電磁場與電磁波實驗報告

1、精選文檔電磁場與電磁波實 驗 報 告實驗名稱：有限差分法解電場邊值問題實驗日期：2012年12月8日姓 名：趙文強學(xué) 號：100240333哈爾濱工業(yè)大學(xué)（威海）精選文檔問題陳述如下圖無限長的矩形金屬導(dǎo)體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計算此導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。參數(shù)說明：a=b=10m, =100v實驗要求1) 使用分離變量法求解解析解；2) 使用簡單迭代發(fā)求解，設(shè)兩種情況分別求解數(shù)值解；3) 使用超松弛迭代法求解，設(shè)確定（松弛因子）。求解過程一、 分離變量法求解因為矩形導(dǎo)體槽在z方向為無限長，所以槽內(nèi)電位函數(shù)滿足直角坐標系中的二維拉普拉斯方程。根

2、據(jù)邊界條件可以確定解的形式：利用邊界條件求解系數(shù)。簡單迭代法求解二、 有限差分法有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一種數(shù)值計算法。其基本思想：將場域離散為許多小網(wǎng)格，應(yīng)用差分原理，將求解連續(xù)函數(shù)的泊松方程的問題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格節(jié)點上的差分方程組的問題。泊松方程的五點差分格式當(dāng)場域中得到拉普拉斯方程的五點差分格式圖1-4 高斯賽德爾迭代法差分方程組的求解方法(1) 高斯賽德爾迭代法 (1-14)式中：· 迭代順序可按先行后列，或先列后行進行。· 迭代過程遇到邊界節(jié)點時，代入邊界值或邊界差分格式，直到所有節(jié)點電位滿足為止。（2）超松

3、弛迭代法 (1-15) 式中：加速收斂因子可見：迭代收斂的速度與有明顯關(guān)系(一) 簡單迭代法簡單迭代法程序：1) 步長=1clear all;clc;close all;%設(shè)置節(jié)點數(shù),步長1hx=11;hy=11;v1=ones(hy,hx);%設(shè)置邊界條件v1(hy,:)=ones(1,hx)*100;v1(1,:)=zeros(1,hx);v1(1:hy,1)=0;v1(1:hy,hx)=0;%初始化v2=v1;maxt=1;t=0;k=0;%while(maxt>1e-10)k=k+1; %計算迭代次數(shù)maxt=0;for i=2:hy-1for j=2:hx-1v2(i,j)=(

4、v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)/4;%拉普拉斯方程差分形式t=abs(v2(i,j)-v1(i,j);if(t>maxt) maxt=t;endendendv1=v2;end%可視化顯示subplot(1,2,1),mesh(v2); %畫電勢的三維曲面圖axis(0 ,11,0,11,0,100);title('步長=1，各點電位');subplot(1,2,2),contour(v2); %畫等勢線title('等位線');實驗結(jié)果：圖1，簡單迭代法結(jié)果，步長1步長1，迭代次數(shù)k = 246各節(jié)點電位數(shù)據(jù)

5、：0000000000001.1074992.0993442.8775023.3715693.5406673.3715692.8775022.0993441.107499002.3306524.4123756.0390957.0681087.4195297.0681086.0390954.4123752.330652003.8027357.1804089.79839511.4422412.0012311.442249.7983957.1804083.802735005.69988110.7081314.5318416.9012217.7009216.9012214.5318410.708135

6、.699881008.2886615.4203820.719623.92992523.929920.719615.420388.288660012.0343821.9651428.9962833.0987834.4392833.0987828.9962821.9651412.034380017.8837231.4095240.2016145.0296446.5595745.0296440.2016131.4095217.883720028.0909645.5876355.3709860.2586261.7397160.2586255.3709845.5876328.090960048.8925

7、67.4790475.4360578.8941779.8820178.8941775.4360567.4790448.89250010010010010010010010010010002) 步長=0.1實驗結(jié)果：圖2，簡單迭代法步長0.1步長0.1，迭代次數(shù)k = 20051部分實驗結(jié)果數(shù)據(jù)截圖：圖3，簡單迭代法步長0.1部分數(shù)據(jù)(二) 超松馳迭代法1. 理論最佳松弛因子實驗結(jié)果實驗程序：clear all;clc;close all;%設(shè)置節(jié)點數(shù),步長0.1hx=101;hy=101; m=100;n=100;v1=ones(hy,hx);%設(shè)置邊界條件v1(hy,:)=ones(1,hx

8、)*100;v1(1,:)=zeros(1,hx);v1(1:hy,1)=0;v1(1:hy,hx)=0;%計算松弛因子t1=sin(pi/(100);w=2/(1+t1);%初始化v2=v1;maxt=1;t=0;k=0;%while(maxt>1e-10) k=k+1; %計算迭代次數(shù) maxt=0; for i=2:hy-1 for j=2:hx-1 v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j)*w/4;%拉普拉斯方程差分形式 t=abs(v2(i,j)-v1(i,j); if(t>max

9、t) maxt=t;end end end v1=v2; end%可視化顯示subplot(1,2,1),mesh(v2); %畫電勢的三維曲面圖axis(0 ,101,0,101,0,100);title('超松弛迭代法各點電位');subplot(1,2,2),contour(v2,20); %畫等勢線title('等位線');%disp('超松弛迭代步長0.1，迭代次數(shù)');kdisp('松弛因子');w%最佳松弛因子獲得的實驗結(jié)果：圖4，最佳松弛因子得到的結(jié)果超松弛迭代步長0.1，迭代次數(shù)k = 491松弛因子w =1.9

10、3912. 迭代法最佳松弛因子的確定實驗程序：clear all;clc;close all;count=zeros(1,19); tem=1;for w=1.8:0.01:1.98 hx=101; hy=101; m=100; n=100; v1=ones(hy,hx); % % %設(shè)置邊界條件 v1(hy,:)=ones(1,hx)*100; v1(1,:)=zeros(1,hx); v1(1:hy,1)=0; v1(1:hy,hx)=0; %初始化 v2=v1; maxt=1; t=0; k=0; % while(maxt>1e-10) k=k+1; %計算迭代次數(shù) maxt=0;

11、 for i=2:hy-1 for j=2:hx-1 v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j)*w/4;%拉普拉斯方程差分形式 t=abs(v2(i,j)-v1(i,j); if(t>maxt) maxt=t;end end end v1=v2; end%count(tem)=k;tem=tem+1;endw=1.8:0.01:1.98;figure(1);plot(w,count);axis(1.80,2.00,400,2700);xlabel('松弛因子');ylabel('迭代次數(shù)');title('最優(yōu)松弛因子的選取');實驗結(jié)果：圖5，松弛因子的取值圖6，相應(yīng)的迭代次數(shù)迭代次數(shù)隨松弛因子的變化曲線：圖7，迭代次數(shù)隨松弛因子變化曲線實驗結(jié)果分析：通過松弛因子的迭代選取，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)松弛因子在1.94左右，相應(yīng)的迭代次數(shù)為499次，