第2章 2.4 一些常見曲線的參數(shù)方程

1、.2.4一些常見曲線的參數(shù)方程2.4.1擺線的參數(shù)方程2.4.2圓的漸開線的參數(shù)方程1.理解圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程.重點(diǎn)2.理解漸開線與擺線的參數(shù)方程的推導(dǎo)過程.難點(diǎn)根底·初探1.擺線1定義一圓周沿一直線作無滑動(dòng)滾動(dòng)時(shí)，圓周上的一定點(diǎn)M的軌跡稱為擺線.2參數(shù)方程t是參數(shù).2.圓的漸開線1定義把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)固定不動(dòng)的圓盤的側(cè)面上，把繩拉緊逐漸展開，繩的外端點(diǎn)隨之挪動(dòng)，且繩的拉直部分始終和圓相切.繩的端點(diǎn)挪動(dòng)的軌跡就是一條圓的漸開線，固定的圓稱為漸開線的基圓.2參數(shù)方程t是參數(shù).考慮·探究圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的幾何意義是什么？ 【提示】根據(jù)漸開

2、線的定義和求解參數(shù)方程的過程，可知其中的字母a是指基圓的半徑，而參數(shù)t是指繩子外端運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子與基圓的切點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的角度，如圖，其中的AOB即是角t.顯然點(diǎn)M由參數(shù)t惟一確定.在我們解決有關(guān)問題時(shí)可以適當(dāng)利用其幾何意義，把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題，使求解過程更加簡單.同樣，根據(jù)圓的擺線的定義和建立參數(shù)方程的過程，可知其中的字母a是指定圓的半徑，參數(shù)t是指圓上定點(diǎn)相對于定直線與圓的切點(diǎn)所張開的角度.參數(shù)的幾何意義可以在解決問題中加以引用，簡化運(yùn)算過程.當(dāng)然這個(gè)幾何意義還不是很明顯，直接使用還要注意其取值的詳細(xì)情況.自主·測評(píng)1.關(guān)于漸開線和擺線的表達(dá)，正確的選項(xiàng)是A.只有圓才有漸

3、開線B.漸開線和擺線的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才得到了不同的圖形C.正方形也可以有漸開線D.對于同一個(gè)圓，假如建立的平面直角坐標(biāo)系的位置不同，畫出的漸開線形狀就不同【解析】不僅圓有漸開線，其他圖形如橢圓、正方形也有漸開線；漸開線和擺線的本質(zhì)是完全不一樣的，因此得出的圖形也不一樣；對于同一個(gè)圓不管在什么地方建立平面直角坐標(biāo)系，畫出的圖形的大小和形狀都是一樣的，只是方程的形式及圖形在坐標(biāo)系中的位置可能不同.【答案】C2.半徑為3的圓的擺線上某點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，那么其橫坐標(biāo)可能是A.B.2C.12D.14【解析】根據(jù)條件可知圓的擺線的參數(shù)方程為t為參數(shù)，把y0代入可得cos t1，所以

4、t2kkZ.而x3t3sin t6kkZ.根據(jù)選項(xiàng)可知應(yīng)選C.【答案】C3.半徑為4的圓的漸開線的參數(shù)方程是_.【解析】將a4代入圓的漸開線方程即可.【答案】4.給出某漸開線的參數(shù)方程t為參數(shù)，根據(jù)參數(shù)方程可以看出該漸開線的基圓半徑是_，當(dāng)參數(shù)t取時(shí)，對應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是_.【解析】與漸開線的參數(shù)方程進(jìn)展對照可知，a3，即基圓半徑是3，然后把t代入，可得【答案】，3質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 類型一求圓的擺線的參數(shù)方程一個(gè)圓的擺線過一定點(diǎn)2,0，請寫出該圓的半徑最大時(shí)該擺線的參數(shù)方程以及對應(yīng)

5、的圓的漸開線的參數(shù)方程.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62790014】【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程t為參數(shù)，只需把點(diǎn)2,0代入?yún)?shù)方程求出a的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式求出a的最大值，再確定對應(yīng)的擺線和漸開線的參數(shù)方程即可.【嘗試解答】令y0，可得a1cos t0，由于a>0，即得cos t1，所以t2kkZ.代入xatsin t，得xa2ksin 2k.又因?yàn)閤2，所以a2ksin 2k2，即得akZ.又由實(shí)際可知a>0，所以akN.易知，當(dāng)k1時(shí)，a取最大值為.代入即可得圓的擺線的參數(shù)方程為t為參數(shù)；圓的漸開線的參數(shù)方程為t為參數(shù).類型二求圓的漸開線的參數(shù)方程有一標(biāo)準(zhǔn)的漸開線齒輪，齒輪的齒廓線的基圓直徑為22 mm，求齒廓線所在的漸開線的參數(shù)方程.【精彩點(diǎn)撥】直接利用圓的漸開線參數(shù)方程的形式代入即可.【嘗試解答】因?yàn)榛鶊A的直徑為22 mm，所以基圓的半徑為11 mm，因此齒廓線所在的漸開線的參數(shù)方程為.類型三圓的漸開線的參數(shù)方程的應(yīng)用當(dāng)t，時(shí)，求出漸開線上的對應(yīng)點(diǎn)A，B，并求出A，B的間隔 .【精彩點(diǎn)撥】把t，分別代入?yún)?shù)方程即可求出相應(yīng)兩