數(shù)學(xué)建模人口遷移的動(dòng)態(tài)分析

1、數(shù)學(xué)建模期末考查題數(shù)學(xué)建模期末考查是檢驗(yàn)我們學(xué)習(xí)情況， 也是培養(yǎng)我們的數(shù)學(xué)建 模能力，團(tuán)隊(duì)合作能力，也有助于我們思考能力的鍛煉，所以數(shù)學(xué)建 模期末題我們會(huì)認(rèn)真對(duì)待，用我們所學(xué)、盡我們所能的完成它。我們選擇的題是：人口遷移的動(dòng)態(tài)分析。參與成員：日期：2010 年12 月 15 日摘要本文主要是計(jì)算 A1、A2、A3三地區(qū)經(jīng)過遷移后的人口及人口比例的變化，經(jīng)過分析列 出方程組，利用 C程序計(jì)算出10年后、100年后三地區(qū)的人口數(shù)。由計(jì)算所得繪制出人口 數(shù)量的走勢(shì)圖，加以數(shù)據(jù)的分析，進(jìn)而對(duì)時(shí)間無限的增長各地區(qū)人口比例的穩(wěn)定性進(jìn)行了很 好的分析。通過對(duì)該問題的數(shù)學(xué)模型建立，培養(yǎng)了團(tuán)隊(duì)合作能力， 鍛煉了

2、我們的發(fā)散思維能力，增強(qiáng)了用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的能力。關(guān)鍵詞：人口遷移模型，研究性學(xué)習(xí)，VC+,遞歸方法1問題重述在工業(yè)化的進(jìn)程中， 經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)的人口會(huì)向經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)地區(qū)遷移，形成一個(gè)穩(wěn)定的朝向城市的人口流動(dòng)趨勢(shì)。假設(shè)有三個(gè)地區(qū)a、a、a3，第一年初三個(gè)地區(qū)的總?cè)丝跒?億人，各個(gè)地區(qū)人口在總?cè)丝谥械谋壤謩e是25%、35%、40%。地區(qū)A每年有人口的1 %流向地區(qū) A，有人口的1%流向地區(qū)A3 ；地區(qū) A每年有人口的1%流向地區(qū) A，有人口 的2%流向地區(qū)Al ；地區(qū)A每年有人口的3%流向地區(qū) A，有人口的2%流向地區(qū) A。（1） 假如三個(gè)地區(qū)的總?cè)丝诒３植蛔?，并且人口流?dòng)的這種趨勢(shì)繼續(xù)下去

3、，問10年以后三個(gè)地區(qū)的人口各是多少？100年以后呢？時(shí)間無限增大各地區(qū)人口比例是否會(huì)穩(wěn)定在某一個(gè)水平。（2） 設(shè)地區(qū) A的人口自然增長率 5%。；地區(qū) A2的人口自然增長率為 7%。；地區(qū)A3的人 人口自然增長率為11%。并且假定人口遷移是在每年初或年末一次完成的，問10年以后三 個(gè)地區(qū)的人口各是多少？ 100年以后呢？時(shí)間無限增大各地區(qū)人口比例是否會(huì)穩(wěn)定在某一個(gè)水平。問題分析：（1）、我們需要建立一個(gè)描述這 3個(gè)地區(qū)人口流動(dòng)的模型， 并求出在多少年后 A2、A3地區(qū)的人口。問題假設(shè)1、 A1、A2、A3地區(qū)是相對(duì)封閉的地區(qū)，人口的流動(dòng)只發(fā)生在這3個(gè)地區(qū)。2、 問題中提過3個(gè)地區(qū)的總?cè)丝诓蛔?/p>

4、， 所以假設(shè)該3個(gè)地區(qū)的出生率等于死亡率。在問（2） 中則不是，A. A?、A3地區(qū)的人口是增長的，沒個(gè)地區(qū)的增長率不一樣，而遷移的時(shí)候 是在增長了人口后。3、假設(shè)人口的遷移時(shí)是一次性完成的，在每年末完成。4、每個(gè)地區(qū)的遷入、遷出的比例不變。5、符號(hào)的說明：Aij （i=1、2、3, j=1、2、3.）:Ai地區(qū)在 j 年后的人口數(shù)。ri（i=1、2、3）:為Ai地區(qū)的自然增長率。問題的解決問題(1)我們從問題中獲得的信息可以列出數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：設(shè)x為總?cè)丝跀?shù)，則：第一年：Aii=0.25*x+0.35*x*0.02+0.40*x*0.03-0.25*x*0.02A2i=0.35*x+0.25

5、*x*0.01+0.40*x*0.02-0.35*x*0.03A3i=0.40*x+0.25*x*0.01+0.35*x*0.01-.0.40*x*0.05第二年則在第一年的基礎(chǔ)上遷移：Ai2=0.25* A 11+0.35* A 21*0.02+0.40* A 31*0.03-0.25* A ii*0.02A22=0.35* A 21+0.25* A ii*0.01+0.40* A 31*0.02-0.35* A 21*0.03A32=0.40* A 31+0.25* A ii*0.01+0.35* A 2i*0.01-.0.40* A 31*0.05第三年則在第二年的基礎(chǔ)上遷移以此類推，用

6、遞歸的方法可求出某年的Ai、A?、A3地區(qū)的人口。問題(2:):從問題中分析可知：每個(gè)地區(qū)每年增長了人口后，則遷移人口數(shù)則與問題(1)有所不同，用已知的數(shù)據(jù)和條件求Ai、A2、A3地區(qū)遷移過后的人口。設(shè)Ai、A2、A3地區(qū)未增長時(shí)的總?cè)丝跀?shù)是x,則：第一年：Aii=0.25*x*(1+0.005)+0.35*x*(1+0.007)*0.02+0.40*x*(1+0.011)*0.03-0.25*x*(1+0.00 5)*0.02A 2i=0.35*x*(1+0.007)+0.25*x*(1+0.005)*0.01+0.40*x*(1+0.011)*0.02-0.35*x*(1+0.007)*0

7、.03A 3i=0.40*x*(1+0.011)+0.25*x*(1+0.005)*0.01+0.35*x*(1+0.007)*0.01-0.40*x*(1+0.011)*0.05第二年則在第一年的基礎(chǔ)上遷移，同時(shí)也有人口的增長：Ai2=0.25*A ii*(1+0.005)+0.35*A 2i*(1+0.007)*0.02+0.40*A 3i*(1+0.011)*0.03-0.25*A 11 *(1+0.005)*0.02A22=0.35*A 2i*(1+0.007)+0.25*A ii*(1+0.005)*0.01+0.40*A 3i*(1+0.011)*0.02-0.35*A 21 *(

8、1+0.007)*0.03A32=0.40*A 3i*(1+0.011)+0.25*A ii*(1+0.005)*0.01+0.35*A 2i*(1+0.007)*0.01-0.40*A 31*(1+0.011)*0.05第三年在第二年的基礎(chǔ)上遷移，同時(shí)也有人口的增長.運(yùn)用遞歸的方法就可求出某年的Ai、A2、A3地區(qū)的人口。對(duì)于我們來說求解問題時(shí)，首先想到的是運(yùn)用Microsoft Visual C+來編程：問題(1)的解：運(yùn)用C程序求出，在人口總數(shù)不變的情況下：10年后地區(qū)人口數(shù)為：A 1=36248300, A2=34517400,A3=29234400;100年后地區(qū)人口數(shù)為：A 1=5

9、3847500, A2=29437900,A3=16714600;當(dāng)時(shí)間無限增長時(shí)，用C+程序可求的3個(gè)地區(qū)的人口趨于穩(wěn)定了，則人口比例也趨于穩(wěn)定，也可作出人口一時(shí)間的曲線圖，可看出曲線到后面已趨于穩(wěn)定。問題(2)的解：10年后地區(qū)的人口數(shù)：A 1=38497300,A2=37122300,A 3=32457200;100年后地區(qū)人口數(shù)：A 1=104040000 ,A 2=59793000 ,A 3=35793400;當(dāng)時(shí)間無限增長時(shí)，用C+程序運(yùn)算可求出 A1與A2、A2與A3的人口比例趨于1.61.8之間，則可知人口比例趨于穩(wěn)定。模型的結(jié)果分析1、在總?cè)丝诒３植蛔儠r(shí)，隨著時(shí)間的推移，各地

10、區(qū)的人口數(shù)量會(huì)趨于一個(gè)穩(wěn)定值。2、 在人口自然增長率固定時(shí)，隨著時(shí)間的推移，各地區(qū)的人口數(shù)量雖然不會(huì)達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定 值，會(huì)不斷地上升，但最終各地區(qū)的人口比例也會(huì)趨于一個(gè)穩(wěn)定水平。模型的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：人口遷移在有限年內(nèi)找到其規(guī)律，建立模型，雖然模型求解要用到計(jì)算機(jī)幫助，但程序原理簡單，求解方便。缺點(diǎn)：人口遷移局限在了一個(gè)很小的地方，忽略了其他地區(qū)的遷入和遷出到其他地區(qū)的情況，假定了 3個(gè)地區(qū)的總?cè)丝诓蛔兒腿丝谧匀辉鲩L率不變，這是與實(shí)際不太相符的。程序清單#in clude<stdio.h>#in clude<stdlib.h>void coun t_p()double a,

11、b,c;int i;in t p;double A1,A2,A3;A1=2.5e7;A2=3.5e7;A3=4e7;printf("請(qǐng)輸入需要計(jì)算的時(shí)間(以年為單位):");scan f("%d",&p);if(P<0)while(p<0)printf(”輸入錯(cuò)誤!請(qǐng)重新輸入！n"); scan f("%d",&p);for(i=1;i<=p;i+)a=A1;b=A2;c=A3;A仁a+b*0.02+c*0.03-a*0.01-a*0.01;A2=b+a*0.01+c*0.02-b*0.01

12、-b*0.02;A3=c+a*0.01+b*0.01-c*0.03-c*0.02;printf("%d年后個(gè)地區(qū)人口數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：n",p);prin tf("A1地區(qū)人口數(shù)：%gn",A1);printf("A2地區(qū)人口數(shù)：%gn",A2);printf("A3地區(qū)人口數(shù)：%gn",A3);coun t_p2()double a,b,c;int i;in t p;double A1,A2,A3;A1=2.5e7;A2=3.5e7;A3=4e7;printf("請(qǐng)輸入需要計(jì)算的時(shí)間(以年為單位)：”);sc

13、an f("%d",&p);if(p<0)while(p<0)printf("輸入錯(cuò)誤!請(qǐng)重新輸入!n");scan f("%d",&p);for(i=1;i<=p;i+)a=A1;b=A2;c=A3;A1=(a+A1*0.005)+(b+A2*0.007)*0.02+(c+A3*0.011)*0.03-(a+A1*0.005)*0.01-(a+A1*0.005)*0.01;A2=(b+A2*0.007)+(a+A1*0.005)*0.01+(c+A3*0.011)*0.02-(b+A2*0.007)

14、*0.01-(b+A2*0.0 07)*0.02;A3=(c+A3*0.011)+(a+A1*0.005)*0.01+(b+A2*0.007)*0.01-(c+A3*0.011)*0.03-(c+A3*0.0 11)*0.02;prin tf("%d年后個(gè)地區(qū)人口數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：n" ,p);prin tf("A1地區(qū)人口數(shù)：%gn",A1);prin tf("A2地區(qū)人口數(shù)：%gn",A2);prin tf("A3 地區(qū)人口數(shù)：%gn",A3);main ()int j;while(1)printf("tt

15、t人口動(dòng)態(tài)分析人口計(jì)算n");printf("ttt1流動(dòng)趨勢(shì)人口計(jì)算n");printf("ttt2考慮增長率在內(nèi)的人口計(jì)算 n");printf("ttt3 退出程序 n");printf("請(qǐng)輸入選擇:");scan f("%d",&j);if(j<0|j>3)while(j<0|j>3) prin tf("n");printf(”輸入錯(cuò)誤！請(qǐng)重新輸入！n");printf("請(qǐng)輸入選擇:");scan f("%d",&j);prin tf("n")