第2章 2.1 隨機(jī)變量及其概率分布

1、.2.1隨機(jī)變量及其概率分布1理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，理解分布列刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性，會(huì)求某些簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的分布列重點(diǎn)、難點(diǎn)2掌握離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，掌握兩點(diǎn)分布的特征重點(diǎn)根底·初探教材整理1隨機(jī)變量閱讀教材P49“例1以上部分，完成以下問題假如隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量通常用大寫拉丁字母X，Y，Z或小寫希臘字母，等表示判斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“×1隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，也可以是無限個(gè)2在拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣試驗(yàn)中，“出現(xiàn)正面的次數(shù)為隨機(jī)變量3隨機(jī)變量是用來表示不同試驗(yàn)結(jié)果的量4在擲一枚質(zhì)地均勻

2、的骰子試驗(yàn)中，“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，它有6個(gè)取值【解析】1因?yàn)殡S機(jī)變量的每一個(gè)取值，均代表一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，試驗(yàn)結(jié)果有限個(gè)，隨機(jī)變量的取值就有有限個(gè)，試驗(yàn)結(jié)果有無限個(gè)，隨機(jī)變量的取值就有無限個(gè)2因?yàn)閿S一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面向上或反面向上，以一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)如正面向上的次數(shù)來描繪這一隨機(jī)試驗(yàn)，那么正面向上的次數(shù)就是隨機(jī)變量，的取值是0,1.3因?yàn)橛呻S機(jī)變量的定義可知，該說法正確4因?yàn)閿S一枚質(zhì)地均勻的骰子試驗(yàn)中，所有可能結(jié)果有6個(gè)，故“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)這一隨機(jī)變量的取值為6個(gè)【答案】1234教材整理2概率分布列閱讀教材P50P51“例2以上部分，完成以下問題假定隨機(jī)變量X有n個(gè)不同的取值，它們分別是x

3、1，x2，xn，且PXxipi，i1,2，n，那么稱為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列稱表Xx1x2xnPp1p2pn為隨機(jī)變量X的概率分布表，它和都叫做隨機(jī)變量X的概率分布顯然，這里的pii1,2，n滿足條件：pi0i1,2，n；p1p2pn1.判斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“×1在概率分布列中，每一個(gè)可能值對(duì)應(yīng)的概率可以為任意的實(shí)數(shù)2概率分布列中每個(gè)隨機(jī)變量的取值對(duì)應(yīng)的概率都相等3在概率分布列中，所有概率之和為1.【解析】1×因?yàn)樵诟怕史植剂兄忻恳粋€(gè)可能值對(duì)應(yīng)隨機(jī)事件的概率均在0,1范圍內(nèi)2×因?yàn)榉植剂兄械拿總€(gè)隨機(jī)變量能代表的隨機(jī)事件，并非都是等可能發(fā)生的事

4、件3由分布列的性質(zhì)可知，該說法正確【答案】1×2×3教材整理3兩點(diǎn)分布閱讀教材P51，完成以下問題假如隨機(jī)變量X的分布表為X10Ppq其中0<p<1，q1p，這一類分布稱為0­1分布或兩點(diǎn)分布，并記為X0­1分布或X兩點(diǎn)分布設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X描繪一次試驗(yàn)成功與否記X0為試驗(yàn)失敗，記X1為試驗(yàn)成功，那么PX0等于_【解析】設(shè)試驗(yàn)失敗的概率為p，那么2pp1，p.【答案】質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型隨機(jī)變量的概

5、念 判斷以下各個(gè)量，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說明理由1北京國(guó)際機(jī)場(chǎng)候機(jī)廳中2018年5月1日的旅客數(shù)量；22018年5月1日至10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；32018年6月1日濟(jì)南到北京的某次列車到北京站的時(shí)間；4體積為1 000 cm3的球的半徑長(zhǎng)【精彩點(diǎn)撥】利用隨機(jī)變量的定義判斷【自主解答】1旅客人數(shù)可能是0,1,2，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量2所查酒駕的人數(shù)可能是0,1,2，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量3列車到達(dá)的時(shí)間可在某一區(qū)間內(nèi)任取一值，是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量4球的體積為1 000 cm3時(shí)，球的半徑為定值，不是隨機(jī)變量隨機(jī)變量的辨析方法1隨機(jī)試驗(yàn)

6、的結(jié)果具有可變性，即每次試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的結(jié)果不盡一樣2隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果具有確定性，即每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果假如一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)應(yīng)的變量具有以上兩點(diǎn)，那么該變量即為隨機(jī)變量再練一題11以下變量中，是隨機(jī)變量的是_填上所有正確的序號(hào)某人擲硬幣1次，正面向上的次數(shù)；某音樂網(wǎng)站歌曲?小蘋果?每天被點(diǎn)播的次數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下冰水混合物的溫度；你每天早晨起床的時(shí)間2一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球，5個(gè)白球，從中任取4個(gè)球，其中所含紅球的個(gè)數(shù)為X，那么X的可能取值構(gòu)成集合_事件Xk表示取出_個(gè)紅球，_個(gè)白球，k0,1,2,3,4.【解析】1中每個(gè)事件的發(fā)

7、生是隨機(jī)的，具有可變性，故是隨機(jī)變量；標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下冰水混合物的溫度為0 ，是必然的，不具有隨機(jī)性2由題意可知，X的可能取值為0,1,2,3,4.Xk表示取出的4個(gè)球中含k個(gè)紅球，4k個(gè)白球【答案】120,1,2,3,4k4k隨機(jī)變量的分布列及應(yīng)用一袋中裝有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5，在袋中同時(shí)取3只，以表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量的概率分布【精彩點(diǎn)撥】由本例中的取球方式可知，隨機(jī)變量與球的順序無關(guān)，其中球上的最大號(hào)碼只有可能是3,4,5，可以利用組合的方法計(jì)算其概率【自主解答】隨機(jī)變量的可能取值為3,4,5.當(dāng)3時(shí)，即取出的三只球中最大號(hào)碼為3，那么其他兩只球的編號(hào)只能是1

8、,2，故有P3；當(dāng)4時(shí)，即取出的三只球中最大號(hào)碼為4，那么其他兩只球只能在編號(hào)為1,2,3的3只球中取2只，故有P4；當(dāng)5時(shí)，即取出的三只球中最大號(hào)碼為5，那么其他兩只球只能在編號(hào)為1,2,3,4的4只球中取2只，故有P5.因此，的分布列為345P利用分布列及其性質(zhì)解題時(shí)要注意以下兩個(gè)問題：(1)X的各個(gè)取值表示的事件是互斥的.(2)不僅要注意1，而且要注意pi0，i1，2，n.再練一題2設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為Pakk1,2,3,4,5求：1常數(shù)a的值；2P；3P.【解】題目所給的的概率分布表為Pa2a3a4a5a1由a2a3a4a5a1，得a.2PPPP或P1P1.3因?yàn)?lt;<，所

9、以，.故PPPPa2a3a6a6×.探究共研型隨機(jī)變量的可能取值及試驗(yàn)結(jié)果探究1拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種結(jié)果這種試驗(yàn)結(jié)果能用數(shù)字表示嗎？【提示】可以用數(shù)字1和0分別表示正面向上和反面向上探究2在一塊地里種10棵樹苗，設(shè)成活的樹苗數(shù)為X，那么X可取哪些數(shù)字？【提示】X0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.探究3拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)為，那么“4表示的隨機(jī)事件是什么？【提示】“4表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)寫出以下隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值和所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果1袋中有大小一樣的紅球10個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每次任

10、取1個(gè)球，直到取出的球是白球?yàn)橹梗枰娜∏虼螖?shù)；2從標(biāo)有1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張，所取卡片上的數(shù)字之和【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】1設(shè)所需的取球次數(shù)為X，那么X1,2,3,4，10,11，Xi表示前i1次取到紅球，第i次取到白球，這里i1,2，11.2設(shè)所取卡片上的數(shù)字和為X，那么X3,4,5，11.X3，表示“取出標(biāo)有1,2的兩張卡片；X4，表示“取出標(biāo)有1,3的兩張卡片；X5，表示“取出標(biāo)有2,3或標(biāo)有1,4的兩張卡片；X6，表示“取出標(biāo)有2,4或1,5的兩張卡片；X7，表示“取出標(biāo)有3,4或2,5或1,6的兩張卡片；X8，表示“取出標(biāo)有2,6或3,5的兩張卡片；X9，表

11、示“取出標(biāo)有3,6或4,5的兩張卡片；X10，表示“取出標(biāo)有4,6的兩張卡片；X11，表示“取出標(biāo)有5,6的兩張卡片用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果問題的關(guān)鍵點(diǎn)和注意點(diǎn)1關(guān)鍵點(diǎn)：解決此類問題的關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的意義，即一個(gè)隨機(jī)變量的取值可能對(duì)應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果2注意點(diǎn)：解答過程中不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果再練一題3寫出以下各隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果1在2019年北京大學(xué)的自主招生中，參與面試的5名考生中，通過面試的考生人數(shù)X；2射手對(duì)目的進(jìn)展射擊，擊中目的得1分，未擊中目的得0分，該射手在一次射擊中的得分用表示【解】1X

12、可能取值0,1,2,3,4,5，Xi表示面試通過的有i人，其中i0,1,2,3,4,5.2可能取值為0,1，當(dāng)0時(shí)，說明該射手在本次射擊中沒有擊中目的；當(dāng)1時(shí)，說明該射手在本次射擊中擊中目的構(gòu)建·體系1袋中有大小一樣的5個(gè)球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼，如今在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量X，那么X所有可能取值的個(gè)數(shù)是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29440035】【解析】由于抽球是在有放回條件下進(jìn)展的，所以每次抽取的球號(hào)均可能是1,2,3,4,5中某個(gè)故兩次抽取球號(hào)碼之和可能為2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9種【答案】92甲進(jìn)展3次射擊，甲擊中目的的概率為，記甲擊中目的的次數(shù)為，那么的可能取值為_【解析】甲可能在3次射擊中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次【答案】0,1,2,33隨機(jī)變量的分布列如下：123456P0.2x0.350.10.150.2那么x_，P3_.【解析】由分布列的性質(zhì)得02x0.350.10.150.21，解得x0.故P3P1P2P30.20.350.55.【答案】00.554一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，那么PX4的