自動(dòng)控制原理課后答案 51

1、第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析與校正習(xí)題與解答 5-1 試求題5-75圖(a)、(b)網(wǎng)絡(luò)的頻率特性。 (a) (b)圖5-75 R-C網(wǎng)絡(luò) 解 （a)依圖： (b)依圖： 5-2 某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如題5-76圖所示，試根據(jù)頻率特性的物理意義，求下列輸入信號(hào)作用時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差 （1） （2） 解 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為: 圖5-76 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖頻率特性: 幅頻特性: 相頻特性: 系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù): 則 （1）當(dāng)時(shí), ，rm=1則 （2） 當(dāng) 時(shí): 5-3 若系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 試求系統(tǒng)頻率特性。 解 則 頻率特性為 5-4 繪制下列傳遞函數(shù)的幅相曲線： 解 幅頻特性如圖解5-4(a)。 幅頻特

2、性如圖解5-4(b)。 圖解5-4 幅頻特性如圖解5-4(c)。5-5 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 試分別計(jì)算 和 時(shí)開(kāi)環(huán)頻率特性的幅值和相角。解 計(jì)算可得 5-6 試?yán)L制下列傳遞函數(shù)的幅相曲線。 (1) (2) 解 (1) 取為不同值進(jìn)行計(jì)算并描點(diǎn)畫(huà)圖，可以作出準(zhǔn)確圖形三個(gè)特殊點(diǎn)： =0時(shí)， =0.25時(shí), =時(shí), 幅相特性曲線如圖解5-6（1）所示。 圖解5-6（1）Nyquist圖 圖解5-6（2） Nyquist圖(2) 兩個(gè)特殊點(diǎn)： =0時(shí)， =時(shí), 幅相特性曲線如圖解5-6（2）所示。5-7 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) ； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)輸入為單位速度信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差1。試寫(xiě)出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特

3、性表達(dá)式。解 先繪制的幅相曲線，然后順時(shí)針轉(zhuǎn)180°即可得到幅相曲線。的零極點(diǎn)分布圖及幅相曲線分別如圖解5-7(a)、(b)所示。的幅相曲線如圖解5-7(c)所示。依題意有： ， ，因此。 另有： 可得： ，。所以： 5-8 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 試概略繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相頻率特性曲線。解 的零極點(diǎn)分布圖如圖解5 -8(a)所示。變化時(shí)，有分析平面各零極點(diǎn)矢量隨的變化趨勢(shì)，可以繪出開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖解5-8(b)所示。5-9 繪制下列傳遞函數(shù)的漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。(1) ； (2) ； (3) (4) (5) 解 (1) 圖解5-9（1） Bode圖 Nyquist圖(2) 圖解5-9（

4、2） Bode圖 Nyquist圖(3) 圖解5-9（3） Bode圖 Nyquist圖 (4) 圖解5-9（4） Bode圖 Nyquist圖 (5) 圖解5-9（5） Bode圖 Nyquist圖 5-10 若傳遞函數(shù) 式中，為中，除比例和積分兩種環(huán)節(jié)外的部分。試證 式中，為近似對(duì)數(shù)幅頻特性曲線最左端直線（或其延長(zhǎng)線）與0dB線交點(diǎn)的頻率，如圖577所示。證 依題意，G(s)近似對(duì)數(shù)頻率曲線最左端直線(或其延長(zhǎng)線)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為。題意即要證明的對(duì)數(shù)幅頻曲線與0db交點(diǎn)處的頻率值。因此，令，可得 , 故 ，證畢。 5-11 三個(gè)最小相角系統(tǒng)傳遞函數(shù)的近似對(duì)數(shù)幅頻特性曲線分別如圖5-78(a

5、)、(b)和(c)所示。要求： （1）寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)；（2）概略繪制對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線。圖 578 511題圖解 (a) 依圖可寫(xiě)出：其中參數(shù)： ，則： 圖解5-11（a） Bode圖 Nyquist圖 (b) 依圖可寫(xiě)出 圖解5-11（b） Bode圖 Nyquist圖 (c) 圖解5-11（c） Bode圖 Nyquist圖 5-12 已知、和均為最小相角傳遞函數(shù)，其近似對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-79所示。試概略繪制傳遞函數(shù) 的對(duì)數(shù)幅頻、對(duì)數(shù)相頻和幅相特性曲線。 解：(1) 則： 圖5-79 5-12題圖 (2) , (3) (4) 將代入得：對(duì)數(shù)頻率特性曲線如圖解5-12(a)所示

6、,幅相特性曲線如圖解5-12(b)所示：圖解5-12 (a) Bode圖 (b) Nyquist圖5-13 試根據(jù)奈氏判據(jù)，判斷題5-80圖(1)(10)所示曲線對(duì)應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。已知曲線(1)(10)對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下（按自左至右順序）。解 題5-13計(jì)算結(jié)果列表題號(hào)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)穩(wěn)定性備注10-12不穩(wěn)定2000穩(wěn)定30-12不穩(wěn)定4000穩(wěn)定50-12不穩(wěn)定6000穩(wěn)定7000穩(wěn)定811/20穩(wěn)定9101不穩(wěn)定101-1/22不穩(wěn)定 5-14 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，試根據(jù)奈氏判據(jù)，確定其閉環(huán)穩(wěn)定的條件：； （1）時(shí)，值的范圍；（2）時(shí)，值的范圍；（3）值的范圍。 解 令 ，解出

7、，代入表達(dá)式并令其絕對(duì)值小于1 得出： 或 （1）時(shí)，；（2）時(shí)，；（3）值的范圍如圖解5-14中陰影部分所示。 5-15 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試概略繪制幅相特性曲線，并根據(jù)奈氏判據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 作出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布圖如圖解5-15（a）所示。的起點(diǎn)、終點(diǎn)為： 與實(shí)軸的交點(diǎn)： 令 可解出代入實(shí)部 概略繪制幅相特性曲線如圖解5-15（b）所示。根據(jù)奈氏判據(jù)有 所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 5-16 某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖5-81 (a)、(b)所示。圖中 試判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，并決定閉環(huán)特征方程正實(shí)部根個(gè)數(shù)。 解 內(nèi)回路開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù): 大致畫(huà)出的幅相曲線如圖解5-16所示?？梢?jiàn)不

8、會(huì)包圍（-1,j0）點(diǎn)。 即內(nèi)回路小閉環(huán)一定穩(wěn)定。內(nèi)回路小閉環(huán)極點(diǎn)（即開(kāi)環(huán)極點(diǎn)）在右半S平面的個(gè)數(shù)為0。 由題5-16圖(b)看出:系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性包圍（-1,j0）點(diǎn)的圈數(shù) N=-1。根據(jù)勞斯判據(jù) 系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在右半S平面。5-17 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 試根據(jù)奈氏判據(jù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 作出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布圖如圖解5-17(a)所示。 的起點(diǎn)、終點(diǎn)為： 幅相特性曲線與負(fù)實(shí)軸無(wú)交點(diǎn)。由于慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，小于不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，故呈現(xiàn)先增大后減小的變化趨勢(shì)。繪出幅相特性曲線如圖解5-17(b)所示。根據(jù)奈氏判據(jù) 表明閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-18 已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)

9、環(huán)傳遞函數(shù)，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 作出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布圖如圖解5-18(a)所示。當(dāng)變化時(shí)，的變化趨勢(shì)： 繪出幅相特性曲線如圖解5-18(b)所示。根據(jù)奈氏判據(jù) 表明閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 5-19 已知反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 (1) (2) (3) (4) 試用奈氏判據(jù)或?qū)?shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。 解 (1) 畫(huà)Bode圖得： 圖解5-19 (1) Bode圖 Nyquist圖 (2) 畫(huà)Bode圖判定穩(wěn)定性：Z=P-2N=0-2×(-1)=2 系統(tǒng)不穩(wěn)定。由Bode圖得：令： 解得 令： 解得 圖解5-19 (2) Bode圖 Ny

10、quist圖(3) 畫(huà)Bode圖得： 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 圖解5-19 (3) Bode圖 Nyquist圖 (4) 畫(huà)Bode圖得： 圖解5-19(4) Bode圖 系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-20 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試確定相角裕度為45°時(shí)的值。 解 開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖所示。以原點(diǎn)為圓心作單位圓，在點(diǎn)： 即： (1)要求相位裕度 即： (2)聯(lián)立求解（1）、（2）兩式得：， 。 5-21 在已知系統(tǒng)中 試確定閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的。 解 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 解法(一):畫(huà)伯特圖如圖解5-21所示圖解5-21 臨界穩(wěn)定時(shí) 由Bode圖 法(二) ; 令 , 則 (1)又令 代入(1)得

11、： 解出： （舍去）。故當(dāng) 1/秒，時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 5-22 若單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的臨界值。 解 幅頻特性為 相頻特性為 求幅相特性通過(guò)(-1,j0)點(diǎn)時(shí)的值即 (1) (2)由(2)式 代入(1)： 解出 : 5-23 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 試確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的延遲時(shí)間的范圍。 解 令 (1) (2) 由(1): 解得： , (舍去）將=0.618代入(2)式： 解得：=1.3686,由圖可見(jiàn)：當(dāng)1.3686時(shí)，G(j)不包圍(-1,j0)點(diǎn),所以的穩(wěn)定范圍是： 0<<1.36865-24 某最小相角系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-82所示。要求（1） 寫(xiě)出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)；（2） 利用相角裕度判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（3） 將其對(duì)