方程程的的根根； （3 3

4、）按按特特征征根根的的情情況況（單單根根、重重根根、共共軛軛復(fù)復(fù)根根） 寫寫出出微微分分方方程程的的通通解解： 21 , rr有有兩兩個個不不相相等等實實根根xrxreCeCy2121 21 rrr 有有兩兩個個相相等等實實根根)(21xCCeyrx ir21, 有有一一對對共共軛軛復(fù)復(fù)根根的通解的通解方程方程 0 cyybya0 2 cbrar特征方程特征方程)sincos(21xCxCeyx 補充知識：補充知識： 求二階常系數(shù)線性齊次方程通解求二階常系數(shù)線性齊次方程通解. 臨界壓力臨界壓力 能夠保持壓桿在微小彎曲狀態(tài)下平衡的能夠保持壓桿在微小彎曲狀態(tài)下平衡的最小軸向壓力。最小軸向壓力。9.

5、2 9.2 兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程彎矩彎矩FwM 令令則則通解通解.9.2 9.2 兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力邊界條件：邊界條件：若若則則（與假設(shè)矛盾）（與假設(shè)矛盾）所以所以.w9.2 9.2 兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力得得當當 時，時，臨界壓力臨界壓力歐拉公式歐拉公式撓曲線方程撓曲線方程w.1、適用條件：、適用條件：理想壓桿（軸線為直線，壓力與軸線理想壓桿（軸線為直線，壓力與軸線重合，材料均勻）重合，材料均勻）線彈性，小變形線彈性，小變形兩端為鉸支座兩端為鉸支座9.2 9.2

6、 兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力-歐拉公式歐拉公式2 2、21lFcrEIFcr桿長，桿長，F(xiàn) Fcrcr小，易失穩(wěn)小，易失穩(wěn)剛度小，剛度小，F(xiàn) Fcrcr小，易失穩(wěn)小，易失穩(wěn)lxAwlk sin,3 3、在、在 F Fcrcr作用下，作用下，撓曲線為一條半波正弦曲線撓曲線為一條半波正弦曲線Awlx,2即即 A A 為跨度中點的撓度為跨度中點的撓度.例題例題解：截面慣性矩臨界壓力269kNN1026939.2 9.2 兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力試按照壓縮強度條件計算最大軸力？試按照壓縮強度條件計算最大軸力？461.4KN.一、一端固支一端自由細長

7、壓桿的臨界載荷一、一端固支一端自由細長壓桿的臨界載荷FABl偏離直線平衡位置后的狀態(tài)偏離直線平衡位置后的狀態(tài)ABlF.撓曲軸近似微分方程：撓曲軸近似微分方程： 建立梁段平衡方程建立梁段平衡方程: :FM(x)Fxv)()(vFxMEIxMxv)(dd22)(dd22vEIFxv令令:EIFk 22222ddkvkxv.滿足方程的解為：滿足方程的解為：FABlxv令令:EIFk 22222ddkvkxvklBklAcossin邊界條件邊界條件： 0, 0vxvlx,B0Ak0dd, 0 xvxkxBkxAvcossin.取取 n=1, 得：得：22)2( lEIFcr0cosklEIFknnkl

8、2)2 , 1(2) 12(222)2() 12(lEInF.二、一端固支一端鉸支細長壓桿的臨界載荷一端固支一端鉸支細長壓桿的臨界載荷lFFFRx偏離直線平衡位置后的狀態(tài)偏離直線平衡位置后的狀態(tài).列出臨界狀態(tài)的平衡方程列出臨界狀態(tài)的平衡方程: :FRF)(xMFRFvxl 撓曲軸近似微分方程：撓曲軸近似微分方程： 建立建立x坐標處梁段的平衡方程：坐標處梁段的平衡方程：)()(xlFFvxMREIxMxv)(dd22)(dd22xlEIFvEIFxvR.由位移邊界條件由位移邊界條件確定常系數(shù)確定常系數(shù): :)(dd22xlEIFvEIFxvRFFRx)()(cossin22EIFkxlEIkFk

9、xBkxAvR0cossinklBklA0, 0vx0,vlx02EIkFAkR0, 0vx02EIkFBR.00cossin01022 klklEIklkEIkl02 EIkFBR02 EIkFAkR0cossin klBklA具有非零解具有非零解klkl tanEIkF2493. 4kl22)7 . 0(lEIFcr方程組的非零解條件：方程組的非零解條件：.三、其它支持方式下細長壓桿的臨界載荷三、其它支持方式下細長壓桿的臨界載荷類比法類比法: :根據(jù)力學性質(zhì)將某些點類比為支座點根據(jù)力學性質(zhì)將某些點類比為支座點lFQQ 一端固支一端自由：一端固支一端自由：llFF22)2( lEIFcr.Q

10、Q 一端固支、一端鉸支一端固支、一端鉸支lFcrl7 .0拐點拐點Fcr0.7lFcrFcr22)7 . 0(lEIFcr.QQ 兩端固支：兩端固支：2lFcrFcr22)5 . 0(lEIFcr拐點拐點拐點拐點2l4l4lFcr.四、歐拉公式的一般表達式：四、歐拉公式的一般表達式：m ml 相當長度：相當?shù)膬啥算q支壓桿的長度相當長度：相當?shù)膬啥算q支壓桿的長度m m長度因數(shù)長度因數(shù): :支持方式對臨界載荷的影響支持方式對臨界載荷的影響QQ 桿端約束剛度越強，桿端約束剛度越強，m m 越小，臨界載荷越大。越小，臨界載荷越大。QQ 柱狀鉸的約束方式。柱狀鉸的約束方式。22)( lEIFcrm.9.

11、3 9.3 其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力長度系數(shù)長度系數(shù)（無量綱）（無量綱）m相當長度（相當于兩端鉸支桿）相當長度（相當于兩端鉸支桿）lm歐拉公式的普遍形式：歐拉公式的普遍形式：2)(2lEIFcrm m兩端鉸支兩端鉸支22cr)(lEIF xlyOFxF.9.3 9.3 其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力.xzFFx.zy22126624)15622(2)622121(22412121233 zI2 21 12 22 21 12 21 11 1)()(crlEIlEIFzzz m m .)(3 33 322226 612121

12、 12 21212242412121 1 yI2222222cr)5 . 0()(lEIlEIFyyym,mincrcrcr2 21 1FFF zy22126624.9.3 9.3 其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力.9.4 9.4 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 經(jīng)驗公式經(jīng)驗公式1 1、臨界應(yīng)力、臨界應(yīng)力22 Ecr.9.4 9.4 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 經(jīng)驗公式經(jīng)驗公式歐拉公式只適用于大柔度壓桿歐拉公式只適用于大柔度壓桿 桿長桿長l約束條件約束條件m m截面形狀尺寸截面形狀尺寸i 集中反映了桿長、約束條件、截面集中反映了桿長、約束條件、截

13、面形狀尺寸對形狀尺寸對 的影響。的影響。 cr 2 2、歐拉公式適用范圍、歐拉公式適用范圍1 pcrE 22當當pE 2即即pE 21令令P 比例極限比例極限.3 3、中小柔度桿臨界應(yīng)力計算、中小柔度桿臨界應(yīng)力計算 bacrbas 2 (小柔度桿小柔度桿)(中柔度桿中柔度桿)scr 9.4 9.4 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 經(jīng)驗公式經(jīng)驗公式a、b 材料常數(shù)材料常數(shù)pcrs 當當12 即即經(jīng)驗公式經(jīng)驗公式（直線公式）（直線公式）scr bas 2令令P 比例極限比例極限s 屈服極限屈服極限pE 21令令.ilm m 壓桿柔度壓桿柔度AIi 四種取值情況，四種取值情況，臨界柔度臨界柔度

14、PE 21P 比例極限比例極限bas 2s 屈服極限屈服極限2 (小柔度桿小柔度桿)21 (中柔度桿中柔度桿)臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力1 (大柔度桿大柔度桿)歐拉公式歐拉公式22 Ecr bacr直線公式直線公式強度問題強度問題scr 9.4 9.4 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 經(jīng)驗公式經(jīng)驗公式. s22crE 粗粗短短桿桿細長桿細長桿中中長長桿桿C p p crO采用直線經(jīng)驗公式采用直線經(jīng)驗公式的臨界應(yīng)力總圖的臨界應(yīng)力總圖A cr= s sB cr=a b D三、臨界應(yīng)力總圖三、臨界應(yīng)力總圖 壓桿按柔度分類：壓桿按柔度分類： 中長桿中長桿(中柔度桿中柔度桿) 細長桿細長桿(大柔度桿大柔度桿

15、)p sp粗短桿粗短桿(小柔度桿小柔度桿)s 直線公式適合合金鋼、鋁合金、鑄鐵與松木等中柔度壓桿。直線公式適合合金鋼、鋁合金、鑄鐵與松木等中柔度壓桿。.mlmilmAFcrcr9.4 9.4 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 經(jīng)驗公式經(jīng)驗公式.FF stcrnFstn 穩(wěn)定安全系數(shù)穩(wěn)定安全系數(shù)stcrnFFn工作安全系數(shù)工作安全系數(shù)9.5 9.5 壓桿的穩(wěn)定校核壓桿的穩(wěn)定校核壓桿穩(wěn)定性條件壓桿穩(wěn)定性條件stcrnFFnstcrn n或或crF 壓桿臨界壓力壓桿臨界壓力F 壓桿實際壓力壓桿實際壓力.解：解：CDCD梁梁0CM150030sin2000NFFkN6 .26NF得ABAB桿桿il

16、m1mm732. 130cos5 . 1l9.5 9.5 壓桿的穩(wěn)定校核壓桿的穩(wěn)定校核 已知拖架已知拖架D D處承受載荷處承受載荷F=10kNF=10kN。ABAB桿外徑桿外徑D=50mmD=50mm，內(nèi)徑內(nèi)徑d=40mmd=40mm，材料為，材料為Q235Q235鋼鋼，E=200GPaE=200GPa， =100 =100，nnstst=3=3。校核。校核ABAB桿的穩(wěn)定性桿的穩(wěn)定性。1 例題例題.kN6 .26NFABAB桿桿ilmmm164644222244dDdDdDAIi131081610732. 11 得ABAB為大柔度桿為大柔度桿kN11822lEIFcrmNcrFFn 342.

17、 46 .26118stnABAB桿滿足穩(wěn)定性要求桿滿足穩(wěn)定性要求1mm732. 130cos5 . 1l9.5 9.5 壓桿的穩(wěn)定校核壓桿的穩(wěn)定校核. 千斤頂如圖所示，絲杠長度千斤頂如圖所示，絲杠長度l=37.5cml=37.5cm，內(nèi)徑內(nèi)徑d=4cmd=4cm，材料為，材料為4545鋼。最大起重量鋼。最大起重量F=80kNF=80kN，規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)，規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)n nstst=4=4。試校。試校核絲杠的穩(wěn)定性。核絲杠的穩(wěn)定性。例題例題9.5 9.5 壓桿的穩(wěn)定校核壓桿的穩(wěn)定校核（1 1）計算柔度）計算柔度cm144464424dddAIi 7515 .372ilm m 查得查得

18、4545鋼的鋼的 2 2=60=60， 1 1=100=100， 2 2 1 1 故可用歐拉公式計算。故可用歐拉公式計算。11 7001211105.77ylim其柔度為其柔度為9.5 9.5 壓桿的穩(wěn)定校核壓桿的穩(wěn)定校核7mF12cm20cmyz7mFy20cm12cmz.9.5 9.5 壓桿的穩(wěn)定校核壓桿的穩(wěn)定校核（2 2）計算）計算xozxoz平面內(nèi)的臨界力平面內(nèi)的臨界力 及臨界應(yīng)力。及臨界應(yīng)力。如圖（如圖（b b）, ,截面的慣性矩為截面的慣性矩為43ycm2880121220Icm46. 320122880AIizz相應(yīng)的慣性半徑為兩端固定時長度系數(shù)兩端固定時長度系數(shù)5 . 0m11010146.37005 .01 m m zil柔度為柔度為7mF12cm20cmyz. 應(yīng)用經(jīng)驗公式計算其臨界應(yīng)力應(yīng)用經(jīng)驗公式計算其臨界應(yīng)力, ,查表查表得得 kN8 .2322 . 012. 0107 . 96AFcrcr 9.5 9.5 壓桿的穩(wěn)定校核壓桿的穩(wěn)定校核194. 0,3 .29bMPaaMPa7 . 9101194. 03 .29 bacr則則臨界壓力為臨界壓力為木柱的臨界壓力木柱的臨界壓力臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力kNFcr161MPacr73. 6