初中數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)之第85份學(xué)案

1、人教版七至九年級(jí)數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)學(xué)案之角平分線知識(shí)及應(yīng)用（主導(dǎo)：信州區(qū)秦峰中學(xué) 朱校華）學(xué)情分析：如今班級(jí)學(xué)生中，心驕氣傲者至少占60；舍不得吃苦者起碼有八成；潛在悲哀！事實(shí)已證明：每天不做十道題，數(shù)學(xué)成績甭高提！（這也是歷屆不少學(xué)生數(shù)學(xué)成績平平的主因之一。）面對(duì)中考數(shù)學(xué)試題千變?nèi)f化，要想提高中考數(shù)學(xué)成績，多做題，對(duì)強(qiáng)基固本有幫助；現(xiàn)實(shí)中，題是做不完的，有的學(xué)生做完題后，會(huì)感覺收效不高，加上功課多，時(shí)間又不允許；如今學(xué)生存在的普遍現(xiàn)狀是“考試時(shí)老師講過的或自己做過的題有的會(huì)做，稍有變化的或者說沒做過的題感覺不知從何處下手做，想了好久結(jié)果白白浪費(fèi)時(shí)間，導(dǎo)致最終難以拿到高分（考過100分者少啊?。?/p>

2、”。這應(yīng)該是目前第一輪總復(fù)習(xí)所要解決的大問題！ 方法悟正再給力，以一當(dāng)十高效率?。ㄓ蓤D形變化.條件變換悟道是本案主要目的之一。）天天預(yù)備：準(zhǔn)備齊全直尺、圓規(guī)、鉛筆等作圖用具；草稿本；筆記本和作業(yè)本。學(xué)案內(nèi)容：（至少兩節(jié)課完成） （一） 考點(diǎn)羅列1.角平分線的定義和表示；（角平分線是直線？射線？還是線段？）2.會(huì)敘述角平分線性質(zhì)定理及逆定理；(使用時(shí)須注意什么？這里暗藏第一幅基本圖形：如圖4示，AP是BAC的平分線，點(diǎn)D在AP上，DEAB于E,DFAC于F，則DE = DF 成立.即條件共同作用才有成立.出示例考題：ABC中，AD既是BAC的平分線,又是BC上的中線，則ABC是等腰三角形；試證明

3、之.)3.如何作出角平分線？（尺規(guī)作圖，保留痕跡。） 4.三角形的四條重要線段之一：角平分線（其余三條是指誰？），能否說三角形的三條角平分線一定在三角形內(nèi)部？外角平分線呢？內(nèi)心指什么？內(nèi)心有何性質(zhì)？內(nèi)心肯定在三角形內(nèi)部嗎？（課后請(qǐng)記得抽時(shí)間聯(lián)系外心進(jìn)行對(duì)比，并與垂心，及重心一起來歸納；勿忘關(guān)注這些概念隸屬于特殊三角形的表現(xiàn)情形?。?【ZHXH教學(xué)筆記851】 【ZHXH教學(xué)筆記852】 5.由角平分線可以聯(lián)想到哪些知識(shí)？(知道這點(diǎn)對(duì)做題特有效，俗稱解題找到“下刀處”!)碰到題給條件或結(jié)論中出現(xiàn)角平分線時(shí)，請(qǐng)記?。海ń^招系列） 有相等的角出現(xiàn)，即使用定義； 與三角形其它重要線段之高、中線、中位線

4、等結(jié)合使用，注意綜合處理。 通過翻折，易構(gòu)作軸對(duì)稱型全等三角形，利用全等性質(zhì)； 與平行線搭配，構(gòu)成等腰三角形，巧用其性質(zhì)；（這里暗藏第二幅基本圖形） 與垂線搭檔，不僅可勾出等腰三角形（這里又暗藏著第三幅基本圖形）；有時(shí)甚至還能活用到角平分線性質(zhì)定理； 有對(duì)應(yīng)線段成比例結(jié)論存在（現(xiàn)已移到高中教材中咯！暫不要求.）。（二）考題解決1. 在任意ABC中，（1）如圖1示，若兩角平分線BI、CI交于點(diǎn)I,試探求I與A之間的關(guān)系；（2）如圖2示，若兩外角平分線BP、CP交于點(diǎn)P，試探求P與A間的關(guān)系；（3）如圖3示，BI、CI是角平分線，BP、CP是外角平分線，則I與P存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出您認(rèn)為正確的

5、結(jié)論并證明之。（4）如圖4示，角平分線AP與外角平分線BP交于點(diǎn)P，求證：ACB = 2PABICABCP圖1 圖2圖3 圖4ICBCAABPP做后感悟：透過不同的表象，你從中悟到哪些共同點(diǎn)？ 題中用到角平分線的什么知識(shí)？（明知識(shí)是什么？暗知識(shí)又是什么？）悟道之一：萬變肯定不離宗，抓住題宗別放松！本題“宗”指什么？2. 在ABC中，ABC ACB , AE是CAB的平分線交BC于E， （1）如圖5示，若A DB C于點(diǎn)D ，則 2 EAD = C - B .試證明之； （2）如圖6示，點(diǎn)F是A E上任一點(diǎn)，若F DB C于點(diǎn)D ， 試探究 EFD 、 C 與 B的關(guān)系； （3）如圖7示，點(diǎn)F是

6、A E延長線上任一點(diǎn)，若F DB C于點(diǎn)D ，則 （2）中的推導(dǎo)是否仍成立？AA （4）如圖8示，點(diǎn)F是內(nèi)心，過F作F DB C于點(diǎn)D ，請(qǐng)?zhí)骄?EFD 、ABC與 ACB的關(guān)系. AB 圖5 圖6DEEDFCBCE 圖7 圖8EDFCDFBEABC做后感悟： 你能很快看出四小題變化的要點(diǎn)是平移了嗎？（勿忘翻折與旋轉(zhuǎn)哦！）題圖雖變，關(guān)系是否在改變呢？什么在改變？什么沒改變？ 悟道之二： 以不變來應(yīng)萬變，學(xué)會(huì)添加輔助線！ 首先常規(guī)抓補(bǔ)全基本圖形；其次熟記常添輔助線作圖例；最后是需什么想到添什么。 【ZHXH教學(xué)筆記853】 【ZHXH教學(xué)筆記854】3. 如圖9示，已知梯形ABCD中，ADBC，

7、ABBC，DE平分ADC, CE平分DCB,DE與CE交AB于E. 求證：AE = BE （一）探究：還可以得出哪些結(jié)論？用不同方法來說明之（Key：DECE;AD BC = DC;ADEBEC;SABCD=2SEDC） （二）變式：試將原題已知和求證交換位置，是否成立？（至少有三題哦！）（三）變形：若梯形ABCD不是直角梯形呢？（如圖10示，砍掉已知條件ABBC，結(jié)論AE = BE還成立嗎？）（四）變透：若將已知條件ABBC變成DCBC ，其余條件不變 ；結(jié)果又會(huì)怎樣？（請(qǐng)您借助作圖工具作出符合題意的題圖，再好好地究一究噢！敬請(qǐng)同學(xué)們時(shí)刻牢記偉人毛澤東言：自己動(dòng)手，豐衣足食?。?將本題再次延

8、伸拓展，有下列漂亮中考題例：（安徽 中考） 已知CDE中，DE = EC, DEC = 900，過點(diǎn)E任作一直線AB，分別過點(diǎn)D、C作DAAB、CBAB，垂足分別為A、B.（1）如圖11示，點(diǎn)D、C位于直線AB同側(cè)時(shí)， 求證：AD + BC = AB ；（2）如圖12示，點(diǎn)D、C位于直線AB異側(cè)時(shí)，試猜想:（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)寫出您認(rèn)為正確的結(jié)論并證明之；若成立，簡單說明之. 圖9 圖10 圖11 圖12AEBCCDBECBDEACBDAAD做后感悟： 充分挖掘一道題深層次的內(nèi)涵，正如嘗試剝開椰子堅(jiān)實(shí)的外殼，過程很簡單，結(jié)果很愜意！假如我們每天在這方面多磨磨，收成應(yīng)更多！ 悟道

9、之三： 探果索因手段現(xiàn)，解題思路易尋見?。ㄈ?相關(guān)好題（請(qǐng)選擇您認(rèn)為非常好又喜歡的其中一題做在作業(yè)本上供批閱！）4. 平行四邊形ABCD中，ABC 720，B E平分ABC交A D于點(diǎn)E,且B E B C ,點(diǎn)F在B E上，EFC D .（1） 求證 ： E F E D（2） 仔細(xì)研究，試在你所畫的題圖中以所標(biāo)字母為端點(diǎn)添加一條線段，使等腰三角形最多；（3） 事實(shí)上，圖中等腰三角形最多應(yīng)有 個(gè)，先逐一寫出來；再選擇其中一個(gè)簡單地給予說理.5. 已知A B是 O的直徑，C是 O上一點(diǎn)，CAB的平分線交 O于點(diǎn)D,交O的過點(diǎn)B的切線B E于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作D F C A，交A C的延長線于點(diǎn)F.（

10、1） 猜想：D F 是否是 O的切線？ 請(qǐng)說明之；（2） 若D E 2, D F 3, 求A D ：B E的值？6. 已知：ABC 中，2 ABC ACB ，A D 是角平分線，試猜想:線段 A B ,A C 和C D長度存在何種數(shù)量關(guān)系？寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論并證明之.7. 如圖13示，B D 、C E 分別是ABC外角 ABM 、 ACN 的平分線，過點(diǎn) A分別作B D 、C E 的垂線段，垂足分別為 D、 E ，連D E . 求證：2 D E A B B C C A （或證 D E 長等于ABC的半周長）圖13M NCBDEA 【ZHXH教學(xué)筆記855】 【ZHXH教學(xué)筆記856】（四）.

11、歸納總結(jié) 今后凡遇到或用到有關(guān)角平分線知識(shí)題，離不開上面所支五大高招：即在【ZHXH教學(xué)筆記852】黑體字所表的至條款. 例如，第4題中就呈現(xiàn)了“角平分線 平行線 等腰三角形” 這一（第二幅）基本圖形，即妙用了；第5題僅用了，沒什么特色，然而“角相等”是最基本的用法，不能輕視之；第6題活用了“沿角平分線所在直線翻折三角形構(gòu)成軸對(duì)稱型全等三角形”方法，滲透了轉(zhuǎn)化思想，充分體現(xiàn)了輔助線的橋梁作用.即巧用了；第7題表明上看，似乎無從下手.其實(shí)借用了，也就是角平分線的另一種（即第三幅）基本圖形：“角平分線 垂 線 等腰三角形”應(yīng)該能較容易找到突破口（分別延長A D、A E 交直線M N 分別于點(diǎn)F 、H .）！至于條款，在第2題中早動(dòng)用了，已很了不起囖！ 更何況第7題最終還是需要通過三角形中位線性質(zhì)定理來搞定的；說明：知識(shí)單一難成題，錯(cuò)綜復(fù)雜隱神奇！)