第四章 力學(xué)綜合

1、.第四章 力學(xué)綜合一、解題模型：1 如圖5.01所示，一路燈距地面的高度為h，身高為的人以速度v勻速行走。1試證明人的頭頂?shù)挠白幼鲃蛩龠\(yùn)動(dòng)；2求人影的長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化率。圖5.01 解：1設(shè)t=0時(shí)刻，人位于路燈的正下方O處，在時(shí)刻t，人走到S處，根據(jù)題意有OS=vt，過路燈P和人頭頂?shù)闹本€與地面的交點(diǎn)M為t時(shí)刻人頭頂影子的位置，如圖2所示。OM為人頭頂影子到O點(diǎn)的間隔 。圖2由幾何關(guān)系，有聯(lián)立解得因OM與時(shí)間t成正比，故人頭頂?shù)挠白幼鲃蛩龠\(yùn)動(dòng)。2由圖2可知，在時(shí)刻t，人影的長(zhǎng)度為SM，由幾何關(guān)系，有SM=OM-OS，由以上各式得可見影長(zhǎng)SM與時(shí)間t成正比，所以影長(zhǎng)隨時(shí)間的變化率。2 一程度放

2、置的圓盤繞豎直固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤上沿半徑開有一條寬度為2mm的均勻狹縫。將激光器與傳感器上下對(duì)準(zhǔn)，使二者間連線與轉(zhuǎn)軸平行，分別置于圓盤的上下兩側(cè)，且可以同步地沿圓盤半徑方向勻速挪動(dòng)，激光器連續(xù)向下發(fā)射激光束。在圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，當(dāng)狹縫經(jīng)過激光器與傳感器之間時(shí)，傳感器接收到一個(gè)激光信號(hào)，并將其輸入計(jì)算機(jī)，經(jīng)處理后畫出相應(yīng)圖線。圖5.02a為該裝置示意圖，圖5.02b為所接收的光信號(hào)隨時(shí)間變化的圖線，橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示接收到的激光信號(hào)強(qiáng)度，圖中。1利用圖b中的數(shù)據(jù)求1s時(shí)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；2說明激光器和傳感器沿半徑挪動(dòng)的方向；3求圖b中第三個(gè)激光信號(hào)的寬度t3。圖5.02解析：1由圖線讀得，

3、轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)周期，角速度2激光器和探測(cè)器沿半徑由中心向邊緣挪動(dòng)理由為：由于脈沖寬度在逐漸變窄，說明光信號(hào)能通過狹縫的時(shí)間逐漸減少，即圓盤上對(duì)應(yīng)探測(cè)器所在位置的線速度逐漸增加，因此激光器和探測(cè)器沿半徑由中心向邊緣挪動(dòng)。3設(shè)狹縫寬度為d，探測(cè)器接收到第i個(gè)脈沖時(shí)距轉(zhuǎn)軸的間隔 為ri，第i個(gè)脈沖的寬度為ti，激光器和探測(cè)器沿半徑的運(yùn)動(dòng)速度為v。由以上式聯(lián)立解得3 如圖5.03是某種靜電分選器的原理示意圖。兩個(gè)豎直放置的平行金屬板帶有等量異號(hào)電荷，形成勻強(qiáng)電場(chǎng)，分選器漏斗的出口與兩板上端處于同一高度，到兩板間隔 相等?；旌显谝黄鸬腶、b兩種顆粒從漏斗出口下落時(shí)，a種顆粒帶上正電，b種顆粒帶上負(fù)電。經(jīng)分選

4、電場(chǎng)后，a、b兩種顆粒分別落到程度傳送帶A、B上。兩板間距d=0.1m，板的度，電場(chǎng)僅局限在平行板之間；各顆粒所帶電量大小與其質(zhì)量之比均為。設(shè)顆粒進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的初速度為零，分選過程中顆粒大小及顆粒間的互相作用力不計(jì)。要求兩種顆粒分開電場(chǎng)區(qū)域時(shí)，不接觸到極板但有最大偏轉(zhuǎn)量。重力加速度g取。1左右兩板各帶何種電荷？?jī)蓸O板間的電壓多大？2假設(shè)兩帶電平行板的下端距傳送帶A、B的高度H=0.3m，顆粒落至傳送帶時(shí)的速度大小是多少？3設(shè)顆粒每次與傳送帶碰撞反彈時(shí)，沿豎直方向的速度大小為碰撞前豎直方向速度大小的一半。寫出顆粒第n次碰撞反彈高度的表達(dá)式。并求出經(jīng)過多少次碰撞，顆粒反彈的高度小于0.01m。圖5.

5、03 解析：1左板帶負(fù)電荷，右板帶正電荷。依題意，顆粒在平行板間的豎直方向上滿足在程度方向上滿足：兩式聯(lián)立得2根據(jù)動(dòng)能定理，顆粒落到程度傳送帶上滿足3在豎直方向顆粒作自由落體運(yùn)動(dòng)，它第一次落到程度傳送帶上沿豎直方向的速度反彈高度根據(jù)題設(shè)條件，顆粒第n次反彈后上升的高度：當(dāng)時(shí)，4 偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓軌道上運(yùn)行，它的運(yùn)行軌道距地面高為h，要使衛(wèi)星在一天的時(shí)間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件下的情況全部都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時(shí)，衛(wèi)星上的攝影像機(jī)至少應(yīng)拍地面上赤道圓周的弧長(zhǎng)是多少？設(shè)地球半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T。解析：設(shè)衛(wèi)星周期為T1，那么：又有地球自轉(zhuǎn)角速

6、度為在衛(wèi)星繞行地球一周的時(shí)間T1內(nèi)，地球轉(zhuǎn)過的圓心角為那么攝像機(jī)轉(zhuǎn)到赤道正上方時(shí)攝下圓周的弧長(zhǎng)為由得5 如圖5.04所示，一對(duì)雜技演員都視為質(zhì)點(diǎn)乘秋千秋千繩處于程度位置從A點(diǎn)由靜止出發(fā)繞O點(diǎn)下擺，當(dāng)擺到最低點(diǎn)B時(shí)，女演員在極短時(shí)間內(nèi)將男演員沿程度方向推出，然后自己剛好能回到高處A。求男演員落地點(diǎn)C與O點(diǎn)的程度間隔 s。男演員質(zhì)量m1和女演員質(zhì)量m2之比，秋千的質(zhì)量不計(jì)，擺長(zhǎng)為R，C點(diǎn)比O點(diǎn)低5R。圖5.04 解析：設(shè)別離前男女演員在秋千最低點(diǎn)B的速度為，由機(jī)械能守恒定律，設(shè)剛別離時(shí)男演員速度的大小為，方向與一樣；女演員速度的大小為，方向與相反，由動(dòng)量守恒，別離后，男演員做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)男演員從被

7、推出到落在C點(diǎn)所需的時(shí)間為t，根據(jù)題給條件，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，根據(jù)題給條件，女演員剛好回A點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律，由以上各式可得。6 在廣場(chǎng)玩耍時(shí)，一個(gè)小孩將一充有氫氣的氣球用細(xì)繩系于一個(gè)小石塊上，并將小石塊放置于程度地面上。小石塊的質(zhì)量為，氣球含球內(nèi)氫氣的質(zhì)量為，氣球體積為V，空氣密度為V和均視作不變量，風(fēng)沿程度方向吹，風(fēng)速為v。風(fēng)對(duì)氣球的作用力式中k為一系數(shù)，u為氣球相對(duì)空氣的速度。開場(chǎng)時(shí)，小石塊靜止在地面上，如圖5.05所示。1假設(shè)風(fēng)速v在逐漸增大，小孩擔(dān)憂氣球會(huì)連同小石塊一起被吹離地面，試判斷是否會(huì)出現(xiàn)這一情況，并說明理由。2假設(shè)細(xì)繩突然斷開，氣球飛上天空后，在氣球所經(jīng)過的空間中的風(fēng)速v保持

8、不變量，求氣球能到達(dá)的最大速度的大小。圖5.05 答案：1將氣球和小石塊作為一個(gè)整體；在豎直方向上，氣球包括小石塊受到重力G、浮力F和地面支持力FN的作用，據(jù)平衡條件有：由于式中FN是與風(fēng)速v無關(guān)的恒力，而，故氣球連同小石塊不會(huì)一起被吹離地面。2氣球的運(yùn)動(dòng)可分解成程度方向和豎直方向的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最大速度時(shí)氣球在程度方向做勻速運(yùn)動(dòng)，有氣球在豎直方向做勻速運(yùn)動(dòng)，有：氣球的最大速度：聯(lián)立求解得：二、滑輪模型1 如圖5.06所示，將一根不可伸長(zhǎng)、柔軟的輕繩左、右兩端分別系于A、B兩點(diǎn)上，一物體用動(dòng)滑輪懸掛在輕繩上，到達(dá)平衡時(shí)，兩段繩子間的夾角為，繩子張力為；將繩子右端移到C點(diǎn)，待系統(tǒng)到達(dá)平衡時(shí)，兩

9、段繩子間的夾角為，繩子張力為；將繩子右端再由C點(diǎn)移到D點(diǎn)，待系統(tǒng)到達(dá)平衡時(shí)，兩段繩子間的夾角為，繩子張力為，不計(jì)摩擦，并且BC為豎直線，那么 A. B. C. D. 圖5.06 解析：由于跨過滑輪上繩上各點(diǎn)的張力一樣，而它們的合力與重力為一對(duì)平衡力，所以從B點(diǎn)移到C點(diǎn)的過程中，通過滑輪的挪動(dòng)，再?gòu)腃點(diǎn)移到D點(diǎn)，肯定大于，由于豎直方向上必須有，所以。故只有A選項(xiàng)正確。2 如圖5.07所示在車廂中有一條光滑的帶子質(zhì)量不計(jì)，帶子中放上一個(gè)圓柱體，車子靜止時(shí)帶子兩邊的夾角ACB=90°，假設(shè)車廂以加速度a=7.5m/s2向左勻加速運(yùn)動(dòng)，那么帶子的兩邊與車廂頂面夾角分別為多少？圖5.07 解析

10、：設(shè)車靜止時(shí)AC長(zhǎng)為，當(dāng)小車以向左作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于AC、BC之間的類似于“滑輪，故受到的拉力相等，設(shè)為FT，圓柱體所受到的合力為ma，在向左作勻加速，運(yùn)動(dòng)中AC長(zhǎng)為，BC長(zhǎng)為由幾何關(guān)系得由牛頓運(yùn)動(dòng)定律建立方程：代入數(shù)據(jù)求得3 如圖5.08所示，細(xì)繩繞過兩個(gè)定滑輪A和B，在兩端各掛一個(gè)重為P的物體，如今A、B的中點(diǎn)C處掛一個(gè)重為Q的小球，Q<2P，求小球可能下降的最大間隔 h。AB的長(zhǎng)為2L，不計(jì)滑輪和繩之間的摩擦力及繩的質(zhì)量。圖5.08 解析：選小球Q和兩重物P構(gòu)成的整體為研究對(duì)象，該整體的速率從零開場(chǎng)逐漸增為最大，緊接著從最大又逐漸減小為零此時(shí)小球下降的間隔 最大為h，如圖4在整個(gè)

11、過程中，只有重力做功機(jī)械能守恒。圖4因重為Q的小球可能下降的最大間隔 為h，所以重為P的兩物體分別上升的最大間隔 均為?？紤]到整體初、末位置的速率均為零，故根據(jù)機(jī)械能守恒定律知，重為Q的小球重力勢(shì)能的減少量等于重為P的兩個(gè)物體重力勢(shì)能的增加量，即。從而解得4 如圖5.09輕繩AD跨過固定在程度橫梁BC右端的定滑輪掛住一個(gè)質(zhì)量為M1的物體。ACB=30°；圖b中輕桿HG一端用鉸鏈固定在豎直墻上，另一端G通過細(xì)繩EG拉住，EG與程度方向也成30°，輕桿的G點(diǎn)用細(xì)繩GF拉住一個(gè)質(zhì)量為M2的物體，求細(xì)繩AC段的張力FTAC與細(xì)繩EG的張力FTEG之比？圖4.09圖5.09 解析：圖

12、a中繩AC段的拉力FTACM1g圖b中由于FTEGsin30°=M2g，解得：5 如圖5.10所示，質(zhì)量分別為M和mM>m的小物體用輕繩連接；跨放在半徑為R的光滑半圓柱體和光滑定滑輪B上，m位于半圓柱體底端C點(diǎn)，半圓柱體頂端A點(diǎn)與滑輪B的連線程度。整個(gè)系統(tǒng)從靜止開場(chǎng)運(yùn)動(dòng)。設(shè)m能到達(dá)圓柱體的頂端，試求：1m到達(dá)圓柱體的頂端A點(diǎn)時(shí)，m和M的速度。2m到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓柱體的壓力。圖5.10 答案：12三、渡河模型1 如圖5.11所示，人用繩子通過定滑輪以不變的速度拉程度面上的物體A，當(dāng)繩與程度方向成角時(shí)，求物體A的速度。圖5.11 解：此題的關(guān)鍵是正確地確定物體A的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)。物體A

13、的運(yùn)動(dòng)即繩的末端的運(yùn)動(dòng)可看作兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成：一是沿繩的方向被牽引，繩長(zhǎng)縮短。繩長(zhǎng)縮短的速度即等于；二是隨著繩以定滑輪為圓心的擺動(dòng)，它不改變繩長(zhǎng)，只改變角度的值。這樣就可以將按圖示方向進(jìn)展分解。所以及實(shí)際上就是的兩個(gè)分速度，如下圖，由此可得。2 如圖5.12所示，某人通過一根跨過定滑輪的輕繩提升一個(gè)質(zhì)量為m的重物，開場(chǎng)時(shí)人在滑輪的正下方，繩下端A點(diǎn)離滑輪的間隔 為H。人由靜止拉著繩向右挪動(dòng)，當(dāng)繩下端到B點(diǎn)位置時(shí)，人的速度為v，繩與程度面夾角為。問在這個(gè)過程中，人對(duì)重物做了多少功？圖5.12解析：人挪動(dòng)時(shí)對(duì)繩的拉力不是恒力，重物不是做勻速運(yùn)動(dòng)也不是做勻變速運(yùn)動(dòng)，故無法用求對(duì)重物做的功，需從動(dòng)能定

14、理的角度來分析求解。當(dāng)繩下端由A點(diǎn)移到B點(diǎn)時(shí)，重物上升的高度為：重力做功的數(shù)值為：當(dāng)繩在B點(diǎn)實(shí)際程度速度為v時(shí)，v可以分解為沿繩斜向下的分速度和繞定滑輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的分速度，其中沿繩斜向下的分速度和重物上升速度的大小是一致的，從圖中可看出：以重物為研究對(duì)象，根據(jù)動(dòng)能定理得：3 一條寬度為L(zhǎng)的河，水流速度為，船在靜水中速度為，那么：1怎樣渡河時(shí)間最短？2假設(shè)，怎樣渡河位移最??？3假設(shè)，怎樣渡河船漂下的間隔 最短？解析：1小船過河問題，可以把小船的渡河運(yùn)動(dòng)分解為它同時(shí)參與的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，一是小船運(yùn)動(dòng)，一是水流的運(yùn)動(dòng)，船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)。如圖4所示。設(shè)船頭斜向上游與河岸成任意角。這時(shí)船速在垂直于河岸方向的速度分量為，渡河所需要的時(shí)間為，可以看出：L、v船一定時(shí)，t隨sin增大而減??；當(dāng)時(shí)，最大。所以，船頭與河岸垂直。圖42如圖5所示，渡河的最小位移即河的寬度。為了使渡河位移等于L，必須使船的合速度v的方向與河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。這時(shí)船頭應(yīng)指向河的上游，并與河岸成一定的角度，所以有，即。圖5因?yàn)椋灾挥性跁r(shí)，船才有可能垂直河岸渡河。3假設(shè)，那么不管船的航向如何，總是被水沖向下游，怎樣才能使漂下的間隔 最短呢？如圖6所示，設(shè)船頭v船與河岸成角。合速度v與河岸成角?？梢钥闯觯航窃酱?，船漂下的間隔 x越短