線性系統(tǒng)理論第三章

1、線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論第三章第三章 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性線性系統(tǒng)的能控性和能觀性能控性和能觀性是線性系統(tǒng)理論中的兩能控性和能觀性是線性系統(tǒng)理論中的兩個基本概念，是卡爾曼（個基本概念，是卡爾曼（R.E.KalmanR.E.Kalman）6060年年代首先提出來的。這兩個概念的提出，對于代首先提出來的。這兩個概念的提出，對于控制理論的研究和發(fā)展，有著很重要的意義?？刂评碚摰难芯亢桶l(fā)展，有著很重要的意義。能控性和能觀性是系統(tǒng)的兩個結(jié)構(gòu)特性，能控性和能觀性是系統(tǒng)的兩個結(jié)構(gòu)特性，揭示了系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量與系統(tǒng)輸出之間揭示了系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量與系統(tǒng)輸出之間的關(guān)系。簡單地說，所謂系統(tǒng)能控性，是指的關(guān)系

2、。簡單地說，所謂系統(tǒng)能控性，是指輸入對于狀態(tài)變量的作用能力，能觀性則是輸入對于狀態(tài)變量的作用能力，能觀性則是通過輸出來確定狀態(tài)變量的能力。通過輸出來確定狀態(tài)變量的能力。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論在本章中，深入地討論線連續(xù)系統(tǒng)和線性離散系統(tǒng)的在本章中，深入地討論線連續(xù)系統(tǒng)和線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性的定義、判據(jù)準(zhǔn)則；此外，還討論對偶能控性和能觀測性的定義、判據(jù)準(zhǔn)則；此外，還討論對偶系統(tǒng)與對偶原理和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解。這些也是線性系統(tǒng)綜系統(tǒng)與對偶原理和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解。這些也是線性系統(tǒng)綜合設(shè)計的基本內(nèi)容。合設(shè)計的基本內(nèi)容。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論3.1 3.1 線性連續(xù)時間系統(tǒng)的能控性線性連續(xù)時間系統(tǒng)

3、的能控性3.2 3.2 線性連續(xù)時間系統(tǒng)的能觀測性線性連續(xù)時間系統(tǒng)的能觀測性3.3 3.3 線性離散時間系統(tǒng)的能控性和能觀測性線性離散時間系統(tǒng)的能控性和能觀測性3.4 3.4 對偶原理對偶原理3.5 3.5 能控性、能觀測性與傳遞函數(shù)（矩陣）的關(guān)系能控性、能觀測性與傳遞函數(shù)（矩陣）的關(guān)系3.6 3.6 能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型( (單輸入單輸入- -單輸出情單輸出情況況) )線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論3.73.7能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型（多輸入能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型（多輸入- -多輸出多輸出情況）情況）3.83.8線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)

4、理論3.1 3.1 線性連續(xù)時間系統(tǒng)的能控性線性連續(xù)時間系統(tǒng)的能控性引例引例 設(shè)單輸入連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)單輸入連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為圖圖3.1 3.1 不能控系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖不能控系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖112222,xxxu xx 1s1s22x 20 xtu 10 x t1x線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論圖圖3.2 能控系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖能控系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖1s1s22x 20 xtu 10 x t1x線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式中，第二個方程只與狀態(tài)變量式中，第二個方程只與狀態(tài)變量 本身有關(guān)，且與本身有關(guān)，且與 無無關(guān)，是不能控狀態(tài)變量；關(guān)，是不能控狀態(tài)變量； 受受 控制，是能控狀態(tài)變量。控制，是能控狀態(tài)變量。從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖從系統(tǒng)結(jié)

5、構(gòu)圖3.13.1顯見顯見 能影響能影響 而不能影響而不能影響 ，于是，于是狀態(tài)狀態(tài) 向量向量 不能在不能在 作用下任意轉(zhuǎn)移，稱狀態(tài)不作用下任意轉(zhuǎn)移，稱狀態(tài)不完全能控，簡稱系統(tǒng)不能控。完全能控，簡稱系統(tǒng)不能控。 如果在上述引例中，將控制如果在上述引例中，將控制 的作用點移到最左邊，的作用點移到最左邊，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如3.23.2所示，相應(yīng)的狀態(tài)方程為所示，相應(yīng)的狀態(tài)方程為2xu1xuu1x2x12,Txx xuu112222,xxx xxu 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論由狀態(tài)方程可以看出，由狀態(tài)方程可以看出， 影響影響 ，又通過，又通過 影響影響 ，于是狀態(tài)方向量于是狀態(tài)方向量 能在能在 作

6、用下任意轉(zhuǎn)移，稱完作用下任意轉(zhuǎn)移，稱完全能控，簡稱系統(tǒng)能控。全能控，簡稱系統(tǒng)能控。能控性定義能控性定義 線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程（3.1）其中，其中， 為為 維狀態(tài)向量，維狀態(tài)向量， 為輸入向量，為輸入向量， 為時間定義區(qū)為時間定義區(qū)間，間， 和和 分別為分別為 和和 維矩陣?，F(xiàn)對系統(tǒng)能維矩陣?，F(xiàn)對系統(tǒng)能控性定義如下：控性定義如下：u2x1x2x12,Txx xu ,txt xt utTBxnutT tA tBn nnp線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 定義定義 3.1 對于式線性時變系統(tǒng)，如果對取定初始時刻對于式線性時變系統(tǒng)，如果對取定初始時刻 的一個非零初始狀態(tài)的一個非零初始狀

7、態(tài) ，存在一個時刻，存在一個時刻 和一個無約束的容許控制和一個無約束的容許控制 狀態(tài)由狀態(tài)由 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移到移到 時時 則稱則稱 此在此在 時刻能控的。時刻能控的。 定義定義 3.2 對于式線性時變系統(tǒng)，取定初始時刻對于式線性時變系統(tǒng)，取定初始時刻 ，如果狀態(tài)空間中有一個或一些非零狀態(tài)，在如果狀態(tài)空間中有一個或一些非零狀態(tài)，在 時刻是不能時刻是不能控的，則稱系統(tǒng)在控的，則稱系統(tǒng)在 時刻不完全能控的。也可稱為系統(tǒng)是時刻不完全能控的。也可稱為系統(tǒng)是不能控的。不能控的。0ttT 00 x tx110,tT tt 01,u ttt t 00 x tx 10 x t1t0 x0t0ttT0t0t線性系統(tǒng)理論線

8、性系統(tǒng)理論 在上述定義中，只要求系統(tǒng)在在上述定義中，只要求系統(tǒng)在 作用下，使作用下，使 轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到 ，而對于狀態(tài)轉(zhuǎn)移的軌跡不作任何規(guī)定。，而對于狀態(tài)轉(zhuǎn)移的軌跡不作任何規(guī)定。所以，能控性是表征系統(tǒng)狀態(tài)運動的一個定性特性。定義所以，能控性是表征系統(tǒng)狀態(tài)運動的一個定性特性。定義中的控制中的控制 的每個分量的幅值并未給以限制，可取任的每個分量的幅值并未給以限制，可取任意大的要求值。但意大的要求值。但 必須是容許控制，即必須是容許控制，即 的每個分的每個分量量 均在時間區(qū)間均在時間區(qū)間 上平方可積。即上平方可積。即 u t 00 x tx 10 x t u t u t u t 1,2,iu ti iT

9、 020,titu tttT 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論此外，對于線性時變系統(tǒng)，其能控性與初始時刻此外，對于線性時變系統(tǒng)，其能控性與初始時刻 的選取的選取有關(guān)；而對于線性定常系統(tǒng)，其能控性與初始時刻有關(guān)；而對于線性定常系統(tǒng)，其能控性與初始時刻 無關(guān)。無關(guān)。線性定常系統(tǒng)能控性的常用判據(jù)線性定常系統(tǒng)能控性的常用判據(jù) 考慮線性定常系統(tǒng)考慮線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程的狀態(tài)方程（3.2）其中，其中， 為為 維狀態(tài)變量，維狀態(tài)變量， 為為 維輸入向量，維輸入向量， 和和 分別為分別為 和和 維常數(shù)矩陣。下面直接根據(jù)線性定常系統(tǒng)維常數(shù)矩陣。下面直接根據(jù)線性定常系統(tǒng) 和和 給出系統(tǒng)的能控性的常用判據(jù)。給出系統(tǒng)的能控

10、性的常用判據(jù)。0t0t0,00 xxuxtABxnupABn nnpAB線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論10t 1A100,BBTttAtTWteedt10,WtW1W0 x u t線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論（3.4）則在則在 作用下系統(tǒng)在作用下系統(tǒng)在 時刻的解為：時刻的解為：這結(jié)果表明，對任一這結(jié)果表明，對任一 ，存在有限時刻，存在有限時刻 和控和控制制 ，使?fàn)顟B(tài)由，使?fàn)顟B(tài)由 轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到 時刻時刻 。于是，按定。于是，按定義可知系統(tǒng)為完全能控。充分性得證。義可知系統(tǒng)為完全能控。充分性得證。 11010,0, TTA tu tetx tt BW1t u t 11111111A1001010010110

11、00,0,0,0,TttttttTtttx texeu t dtexeeedttxexettxxRAAAAAABBBWWWA00 x 10t u t0 x1t 10 x t線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 必要性：已知系統(tǒng)為完全能控，欲證必要性：已知系統(tǒng)為完全能控，欲證 為非奇異。為非奇異。采用反證法。反設(shè)采用反證法。反設(shè) 為奇異，也即假設(shè)存在麼個非零向為奇異，也即假設(shè)存在麼個非零向量量 ，使，使（3.5）成立，由此可以推導(dǎo)出成立，由此可以推導(dǎo)出（3.6）其中其中 為范數(shù)，故必其為正值。為范數(shù)，故必其為正值。10,WtW0nxR0100,0Txtx W1110100000002000,0TTTTttT

12、TTA tTtTttTA tx Wtxx eex dtexexdtexdtAAABBBBBT線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論這樣，欲使式成立，應(yīng)當(dāng)有這樣，欲使式成立，應(yīng)當(dāng)有（3.7）另一方面，因系統(tǒng)完全能控。根據(jù)定義對此非零另一方面，因系統(tǒng)完全能控。根據(jù)定義對此非零 應(yīng)有應(yīng)有得到得到（3.8）010,0,TTtextt AB0 x 111A01000tttxtexeu t dtAB 11A00ttxeu t dtB T1112A-A0000000TtttTTtxx xeu t dtxutex dtBB 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論再利用式再利用式3.7，再由式，再由式3.8得到得到 ，即，即 。顯然，。顯

13、然，此結(jié)果與反設(shè)此結(jié)果與反設(shè) 相矛盾，即相矛盾，即 為奇異的反設(shè)不成為奇異的反設(shè)不成立。因此，當(dāng)系統(tǒng)為完全能控，立。因此，當(dāng)系統(tǒng)為完全能控， 必為非奇異，必要必為非奇異，必要性得證。至此，證畢。性得證。至此，證畢。2.秩判據(jù)秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)為完全能控的充分必要條件是線性定常系統(tǒng)為完全能控的充分必要條件是（3.9）其中，其中， 為矩陣為矩陣 的維數(shù)，的維數(shù)， 稱為稱為系統(tǒng)的能控判別陣。系統(tǒng)的能控判別陣。200 x00 x 00 x 1W 0,t1W 0,t1nrankn BABABnA1BABABnS線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論證證充分性：已知充分性：已知 ，欲證系統(tǒng)完全能控。，欲證系統(tǒng)完全能控

14、。 采用反證法。反設(shè)系統(tǒng)為不完全能控，則根據(jù)格拉姆矩陣采用反證法。反設(shè)系統(tǒng)為不完全能控，則根據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)可知判據(jù)可知為奇異，這意味著存在某個非零為奇異，這意味著存在某個非零 維常數(shù)向量維常數(shù)向量 使使顯然，由此可得顯然，由此可得（3.10）1AA110W 0,BB,0TtttTteedtt n111000,0TtTttTTAtTATtTtteedteedtAAWBBBB10,0,Ttett ABSrankn線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 將式將式3.10求導(dǎo)直至求導(dǎo)直至 次，再在所得結(jié)果中令次，再在所得結(jié)果中令 ，便得，便得到到（3.11）然后再將式然后再將式3.11表示為表示為（3.12）由于

15、由于 ，所以式，所以式3.12意味意味 著為行線性相關(guān)，著為行線性相關(guān)，即即 。這顯然和已知。這顯然和已知 相矛盾。所以，反設(shè)相矛盾。所以，反設(shè)不成立，系統(tǒng)應(yīng)為完全能控。不成立，系統(tǒng)應(yīng)為完全能控。1n0t 2n-1B0,AB0A B0,A B0TTTTn-1BABAB0TTS 0SSranknS=rankn線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論必要性：已知系統(tǒng)完全能控，欲證必要性：已知系統(tǒng)完全能控，欲證 。采用反證法。反設(shè)采用反證法。反設(shè) ，這意味著，這意味著 為行線性相關(guān)，為行線性相關(guān)，因此必存在一個非零因此必存在一個非零 維常數(shù)向量維常數(shù)向量 使使成立?？紤]到問題的一般性，由上式可導(dǎo)出成立?？紤]到問題的

16、一般性，由上式可導(dǎo)出 （3.13）根據(jù)凱萊根據(jù)凱萊哈密爾頓定義，哈密爾頓定義， 均可表示為均可表示為 的線性組合，由此可將式進一步寫為的線性組合，由此可將式進一步寫為SranknSranknSnn-1BABAB0TTS i-1A B0,1,2,1TiniA B0,1,2,Tin1A ,A,n21,A,A ,.,AnI線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論將式將式3.13進一步寫為進一步寫為從而，對任意從而，對任意 有有或或利用式利用式3.14，則有，則有（3.15）iA B0,1,2,Ti10t 1A1!B0,1,2,0,iiTitti 2 23 311IAAABB0,0,2!3!TTAttttett 11

17、100,BB,0TtttTteedtt AAW線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論因為已知因為已知 ，若式，若式3.15成立，必須有成立，必須有 為奇異，為奇異，即系統(tǒng)不完全能控。這是和已知條件相矛盾的，所以反設(shè)即系統(tǒng)不完全能控。這是和已知條件相矛盾的，所以反設(shè)不成立，與是有不成立，與是有 ，必要性得證。證畢。，必要性得證。證畢。例例3.1 判別下列系統(tǒng)的能控性判別下列系統(tǒng)的能控性解解 計算能控性判別陣計算能控性判別陣 的秩的秩 010,WtSrankn1122010101xxuxx S01 S BAB210rankrankrank線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論顯然，由于顯然，由于 ，此系統(tǒng)完全能控。，此系統(tǒng)完

18、全能控。例例 3.2 判別下列系統(tǒng)的能控性判別下列系統(tǒng)的能控性解解 計算能控性判別矩陣的秩：計算能控性判別矩陣的秩： 2rank Sn11122233123210201101311xxuxxuxx1213254BABAB112244112244nrankrank 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論顯見陣的第二、三行線性相關(guān)，顯見陣的第二、三行線性相關(guān)， ，故系統(tǒng)，故系統(tǒng)不能完全能控。不能完全能控。3.PBH秩判據(jù)秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)（線性定常系統(tǒng)（3.2）為完全能控的充）為完全能控的充分必要條件是，對矩陣分必要條件是，對矩陣 的所有特征值的所有特征值 ，下，下式式 （3.16）均成立，或等價地表示為均成

19、立，或等價地表示為（3.17）即即 和和 是左右互質(zhì)的。是左右互質(zhì)的。 S23ranknA1,2,inIAB,1,2,irankn inIAB,rank snsC IAs B線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 證證 必要性：系統(tǒng)完全能控，欲證式成立。必要性：系統(tǒng)完全能控，欲證式成立。采用反證法。反設(shè)對某個采用反證法。反設(shè)對某個 有有 ，則意味著則意味著 行線性相關(guān)成立。由此，必存在一行線性相關(guān)成立。由此，必存在一個非零常數(shù)向量個非零常數(shù)向量 ，使，使（3.18）成立?？紤]到問題的一般性，由式成立。考慮到問題的一般性，由式3.18可導(dǎo)出可導(dǎo)出（3.19）利用式利用式3.19，進而有，進而有iIABiran

20、knIABiAB0TiIA,B0TTTi1B0,ABB0,AB0TTTTni線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論于是，進一步得到于是，進一步得到（3.20）因已知因已知 ，所以欲使式，所以欲使式3.20成立，必有成立，必有這意味著系統(tǒng)不完全能控，顯然和已知套件相矛盾。因此，這意味著系統(tǒng)不完全能控，顯然和已知套件相矛盾。因此，反設(shè)不成立，而式成立?？紤]到反設(shè)不成立，而式成立?？紤]到 為多項式矩為多項式矩陣，且對復(fù)數(shù)域陣，且對復(fù)數(shù)域 上除上除 以外所有以外所有 都都有，有， ，所以式，所以式3.16等價于等價于3.17。 1BABAB0TnTS rank Sn0IABiC1,2,iinsdetIAB0i線性系

21、統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論必要性得證。必要性得證。 充分性：式充分性：式3.16成立。欲證系統(tǒng)為完全能控。成立。欲證系統(tǒng)為完全能控。采用反證法。利用和上述相反思路，即可證明充分性。至采用反證法。利用和上述相反思路，即可證明充分性。至此，證畢。此，證畢。例例 3.3 判別下列系統(tǒng)的能控性判別下列系統(tǒng)的能控性010001001010,4000101000020 xxun線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論解解 先求先求考慮到考慮到 的特征值為的特征值為 ，所以，所以只需要對他們來檢驗上述矩陣的秩。為此，通過計算得到：只需要對他們來檢驗上述矩陣的秩。為此，通過計算得到：當(dāng)，有當(dāng)，有ABrank sI 000010101

22、0IAB0010100520ssrank sssA12340,5,5 120s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論當(dāng)當(dāng) ，有，有10000101IAB400100502rank s35s51010510IAB400010020rank s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論當(dāng)當(dāng) ，有，有計算結(jié)果表明，充要條件（計算結(jié)果表明，充要條件（3.16）成立，故系統(tǒng)完全能控。）成立，故系統(tǒng)完全能控。45s 51010510IAB400010020rank s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 ABAi,0TTTi A B0010,0,0TTTTni B AB B AB線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論從而得到從而得到這意味著這意味著 ，即系統(tǒng)不完

23、全可控。這與已知條件相，即系統(tǒng)不完全可控。這與已知條件相矛盾，因而反設(shè)不成立。必要性得證。矛盾，因而反設(shè)不成立。必要性得證。充分性：也用反正法。利用上述相反的思路來進行，具體充分性：也用反正法。利用上述相反的思路來進行，具體證明過程從略。至此證畢。證明過程從略。至此證畢。應(yīng)當(dāng)指出，一般的說，應(yīng)當(dāng)指出，一般的說，PBH特征向量判據(jù)主要用于理特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是現(xiàn)性系統(tǒng)的復(fù)頻率分析中。論分析中，特別是現(xiàn)性系統(tǒng)的復(fù)頻率分析中。1.0TnT BABAB SranknS線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論A12,n 11nxxBu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論則系統(tǒng)則系統(tǒng)(3.2)為完全能控的充分必要條

24、件是，在式為完全能控的充分必要條件是，在式(3.22)中，中， 不包含元素全為零的行。不包含元素全為零的行。證可用秩判據(jù)予以證明，推證過程略。證可用秩判據(jù)予以證明，推證過程略。 第二種情況：矩陣第二種情況：矩陣 的特征值為的特征值為 且且 ，由線性變換將式，由線性變換將式(3.2)化為約當(dāng)規(guī)范化為約當(dāng)規(guī)范型型 (3.23)BA1122,ll (重), (重)(重)12.lnx = Ax+Bu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論其中其中(3.24) (3.25) 1122()(),n nn pllBJJBABJB1122()(),iiiiiiiiipikikBJJBJBJB線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論(3.26

25、)并有并有 。由。由 ，的最后一，的最后一行所組成的矩陣為行所組成的矩陣為(3.27) 12()()1,1iiikikikikiiiikpibbbJB12.iiiki,(1,2,., )ikkB12,1,2,.,iiiikbbilbB線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論則系統(tǒng)則系統(tǒng)(3.2)為完全能控的充分必要條件是，在式為完全能控的充分必要條件是，在式(3.23)中，中，對于所有對于所有 矩陣，矩陣， ，均為行線性無關(guān)。，均為行線性無關(guān)。證證 可用可用PBH秩判據(jù)予以證明。證明過程略。秩判據(jù)予以證明。證明過程略。iB1,2,.,il線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論例例 3.4 已知線性定常系統(tǒng)的對角線規(guī)范型為式

26、已知線性定常系統(tǒng)的對角線規(guī)范型為式(3.28)，試判定系統(tǒng)的能控性。試判定系統(tǒng)的能控性。(3.28)解解 顯見，此規(guī)范型中顯見，此規(guī)范型中 不包含元素全為零的行，因此系不包含元素全為零的行，因此系統(tǒng)的為完全能控。統(tǒng)的為完全能控。 22111233800010103000202xxuxxuxxB線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論例例 3.5 給定線性定常系統(tǒng)的約當(dāng)規(guī)范型為式給定線性定常系統(tǒng)的約當(dāng)規(guī)范型為式(3.29)，試判，試判定系統(tǒng)的能控性。定系統(tǒng)的能控性。 (3.29)000111000102010041000211200203323005xxu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論解解 容易定出：容易定出：顯然，

27、矩陣顯然，矩陣 和和 都是行線性無關(guān)的，都是行線性無關(guān)的， 的元素的元素不全為零，所以系統(tǒng)完全能控。不全為零，所以系統(tǒng)完全能控。1112223331100120020 ,033004300iiiiibbBbBbbBb1B2B3B線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論ABn nnp1kkSBABABn kpkknnSSnranknSkuranknSkranknSk線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論設(shè)設(shè) ，則估計能控性指數(shù)，則估計能控性指數(shù) 的一個關(guān)系式的一個關(guān)系式為為 (3.31)此式很容易推導(dǎo)出。考慮到此式很容易推導(dǎo)出?？紤]到 為為 陣，欲使陣，欲使 的的秩為秩為 ，其必要的前提是矩陣，其必要的前提是矩陣 的列數(shù)必須

28、大于或等于它的列數(shù)必須大于或等于它的行數(shù)，即的行數(shù)，即 。由此得到式。由此得到式(3.31)的左部的左部rankrpB1nnrp nSnpnSnnSpnnp線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論若若 ，由能控性指數(shù)定義可知，由能控性指數(shù)定義可知， 的的每一個矩陣至少有一個列向量和每一個矩陣至少有一個列向量和 中其左側(cè)所有線性獨立中其左側(cè)所有線性獨立的列向量線性無關(guān)，因此有的列向量線性無關(guān)，因此有 。由此得到式。由此得到式(3.31)的右部的右部于是，式于是，式(3.31)推導(dǎo)完畢。推導(dǎo)完畢。rankrB21,nAB A BABnS1nr 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論從式從式(3.31)出發(fā)，可對能控性指數(shù)給促以

29、下幾點推論。出發(fā)，可對能控性指數(shù)給促以下幾點推論。(1)對于但輸入系統(tǒng)。即對于但輸入系統(tǒng)。即 ，系統(tǒng)的能控性指數(shù)，系統(tǒng)的能控性指數(shù) 。(2) 對于線性定常系統(tǒng)對于線性定常系統(tǒng)(3.2)，考慮，考慮 的上界可導(dǎo)出能控性秩的上界可導(dǎo)出能控性秩判據(jù)為：系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是判據(jù)為：系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是 (3.32)因為矩陣因為矩陣 的秩易于計算，所以利用式的秩易于計算，所以利用式(3.32)來判斷能控來判斷能控性可使計算得到簡化。性可使計算得到簡化。1p n1n rn rrankrankn SBABABB線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論(3) 設(shè)設(shè) 為矩陣為矩陣 的最小多項式的次數(shù)，且必有的最

30、小多項式的次數(shù)，且必有 ，則能控性指數(shù)則能控性指數(shù) 的估計不等式的估計不等式(3.31)可進一步表示為可進一步表示為 (3.33)線性時變系統(tǒng)的能控性判據(jù)線性時變系統(tǒng)的能控性判據(jù) 線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(3.34)1nA1nn1min( ,1)nn nrp 00( )( ) , ( ),tttttTxAxBu xx線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論其中，其中， 為為 維狀態(tài)向量，維狀態(tài)向量， 為為 維輸入向量，維輸入向量， 為時間定義為時間定義區(qū)間，區(qū)間， 和和 分別為分別為 和和 的時變矩陣，且滿的時變矩陣，且滿足解的存在唯一性條件。足解的存在唯一性條件。1. 格拉姆矩陣判據(jù)

31、格拉姆矩陣判據(jù) 線性時變系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)(3.34)在在 時刻為完全能時刻為完全能控的充分必要條件是，存在一個有權(quán)限時刻控的充分必要條件是，存在一個有權(quán)限時刻 ，使如下定義的格拉姆矩陣使如下定義的格拉姆矩陣(3.35)為非奇異，其中為非奇異，其中 為系統(tǒng)為系統(tǒng)(3.34)的轉(zhuǎn)移矩陣的逆陣。的轉(zhuǎn)移矩陣的逆陣。 xnuptT( ) tA( ) tBn nnp0t110,ttT tt1001010( , )( , ) ( )( )( , )tTTtt tt tttt t dtWBB0( , )t t線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論證證 此判據(jù)的證明方法與定常系統(tǒng)的格拉姆矩陣的證明完此判據(jù)的證明方法與定常系統(tǒng)

32、的格拉姆矩陣的證明完全類同，此略。全類同，此略。 2. 秩判據(jù)秩判據(jù) 設(shè)設(shè) 和和 是是 階連續(xù)可微的，則線性時變系階連續(xù)可微的，則線性時變系統(tǒng)統(tǒng)(3.34)在在 時刻為完全能控的一個充分條件是，存在一時刻為完全能控的一個充分條件是，存在一個有限時刻個有限時刻 ，使，使(3.36) 成立。成立。( ) tA( ) tB(1)n0t110,ttT tt011111( )( )( )nranktttnFFF線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論其中其中 (3.37)0100211122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnntdttttdtdttttdtdttttdt

33、BFAFFFAFFFBBFF線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論證證 分四步來證明。分四步來證明。(1) 考慮到考慮到 ，且定義，且定義設(shè)設(shè) 為系統(tǒng)為系統(tǒng)(3.34)的基本解陣，注意到的基本解陣，注意到 ，由由 ，得，得考慮考慮 0110101( , ) ( )( , )( )t ttt ttBF101101( , ) ( )( , ) ( )t tt ttt ttttBB( ) t( )( ) ( )tttA1( )( )0dttdt 11( )( ) ( )ttt A100( , )( )( )t ttt線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論則有則有一般的有一般的有 (3.38)110110111110111011

34、1( , ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( , )( )t tttttttttttttt ttBBBABBF011011( , ) ( )( , )( )kkt ttt tttBF1,2,1kn線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論于是于是 (3.39)由于由于 為非奇異，故由式為非奇異，故由式(3.39)和式和式(3.36)可導(dǎo)出可導(dǎo)出 (3.40) 101101101111101011111( , ) ( )( , ) ( )( , ) ( )( , )( )( )( )nnnt ttt ttt ttttt ttttBBBFFF01( , )t t10110

35、11011111( , ) ( )( , ) ( )( , ) ( )nnrankt ttt ttt ttnttBBB線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論(2) 證明對證明對 在在 上線性無關(guān)。采上線性無關(guān)。采用反證法。已知用反證法。已知(3.40)成立，反設(shè)成立，反設(shè) 行線性無關(guān)，行線性無關(guān)，則存在則存在 的非零常值向量的非零常值向量 ，對所有，對所有 和和 ，有，有成立。則成立。則1001, ( , ) ( )ttt ttB01,t t01( , ) ( )t ttB1 n01,tt t1,2,1kn01( , ) ( )0kt tttB10101011( , ) ( )( , ) ( )( , )

36、( )0nnt ttt ttt ttttBBB線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論這意味著這意味著對所有對所有 為線性相關(guān)。顯然，這與為線性相關(guān)。顯然，這與(3.40)相矛盾。所相矛盾。所以，反設(shè)不成立。這就證明以，反設(shè)不成立。這就證明 了對所有的了對所有的 為行線性無關(guān)。為行線性無關(guān)。10101011( , ) ( )( , ) ( )( , ) ( )nnt ttt ttt ttttBBB01( , ) ( )t t B t01,tt t01,tt t線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論(3) 由由 行線性無關(guān)，行線性無關(guān)， ，證明，證明 為非奇異。采用反證法，反設(shè)為非奇異。采用反證法，反設(shè) 為奇異，于是存在為奇

37、異，于是存在一個非零常值向量一個非零常值向量 ，使，使 成立，即成立，即 (3.41)考慮到式考慮到式(3.41)中的被積函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，且對所有的中的被積函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，且對所有的 是非負(fù)的。因此，要式是非負(fù)的。因此，要式(3.41)成立，必須使成立，必須使 (3.42) 01( , ) ( )t t B t01,tt t01( , )t tW01( , )t tW01,0t tW10010101,( , )( , )0tTTtt tt tt tdtW01,tt t0101( , ) ( )0,t tttt tB線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論而這是和已知而這是和已知 行線性無關(guān)相矛盾的。這表明，行

38、線性無關(guān)相矛盾的。這表明，反設(shè)不成立。因此，反設(shè)不成立。因此， 為非奇異。為非奇異。(4) 由由 為非奇異，為非奇異， ，利用格拉姆矩，利用格拉姆矩陣判據(jù)，就可證明系統(tǒng)陣判據(jù)，就可證明系統(tǒng)(3.34)在在 時刻為完全能控。至此時刻為完全能控。至此證畢。證畢。01( , ) ( )t t B t01( , )t tW01( , )t tW110,tT tt0t線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論例例 3.5 判別下列時變系統(tǒng)的能控性。判別下列時變系統(tǒng)的能控性。解解 通過計算，求出通過計算，求出021000201,02 ,0.5001ttttt xxuT線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論010022211220( )(

39、 )111( )( )( )( )23( )( )( )( )42()21ttdtttttdttttdtttttdtttt FBFAFFFBFF線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論因為因為 對對 的秩為的秩為3，所以系統(tǒng)在時，所以系統(tǒng)在時刻刻 是完全能控的是完全能控的輸出能控性輸出能控性 如果系統(tǒng)需要控制的是輸出量，而不是狀態(tài)，則需研如果系統(tǒng)需要控制的是輸出量，而不是狀態(tài)，則需研究系統(tǒng)的輸出能控性。究系統(tǒng)的輸出能控性。定義定義3.5 在有限時間間隔在有限時間間隔 內(nèi)，存在無約束內(nèi)，存在無約束分段連續(xù)控制函數(shù)分段連續(xù)控制函數(shù) ，能使任意初始輸出，能使任意初始輸出 轉(zhuǎn)移到任意最終輸出轉(zhuǎn)移到任意最終輸出 ，則此

40、系統(tǒng)是輸出完全能控，簡，則此系統(tǒng)是輸出完全能控，簡稱輸出能控。稱輸出能控。013( )( )( )tttFFF1t 00.5t 01,t t01( ),u t tt t0( )y t1( )y t線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論0001,( ),ttt txAxBuxxyCxDuupyqxn1110()1001( )( )( ),ttttttetet dttt tAAxxBu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論則輸出為則輸出為(3.44)不失一般性地令不失一般性地令 ，于是，于是1110()10( )( )( )ttttttetet dtAAyCxCBuDu1( )0ty11101010()01010( )( )

41、( )( )( ) ( )tttttntmmtmntmmtmetet dttt dttt dt AACxCBuDuCA BuDuCA BuDu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論令令則則10( ) ( )tmttt dtuu1100101101211( )ntmmmnnnnetuuuuuu ACxCA BDuCBuCABuCABuDuCBCABCABD線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論令令(3.45)式式(3.45)為輸出能控性矩陣，是為輸出能控性矩陣，是 維矩陣。維矩陣。輸出能控性的充分必要條件是輸出能控性矩陣的秩為輸出輸出能控性的充分必要條件是輸出能控性矩陣的秩為輸出變量的維數(shù)變量的維數(shù) ，即，即(3.46)

42、應(yīng)當(dāng)指出，狀態(tài)能控性與輸出能控性是兩個概念，其應(yīng)當(dāng)指出，狀態(tài)能控性與輸出能控性是兩個概念，其間沒有什么必然的聯(lián)系。間沒有什么必然的聯(lián)系。10nSCBCABCABD(1)qnpq0rankqS線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論例例 3.6 判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和輸出能控性：判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和輸出能控性：解解 狀態(tài)能控性矩陣為：狀態(tài)能控性矩陣為： 011121xxu10y x1111SAAB線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論因因 ，故狀態(tài)不完全能控，故狀態(tài)不完全能控輸出能控性矩陣為輸出能控性矩陣為顯然，顯然， ，故輸出能控。，故輸出能控。0,2rankSS 0110SCBCABD01rankq S線性系統(tǒng)

43、理論線性系統(tǒng)理論3.2 3.2 線性連續(xù)時間系統(tǒng)的能觀測性線性連續(xù)時間系統(tǒng)的能觀測性 在線性系統(tǒng)理論中，能觀測性與能控性是對在線性系統(tǒng)理論中，能觀測性與能控性是對偶的概念。系統(tǒng)能觀測性是研究由系統(tǒng)的輸出估偶的概念。系統(tǒng)能觀測性是研究由系統(tǒng)的輸出估計狀態(tài)的可能性。本節(jié)主要介紹線性定常系統(tǒng)和計狀態(tài)的可能性。本節(jié)主要介紹線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)的能觀測性判別的一些常用判據(jù)。線性時變系統(tǒng)的能觀測性判別的一些常用判據(jù)。為簡單起見，在討論能觀測性問題時通?？偸羌贋楹唵纹鹨?，在討論能觀測性問題時通?？偸羌僭O(shè)設(shè) ，由于能觀測性的論證和上節(jié)能控，由于能觀測性的論證和上節(jié)能控性的討論相類同，所以本節(jié)對能觀測性判

44、據(jù)的論性的討論相類同，所以本節(jié)對能觀測性判據(jù)的論述盡可能簡化。述盡可能簡化。u0線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 0,ttttTtttxAxBuyCxDuxx0 ,ttttABCD,n n np q n qp線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論（3.47）其中其中 為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。將式（為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。將式（3.47）代入）代入式（式（3.45）的輸出方程，可得輸出響應(yīng)為：）的輸出方程，可得輸出響應(yīng)為：（3.48）在研究能觀測性問題中，輸出在研究能觀測性問題中，輸出 假定為已知，設(shè)輸假定為已知，設(shè)輸入入 ，只有初始狀態(tài)，只有初始狀態(tài) 看作是未知的。因此，式看作是未知的。因此，式（3.46）成為）成為

45、100,tttt ttdxxBu0, t 100,ttttt tttdttyCxCBuDu0yu0 x0線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論（3.49）顯然，式（顯然，式（3.48）成為）成為（3.50）以后研究能觀測性問題，都基于式（以后研究能觀測性問題，都基于式（3.49）和式（）和式（3.50） ，這樣更為簡便。這樣更為簡便。 00,tttt tTtxAxxxyCx0 0,ttt tyCx0線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論定義定義3.6 對于系統(tǒng)（對于系統(tǒng)（3.49），如果取初始時刻），如果取初始時刻 ，存在一個有限時刻存在一個有限時刻 ，如果在時間區(qū)，如果在時間區(qū) 內(nèi)，內(nèi)，對于所有對于所有 ，系統(tǒng)的輸出，

46、系統(tǒng)的輸出 能唯一確定狀態(tài)向量能唯一確定狀態(tài)向量的初值的初值 ，則稱系統(tǒng)在，則稱系統(tǒng)在 內(nèi)是完全能觀測的，簡內(nèi)是完全能觀測的，簡稱能觀測。如果對一切稱能觀測。如果對一切 ，系統(tǒng)都是能觀測的，稱系，系統(tǒng)都是能觀測的，稱系統(tǒng)在統(tǒng)在 內(nèi)完全能觀測。內(nèi)完全能觀測。0ttT110,ttT tt01,tt01,ttt ty 0tx01,tt10tt0,t線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論定義定義3.7 對于系統(tǒng)（對于系統(tǒng)（3.49），如果在時間區(qū)），如果在時間區(qū) 內(nèi)，對內(nèi)，對于所有于所有 ，系統(tǒng)的輸出，系統(tǒng)的輸出 不能唯一確定所有狀態(tài)不能唯一確定所有狀態(tài)的初值的初值 ，（至少有一個狀態(tài)不能被，（至少有一個狀態(tài)不能被

47、 確定），則稱系統(tǒng)在時間區(qū)間確定），則稱系統(tǒng)在時間區(qū)間 內(nèi)是不完全能觀測的，內(nèi)是不完全能觀測的，簡稱不能觀測。簡稱不能觀測。01,tt01,ttt ty 0,1,2,tinix ty01,tt線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論u0 0,0ttxAxxxyCx0yqxnqnn nCA線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論10t 1100,ttttee dtTATAMC C10,tM線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論（3.53）在式（在式（3.23）兩邊左乘）兩邊左乘 ，然后從，然后從0到到 積分得積分得（3.54）已知已知 非奇異，即非奇異，即 存在，故由式（存在，故由式（3.54）得得這表明，在這表明，在 非奇異的條件下，總可

48、以根據(jù)非奇異的條件下，總可以根據(jù) 上的輸出上的輸出 ，唯一地確定非零初始狀態(tài)，唯一地確定非零初始狀態(tài) 。因此，系統(tǒng)。因此，系統(tǒng)為完全能觀測，充分性得證。為完全能觀測，充分性得證。1,0tteAyCxCx00teTATC1t111000,tttttedtee dttTTATATAC yC CxMx0010,tM110,tM11100,tttedtTATxMC y010,tM10,t tyx0線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論必要性：系統(tǒng)完全能觀測，欲證必要性：系統(tǒng)完全能觀測，欲證 非奇異。非奇異。采用反證法。反設(shè)采用反證法。反設(shè) 奇異，假設(shè)存在某個非奇異，假設(shè)存在某個非零零 ，使，使成立，這意味著成立，這

49、意味著10,tM10,tMnxR0 111102000,0tttttteedttt dttdtTTTATATx MxxC Cxyyy000010,tett AyCx00,線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論顯然，顯然， 為狀態(tài)空間中的不能觀測狀態(tài)。這和已知系統(tǒng)完為狀態(tài)空間中的不能觀測狀態(tài)。這和已知系統(tǒng)完全能觀測相矛盾，所以反設(shè)不成立，必要性得證。至此證全能觀測相矛盾，所以反設(shè)不成立，必要性得證。至此證畢。畢。2.秩判據(jù)秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)為完全能觀測的充分必要條件是線性定常系統(tǒng)為完全能觀測的充分必要條件是x0ranknn-1CCACA線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論或或（3.55）式中兩種形式的矩陣均稱為系統(tǒng)能觀

50、測性判別陣，簡稱能式中兩種形式的矩陣均稱為系統(tǒng)能觀測性判別陣，簡稱能觀測性陣。觀測性陣。證證 證明方法與能控性秩判據(jù)完全類同，具體證明證明方法與能控性秩判據(jù)完全類同，具體證明過程在此不再重復(fù)。這里僅從式（過程在此不再重復(fù)。這里僅從式（3.53）出發(fā)，進一步論）出發(fā)，進一步論述秩判據(jù)的充分必要條件。述秩判據(jù)的充分必要條件。ranknTTTTTTTCA CACAC2n-1線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論由式（由式（3.53），利用），利用 的級數(shù)展開式，可得的級數(shù)展開式，可得（3.56）teA 10,ntmtetttttttAmmn-1qqqn-1yCxCA xCCACAxCCAIIIxCA0001n-1

51、001n-10線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式（式（3.56）中，）中， 為為 階單位矩陣，已知階單位矩陣，已知 的的 列線性無關(guān)，于是根據(jù)測得列線性無關(guān)，于是根據(jù)測得 的可唯一確定的可唯一確定 的充的充要條件是要條件是這就是式（這就是式（3.55）。）。qIq ,ttqqII0n-1nq tyx0rankranknn-1CCAVCA線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論例例3.7 判斷下列兩個系統(tǒng)的能觀測性。判斷下列兩個系統(tǒng)的能觀測性。（1）（2）解解 計算能觀測性矩陣的秩：計算能觀測性矩陣的秩：,xAxBuyCx203,10011 ABC112110,111011ABC線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論（1）由計算可知

52、由計算可知 ，故系統(tǒng)不能觀測。，故系統(tǒng)不能觀測。（2）顯然顯然 ，故系統(tǒng)能觀測。，故系統(tǒng)能觀測。12rankrankrank1000 TTTVCA Crank12n V1110rankrankrank20112TTTVCA Crank2nV線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論1, 2,iinArank,1,2,ininCIArank, nsCs CIAs IAC線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論CAA1, 2,iin,iAC00線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論A12,n 12nxxyCx線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式（式（3.60）中，）中， 不包含元素全為零的列。不包含元素全為零的列。第二種情況：當(dāng)矩陣第二種情況：當(dāng)矩陣 的

53、特征值為的特征值為 且且 時，對式（時，對式（3.51）進行）進行線性變換導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型為線性變換導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型為（3.61）CA1122 (重), (重),ll (重)12.lnxAxyCx線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論其中其中（3.62）1212,ln nn nlJJACCCCJ線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論（3.63）1212,iiiiiiiiiiqiJJJCCCCJ線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論（3.64）1211,1ikikikikikikiiikikqiJCCCC 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論并有并有 。由。由 的第一的第一列所組成的矩陣列所組成的矩陣（3.65）則系統(tǒng)（則系統(tǒng)（3.51）為完全能觀

54、測的充分必要條件是，在式）為完全能觀測的充分必要條件是，在式（3.61）中，對于所有）中，對于所有 矩陣，矩陣， 均為列線性均為列線性無關(guān)。無關(guān)。12iiii1, 2,ikCk12121,1,2,iiiiCCCCiliC1,2,il線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論例例3.8 已知線性定常系統(tǒng)的對角型規(guī)范型如下，試判已知線性定常系統(tǒng)的對角型規(guī)范型如下，試判定系統(tǒng)的能觀測性。定系統(tǒng)的能觀測性。解解 顯見，此規(guī)范型顯見，此規(guī)范型 不包含元素全為零的列，所以系統(tǒng)不包含元素全為零的列，所以系統(tǒng)為完全能觀測。為完全能觀測。80001002xx100023yxC線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論例例3.9 已知系統(tǒng)約當(dāng)規(guī)范型

55、如下，試判斷系統(tǒng)的能觀測性。已知系統(tǒng)約當(dāng)規(guī)范型如下，試判斷系統(tǒng)的能觀測性。110111210225xx線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論解解 按照判據(jù)法則，容易定出以下矩陣按照判據(jù)法則，容易定出以下矩陣200010000010240700033010yx111112113121122131200100,010 ,20 ,7003310CCCCCC 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論顯然，它們都是列線性無關(guān)，顯然，它們都是列線性無關(guān)， 的元素不全為零，因的元素不全為零，因此系統(tǒng)為完全能觀測。此系統(tǒng)為完全能觀測。能觀測性指數(shù)能觀測性指數(shù) 考慮完全能觀的線性定常系統(tǒng)（考慮完全能觀的線性定常系統(tǒng)（3.51），其中），其中

56、 和和 分別是分別是 和和 的常值矩陣。的常值矩陣。定義定義3.8 設(shè)設(shè)（3.66）131Cqnn nCArankrankkk-1CCAVCA線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論為為 常值矩陣，其中常值矩陣，其中 為正整數(shù)。當(dāng)為正整數(shù)。當(dāng) 時，時， 即為能即為能觀測性矩陣觀測性矩陣 ，且，且 。依次將。依次將 由由1增加到增加到 ，使使 。則稱這個使。則稱這個使 成立的的最小正整數(shù)成立的的最小正整數(shù)為系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)。為系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)。設(shè)設(shè) ，則估計能觀測性指數(shù)，則估計能觀測性指數(shù) 的一個關(guān)的一個關(guān)系式為系式為（3.67）kqnkknkVVranknVkranknVranknkVkrankmqC1n

57、nmq線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論設(shè)設(shè) 為矩陣為矩陣 的最小多項式的次數(shù)，且有的最小多項式的次數(shù)，且有 ，則能觀測性指數(shù)則能觀測性指數(shù) 的估計不等式還可表示為的估計不等式還可表示為（3.68）此外，由式（此外，由式（3.67）可知，當(dāng)）可知，當(dāng) ，即系統(tǒng)為單輸出，即系統(tǒng)為單輸出時，必有時，必有 ，若，若 ，考慮，考慮 的上界，則系統(tǒng)為的上界，則系統(tǒng)為能觀測的充分必要條件可簡化為：能觀測的充分必要條件可簡化為：（3.69）1nA1nn1min,1nn nmq1q nrankmCn-m+1rankranknn-mCCAVCA線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 00,tttt tTtxAxxxyCx0tT tA

58、tCn nqn線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論0,ttT tt0t 100100,ttt tt tttt tdtTTMCC0, t t線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 tA tC1n0t0,ttT tt 0111n-11rankttntNNN線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論其中其中（3.72） 0100n-1n-2n-2ttdttttdtdttttdtNCNNANNNAN線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論3.3 線性離散時間系統(tǒng)的能控性和能觀測性線性離散時間系統(tǒng)的能控性和能觀測性能控性和能達性能控性和能達性 線性時變離散系統(tǒng)線性時變離散系統(tǒng)（3.73）其中，其中， 為離散時間定義區(qū)間。如果對初始時刻為離散時間定義區(qū)間。如果對初

59、始時刻 和和狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài) ，都存在時刻，都存在時刻 和和對應(yīng)的控制對應(yīng)的控制 ，使得，使得 ，則稱系統(tǒng)在，則稱系統(tǒng)在 時刻為完時刻為完全能控。全能控。 1,kkkkkkkTxGxHukT0 xkhT kuh 0l x,ktT lh線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論對應(yīng)地，如果對初始時刻對應(yīng)地，如果對初始時刻 ，和初始狀態(tài)，和初始狀態(tài) ，存在時刻存在時刻 ，和相應(yīng)的控制，和相應(yīng)的控制 ，使，使 可為狀可為狀態(tài)空間中的任意非零點，則稱系統(tǒng)在時刻態(tài)空間中的任意非零點，則稱系統(tǒng)在時刻 為完全能達。為完全能達。對于離散時間系統(tǒng)，不管是時變的還是定常的，其能對于離散時間系統(tǒng)，不管

60、是時變的還是定常的，其能控性和能達性只是在一定的條件下才是等價的。下面討論控性和能達性只是在一定的條件下才是等價的。下面討論能控性和能達性等價的條件。能控性和能達性等價的條件。khT 0h x,ktT lh ku lxh線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論( )G k ,1kh l( )u k( )0 x l 0 x100( )( , )( ,1)( ) ( )lk hx ll h xl kH k u k10( , )( ,1)( ) ( )lk hl h xl kH k u k 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論再由能達性定義，存在再由能達性定義，存在 在有限的時間內(nèi)，將零初始狀在有限的時間內(nèi)，將零初始狀態(tài)態(tài) ，