高數(shù)第十單元無窮級數(shù)

1、第十單元 無窮級數(shù)101 常數(shù)項級數(shù)的概念與審斂法教學(xué)基本要求高等數(shù)學(xué) 1. 理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件；了解正項級數(shù)的比較審斂法以及幾何級數(shù)與級數(shù)的斂散性，掌握正項級數(shù)的比較審斂法；了解交錯級數(shù)的萊布尼茨定理；4了解絕對收斂與條件收斂的概念及二者的關(guān)系微積分 1. 理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件；了解正項級數(shù)的比較審斂法，掌握幾何級數(shù)與級數(shù)的斂散性結(jié)果，掌握正項級數(shù)的比較審斂法；了解交錯級數(shù)的萊布尼茨定理；4了解絕對收斂與條件收斂的概念及二者的關(guān)系知識要點 一、常數(shù)項級數(shù)的斂散性判別法

2、及其說明除開因，而判定發(fā)散外，常用以下方法判別級數(shù)的收斂性.名 稱定 理注意與說明正項級數(shù)收斂它的部分和數(shù)列有界存在正項級數(shù)的部分和數(shù)列單調(diào)上升比較判別法若，則收斂收斂(簡記：若大斂則小斂)發(fā)散發(fā)散(簡記：若小散則大斂)(1) 若兩個正項級數(shù),除有項外都滿足定理條件,則結(jié)論亦成立(2) 選取已知的收斂或發(fā)散級數(shù)與所求的級數(shù)比較(3)同性和同性相比,即：收斂與收斂比較；發(fā)散與發(fā)散比較(4)記住幾個常見級數(shù)的斂散性：如等比級數(shù)、級數(shù)等斂散性比較判別法的極限形式設(shè)和均為正項級數(shù)，且，(1)若，且收斂，則收斂(2) 若，且發(fā)散，則發(fā)散選取已知的收斂或發(fā)散級數(shù)與所求的級數(shù)比較 利用比較法的極限形式應(yīng)盡可

3、能地利用等價無窮小給出的等價形式，或利用法則、公式確定關(guān)于的階比值判別法設(shè) (1) 是判別正項級數(shù)收斂性的充分條件，不是必要條件(3) 適用于中含有或關(guān)于的若干連乘積形式(2) 當時,一般用比較判別法來判斷級數(shù)的斂散性根值判別法設(shè) (3) 適用于中含有以為指數(shù)冪的因子積分判別法設(shè)是上非負單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則與同時斂散利用反常積分來判別正項級數(shù)收斂性的一種方法萊布尼茨判別法若交錯級數(shù)滿足條件：(1)，(2)則交錯級數(shù)收斂，且其和，其項余和的絕對值(1)該判別方法僅適用于交錯級數(shù)判斷收斂性，不涉及絕對收斂性(2)該方法中的條件是充分條件任意項級數(shù)絕對收斂判別法：若收斂，則必收斂， 稱絕對收斂；如果收斂

4、，而發(fā)散， 則稱條件收斂逆定理不成立可用正項級數(shù)收斂性的判別法來判斷級數(shù)是否絕對收斂常用于比較判別法及其極限形式的正項級數(shù)是:幾何級數(shù)(等比級數(shù))：當時級數(shù)收斂；當時級數(shù)發(fā)散.級數(shù)：當時級數(shù)收斂，當時級數(shù)發(fā)散.級數(shù)，當時級數(shù)收斂，當時級數(shù)發(fā)散.二、正項級數(shù)判斂的一般程序：比較法的一般形式比較法的極限形式積分判別法比值法 根值法 發(fā)散 發(fā)散，收斂三、任意項級數(shù)的判斂程序： 發(fā)散 絕對收斂 用正項級數(shù)判別法用萊布尼茲定理 或級數(shù)性質(zhì) 是否為零任意項級數(shù) 是 否 收斂 條件收斂 用比較法 否 收斂 發(fā)散 發(fā)散 絕對收斂 發(fā)散錯誤診斷例1 判別下列級數(shù)的斂散性：（1）； （2）（1）錯解 因為，故該級

5、數(shù)收斂錯誤分析 是級數(shù)收斂的必要條件,不是充分條件因此不能用一般項的極限為零判別級數(shù)收斂，但如果，級數(shù)一定發(fā)散. 正確解法 因，由發(fā)散，知該級數(shù)發(fā)散（2）錯解因為不存在，所以該級數(shù)發(fā)散錯誤分析正項級數(shù)的比值判別法只是正項級數(shù)收斂的充分條件，不是必要條件也就是說，正項級數(shù)收斂，并不一定有正確解法因為該級數(shù)是正項級數(shù)，且當時，由于等比級數(shù)收斂，由比較判別法知所給級數(shù)收斂例 若與皆收斂，且對于一切自然數(shù)有，證明也收斂錯誤證明由于，且收斂，故由比較判別法可知收斂錯誤分析上述證明的依據(jù)是級數(shù)的比較判別法，但是這個判別法只適用于正項級數(shù)而題中并沒有指明與為正項級數(shù)，因此上述證明方法不正確正確證法由于，因此

6、，即與皆為正項級數(shù)由于與都收斂，因此收斂由正項級數(shù)的比較判別法可知收斂又，由級數(shù)的性質(zhì)可知收斂典型例題補充例1 選擇題 下列命題中正確的是（ ）A 若與都收斂，則可能發(fā)散B 若收斂，發(fā)散，則必定發(fā)散C 若與都發(fā)散，則必定發(fā)散D 若收斂，則與必定收斂解 正確答案是B由級數(shù)的性質(zhì)知命題A錯誤由反正法知命題B正確事實上，假設(shè)收斂，由收斂及知，也收斂，這與已知矛盾故必定發(fā)散若設(shè)發(fā)散，也發(fā)散，但是收斂可知命題C與D都不正確說明 若收斂，發(fā)散，則必定發(fā)散可以作為判定級數(shù)發(fā)散的充分條件使用例1表明有限項相加的性質(zhì)不能隨意使用到無窮多項相加之中例2 判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2） ；（3）；（4） 解

7、（1）因為，所以發(fā)散（2）分析：由于，而注意： 可知所給級數(shù)不能利用比值判別法判定解法1 注意 由于當時，可知，正項級數(shù)為收斂級數(shù)，由比較判別法可知收斂解法2 由于當時，可知當時則 ，由于收斂，可知收斂（3）因為，所以收斂（4）分析：題中的沒有限制其值，因此應(yīng)該對加以討論解 因為故當時，原級數(shù)發(fā)散；當時，原級數(shù)收斂；當時，不能用比值判別法判定所給級數(shù)的收斂性但注意到數(shù)列為單調(diào)增加且有上界，由于，又，由極限的性質(zhì)可知當充分大時，必有，因此故發(fā)散例3 討論級數(shù)的斂散性分析：通項中有因子，可考慮用積分判別法解 令，當時，又，故在是正的單調(diào)遞減函數(shù)，且， 故由積分判別法知級數(shù)收斂例4 設(shè)，試判定與的收

8、斂性，并指出是絕對收斂，還是條件收斂？分析：是交錯級數(shù)，是正項級數(shù)由于，注意到時，等價解 因為，所以，由于為發(fā)散的調(diào)和級數(shù)，因此為發(fā)散級數(shù)因為，且，則由萊布尼茲定理知收斂從而知其條件收斂因，且由于級數(shù)為收斂級數(shù)，故由極限形式的比較判別法可知收斂課堂練習一、填空題若正項級數(shù)收斂，則是 級數(shù)已知，則是 級數(shù)已知，則是 級數(shù)級數(shù)的和為 級數(shù)是 級數(shù)二、選擇題1下列命題中正確的是（ ）A若收斂，則必有； 若發(fā)散，則必有；若，則必定收斂； 若，則必定發(fā)散2下列命題中正確的是（ ）A若收斂，則必條件收斂；若發(fā)散，則必定發(fā)散；若發(fā)散，則必定發(fā)散； 若收斂，則必定收斂3若級數(shù)收斂于，則級數(shù)（ ） A收斂于；

9、收斂于； 收斂于； 發(fā)散4若級數(shù)和都收斂，則級數(shù)（ ）A一定條件收斂；一定絕對收斂；一定發(fā)散； 可能收斂可能發(fā)散設(shè)為常數(shù)，則為（ ）A絕對收斂； 條件收斂； 發(fā)散； 收斂性與有關(guān)三、判別下列級數(shù)的斂散性1；2； 3四、判別下列級數(shù)的斂散性，若收斂，是絕對收斂，還是條件收斂？ 1； 2 （為常數(shù)）答案 一、1收斂；2發(fā)散；3收斂；5發(fā)散二、1A；2B；C；B；C三、發(fā)散，級數(shù)；發(fā)散，因； 收斂四、1條件收斂； 2絕對收斂102 冪級數(shù)教學(xué)基本要求高等數(shù)學(xué) 1. 了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念2 . 掌握簡單冪級數(shù)收斂區(qū)間的求法了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間的一些基本性質(zhì)會利用，與的麥克勞林（Mac

10、laurin）展開式將一些簡單的函數(shù)展開成冪級數(shù)微積分 1會求簡單冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域；了解冪級數(shù)在其收斂域（或收斂區(qū)間）內(nèi)的一些基本性質(zhì)，會求一些簡單的冪級數(shù)的和函數(shù)會利用，與的麥克勞林（Maclaurin）展開式將一些簡單的函數(shù)展開成冪級數(shù)知識要點一、冪級數(shù)收斂域的求法冪級數(shù)的收斂域由區(qū)間組成，區(qū)間的大小決定于收斂半徑，端點的收斂性另行討論1. 對于，稱之為“不缺項”情形若（或），則當時，；當時，；當，其中稱為收斂半徑收斂區(qū)間為對于“缺項”情形 需要考察后項與前項比值的極限，即若，則當?shù)奶幖墧?shù)絕對收斂；當?shù)奶幖墧?shù)發(fā)散，這樣就可得級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間說明 （1）若，且，還要

11、考察數(shù)項級數(shù)與的斂散性以此得出級數(shù)收斂區(qū)域的可能四種情形：、或（2）對于端點處數(shù)項級數(shù)的收斂性可以對照標準級數(shù)得出，或由數(shù)項級數(shù)收斂判別法判定常見的標準級數(shù)有：幾何級數(shù)（收斂，發(fā)散）、調(diào)和級數(shù)發(fā)散、級數(shù)（收斂，發(fā)散）和萊布尼茲級數(shù)收斂二、 函數(shù)的求法1. 根據(jù)和函數(shù)的定義，先求級數(shù)的部分和，再取極限得到2. 通過和差運算將級數(shù)化為易求和的若干級數(shù)的和或差3. 通過逐項積分或微分將冪級數(shù)化為常見函數(shù)的冪級數(shù)并求和，然后再作相反的分析運算得到原冪級數(shù)的和函數(shù)4. 變量代換5. 利用已知函數(shù)展式三、函數(shù)展成冪級數(shù)的方法：直接法 現(xiàn)求出，得到冪級數(shù)，并求此級數(shù)的收斂域，再證在此收斂域內(nèi)泰勒公式中余項收

12、斂于零，從而得到冪級數(shù)展開式(該方法在做題時一般不用,不作要求)間接法 利用五個重要的冪級數(shù)展開式，通過適當?shù)淖兞看鷵Q、四則運算、復(fù)合以及微分、積分等方法將一個函數(shù)展成冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)域如果沒有限定展開方法，一律采用間接法錯誤診斷例1 求的收斂半徑錯解 由于，因此，可知所給級數(shù)的收斂半徑錯解分析 由于所給級數(shù)為“缺項”情形，而運算中采用了不缺項情形的計算方法，因此上述運算時錯誤的正確解法因為可知當，即時原級數(shù)絕對收斂因此所給級數(shù)收斂半徑典型例題補充 例1 求下列級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間 （1）；（2）； （3）解 （1）因為，故收斂半徑為，收斂區(qū)間為，即（2）考察冪級數(shù)和因，故兩個級數(shù)收

13、斂半徑分別為，從而原級數(shù)的收斂半徑為，收斂區(qū)間為，即（3）這是“缺項”的冪級數(shù)情形因為當時，即，原級數(shù)收斂，收斂半徑為2，收斂區(qū)間為例2 求下列級數(shù)的收斂域（1）；（2）解（1）因為，故收斂半徑為，收斂區(qū)間為，即當時，原級數(shù)變?yōu)?，由萊布尼茲判別法知級數(shù)收斂當時，原級數(shù)變?yōu)?，是調(diào)和級數(shù)發(fā)散故該級數(shù)的收斂域為（2）分析：所給級數(shù)不是冪級數(shù)，但引入變量替換，則原級數(shù)可轉(zhuǎn)化為由于，因此當時，原級數(shù)轉(zhuǎn)化為發(fā)散因此收斂域為，即故原級數(shù)的收斂域為或說明 利用變量替換轉(zhuǎn)換級數(shù)類型再求收斂域，是利用已知知識解決新問題的范例這種思想方法應(yīng)該學(xué)習例3 求下列冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)（1）； （2）解 （1）由，知當時

14、，原級數(shù)化為發(fā)散，因此原級數(shù)的收斂域為設(shè)和函數(shù)為，則 ， （2）當時級數(shù)收斂；當時級數(shù)發(fā)散；當時，級數(shù)為絕對收斂故收斂域為設(shè)和函數(shù)為，則 ， 積分有 ，又，故，再積分有 由知， 利用和函數(shù)的連續(xù)性， ， 例4 將函數(shù)展成麥克勞林級數(shù)解 利用，積分有 ，故 ， 課堂練習一、填空題1設(shè)有級數(shù)，若，則該級數(shù)的收斂半徑等于 2設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為3，則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為 3冪級數(shù)的收斂區(qū)間為 4 冪級數(shù)的收斂域是 5冪級數(shù)的收斂半徑為 二、解答題 1已知冪級數(shù)再點處收斂，試判定的收斂性如果它收斂，那么它是條件收斂，還是絕對收斂？2求冪級數(shù)的收斂域3求冪級數(shù)：（1）；（2） 的和函數(shù)4將展開成的冪級數(shù)答

15、案 一、1；二、1絕對收斂； ，103 傅立葉級數(shù)教學(xué)基本要求高等數(shù)學(xué) 了解函數(shù)展開為傅立葉(Fourier)級數(shù)的狄利克雷（Dirichlet）條件，會將定義在和上的函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)，會將定義在上的函數(shù)展開為傅立葉正弦或余弦級數(shù)知識要點一 周期為的函數(shù)展成傅立葉級數(shù)的方法： 設(shè)是周期為的周期函數(shù)，在可積 （1）求出的傅立葉系數(shù)：；（2）寫出的傅立葉級數(shù)： 當是以為為周期的奇函數(shù)時， 此時的傅立葉級數(shù)為： ，稱為正弦級數(shù)當是以為為周期的偶函數(shù)時， 此時的傅立葉級數(shù)為： ，稱為正弦級數(shù) （3）根據(jù)收斂定理寫出傅立葉級數(shù)的和函數(shù) 在的連續(xù)點處收斂于；在的間斷點處收斂于；在處收斂于二、定義在上的

16、函數(shù)展成正弦級數(shù)（或余弦級數(shù)）方法：（1）首先需對所給函數(shù)進行奇延拓（或偶延拓），使之成為周期函數(shù)；（2）對延拓后的周期函數(shù)展成正弦級數(shù)（或余弦級數(shù)）錯題解析例1 設(shè)函數(shù),而,其中,則為( )A. ；B. ；C. ；D. 錯解由條件知，是作奇延拓后的傅立葉展式，則由收斂定理知，錯誤分析的傅立葉級數(shù)在其連續(xù)點處收斂于，而在本題中，在處無定義，故求無意義正確解法由條件知，是作奇延拓后的傅立葉展式，則由收斂定理知，典型例題補充例1 將函數(shù)，展開成以2為周期的傅立葉級數(shù)，并由此求級數(shù)的和解 由于是偶函數(shù)，所以因為 ，所以 ，令，則 ，得例2 將函數(shù)在展成余弦級數(shù)，討論其收斂情況，并求級數(shù)的和解 將作偶

17、延拓，令對展開有， 又因 ，故 ，從而 ，當時，有 由此得，課堂練習1 將函數(shù)在上展成傅立葉級數(shù)，并求級數(shù)的和2 把函數(shù)在內(nèi)分別展成正弦級數(shù)答案 ，；，當時，右邊級數(shù)收斂于零單元測試A組練習題一、填空題 1若級數(shù)收斂，則_. 2級數(shù)的斂散性是_. 3求出級數(shù)的和=_. 4設(shè)數(shù)列收斂于，則級數(shù)的和為_. 5當為_時，級數(shù)收斂（為常數(shù)）.二、選擇題 1下列級數(shù)中發(fā)散的是（ ） A B. C D 2.下列級數(shù)中條件收斂的是（ ） A B C D 3.在函數(shù)的泰勒級數(shù)中，項的系數(shù)是（ ） A B C D 4級數(shù)的收斂區(qū)間是（ ） A.-1 B.-1 C.-1< D.-<<+5.下列結(jié)

18、論中，正確的為（ ） A.若發(fā)散，則發(fā)散； B.若收斂，則發(fā)散 C.若收斂，則收斂； D.若與發(fā)散，則發(fā)散三、計算題 1.判定級數(shù)的斂散性. 2.判定級數(shù)的斂散性. 3.判定是絕對收斂、條件收斂、還是發(fā)散. 4.判定級數(shù)斂散性. 5.求冪級數(shù)的收斂區(qū)域.四、解答題 1.求的和 2.將在=0處展成泰勒級數(shù)五、證明題 若，均收斂，則，也都收斂 A組答案：一、1.； 2. 收斂； 3. ；4. ； 5. . 二、1A 2.C 3.C 4.C 5.B 6.B 7.C 8.B 9.A 10.C三、1原級數(shù)絕對收斂，對均成立； 2.收斂； 3. 條件收斂； 4. 條件收斂； 5.四、 1. ； 2. B組練習題一、填空題1設(shè)，則_. 2若收斂，則的取值范圍是_. 3的冪級數(shù)展開式為_. 4冪級數(shù)的收斂區(qū)間是_. 5已知級數(shù)的前項和，則該級數(shù)為_.二、選擇題 1. 下列級數(shù)中收斂的是（ ） A B C D (注：可以證明絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)逐項之和的級數(shù)是條件收斂的) 2. 設(shè)常數(shù)k>0，則（ ） A發(fā)散 B絕對收斂 C條件收斂 D斂散性與k有關(guān) 3. 若級數(shù)收斂，則（ ） A必收斂 B不一定收斂C D發(fā)散 4. 若冪級數(shù)處收斂,則該冪級數(shù)在處必然（ ） A.絕對收斂； B.條件收斂； C.發(fā)散； D.收斂性不確定； 5. 函數(shù)的麥克勞林展開式前三項的和為