魯棒控制器設計1

1、魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng) 參數(shù)變化；參數(shù)變化； 未建模動態(tài)特性；未建模動態(tài)特性； 平衡點的變化；平衡點的變化； 傳感器噪聲；傳感器噪聲； 不可預測的干擾輸入不可預測的干擾輸入；魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)的特點魯棒控制系統(tǒng)的特點 靈敏度低靈敏度低在參數(shù)的允許變動范圍內(nèi)能保持穩(wěn)定在參數(shù)的允許變動范圍內(nèi)能保持穩(wěn)定當參數(shù)發(fā)生較劇烈變化時，能夠恢復和保持預期性能當參數(shù)發(fā)生較劇烈變化時，能夠恢復和保持預期性能魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系

2、統(tǒng)魯棒性分析魯棒性分析系統(tǒng)設計目標是輸入的跟蹤誤差系統(tǒng)設計目標是輸入的跟蹤誤差 e(t) 保持在很小的范保持在很小的范圍內(nèi)，同時將干擾圍內(nèi)，同時將干擾 d(t) d(t) 引起的輸出維持在較低水平引起的輸出維持在較低水平上。上。魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)系統(tǒng)對受控對象的靈敏度為系統(tǒng)對受控對象的靈敏度為1( )1( ) ( )cS sG s G s當當 時，閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為時，閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ( )1pGs ( ) ( )( )1( ) ( )ccG s G sT sG s G s于是有于是有( )( )1S sT s由靈敏度函數(shù)定義可知，要提高魯棒性，就必須減小由靈敏度函數(shù)定義可知，要

3、提高魯棒性，就必須減小 S(s) 的取的取值。值。魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)加性攝動加性攝動受控對象模型可描述為受控對象模型可描述為( )( )( )aG sG sA s幅值有界的攝動幅值有界的攝動假設假設 和和 在在s s右半平面上極點個數(shù)相同右半平面上極點個數(shù)相同( )aG s( )G s那么，若對于所有那么，若對于所有 w 都有都有()1()A jG j則系統(tǒng)的穩(wěn)定性不變則系統(tǒng)的穩(wěn)定性不變魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)乘性攝動乘性攝動受控對象模型可描述為受控對象模型可描述為( )( )1( )mGsG sM s幅值有界的攝動幅值有界的攝動假設假設 和和 在在s s右半平面上極點個數(shù)相同右半平面上

4、極點個數(shù)相同( )mGs( )G s那么，若對于所有那么，若對于所有 w 都有都有1()1()M jG j則系統(tǒng)的穩(wěn)定性不變則系統(tǒng)的穩(wěn)定性不變.-魯棒性穩(wěn)定判據(jù)魯棒性穩(wěn)定判據(jù)魯魯 棒棒 控控 制制 系系 統(tǒng)統(tǒng)n 常用乘性攝動來描述受控對象的不確定性常用乘性攝動來描述受控對象的不確定性n 乘性攝動更符合直覺乘性攝動更符合直覺n 在低頻段對象模型精確，乘性攝動較小在低頻段對象模型精確，乘性攝動較小n 在高頻段對象模型不夠精確，乘性攝動較大在高頻段對象模型不夠精確，乘性攝動較大魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)具有不確定參數(shù)的系統(tǒng)具有不確定參數(shù)的系統(tǒng)假設系統(tǒng)的特征多項式為假設系統(tǒng)的特征多項式為其系數(shù)滿足其系數(shù)

5、滿足我們稱為區(qū)間多項式，為了判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，應該研究所我們稱為區(qū)間多項式，為了判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，應該研究所有有可能的參數(shù)組合，這是個無窮檢驗問題?？赡艿膮?shù)組合，這是個無窮檢驗問題。 前蘇聯(lián)數(shù)學家前蘇聯(lián)數(shù)學家 KharitonovKharitonov于于19781978年給出了關于判斷區(qū)間多年給出了關于判斷區(qū)間多項式族魯棒穩(wěn)定性的四多項式定理，為研究參數(shù)不確定系統(tǒng)項式族魯棒穩(wěn)定性的四多項式定理，為研究參數(shù)不確定系統(tǒng)的的魯棒性分析奠定了基礎。魯棒性分析奠定了基礎。1110( ) nnnnf sa sasa sa,0 , 1 , 0,iiiiiaaniaaa魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)Kharito

6、novKharitonov定理：定理： (1)(1)中的每一個多項式均穩(wěn)定當且僅當中的每一個多項式均穩(wěn)定當且僅當下面的四個多項式穩(wěn)定下面的四個多項式穩(wěn)定注：定理中的四個多項式通常被稱作注：定理中的四個多項式通常被稱作KharitonovKharitonov頂點多項頂點多項式。式。KharitonovKharitonov定理的意義在于它將區(qū)間多項式中無窮定理的意義在于它將區(qū)間多項式中無窮多個多項式的穩(wěn)定性與四個定點的穩(wěn)定性等價起來，將多個多項式的穩(wěn)定性與四個定點的穩(wěn)定性等價起來，將無窮檢驗變?yōu)橛邢迿z驗（頂點檢驗）。無窮檢驗變?yōu)橛邢迿z驗（頂點檢驗）。554433221045544332210355

7、44332210255443322101)()()()(sasasasasaasPsasasasasaasPsasasasasaasPsasasasasaasP魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)考慮下圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)考慮下圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)其中其中 miiiiiniiiirrrsrrsDsqsNrsDsNrsG00,),(,)(,),()(),(閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ),(1),(),(rskGrsGrsGCLGGclcl( (s s) )的分母為的分母為)(),(skNrsD-G(s)kuy魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)例：1122),(12233423srsrsrssssrsG3 , 2,4 , 3

8、,54321rrr，取取k k1 1，此時閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母為，此時閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母為2122112233423122334spspspsssssrsrsrs其中其中 4 , 3,6 , 5 ,3 , 2321ppp此時上面的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定當且僅當下面的四個多項式穩(wěn)定此時上面的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定當且僅當下面的四個多項式穩(wěn)定43244323432243214622)(4522)(3632)(3532)(sssssFsssssFsssssFsssssF魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)設計魯棒控制系統(tǒng)設計( )( )1( )Y sT sR s希望希望系統(tǒng)的伯德圖平整，具有無限帶寬的系統(tǒng)的伯德圖平整，具

9、有無限帶寬的0db增益并且相角始終為零增益并且相角始終為零1212( )( )( )( )( )( )1( )( )( )ccG s G s G sY sT sR sG s G s G s212( )( )( )1( )( )( )cG sY sD sG s G s G s魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)( )( )T sD s對的靈敏度的靈敏度1211( )( )( )TGcSG s G s G s要想降低系統(tǒng)的靈敏度要想降低系統(tǒng)的靈敏度S，就應該提高環(huán)路開環(huán)增益就應該提高環(huán)路開環(huán)增益L(jw)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)設計魯棒控制器應當要求設計魯棒控制器應當要求 應具有較寬的帶寬，以便系統(tǒng)輸出能很好

10、地重現(xiàn)應具有較寬的帶寬，以便系統(tǒng)輸出能很好地重現(xiàn)R(s) 應增大環(huán)路增益應增大環(huán)路增益L(s)，以便最小化靈敏度，以便最小化靈敏度S 應主要通過增大應主要通過增大 來提高環(huán)路開環(huán)增益來提高環(huán)路開環(huán)增益L(s), 以便同時減小以便同時減小 ，因為，因為 1( )( )cG s G s( )/( )Y sD s1( )/( )1/( )cY sD sG G s魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)魯棒控制系統(tǒng)H控制理論提出的背景 現(xiàn)代控制理論的許多成果在理論上很漂亮，但實際應用現(xiàn)代控制理論的許多成果在理論上很漂亮，但實際應用并不成功。主要原因是忽略了對象的不確定性，并對系統(tǒng)所并不成功。主要原因是忽略

11、了對象的不確定性，并對系統(tǒng)所存在的干擾信號作了苛刻的要求。存在的干擾信號作了苛刻的要求。 加拿大學者加拿大學者ZamesZames在在19811981年提出了著名的年提出了著名的H H 控制思想，控制思想，考慮如下一個單輸入單輸出系統(tǒng)的設計問題：對于屬于一個考慮如下一個單輸入單輸出系統(tǒng)的設計問題：對于屬于一個有限能量的干擾信號，設計一個控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且有限能量的干擾信號，設計一個控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且干擾對系統(tǒng)期望輸出影響最小。由于傳遞函數(shù)的干擾對系統(tǒng)期望輸出影響最小。由于傳遞函數(shù)的H H 范數(shù)可描范數(shù)可描述有限輸入能量到輸出能量的最大增益，所以用表示上述影述有限輸入能量到輸出能量的

12、最大增益，所以用表示上述影響的傳遞函數(shù)的響的傳遞函數(shù)的H H 范數(shù)作為目標函數(shù)對系統(tǒng)進行優(yōu)化設計，范數(shù)作為目標函數(shù)對系統(tǒng)進行優(yōu)化設計，就可使具有有限功率譜的干擾對系統(tǒng)期望輸出的影響最小。就可使具有有限功率譜的干擾對系統(tǒng)期望輸出的影響最小。對于反饋系統(tǒng)對于反饋系統(tǒng)如果如果P(s) 具有誤差具有誤差 ，那么相應地開環(huán)和閉環(huán)頻，那么相應地開環(huán)和閉環(huán)頻率特性也具有誤差率特性也具有誤差)()(1)()( ),()()(jKjPjKjPGjKjPjGBK其中其中K(s)為控制器，為控制器，w 為干擾信號，為干擾信號，r 為參考輸入為參考輸入 )()()(0sPsPsP-ryP(s)k K(s)ewu)()

13、()()()()(00jGjGjGjGjGjGBBBKKK體現(xiàn)了開環(huán)特性的相對偏差體現(xiàn)了開環(huán)特性的相對偏差 到閉環(huán)頻率特性到閉環(huán)頻率特性 的增益，因此，如果我們在設計控制器的增益，因此，如果我們在設計控制器K K時，能夠使時，能夠使S S的增益的增益足夠小，即足夠小，即)()(1)()( ),()()(00000jKjPjKjPGjKjPjGBK分別為開環(huán)和閉環(huán)頻率特性的標稱函數(shù)，簡單的推導可得分別為開環(huán)和閉環(huán)頻率特性的標稱函數(shù)，簡單的推導可得而傳遞函數(shù)而傳遞函數(shù) )()()()(11 )()(0jGjGjKjPjGjGKKBB)()(11 )(0sKsPsSKKGGBBGG為充分小正數(shù), )

14、(jS那么閉環(huán)特性的偏差將會抑制在工程允許的范圍內(nèi)。傳遞函數(shù)那么閉環(huán)特性的偏差將會抑制在工程允許的范圍內(nèi)。傳遞函數(shù)S S( (s s) )稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)靈敏度函數(shù)。實際上。實際上S S( (s s) )還等于干擾還等于干擾ww到輸出的到輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)，因此減小閉環(huán)傳遞函數(shù)，因此減小S S( (s s) )的增益就等價于減小干擾對控制誤的增益就等價于減小干擾對控制誤差的影響。引入定義差的影響。引入定義)(sup)(jSsSR其中其中 表示最大奇異值，即表示最大奇異值，即 )(,)()(21*maxAAA H 控制問題即為對于給定的控制問題即為對于給定的 0，設計控制器設計控制器K K使得閉環(huán)系使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足統(tǒng)穩(wěn)定且滿足)(sS為最大特征值。的共軛轉(zhuǎn)置陣，為max*AA H 理論中考慮干擾信號是不確定的，而是屬于一個可描述集理論中考慮干擾信號是不確定的，而是屬于一個可描述集L2中包含的是能量有限的信號。考慮抑制干擾中包含的是能量有限的信號。考慮抑制干擾 w L2 對系統(tǒng)性能對系統(tǒng)性能的影響，為此引入表示干擾抑制水準的標量的影響，為此引入表示干擾抑制水準的標量 ，求控制器求控制器 K 使得使得滿足滿足z為輸出信號。為輸出信號。022)(| )(dttwtwL(1) ,222222Lwwz220sup)(wzjTwzw其中其中T Tzwzw( (s s)